Tuyển tập bộ đề thi HSG 9 2009 2011

Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH AN GIANG
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
Chứng minh rằng các số sau đây là những số nguyên:
æ 2
52
12 ö
÷
+
÷
1) A = ç
ç
÷5 + 27 .
ç
è 3 - 1 3 3 - 1 3- 3 ø

(

)

2) B = 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 .
Câu 2 (6,0 điểm)

1) Cho phương trình ẩn x , tham số m :
x 2 - 2 ( m + 1) x + m 2 + 2m - 3 = 0 .
Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho 2008 < x2 < x1 < 2013 .
2) Giải hệ phương trình
ìï
2
ïï 2 ( x + y ) = 3 3 x y +
í
ïï 3
3
ïî x + y = 6

(

3

xy 2

).

Câu 3 (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

(

y = x3 + 2 1 +

)

x3 + 1 +

(

x 3 + 2 1-

)

x3 + 1 .

Câu 4 (4,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) , các tiếp tuyến tại A và C đồng quy với đường
thẳng BD ở M .
Chứng minh rằng AB.CD = BC. AD .
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh BC kéo dài về phía C , lấy một điểm M . Một đường
thẳng V đi qua M cắt các cạnh CA, AB tại N và P .
BM CM
không đổi khi M và V thay đổi.
BP CN
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Chứng minh rằng

Trang 1/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BẮC GIANG

-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
æ2 x + x - 1 2 x x - x +
ç
Cho biểu thức A = 1 + ç
ç
ç 1- x
1- x x
è
61) Tìm các giá trị của x để A =
2) Chứng minh rằng A >

6
5

xö
x- x
÷
÷
.
.
÷
÷

ø2 x- 1

.

2
1
với mọi x thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 1; x ¹ .
3
4

Câu 2 (4,0 điểm)
1) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a 2 + c 2 = b 2 + d 2 .
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.
2
( xy + 3) .
2) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn ( x - 3) M

Câu 3 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình

2x + 1 -

3x = x - 1 .

2) Cho phương trình x 4 + 2 6mx 2 + 24 = 0 ( m là tham số).
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 phân biệt thỏa mãn:
x14 + x24 + x34 + x44 = 144 .
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho nửa đường tròn ( O; R ) đường kính AB . Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO . Một
đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn ( O ) tại I . Trên đoạn CI lấy điểm

K bất kì ( K không trùng với C và I ). Tia AK cắt nửa đường tròn ( O ) tại M , tiếp tuyến của
nửa đường tròn ( O ) tại M cắt đường thẳng a tại N , tia BM cắt đường thẳng a tại D .
1) Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân.
2) Tính diện tích tam giác ABD theo R , khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI .
3) Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
ab
bc
ca
1
+
+
£ .
c+ 1 a+ 1 b+ 1 4
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 2/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BẮC NINH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.

Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (3,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức A =

2+ 3
2+

4+ 2 3

2) Cho hàm số f ( x ) = ( x 3 + 6 x - 5)

2010

+

22-

3

4- 2 3

.

. Tính f ( a ) , với a = 3 3 + 17 + 3 3 -

17 .

Câu 2 (4,5 điểm)

ìï x 2 - 2 x y + 2 y = x
ïï
ï 2
1) Giải hệ phương trình ïí y - 2 y z + 2 z = y .
ïï
ïï z 2 - 2 z x + 2 x = z
ïî
1
3
2
2) Giải phương trình x - x - x = .
3
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ) nội tiếp hình thang ABCD ( AB / / CD ) , với E ; F ; G; H theo thứ tự là tiếp
điểm của ( O; R ) với các cạnh AB; BC ; CD; DA .
EB GD
EB
4R
=
. Từ đó, hãy tính tỷ số
, biết AB =
và BC = 3R .
EA GC
EA
3
2) Trên cạnh CD lấy điểm M nằm giữa hai điểm D và G sao cho chân đường vuông góc kẻ từ
1) Chứng minh rằng

M đến DO là điểm K nằm ngoài ( O; R ) . Đường thẳng HK cắt ( O; R ) tại điểm T (khác H ).
Chứng minh rằng MT = MG .

