Nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số (LV01640)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————

NGUYỄN VĂN THỌ

NGHIỆM PHÂN RÃ THEO THỜI GIAN
CỦA MỘT LỚP BAO HÀM THỨC
VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————

NGUYỄN VĂN THỌ

NGHIỆM PHÂN RÃ THEO THỜI GIAN
CỦA MỘT LỚP BAO HÀM THỨC
VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Trần Đình Kế đã tận tình
hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn
thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất
trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Thọ


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Kế, luận văn
tốt nghiệp “Nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp hàm bao thức
vi phân cấp phân số” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân
tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Thọ


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Giải tích bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén . . . . . . . . . . . . .

4
4
7

2 Tính giải được trên các đoạn compact

10

3 Sự tồn tại nghiệm phân rã
19
3.1 Nghiệm phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
KẾT LUẬN

33

Tài liệu tham khảo

33

ii


Mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
Chúng ta nghiên cứu bài toán sau trong một không gian Banach X
D0α Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t = tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ,

(0.1)
(0.2)

∆u(tk ) = Ik (u(tk )),

(0.3)

u(0) = g(u),

ở đây D0α , α ∈ (0, 1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A và B là những
−
toán tử tuyến tính, đóng và không bị chặn trong X , Λ ⊂ N, ∆u(tk ) = u(t+
k )−u(tk ).
Các hàm F , g và Ik là các hàm cho trước.
Phương trình kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong các công trình của Barenblat
và các cộng sự [5], ở đó các tác giả là những người đầu tiên đưa ra một mô hình

dòng chảy của chất lỏng trong môi trường đá nứt, đó là phương trình
∂t (u − ∂x2 u) − ∂x2 u = 0.

Mô hình này sau đó được phát triển và nghiên cứu trong các bài báo [7, 26] khi
đó các tác giả đã xét phương trình phi tuyến trừu tượng
d
Bu(t) − Au(t) = f (t, u(t))
dt

trong không gian Banach, với A và B là các toán tử không bị chặn. Gần đây,
khi giải tích bậc phân số trở thành một công cụ hữu dụng để miêu tả các hiện
tượng vật lí khác nhau như dòng chảy trong môi trường rỗ thủng, các dao động
và điều khiển (xem, chẳng hạn [17, 24, 27]), phương trình vi phân bậc phân số
đã được đề xuất thay thế cho các phương trình vi phân bậc nguyên trong các
mô hình này. Một số lớp phương trình vi phân bậc phân số kiểu Sobolev đã
thu hút nhiều nghiên cứu trong vài năm gần đây. Có thể kể đến các công trình
[3, 4, 15, 19, 25], ở đó một số kết quả về sự tồn tại và điều khiển được đã được
thiết lập.
1


Liên quan tới hệ (0.1)-(0.3), ánh xạ phi tuyến đa trị F hình thành từ nhiều
bài toán khác nhau, trong đó có bài toán chính quy hóa phương trình vi phân
thường với vế phải không liên tục ([16]), các bất đẳng thức vi biến phân ([29]),
các bài toán điều khiển phản hồi ([21]),... Điều kiện xung trong (0.2) là một
hiệu ứng xuất hiện khi hàm trạng thái chịu sự thay đổi đột ngột, hiện tượng
này thường xuất hiện trong sinh học và kĩ thuật. Điều kiện không cục bộ trong
(0.3) lần đầu tiên được nghiên cứu trong [10], cho phép mô tả dữ kiện đầu vào
tốt hơn các điều kiện ban đầu so với các bài toán Cauchy cổ điển. Trong ứng
dụng, điều kiện không cục bộ thường có các dạng sau

m

ci u(ti ), ci ∈ R, ti > 0,

u(0) = u0 +
i=1

1
u(0) = u0 +
b

b

k(s)u(s)ds, b > 0, k là một hàm thực.
0

Một vấn đề quan trọng liên quan tới bài toán (0.1)-(0.3) là câu hỏi về dáng điệu
của các nghiệm khi thời gian t lớn. Chú ý rằng lý thuyết tập hút toàn cục (xem
[11]) không thể áp dụng với bài toán này vì thiếu tính chất nửa nhóm của toán
tử nghiệm. Ngoài ra, sử dụng hàm Lyapunov để phân tích sự ổn định của các
nghiệm là không thực tế do những khó khăn trong tính toán và ước lượng đạo
hàm bậc phân số, thậm chí ngay cả trong trường hợp hữu hạn chiều. Bởi những
lí do trên, kết quả về dáng điệu nghiệm với các phương trình vi phân bậc phân
số khi thời gian lớn ít được biết đến. Trong một số bài báo gần đây [12, 22, 23],
các tác giả đã nghiên cứu một số mô hình phương trình vi phân bậc phân số
nửa tuyến tính trong các không gian Banach bao gồm các điều kiện không cục
bộ và các hiệu ứng xung, ở đó sự tồn tại các nghiệm phân rã được chứng minh
bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co. Cách tiếp cận này được giới thiệu bởi
Burton và Furumochi [8, 9] để nghiên cứu tính ổn định cho các bài toán phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân hàm. Tuy nhiên, kĩ thuật dùng

