Phương pháp xác định, tính nhanh góc

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

PH

Chuyên đ : Hình h c không gian

NG PHÁP XÁC Đ NH TÍNH NHANH GÓC
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

A. Bài gi ng
1. Cách xác đ nh góc
ng và

ng

a

a và b là

a'//a 
0
(0 ≤ ≤ 90 ) b'//b

a'

= (a,b) = (a',b') = (a',b) = (a,b')

b'
b

Góc
ng và

gi a

ng

d  (P)

d và mp(P) là
(0 ≤ ≤ 900 )

d  (P)

d

= 900

d'
P

= (d,d')

(v i d' là hình chi u vuông góc c a d lên (P))

M t và M t

C1: Xác đ nh a  (P)
b  (Q)

mp(P) và mp(Q) là
(0 ≤ ≤ 900 )

C2: Xác đ nh (P)

d

R

= (a,b)

(R)  d
(Q) = d và d ng (R): a = (R)
b = (R)

a

b

P

Q

(P)
(Q)

= (a,b)

Chú ý: Vi c n m đ c cách xác đ nh góc gi a đ ng – đ ng, đ ng – m t và m t – m t s giúp các b n

“c t ngh a” đ c chính xác các thông s c a đ bài, t đó s giúp ta ti p c n t t bài toán.

2. Cách tính góc
+) G n vào tam giác vuông và s d ng các h th c l
+) G n vào tam giác th

ng (th

ng trong tam giác vuông.

ng hay s d ng h qu đ nh lý cosin cos A 

b2  c 2  a 2
)
2bc

B. Bài t p áp d ng
Ví d 1. Cho t di n ABCD có AB  CD  2a . G i M , N l n l
MN  a 3 . Tính góc t o b i hai đ

t là trung đi m c a BC, AD và

ng th ng AB và CD .
Gi i:

A

 MI / / AB; NI / / CD
G i I là trung đi m c a AC , suy ra: 
 MI  NI  a

N

Khi đó ( AB, CD)  ( MI , NI ) . Xét tam giác MIN ta có:

cos MIN 

1
MI 2  NI 2  MN 2 2a 2  3a 2

   MIN  1200
2
2MI .NI
2a
2

I
B

D

Suy ra (MI , NI )  600 hay ( AB, CD)  600 .
Chú ý: Trong ví d trên do ch a th k t lu n đ

c luôn MIN là góc nh n

M
C

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

c phép vi t luôn ( AB, CD)  (MI , NI )  MIN
(các b n đã th y rõ đi u này qua ví d v a r i).

nên ta không đ

Ví d 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông đ nh A , có c nh huy n BC  a . G i I
a 3
. Góc t o b i SI và m t ph ng ( SAC ) b ng 300 . Tính
2
cosin c a góc t o b i SA và m t ph ng ( SBC ) .

là trung đi m c a BC và SA  SB  SC 

Gi i
G i J,K l n l

t là hình chi u vuông góc c a I trên AC và SJ khi đó:

AC  (SIJ ) ( do AC  IJ và AC  SJ – vì tam giác SAC cân t i S ).

S

Suy ra AC  IK mà IK  SJ nên IK  (SAC )
V y SK ( hay SJ ) chính là hình chi u vuông góc c a SI xu ng ( SAC )
Do đó góc t o b i SI và mp ( SAC ) là ISJ  300
Ta có: AC  SI (do AC  (SIJ ) ) và SI  BC  SI  ( ABC ) (*)
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên BC
Khi đó AH  BC và AH  SI (theo (*))
Suy ra AH  (SAC ) nên SH là hình chi u

K
B

vuông góc c a SA trên ( SBC )

H

Do đó góc t o b i SA và mp ( SBC ) là ASH
2

J

a 3 a
a 2
+) Ta có SI  SC 2  CI 2  
    
2

 2  2

Xét SIJ ta có: IJ  SI tan 300 
+) Ta có IJ là đ

2

A

a 2 3 a 6
.

2
3
6

ng trung bình trong ABC nên suy ra AB  2 IJ 

a 6
3

2

a 6
AB. AC
a 3

, khi đó : AH 
 AC  BC 2  AB2  a 2  
 

BC
3
 3 

Suy ra SH  SA2  AH 2 

C

I

a 6 a 3
.
3
3 a 2
a
3

3a 2 2a 2 a 19


4
9
6

a 19
57
SH
 6 
+) Xét tam giác vuông SHA (vuông t i H ) ta có: cos ASH 
9

SA a 3
2

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Ví d 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, c nh SA vuông góc v i m t ph ng
( ABCD) , SA  AB  a , AD  3a . G i M là trung đi m c a BC . Tính theo a cosin c a góc t o b i
hai m t ph ng ( SDM ) và ( ABCD) .
Gi i:
S

A

B

D

C

M

I

K AI  MD ( I  MD ), khi đó:
 MD  SA
 MD  ( SAI )  MD  SI

 MD  AI

( SDM ) ( ABCD)  DM

V y ( SDM )  SI  DM
( ABCD)  AI  DM

Suy ra góc t o b i ( SDM ) và ( ABCD) là góc SIA.
2

Ta có SAMD 
Suy ra AI 

SABCD AB. AD 3a 2
a 13
 3a 


và MD  CD 2  CM 2  a 2    
2
2

2
2
 2 

2SAMD 3a 2 .2 6a 13


13
MD
a 13

AI 6
7a 13
. Xét tam giác SAI , ta có: cos SIA 

13
SI 7
6
V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( SDM ) và ( ABCD) b ng .
7

 SI  SA2  AI 2 

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 3 -