Câu 4 (4,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thỏa
mãn hệ thức R ( b + c ) = a bc . Hãy xác định dạng tam giác ABC .
2) Giả sử tam giác ABC không có góc tù, có hai đường cao AH và BK . Cho biết AH ³ BC và
BK ³ AC . Hãy tính các góc của tam giác ABC .
Câu 5 (4,0 điểm)
4
2k + 1
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( n; k ) để ( n + 4 ) là số nguyên tố.

2) Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn a 3 + b3 = 2 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của

( a + b) .
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 3/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BẾN TRE
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó chia cho 131 thì còn dư 112 và khi chia cho 132
thì còn dư 98.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = 45 .
Câu 2 (5,0 điểm)
ìï x 2 + y 2 - 2 x - 2 y = 6
1) Giải hệ phương trình ïí
.
ïïî x + y - xy = 5
2) Cho các số thực dương x, y , z thỏa x + 2 y + 3 z = 18 . Chứng minh rằng
2 y + 3z + 5 3 z + x + 5 x + 2 y + 5 51
+
+
³
.
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
7
Khi nào thì xảy ra đẳng thức?
Câu 3 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho các điểm A( 1; 2) , B ( 2; 4) , C ( 8;3) và D ( 6;0) . Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm C chia đôi diện tích tứ giác ABCD .
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB cố định với AB = a . M là điểm di động trên AB , ta vẽ các đường tròn
tâm A bán kính AM và đường tròn tâm B bán kính BM ; gọi PQ là một tiếp tuyến chung của
hai đường tròn. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MPQ theo a .
Câu 5 (5,0 điểm)
·
·

Cho tam giác ABC với BAC
= 600 , ABC
= 750 và AB = a .
1) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC theo a .
2) Gọi M , P, Q là các điểm lần lượt trên các cạnh BC , CA, AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của chi vi
tam giác MPQ theo a .
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 4/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÌNH ĐỊNH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên ( m; n) sao cho 2m3 - mn 2 - 3n 2 + 14n - 7m - 5 = 0 .
Câu 2 (3,0 điểm)
Cho x, y , z là ba số thực khác 0 và
Chứng minh rằng

1 1 1

+ + =0.
x y z

yz zx xy
+
+
=3.
x2 y2 z 2

Câu 3 (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
ìï x + y = 7
ï
.
í
ïï x - 20 + y + 3 = 6
ïî
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho điểm O thuộc miền trong của tam giác ABC . Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam
giác ABC lần lượt tại G, E , F .
Chứng minh rằng

OA OB OC
+
+
=2.
AG BE CF

Câu 5 (4,0 điểm)
Cho đường tròn ( O ) , đường kính AB . Trên tia tiếp tuyến Ax với đường tròn ( O ) , lấy điểm C

sao cho AC = AB . Đường thẳng BC cắt đường tròn ( O ) tại D , M là một điểm thay đổi trên
đoạn AD . Gọi N và P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và AC , H là
chân đường vuông góc hạ từ N xuống đường thẳng PD .
a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 6 (3,0 điểm)
1
1
1
+
+ ... +
< 18 .
Chứng minh rằng 17 <
2
3
100
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 5/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH GIA LAI
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.

Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)

Câu 1 (2,5 điểm)
Chứng minh rằng 21975 + 52010 chia hết cho 3.
Câu 2 (2,5 điểm)
Chứng minh rằng nếu xy +

( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 thì

x 1+ y2 + y 1+ x2 = 0 .

Câu 3 (3,0 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức
2
+
a

2
+
b

2
£
c

a+ b
+
ab

b+ c
+
bc

c+ a
.
ca

Câu 4 (3,5 điểm)
2
Cho phương trình x - 2 ( m - 1) x + m - 3 = 0, ( m Î ¡ ) .

a) Chứng minh rằng với mọi m Î ¡ , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 .
b) Tìm số nguyên m để các nghiệm x1 và x2 cũng là số nguyên.
Câu 5 (4,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y =

1 2
x và đường thẳng ( d ) : y = mx + 1, m Î ¡ .
4

Chứng minh rằng với mọi m Î ¡ :
a) Đường thẳng ( d ) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A và B .
b) Diện tích tam giác OAB không nhỏ hơn m + 1 . 2 .
Câu 6 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với CA và
CB lần lượt tại M và N . Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI tại P . Chứng minh rằng góc
IPB vuông.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 6/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức A = ( x31 + x3 - x 2010 )

2009

với x =

(

3 2+ 5

)

3

17 5 - 38

.