trong [12, 22, 23] không sử dụng được trong bài toán các hàm phi tuyến F, g và
Ik không có giả thiết Lipschitz.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết bao hàm thức vi phân bậc
phân số, tôi chọn vấn đề "Nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp
bao hàm thức vi phân cấp phân số" cho đề tài nghiên cứu của luận văn.
Các kết quả được trình bày dựa trên công trình (0.2).
Trong luận văn này, chúng tôi chứng minh bài toán (0.1)-(0.3) có một tập
compact các nghiệm phân rã trong PC([0, +∞); X). Để làm được việc đó, chúng
tôi xây dựng một độ đo không compact chính quy (MNC), gọi là χ∗ trên một
2


không gian con đóng của PC([0, +∞); X), sau đó chỉ ra rằng toán tử nghiệm đa
trị liên kết với (0.1)-(0.3) là χ∗ -nén.
Luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 bao gồm các kiến thức
chuẩn bị liên quan đến giải tích bậc phân số và độ đo không compact. Chương 2
trình bày tính giải được của bài toán (0.1)-(0.3) trên các đoạn compact. Chương
3 sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm phân rã và trình bày một ví dụ áp dụng.

2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được trên đoạn compact và sự tồn tại nghiệm phân rã khi
t → ∞ của hệ (0.1)-(0.3). Chứng minh chi tiết các kết quả trong các công trình
[18, 22].

3.Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu về độ đo không compact;
2. Tìm hiểu về giải tích bậc phân số;
3. Nghiên cứu tính giải được của hệ trên đoạn compact;
4. Nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm phân rã khi t → ∞ của hệ.

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số suy biến.
• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tại nghiệm trên đoạn compact và điều

kiện tồn tại nghiệm phân rã.

5.Dự kiến đóng góp mới
Chứng minh chi tiết các kết quả trong các công trình [18, 22].

6.Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Giải tích đa trị, giải tích bậc phân số, độ đo không compact;
• Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giải tích bậc phân số

Cho L1 (0, T ; X) là không gian các hàm khả tích trên [0, T ], theo nghĩa Bochner.
Định nghĩa 1.1. Tích phân bậc phân số cấp α > 0 của hàm số f ∈ L1 (0, T ; X)
được định nghĩa bởi
I0α f (t)

1
=

Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s)ds,
0

ở đó Γ là hàm Gamma, với điều kiện tích phân hội tụ.
Định nghĩa 1.2. Cho hàm f ∈ C N ([0, T ]; X), đạo hàm Caputo bậc phân số cấp
α ∈ (N − 1, N ) được định nghĩa
D0α f (t)

1
=
Γ(N − α)

t

(t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds.
0

Chú ý rằng có nhiều khái niệm về đạo hàm bậc phân số, trong đó định nghĩa
của Riemann-Liouville và Caputo được sử dụng rộng dãi. Nhiều bài toán ứng
dụng, biểu diễn bởi phương trình vi phân bậc phân số, đòi hỏi các điều kiện đầu
u(0), u (0),..., và đạo hàm Caputo bậc phân số thỏa mãn các điều kiện xác định.
Xét bài toán (1.1)-(1.3).
D0α Bu(t) = Au(t) + f (t), t = tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ,

(1.1)

∆u(tk ) = Ik (u(tk )),

(1.2)

u(0) = g(u).

(1.3)

Giả thiết rằng D(B) ⊂ D(A), B là song ánh và có ánh xạ ngược bị chặn. Áp
dụng biến đổi Laplace cho phương trình (1.1), ta được
1
BL[(·)−α ∗ u ](λ) = AL[u](λ) + L[f ](λ),
Γ(1 − α)
4


do D0α u =

1
(·)−α ∗ u , ở đây L là kí hiệu biến đổi Laplace của hàm nhận
Γ(1 − α)

giá trị vector. Suy ra
1
λ1−α

e−λtk Ik − u(0)] = AL[u](λ) + L[f ](λ).

B[λL[u](λ) −
k∈Λ

Bởi vậy
BL[u](λ) =λα−1 (λα I − AB −1 )−1 Bu(0)
+ λα−1 (λα I − AB −1 )−1 B

e−λtk Ik + (λα I − AB −1 )−1 L[f ](λ), (1.4)
k∈Λ

với I là toán tử đồng nhất xác định trên X.
Cho {T (t)} là C0 - nửa nhóm sinh bởi AB −1 . Thế {T (t)} vào (1.4), ta được
∞

α

e−λ s T (s)Bu(0)ds

BL[u](λ) =λα−1
0

∞

α−1

+λ

e

−λα s

∞

T (s)B

e

0

−λtk

α

e−λ s T (s)L[f ](λ)ds.