5 + 14 - 6 5

Câu 2 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình
x 4 + 3x3 - 2 x 2 - 6 x + 4 = 0 .
2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
ìï xy + x + y = a + 1
ïí
.
ïïî x 2 y + xy 2 = a
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Giải bất phương trình
x 4 + x3 + x + 1
£ 0.
x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1
2) Tìm giá trị lớn nhất của:
B=

1
1
1
+ 3
+ 3
3
3
x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1

3

Với x, y , z là các số dương và xyz = 1 .
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) . D là một điểm bất kỳ thuộc
cung nhỏ AC ( D khác A và C ). Gọi M , N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D tới các
đường thẳng AB, AC . Gọi P là giao điểm của các đường thẳng MN , BC .
1) Chứng minh rằng DP và BC vuông góc với nhau.
2) Đường tròn ( I ; r ) nội tiếp tam giác ABC . Tính IO với R = 5 cm, r = 1, 6 cm .
Câu 5 (2,0 điểm)
Tìm các số x, y nguyên dương để C là số nguyên dương, với
x3 + x
C=
.
xy - 1
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 7/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HẢI DƯƠNG
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho x là số thực thỏa mãn x 2 - 4 x + 1 = 0 .
1
5
Tính giá trị biểu thức A = x + 5 .
x
ìï xyz = 2
b) Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn ïí
.
ïïî 2 + x + xy ¹ 0
Tính giá trị biểu thức B =

1
2
2
+
+
.
1 + y + yz 2 + 2 z + zx 2 + x + xy

Câu 2 (2,5 điểm)
ìï ( y 2 - 4 y ) ( 2 y - x ) = 2
ï
a) Giải hệ phương trình í 2
.
ïï y - 2 y - x = 3
ïî
b) Giải phương trình x 2 - 2 x = 2 2 x - 1 .

Câu 3 (1,5 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 29 + 213 + 2n là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định ( O không thuộc AB ). P là điểm di động trên đoạn
AB ( P khác A, B ). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với ( O ) tại A . Qua B, P vẽ
đường tròn tâm D tiếp xúc với ( O ) tại B . Hai đường tròn ( C ) và ( D ) cắt nhau tại N (khác P
).
·
a) Chứng minh rằng ·ANP = BNP
.
·
b) Chứng minh PNO
= 900 .
c) Chứng minh rằng khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

( x + y + 1)

2

xy + y + x

+

xy + y + x

( x + y + 1)

2

với x, y là các số thực dương.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 8/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN. BẢNG B
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
1) P =
2) Q =

3+ 5
2 + 3+ 5

+

32-

5
3+ 5

.

æ1
æ1
1ö
3
1ö
3 æ
÷
÷
ç
ç
ç1 +
+
+
+
+
÷
÷
ç
ç
3ç 3
4 ç 2
5ç
3÷

2÷
ça
b ø 2 ( a + b) èa
b ø ( a + b) è
2 ( a + b ) èa
1

1ö
÷
÷
÷.
bø

Câu 2 (2,0 điểm)
2
Cho phương trình x - 2ax - ( a + 3) = 0 ( 1) .

1) Giải phương trình khi a = 2 .
2) Tìm các giá trị nguyên của a sao cho phương trình ( 1) có nghiệm nguyên.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B , trên tia đối của tia BA , lấy điểm D sao cho AD = 3 AB .
Đường thẳng vuông góc với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại A ở E . Chứng
minh tam giác BDE cân.
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M , N là các điểm di động trên các đường thẳng AB, AC sao
cho trung điểm I của MN nằm trên cạnh BC . Chứng minh rằng đường tròn qua 3 điểm
A, M , N luôn đi qua một điểm cố định khác A .
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm các số thực x, y , z thỏa mãn
x- 1+

y- 2 +

1
z - 3 = ( x + y + z - 3) .
2

Câu 6 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu a > b > c thì
2a 2
b2
+
> 2a + 3b + c .
a- b b- c
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 9/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP HỒ CHÍ MINH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
a) A = 2 3 b) B =

3 + 13 +
6-

a+ b- 1
+
a + ab

48 .