Ik ds +
0

k∈Λ

Do đó
∞

α

B −1 e−λ s T (s)Bu(0)ds

α−1

L[u](λ) =λ

0

∞

∞

α

B −1 e−λ s T (s)B

+ λα−1

e−λtk Ik ds +

0

k∈Λ

α

B −1 e−λ s T (s)L[f ](λ)ds.
0

(1.5)
Sử dụng lí luận như [15], ta thu được
Sα (t − tk )BIk (u(tk ))

u(t) =Sα (t)Bg(u) +
0t

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds, t > 0,

+

(1.6)

0

ở đây Sα (t) và Pα (t) được gọi là các toán tử nghiệm đặc trưng cho bởi công thức
∞

B −1 φα (θ)T (tα θ)xdθ,

Sα (t)x =
0

∞

B −1 θφα (θ)T (tα θ)xdθ,

Pα (t)x = α
0

5


với φα là hàm phân bố xác suất xác định trên (0, ∞), nghĩa là, φα (θ) ≥ 0 và
∞
φα (θ)dθ = 1. Hơn nữa, φα có biểu diễn
0

1
φα (θ) =
π

∞

n=1

(−θ)n−1
Γ(nα) sin(nπα).
(n − 1)!

Cho {U (t)}t≥0 là một họ các toán tử bị chặn trên X . Ta nói U (·) liên tục theo
chuẩn nếu và chỉ nếu t → U (t) là liên tục trên (0, ∞). Nếu U (t) ∈ L(X) là một
toán tử compact với mỗi t > 0 thì U (·) gọi là compact.
Bổ đề 1.1. Cho T (·) là C0 -nửa nhóm sinh bởi AB −1 . Nếu T (·) bị chặn đều, nghĩa
là, supt≥0 T (t) < +∞, thì ta có các tính chất sau:
(1) Nếu nửa nhóm T (·) liên tục theo chuẩn, thì Sα (·) và Pα (·) cũng liên tục
theo chuẩn;
(2) Nếu B −1 là một toán tử compact hoặc T (·) là một nửa nhóm compact thì
Sα (·) và Pα (·) là compact.
Chứng minh. Chứng minh phần thứ nhất giống như trong [22, Bổ đề 2.1], còn
phần thứ hai như trong [30].
Cho Φ(t, s) là một họ các toán tử bị chặn trên X với t, s ∈ [0, T ], s ≤ t. Kết
quả sau được chứng minh trong [28, Bổ đề 1].
Bổ đề 1.2. Giả sử rằng Φ thỏa mãn các điều kiện sau:
(Φ1) Tồn tại một hàm ρ ∈ Lq (J), q > 1 sao cho

Φ(t, s)

≤ ρ(t − s) với mọi

t, s ∈ [0, T ], s ≤ t;
(Φ2) Φ(t, s) − Φ(r, s) ≤

với 0 ≤ s ≤ r − , r < t = r + h ≤ T với = (h) → 0 khi

h → 0.

Khi đó toán tử S : Lq (0, T ; X) → C([0, T ]; X) được định nghĩa bởi
t

(Sg)(t) :=

Φ(t, s)g(s)ds
0

biến một tập bị chặn bất kì thành một tập liên tục đồng bậc, ở đây q là liên hợp
q (q = +∞ nếu q = 1).

6


Định nghĩa
Qα : Lp ([0, T ]; X) → C([0, T ]; X),
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds.

Qα (f )(t) =

(1.7)

0

Sử dụng hai bổ đề cuối, ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.3. Nếu nửa nhóm T (·) sinh bởi AB −1 bị chặn đều và liên tục theo
chuẩn, thì toán tử Qα xác định bởi (1.7) biến một tập bị chặn bất kì trong
Lp (0, T ; X) thành một tập liên tục đồng bậc trong C([0, T ]; X).
Chứng minh. Xem [22, Mệnh đề 2.3].

1.2

Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén

Cho E là một không gian Banach. Định nghĩa
P(E) = {B ⊂ E : B = ∅},
Pb (E) = {B ∈ P(E) : B bị chặn},
K(E) = {B ∈ P(E) : B compact},
Kv (E) = {B ∈ K(E) : B là tập lồi}.

Chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa độ đo không compact. (xem [21])
Định nghĩa 1.3. Một hàm β : Pb (E) → R+ được gọi là một độ đo không
compact (MNC) trên E nếu
β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ Pb (E),

với co Ω là bao lồi đóng của Ω. Một MNC β được gọi là
i) đơn điệu nếu Ω0 , Ω1 ∈ Pb (E), Ω0 ⊂ Ω1 thì β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 );
ii) không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi a ∈ E, Ω ∈ Pb (E);
iii) bất biến theo miền với tập compact nếu β(K ∪Ω) = β(Ω) với mọi tập compact

tương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb (E);
iv) nửa đại số cộng tính dưới nếu β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với mỗi Ω0 , Ω1 ∈
Pb (E);
v) chính quy nếu β(Ω) = 0 thì tương đương với compact tương đối của Ω.
7


Một ví dụ quan trọng của MNC là độ đo không compact Hausdorff MNC
χ(·), nó được định nghĩa như sau, với Ω ∈ Pb (E) đặt
χ(Ω) = inf{ε > 0 : Ω có một hữu hạn ε-lưới}.

Cho T ∈ L(E), hay T là toán tử tuyến tính bị chặn trên E . Ta có thể định nghĩa
chuẩn χ của T như sau
T

χ

= inf{β > 0 : χ(T (B)) ≤ β · χ(B) với mọi B ∈ Pb (E)}.

(1.8)

Như đã biết (xem [21])
• T

χ

= χ(T (B1 )) với B1 là hình cầu đơn vị trong E .

• T

χ

≤ T

• T

χ

= 0 khi và chỉ khi T là một toán tử compact.

L(E) .

Ta cần một số kết quả sau, nó là một ước lượng MNC. Việc chứng minh có thể
xem trong [21].
Mệnh đề 1.4. ([21]) Nếu {wn } ⊂ L1 (0, T ; E) thỏa mãn
wn (t)

E

≤ ν(t), với mọi t ∈ [0, T ] h.k.n,

và với một ν ∈ L1 (0, T ), thì ta có
t

t

wn (s)ds}) ≤ 2

χ({
0

χ({wn (s)})ds,
0

với t ∈ [0, T ].
Ta cũng cần ước lượng MNC cho trường hợp các tập không đếm được.
Mệnh đề 1.5. ([2]) Cho D ⊂ L1 (0, T ; E) thỏa mãn
(1) ξ(t)

E

≤ ν(t), với mọi ξ ∈ D và với mọi t ∈ [0, T ] h.k.n,

(2) χ(D(t)) ≤ q(t), với mọi t ∈ [0, T ] h.k.n,
với ν, q ∈ L1 (0, T ). Khi đó
t

t

D(s)ds) ≤ 4

χ(
0

q(s)ds,
0

ở đây
t

t

D(s)ds = {
0

ξ(s)ds : ξ ∈ D}.
0

8


Chúng ta phải sử dụng một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị. Cho
Y là một không gian metric.
Định nghĩa 1.4. Một ánh xạ nhận giá trị đa trị (ánh xạ đa trị) F : Y → P(E)
được gọi là:
i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là một tập con đóng
của Y với mỗi tập con đóng V ⊂ E ;
ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là một tập con đóng của Y với mỗi tập
con đóng yếu V ⊂ E;
iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F(y)} là một tập con đóng của Y × E;
iv) compact nếu F(Y ) là compact tương đối trong E ;
v) tựa compact nếu hạn chế trên mọi tập con compact A ⊂ Y là compact.
Bổ đề sau là một nguyên lý để kiểm tra khi nào ánh xạ đa trị là nửa liên tục
trên (nửa liên tục trên yếu).
Bổ đề 1.6. ([21], Định lí 1.1.12) Cho G : Y → P(E) là một ánh xạ đa trị đóng
tựa compact với giá trị compact. Khi đó G là nửa liên tục trên.
Bổ đề 1.7. ([6], Mệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và Ω là một tập
con khác rỗng của một không gian Banach khác. Giả sử rằng G : Ω → P(X) là
một ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi, compact yếu. Khi đó G là nửa liên tục trên yếu
nếu và chỉ nếu {xn } ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) suy ra yn y0 ∈ G(x0 ),

theo một dãy con.
Chúng ta nhắc lại một số khái niệm của ánh xạ đa trị nén ([21]).
Định nghĩa 1.5. Một ánh xạ đa trị F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là nén theo
một MNC β (β -nén) nếu với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ Z , từ
β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω.
Cho β là một MNC không suy biến, đơn điệu trong E . Áp dụng lí thuyết
bậc tô pô cho các ánh xạ nén (xem, chẳng hạn [1, 21]) thu được nguyên lí điểm
bất động sau đây, chúng sẽ được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài
toán (0.1)-(0.3).
Định lí 1.8. ([21, Hệ quả 3.3.1]) Cho M là một tập con đóng, lồi, bị chặn của
E và cho F : M → Kv (M) là một ánh xạ đa trị β -nén và nửa liên tục trên. Khi
đó tập các điểm bất động Fix(F) := {x ∈ F(x)} là một tập khác rỗng và compact.
9


Chương 2
Tính giải được trên các đoạn
compact
Cho trước T > 0, ta định nghĩa PC([0, T ]; X) không gian các hàm u : [0, T ] → X
thỏa mãn u là liên lục trên [0, T ]\{tk : k ∈ Λ} và với mỗi tk ∈ [0, T ], k ∈ Λ, tồn tại
u(t−
k ) = lim u(t);
t→t−
k

u(t+
k ) = lim u(t)
t→t+

k

và u(tk ) = u(t−
k ). Khi đó PC([0, T ]; X) là một không gian Banach được trang bị
bởi chuẩn
u

PC

:= sup

u(t) .

t∈[0,T ]

Cho χ là một độ đo không compact Hausdorff MNC trong X , χPC là một độ đo
không compact Hausdorff MNC trong PC([0, T ]; X).
Chúng ta nhắc lại một số kết quả (xem [20]): với mỗi tập bị chặn D ⊂
PC([0, T ]; X), ta có
• χ(D(t)) ≤ χPC (D), với mọi t ∈ [0, T ], ở đây D(t) := {x(t) : x ∈ D}.
• Nếu D là một tập liên tục đồng bậc trên mỗi nửa khoảng (tk , tk+1 ] ⊂ [0, T ],

thì
χPC (D) = sup χ(D(t)).
t∈[0,T ]

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.1)-(0.3), ta sẽ đưa ra các giả
thiết sau:
(A) AB −1 là toán tử sinh vi phân của một C0 nửa nhóm {T (t)}t≥0 nó liên tục
theo chuẩn.