2
a- bæ
b
b ö
÷
ç
÷
+
ç
, với a, b > 0; a ¹ b .
÷
ç
÷
ça - ab a + ab ø
2 ab è

2
Câu 2 (4,0 điểm) Cho phương trình ( m + 3) x + 3( m - 1) x + ( m - 1) ( m + 4) = 0 .

a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 3 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
2

a) 2 ( 8 x + 7) ( 4 x + 3) ( x + 1) = 7 .
b) x + 17 - x 2 + x 17 - x 2 = 9 .
Câu 4 (3,0 điểm)
a) Với n là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số
21n + 4 và 14n + 3 .
b) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
ab bc ca
+
+
³ a+ b+ c.
c
a
b
Câu 5 (3,0 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O ') cắt nhau tại 2 điểm A, B . Qua A kẻ đường
thẳng cắt ( O ) tại M và cắt ( O ') tại N . Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN
luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 6 (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax . Từ M thuộc Ax
kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn ( O ) với C là tiếp điểm. Đường thẳng vuông góc với
AB tại O cắt BC tại N .
a) Có nhận xét gì về tứ giác OMBN .
b) Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường thẳng cố định nào khi M di động trên tia
Ax .
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 10/58


Tuyn chn cỏc thi hc sinh gii lp 9
S GIO DC V O TO
TNH HềA BèNH
----- THI CHNH THC

K THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS
NM HC 2009 2010
Mụn thi: TON.
Thi gian lm bi: 150 phỳt.
( thi gm 05 cõu, 01 trang)

Cõu 1 (6,0 im)
ổ2+ 3
ỗ
1) Rỳt gn biu thc A = ỗ
ỗ
ỗ
ố 7- 4 3

(

2) Bit x +

)(

x2 + 5 y +

3 ử
ữ
ữ
: 3.
ữ
ữ
ữ
7+ 4 3 ứ
2-

)

y 2 + 5 = 5 , tớnh giỏ tr ca biu thc B = x + y .

3) Phõn tớch thnh nhõn t biu thc sau: ( n + 1) ( n + 3) ( n + 5) ( n + 7) + 15 (yờu cu phõn tớch
thnh 4 nhõn t bc nht).
Cõu 2 (6,0 im)
1) Gii phng trỡnh
x3 + 3x 2 + x - 2 = 0 .
2) Gii h phng trỡnh
ỡù x 3 + 3x = y 3 + 3 y
ùớ
.
ùù x 2 + xy - 20 = 0
ợ
3) Cho hm s y = mx + 1- x + m ( m l tham s).
Tỡm m th hm s l ng thng ct 2 trc ta to thnh tam giỏc cú din tớch l 2.
Cõu 3 (5,0 im)
1) Cho hỡnh thang cõn ABCD bit 2 ỏy AB = 10; CD = 22 v DB l phõn giỏc ca gúc ãADC .

Tớnh din tớch hỡnh thang.
2) Cho hai ng trũn ( O; R ) v ( I ; r ) ct nhau ti 2 im A, B . Bit R = 3; r = 4 v OI = 5 .
Mt cỏt tuyn qua B ct 2 ng trũn ln lt ti C v D .
Chng minh rng tam giỏc ACD l tam giỏc vuụng vi mi v trớ ca cỏt tuyn BCD .
Cõu 4 (1,0 im)
Cho hai s a, b tha món a 1; b 4 . Tỡm giỏ tr nh nht ca tng:
A= a+

1
1
+ b+ .
a
b

Cõu 5 (2,0 im)
Tỡm s chớnh phng cú 4 ch s tha món ch s hng nghỡn v hng trm bng nhau, ch s
hng chc v hng n v bng nhau.
-----Ht----Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh:..........................................................; S bỏo danh:..................