(F) F : [0, T ] × X → Kv (X) là một ánh xạ đa trị thỏa mãn:
10


1. Ánh xạ đa trị F (·, v) thừa nhận một hàm chọn với mỗi v ∈ X và ánh
xạ đa trị F (t, ·) là nửa liên tục trên với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n;
2. Tồn tại các hàm m ∈ Lp (0, T ), p >
tục, nhận giá trị thực, thỏa mãn

1
α

và ΨF là hàm không giảm và liên

F (t, v) ≤ m(t)ΨF ( v ),

với mọi v ∈ X và với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n, ở đây F (t, v) = sup{ ξ :
ξ ∈ F (t, v)};
3. Nếu B −1 và T (·) không compact, thì với bất kì tập con B ⊂ X , ta có
χ(F (t, B)) ≤ k(t)χ(B),

với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n, ở đó k ∈ Lp (0, T ) là một hàm không âm.
(G) Hàm không cục bộ g : PC([0, T ]; X) → D(B) phải thỏa mãn các điều kiện:
1. Bg : PC([0, T ]; X) → X liên tục và
Bg(u) ≤ Ψg ( u

PC ),

với mọi u ∈ PC([0, T ]; X), với Ψg là một hàm liên tục và không giảm
trên R+ ;

2. Tồn tại η ≥ 0 thỏa mãn
χ(Bg(D)) ≤ ηχPC (D),

với mọi tập bị chặn D ⊂ PC([0, T ]; X).
(I) Toán tử Ik : X → D(B) thỏa mãn:
1. BIk : X → X liên tục và tồn tại một hàm không giảm, liên tục, nhận
giá trị thực ΨI và một dãy không âm {lk }k∈Λ thỏa mãn
BIk (x)

X

≤ lk ΨI ( x ), với mọi x ∈ X, k ∈ Λ;

2. Tồn tại một dãy không âm {µk }k∈Λ thỏa mãn
χ(BIk (D)) ≤ µk χ(D),

với mọi tập con bị chặn D ⊂ X ;
3. Dãy {tk }k∈Λ thỏa mãn inf k∈Λ {tk+1 − tk } > 0.
11


Với u ∈ PC([0, T ]; X), ta định nghĩa
PFp (u) = {f ∈ Lp (0, T ; X) : f (t) ∈ F (t, u(t))}.

Xuất phát từ công thức (1.6), chúng ta đưa ra định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1. Một hàm u ∈ PC([0, T ]; X) được gọi là một nghiệm tích phân
của bài toán (0.1)-(0.3) trên đoạn [0, T ] nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm f ∈ PFp (u)
thỏa mãn
Sα (t − tk )BIk (u(tk ))

u(t) = Sα (t)Bg(u) +
0t

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds,

+

(2.1)

0

với mỗi t ∈ [0, T ].
Ta định nghĩa toán tử nghiệm
F : PC([0, T ]; X) → P(PC([0, T ]; X))

như sau
F(u)(t) =Sα (t)Bg(u) +

Sα (t − tk )BIk (u(tk ))
0
t

+
0

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds : f ∈ PFp (u) .

(2.2)

Vì F nhận giá trị lồi, nên PFp cũng nhận giá trị lồi. Điều này dẫn tới F cũng
nhận giá trị lồi. Mặt khác, u là một nghiệm tích phân của bài toán (0.1)-(0.3)
nếu nó là một điểm bất động của toán tử nghiệm F .
Để ước lượng kết quả của sự tồn tại nghiệm, ta cần một số tính chất của PFp .
Bổ đề 2.1. Dưới các giả thiết của (F), ánh xạ đa trị PFp hoàn toàn được xác
định và nửa liên tục trên yếu.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh tính nửa liên tục trên yếu nhờ sử dụng
Bổ đề 1.7. Lấy {un } ⊂ PC([0, T ]; X) thỏa mãn un → u∗ , fn ∈ PFp (un ). Ta thấy
rằng {fn (t)} ⊂ C(t) := F (t, {un (t)}), và C(t) là một tập compact với mọi t ∈ (0, T )
h.k.n. Thêm vào đó, bởi (F)(2), {fn } là khả tích bị chặn (bị chặn bởi một hàm
khả tích Lp ). Ta được {fn } là compact yếu trên Lp (0, T ; X) (xem [13]). Lấy
fn
f ∗ . Khi đó từ mệnh đề Mazur (xem [14]), có fn ∈ co{fi : i ≥ n} thỏa mãn
fn → f ∗ trong Lp (0, T ; X) và từ đó fn (t) → f ∗ (t) với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n, theo
12


một dãy con. Vì F nhận giá trị compact, tính nửa liên tục trên của F (t, ·) có
nghĩa là
F (t, un (t)) ⊂ F (t, u∗ (t)) + B ,

với mọi n đủ lớn, ở đây
bán kính . Nên

> 0 cho trước và B là hình cầu trong X tâm tại gốc
fn (t) ∈ F (t, u∗ (t)) + B ,

với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n, và bao hàm thức tương tự cũng đúng cho fn (t) nhờ tính
lồi của F (t, u∗ (t)) + B . Từ đó,