Trang 11/58


Tuyn chn cỏc thi hc sinh gii lp 9
S GIO DC V O TO
TNH HNG YấN
----- THI CHNH THC

K THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS
NM HC 2009 2010

Mụn thi: TON.
Thi gian lm bi: 150 phỳt.
( thi gm 05 cõu, 01 trang)

Cõu 1 (2,0 im)
a) Cho a l mt nghim dng ca phng trỡnh 4 x 2 + 2 x - 2 = 0 .
a+ 1
Tớnh giỏ tr ca biu thc A =
.
4
a + a + 1 - a2
b) Ngi ta vit thờm ch s 0 vo gia hai ch s ca mt s cú hai ch s to thnh s mi
cú ba ch s. Lp t s cú t s l s cú ba ch s va to thnh v mu s l s cú hai ch s ó
cho. Hi giỏ tr nguyờn ln nht v giỏ tr nguyờn nh nht ca t s ú l bao nhiờu?
c) Cho S k =

(

k

) (

2+1 +

)

k

2 - 1 , vi k ẻ Ơ * . Chng minh S 2009 .S2010 - S 4019 = 2 2 .

Cõu 2 (2,0 im)
a) Cho hai phng trỡnh x 2 + mx + n = 0 v x 2 - 2 x - n = 0 . Chng minh rng vi mi giỏ tr
ca m v n , ớt nht mt trong hai phng trỡnh trờn cú nghim.
ỡù x + y = m
ù
m
b) Tỡm
h phng trỡnh ớ
cú nghim.
ùù x + y - xy = m
ùợ
c) Hai ngi i xe p xut phỏt cựng mt lỳc i t A n B . Vn tc ca h hn kộm nhau
3 km / h nờn n B sm mun hn nhau 30 phỳt. Tớnh vn tc ca mi ngi, bit quóng ng
AB di 30 km .
3
2
Cõu 3 (2,0 im) Cho phng trỡnh x - 5 x + 3x + 1 = 0 ( 1) .
a) Gii phng trỡnh ( 1) .
n
n
n
b) Gi x1 ; x2 ; x3 l 3 nghim ca phng trỡnh ( 1) , t An = x1 + x2 + x3 , vi n ẻ Ơ * . Chng
minh rng An l s nguyờn dng vi mi n ẻ Ơ * .

c) Chng minh rng A2010 khụng chia ht cho 4.
Cõu 4 (3,0 im) Cho hai ng trũn ( O1 ; R1 ) v ( O2 ; R2 ) ( R1 < R2 ) tip xỳc ngoi vi nhau ti
A . K cỏc ng kớnh AO1 B v AO2C . Gi DE l tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn (
D ẻ ( O1 ) ; E ẻ ( O2 ) ). Gi M l giao im ca BD v CE .
a) Chng minh rng MA l tip tuyn chung ca hai ng trũn.
b) Gi giao im ca DE vi AB l J . Tớnh JA theo R1 ; R2 .

c) Gi ( O; R ) tip xỳc vi DE ng thi tip xỳc ngoi vi ( O1 ; R1 ) v ( O2 ; R2 ) .
1
1
1
=
+
Chng minh rng
.
R
R1
R2
Cõu 5 (1,0 im) Cho tam giỏc ABC , M l trung im ca BC , gi r ; r1 ; r2 th t l bỏn kớnh
ng trũn ni tip tam giỏc ABC ; ABM ; ACM v BC = a .
ổ
1 1
1 2ử
+ ữ
ữ
Chng minh rng + 2 ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ốr a ứ
r1 r2
-----Ht----Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh:..........................................................; S bỏo danh:..................
Trang 12/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
Cho phương trình x 2 - 2mx - 3m 2 + 4m - 2 = 0 .
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi tham số m .
2) Tìm m để x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình
ìï x - y = 5
ïí
ïï 2 x + 1 î

y+ 2 =2

.

Câu 3 (4,0 điểm)
2
Cho phương trình x - 3 x + m = 0 ( 1) .

1) Định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 và tìm tất cả nghiệm còn lại của phương trình.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( 1) có nghiệm.

Câu 4 (4,0 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình
ìïï x + y + z = 100
.
í
ïïî 15 x + 9 y + z = 300
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ) , điểm A cố định trên đường tròn, B và C là hai điểm di động trên
đường tròn sao cho tích AB. AC không đổi. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường
kính AD của ( O; R ) .
1) Chứng minh rằng AB. AC = AD. AH .
Suy ra đường thẳng BC luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2) Trong trường hợp AH > R . Tìm vị trí dây cung BC sao cho diện tích tam giác ABC lớn
nhất.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 13/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng B = n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n .
b) Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng nghịch đảo của chúng bằng 2.
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho hàm số y = x 2 +

x2 - 4x + 4 .

a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Rút gọn y (loại bỏ dấu
và dấu