f ∗ (t) ∈ F (t, u∗ (t)) + B ,

với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n. Vì là tùy ý, chúng ta thu được f ∗ ∈ PFp (u∗ ).
Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng với mỗi v ∈ PC([0, T ]; X), PFp (v) = ∅. Từ điều
kiện (I)(3), ta thấy có nhiều nhất hữu hạn số tk ∈ [0, T ]. Nên ta có thể tìm một
dãy hàm bậc thang {vn } mà nó hội tụ đều tới v trên [0, T ]. Từ đó với mỗi n tồn
tại một hàm đo được mạnh fn thỏa mãn fn (t) ∈ F (t, vn (t)), do điều kiện (F)(1).
Nghĩa là, {fn (t)} ⊂ C(t), với C(t) = F (t, {vn (t)}) là một tập compact, nhờ tính
liên tục trên của F (t, ·). Sử dụng lí luận tương tự như phần trên, ta có {fn }
compact yếu trong Lp (0, T ; X) và fn f ∈ Lp (0, T ; X) và f (t) ∈ F (t, v(t)) với mọi
t ∈ (0, T ) h.k.n. Hay f ∈ PFp (v). Bổ đề được chứng minh xong.
Bổ đề 2.2. Với các giả thiết (A) và (F), hợp thành
Qα ◦ PFp : PC([0, T ]; X) → P(PC([0, T ]; X))

là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị compact, ở đây Qα được định
nghĩa bởi (1.7).
Chứng minh. Bước 1: Qα ◦ PFp là ánh xạ đa trị đóng. Cho
{un } ⊂ PC([0, T ]; X), un → u∗ ; zn ∈ Qα ◦ PFp (un ) và zn → z ∗ .

Ta cần chỉ ra rằng z ∗ ∈ Qα ◦ PFp (u∗ ). Lấy fn ∈ PFp (un ) thỏa mãn
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)fn (s)ds.

zn (t) = Qα (fn )(t) =
0

Bởi Bổ đề 2.1 ta được fn f ∗ ∈ Lp (0, T ; X) và f ∗ ∈ PFp (u∗ ).
Thêm vào đó, C(t) = {fn (t) : n ≥ 1} compact tương đối, và
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)fn (s)ds

χ({Qα (fn )(t)}) ≤ χ
0
t

(t − s)α−1 Pα (t − s) χ({fn (s)})ds = 0,

≤2
0

13

(2.3)


theo Mệnh đề 1.4. Áp dụng Mệnh đề 1.3, {Qα (fn )} là liên tục đồng bậc. Nên
theo định lí Arzela - Ascoli, ta thu được tính compact tương đối của {Qα (fn )}.
Vì fn (t) → f ∗ (t) với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n, ta có Qα (fn ) → Qα (f ∗ ). Nên từ (2.3) ta
suy ra
t

z ∗ (t) =

(t − s)α−1 Pα (t − s)f ∗ (s)ds = Qα (f ∗ )(t),
0

với mọi t ∈ [0, T ], với f ∗ ∈ PFp (u∗ ), vậy z ∗ ∈ Qα ◦ PFp (u∗ ).
Bước 2: Qα ◦ PFp là một ánh xạ đa trị tựa compact. Cho K ⊂ PC([0, T ]; X)

là một tập compact và {zn } ⊂ Qα ◦ PFp (K). Ta cần chứng minh {zn } compact
tương đối trong C([0, T ]; X), và từ đó trong PC([0, T ]; X). Lấy {uk } ⊂ K thỏa mãn
zn ∈ Qα ◦ PFp (un ). Khi đó ta có thể giả thiết un → u∗ trong PC([0, T ]; X) theo
một dãy con. Đặt fn ∈ PFp (un ) thỏa mãn zn (t) = Qα (fn )(t), với mọi t ∈ [0, T ].
Vì {fn (s)} ⊂ F (s, {un (s)}), nên {fn (s)} là compact tương đối với mọi s ∈ (0, T )
h.k.n. Do đó {Qα (fn )(t)} là một tập compact với mọi t ∈ [0, T ]. Thêm vào đó,
{Qα (fn )} là liên tục đồng bậc do Mệnh đề 1.3, bởi vậy {zn } compact tương đối
trong C([0, T ]; X).
Kết hợp Bước 1, Bước 2 và Bổ đề 1.6 ta được điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.3. Cho các giả thiết (A), (F), (G) và (I) được đặt đúng. Khi đó toán
tử nghiệm F thỏa mãn
t

χPC (F(D)) ≤

µk SαT

η+
tk ∈(0,T )

(t−s)α−1 Pα (t−s)

+4 sup
t∈(0,T ]

χ k(s)ds

0

với mọi tập bị chặn D ⊂ PC([0, T ]; X), với SαT = supt∈[0,T ] Sα (t) .

Chứng minh. Cho D ⊂ PC([0, T ]; X) là một tập bị chặn. Ta có
F(D) = F1 (D) + F2 (D) + F3 (D),

ở đây
F1 (u)(t) = Sα (t)Bg(u),
F2 (u)(t) =

Sα (t − tk )BIk (u(tk )),
0t

F3 (u)(t) =
0

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds : f ∈ PFp (u), t ∈ [0, T ] .

Từ tính chất nửa cộng tính dưới của χPC , ta có
χPC (F(D)) ≤ χPC (F1 (D)) + χPC (F2 (D)) + χPC (F3 (D)).
14

χPC (D),


Với z1 , z2 ∈ F1 (D), tồn tại u1 , u2 ∈ D thỏa mãn
z1 (t) = Sα (t)Bg(u1 ),
z2 (t) = Sα (t)Bg(u2 ), t ∈ [0, T ],

khi đó
z1 (t) − z2 (t) ≤ Sα (t)

Bg(u1 ) − Bg(u2 )

≤ SαT Bg(u1 ) − Bg(u2 ) , t ∈ [0, T ].

Từ đó suy ra
z1 − z2

PC

≤ SαT Bg(u1 ) − Bg(u2 ) .

Nên
χPC (F1 (D)) ≤ SαT χ(Bg(D)).

Áp dụng (G)(2), ta thu được
χPC (F1 (D)) ≤ ηSαT χPC (D).

(2.4)

Bây giờ lấy z1 , z2 ∈ F2 (D), ta có thể tìm được u1 , u2 ∈ D sao cho
z1 (t) − z2 (t) =

Sα (t − tk )B[Ik (u1 (tk )) − Ik (u2 (tk ))], t ∈ [0, T ].
tk ∈(0,T )

Suy ra
z1 − z2

PC

≤ SαT

BIk (u1 (tk )) − BIk (u2 (tk )) .
tk ∈(0,T )

Bất đẳng thức dẫn tới
χPC (F2 (D)) ≤ SαT

χ(BIk (D(tk )))
tk ∈(0,T )

≤ SαT

µk χ(D(tk ))
tk ∈(0,T )

≤ SαT

µk χPC (D),

(2.5)

tk ∈(0,T )

do điều kiện (I)(2).
Xét F3 (D), với t ∈ [0, T ], Áp dụng Mệnh đề 1.5, ta có
t

χ(F3 (D)(t)) = χ
0

t

≤4
0

(t − s)α−1 Pα (t − s)PFp (D)(s)ds

(t − s)α−1 χ Pα (t − s)PFp (D)(s) ds.
15

(2.6)


Nếu B −1 hoặc T (·) compact, do Bổ đề 1.1, thì Pα (·) compact. Nên χ(F3 (D)(t)) =
0, vì χ Pα (t − s)PFp (D)(s) = 0 với s ∈ (0, t). Trường hợp còn lại, ta có
χ Pα (t − s)PFp (D)(s) ≤ Pα (t − s)

p
χ χ(PF (D)(s))

≤ Pα (t − s)

χ k(s)χ(D(s)).

Thay vào (2.6), ta được
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)

χ(F3 (D)(t)) ≤ 4

χ k(s)χ(D(s))ds

0
t

≤

(t − s)α−1 Pα (t − s)

4 sup
t∈(0,T ]

χ k(s)ds

χPC (D).

(2.7)

0

Nhận thấy rằng PFp (D) bị chặn trong Lp (0, T ; X) vì D bị chặn trong PC([0, T ]; X).
Bởi Mệnh đề 1.3, tập hợp
F3 (D) = Qα ◦ PFp (D)

là liên tục đồng bậc trong C([0, T ]; X). Nên
χPC (F3 (D)) = sup χ(F3 (D)(t)).
t∈[0,T ]

Từ (2.7), ta có

t

(t − s)α−1 Pα (t − s)

χPC (F3 (D)) ≤ 4 sup
t∈(0,T ]

χ k(s)ds

χPC (D).

(2.8)

0

Kết hợp (2.4), (2.5) và (2.8), ta thu được
t

χPC (F(D)) ≤

µk SαT +4 sup

η+

t∈(0,T ]

tk ∈(0,T )

(t−s)α−1 Pα (t−s)

χ k(s)ds

χPC (D).

0

Bổ đề được chứng minh xong.
Định lí 2.4. Giả sử rằng giả thiết của Bổ đề 2.3 được thỏa mãn. Khi đó bài
toán (0.1)-(0.3) có ít nhất một nghiệm tích phân trong PC([0, T ]; X), với các điều
kiện là
t

µk SαT

η+

(t − s)α−1 Pα (t − s)

+ 4 sup
t∈(0,T ]

tk ∈(0,T )

χ k(s)ds

< 1,

(2.9)

0

và
lim inf
r→∞

1
r

lk SαT

Ψg (r) + ΨI (r)
tk ∈(0,T )

(2.10)

t

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < 1,

+ ΨF (r) sup
t∈(0,T ]

0

ở đây SαT = supt∈[0,T ] Sα (t) .
16


Chứng minh. Bởi Bổ đề 2.2 và tính liên tục của Bg và BIk , ta thấy rằng F là
nửa liên tục trên với giá trị lồi và compact. Từ (2.9), ta thu được tính chất

χPC -nén của F nhờ Bổ đề 2.3. Để áp dụng được Định lí 1.8, ta cần chỉ ra rằng
có R > 0 sao cho F(BR ) ⊂ BR , ở đây BR là hình cầu đóng trong PC([0, T ]; X)
tâm tại 0 bán kính R.
Giả sử phản chứng rằng tồn tại một dãy {vn } ⊂ PC([0, T ]; X) thỏa mãn
vn PC ≤ n nhưng lại có zn ∈ F(vn ) với zn PC > n. Từ công thức của F , ta có
thể tìm được fn ∈ PFp (vn ) sao cho
Sα (t − tk )BIk (vn (tk ))

zn (t) =Sα (t)Bg(vn ) +
0t

(t − s)α−1 Pα (t − s)fn (s)ds.