).

c) Vẽ đồ thị của hàm số.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x .
Câu 3 (6,0 điểm)
a) Chứng minh rằng a 4 + b4 ³ a 3b + ab3 với mọi a, b .
b) Giải hệ phương trình
ïìï x + 1 + y - 1 = 5
.
í
ïï x + 1 = 4 y - 4
î
c) Tìm mọi x, y , z trong phương trình
x- 2 x- 2 + y = 4 y- 3 + 6 z- 5 - z- 4 .
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của BC . Lấy điểm D bất kỳ trên đoạn BC
( D khác B và C ). Gọi E và F lần lượt là các tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác

ABD và ADC .
Chứng minh rằng 5 điểm A, E , D, I , F cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn ( O; R ) đường kính AB , M là điểm di động trên nửa đường tròn, H là
hình chiếu của M trên AB , C và D lần lượt là hình chiếu của H trên MA và MB . Gọi E và
F lần lượt là trung điểm của AH và HB .
Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ECDF đạt giá trị lớn nhất.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 14/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm)
1
1
1
1
1

1
1
+ + ... + +
+
a) Cho A = +
. So sánh A với .
11 12 13
18 19 20
2

(

b) Tính B = 4 + 15

)(

10 -

6

)

4-

15 .

Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với x, y không âm, bất đẳng thức sau đúng:
x6 y 6
x + y £ 2+ 2.

y
x
4

4

b) Tìm các số x, y , z biết
x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx và x 2010 + y 2010 + z 2010 = 32011 .
Câu 3 (5,0 điểm)
2

a) Giải phương trình ( x - 1) +
ìï
ïï
ïï
ïï
ï
b) Giải hệ phương trình í
ïï
ïï
ïï
ïï
î
Câu 4 (4,0 điểm)

x2 + 4 x + 4 +

x 2 - 6 x + 9 = 14 .

xyz

=2
x+ y
xyz
6
= .
y+ z 5
xyz
3
=
z+ x 2

Cho đường tròn ( O ') tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy của góc xOy tại A và B . Từ A vẽ tia
song song với OB cắt đường tròn ( O ') tại C . Đoạn thẳng OC cắt đường tròn ( O ') tại E . Hai
đường thẳng AE và OB cắt nhau tại K . Chứng minh OA = 2OK .
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm P, Q sao
cho tam giác APQ có chu vi bằng 2.
a) Chứng minh PB + QD = PQ .
·
b) Tính số đo góc PCQ
.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 15/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NGHỆ AN

-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN. BẢNG A.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,5 điểm)
a) Cho hàm số f ( x ) = ( x 3 + 12 x - 31)

2010

.

Tính f ( a ) tại a = 3 16 - 8 5 + 3 16 + 8 5 .
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
5 ( x 2 + xy + y 2 ) = 7 ( x + 2 y ) .
Câu 2 (4,5 điểm)
a) Giải phương trình
x 2 = x3 - x 2 +

x2 - x .

b) Giải hệ phương trình
ìï 1 1 1
ïï + + = 2
ïï x y z
.
í

ïï 2
1
ïï - 2 = 4
ïî xy z
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A=

1
1
1
+ 3
+ 3
.
3
3
x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1
3

Câu 4 (5,5 điểm)
Cho hai đường tròn ( O; R ) và ( O '; R ') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Từ một điểm C
thay đổi trên tia đối của tia AB , vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O ( D; E là các
tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O ' ). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn
tâm O ' lần lượt tại M và N ( M và N khác với điểm A ). Đường thẳng DE cắt MN tại I .
Chứng minh rằng:
a) MI .BE = BI . AE
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A , trung tuyến AD . Điểm M di động trên đoạn AD . Gọi N
và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC . Vẽ NH ^ PD tại H .

Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 16/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
Cho phương trình x 2 - 2mx + m2 - 2m = 0 , trong đó m là tham số.
1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn

x1 +

x2 = 3 .

Câu 2 (6,0 điểm)
Giải các phương trình
2

1) x - 6 x - 7 = 0 .

2) 2 x 2 - 3 x + 10 = 3 x3 + 8 .
3)

3x 2 + 3 x +

x - x2 = 2x + 1 .