+
0

Thế thì
Sα (t − tk )

zn (t) ≤ Sα (t) Bg(vn ) +

BIk (vn (tk ))

tk ∈(0,T )
t

(t − s)α−1 Pα (t − s) fn (s) ds

+

0

≤ sup

Sα (t)

Ψg ( vn

PC ) +

t∈[0,T ]

lk ΨI ( vn (tk ) )
tk ∈(0,T )

t

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ΨF ( vn (s) )ds

+
0

≤SαT

Ψg (n) +

lk ΨI ( vn

PC )

tk ∈(0,T )
t

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ΨF ( vn

+

PC )ds

0

≤SαT Ψg (n) + ΨI (n)

lk
tk ∈(0,T )

t

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds.

+ ΨF (n)
0

Suy ra,
n < zn

PC

≤SαT Ψg (n) + ΨI (n)

lk
tk ∈(0,T )

t

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds.

+ ΨF (n) sup
t∈(0,T ]

0

17


Bởi vậy
1<

1
zn
n

PC

≤

1 T
S Ψg (n) + ΨI (n)
n α

lk
tk ∈(0,T )

t

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds .

+ ΨF (n) sup
t∈(0,T ]

0

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối, ta suy ra mâu thuẫn. Định lí hoàn
toàn được chứng minh.

18


Chương 3
Sự tồn tại nghiệm phân rã
3.1

Nghiệm phân rã

Trong mục này, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân phân rã với bài toán
(0.1)-(0.3). Ta xét không gian hàm
PC 0 = {u ∈ PC([0, +∞); X) : lim u(t) = 0}
t→∞

với chuẩn

u

∞

= sup u(t) ,
t≥0

ở đây PC([0, +∞); X) được định nghĩa tương tự như PC([0, T ]; X) khi T = +∞.
Khi đó PC 0 là một không gian Banach. Ở mục này, ánh xạ đa trị PFp được định
nghĩa như sau: với u ∈ PC([0, +∞); X),
PFp (u) = f ∈ Lploc (R+ ; X) : f (t) ∈ F (t, u(t)) với mọi t ∈ R+ h.k.n

.

Định nghĩa bởi πT là hạn chế của toán tử PC 0 , nghĩa là, πT (x) là hạn chế của x
trên [0, T ]. Khi đó hàm
χ∞ (D) = sup χPC (πT (D))

(3.1)

T >0

là một MNC trên PC 0 . Lí luận như trong [2], χ∞ là một MNC không chính quy
trên PC 0 . Chúng ta sẽ định nghĩa một MNC chính quy trên không gian này. Đặt
dT (D) = sup sup x(t) ,

(3.2)

x∈D t≥T

d∞ (D) = lim dT (D),

(3.3)

χ∗ (D) = χ∞ (D) + d∞ (D).

(3.4)

T →∞

Ta có kết quả sau.
19


Bổ đề 3.1. Độ đo không compact MNC χ∗ định nghĩa ở (3.4) là chính quy trên
PC 0 .
Chứng minh. Cho D ⊂ PC 0 là một tập bị chặn thỏa mãn χ∗ (D) = 0. Rõ ràng
πT (D) compact tương đối trong PC([0, T ]; X). Ta sẽ chỉ ra D compact tương đối
trong PC 0 .
Với mỗi > 0, vì d∞ (D) = 0 nên ta có thể lấy T > 0 sao cho supt≥T u(t) < 2 ,
với mọi u ∈ D. Điều này có nghĩa là
u − πT (u)

∞

< , với mọi u ∈ D,
2

ở đây πT (u) được xem như một hàm trên PC 0 theo nghĩa sau
πT (u) =

u(t),

t ∈ [0, T ],

0,

t > T.

Bây giờ, do πT (D) là một tập compact trong PC([0, T ]; X), ta có thể viết
N

πT (D) ⊂
i=1

(3.5)

BT (ui ; ),
2

với ui ∈ PC([0, T ]; X), i = 1, ..., N , kí hiệu BT (u; r) là hình cầu trong PC([0, T ]; X)
tâm tại u bán kính r. Định nghĩa
uˆi (t) =

ui (t),

t ∈ [0, T ],

0,

t > T,

thì {ˆ
ui }N
i=1 thuộc PC 0 . Ta khẳng định rằng
N

D⊂

B∞ (ˆ
ui ; ),
i=1

với B∞ (u; r) là hình cầu trong PC 0 tâm tại u bán kính r. Thật vậy, cho u ∈ D
thì do (3.5), tồn tại k ∈ {1, ..., N } sao cho
πT (u) − uk

PC([0,T ];X)

< .
2

Suy ra
πT (u) − uˆk

∞

< .
2

Nên
u − uˆk

∞

≤ u − πT (u)

Từ đó u ∈ B∞ (ˆ
uk ; ) và ta có D ⊂
PC 0 . Điều phải chứng minh.

∞

+ πT (u) − uˆk

N
ui ;
i=1 B∞ (ˆ

20

∞

≤

2

+

2

= .

). Vậy D compact tương đối trong