Câu 3 (6,0 điểm)
1) Cho nửa đường tròn ( O; R ) , đường kính AB . Trên nửa đường tròn lấy hai điểm phân biệt C ,
D sao cho CD = R ( C thuộc cung AD ). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AB
tại M . Tiếp tuyến của nửa đường tròn ( O; R ) tại A và B cắt CD lần lượt tại E và F . Gọi K
là giao điểm của AC và BD .
a) Chứng minh tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông.
b) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD .
2) Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC , BC = 2 + 2 3 và bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng 1. Tính độ dài cạnh AB và AC .
Câu 4 (2,0 điểm)
ìï 1 £ a, b, c £ 3
Cho ba số a, b, c thỏa mãn ïí
.
ïïî a + b + c = 6
Chứng minh rằng a 2 + b2 + c 2 £ 14 .
Câu 5 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y , z thỏa mãn
ìïï x + y + z > 11
.
í
ïïî 8 x + 9 y + 10 z = 100

-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 17/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
P=
2) Cho x = 3 5

(

)

1
1+ 5

6+1 -

3

5

(

+

1
+
5+ 9

1
+ ... +
9 + 13

1
.
2006 + 2010

)

6 - 1 . Tính giá trị biểu thức A = x 3 + 15 x .

Câu 2 (6,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình sau
ìï x 2 + y 2 + 2 ( xy - 2) = 0
ï
.

í 2
ïï x + y 2 - 2 xy = 16
î
2) Giải phương trình
16 x 4 + 5 = 6 3 4 x 3 + x .
Câu 3 (6,0 điểm)
·
Cho tam giác ABC có BAC
= 600 , AC = b, AB = c (với b > c ). Đường kính EF của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M . Gọi I và J lần lượt là chân đường
vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC . Gọi H và K lần lượt là chân đường
vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC .
1) Chứng minh các tứ giác AIEJ và CMJE nội tiếp.
2) Chứng minh rằng ba điểm I , J , M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK .
3) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c .
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho x > 0; y > 0 và x + y £ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = x+ y+

5 5
+ .
x y

Câu 5 (2,0 điểm)
Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 5 x - 3 y = 2 xy - 11 .
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 18/58

Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ THỌ
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
n
n
a) Chứng minh rằng A = ( 2 - 1) ( 2 + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n .

b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n 2 - n + 13 là số chính phương?
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình
x2 - 2 x + 3 = 2 2x2 - 4x + 3 .
b) Giải hệ phương trình
ìï x 2 - y 2 = 1- xy
ïí
.
ïï x 2 + y 2 = 3 xy + 11
î
Câu 3 (3,0 điểm)
ïìï x + y + z = 2010
ï

1 .
Cho ba số x, y , z thỏa mãn í 1 1 1
ïï + + =
ïïî x y z 2010
2007
2007
2009
2009
2011
2011
Tính giá trị của biểu thức P = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .

Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định, AB = R 2 . Điểm P di động trên dây AB (
P khác A và B ). Gọi ( C ; R1 ) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn ( O; R ) tại A ,

( D; R2 ) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn ( O; R ) tại B . Hai đường tròn ( C ; R1 )
và ( D; R2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai M .
a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm của dây AB , chứng minh rằng OM / / CD
và 4 điểm C , D, O, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và
đường thẳng MP luôn đi qua một điển cố định N .
c) Tìm vị trí của P để tích PM .PN lớn nhất? diện tích tam giác AMB lớn nhất?
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 670 . Chứng minh rằng
x
y
z
1
+ 2

+ 2
³
.
x - yz + 2010 y - zx + 2010 z - xy + 2010 x + y + z
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 19/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NGÃI
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
a) Tìm cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn 6 x + 5 y + 18 = 2 xy .
a3 a 2 a
, với a là số tự nhiên chẵn.
+
+
24 8 12
Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên.
Câu 2 (4,0 điểm)

b) Cho biểu thức A =

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 x 3 - 9 x 2 + 13 x - 6 .
b) Tính giá trị của biểu thức M = x 3 - 6 x , với x = 3 20 + 14 2 +

3

20 - 14 2 .

Câu 3 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình

x- 2 +

6 - x = x 2 - 8 x + 24 .

ìï
1 1 9
ïï x + y + + =
ï
x y 2
b) Giải hệ phương trình ïí
.
ïï
1
5
=
ïï xy +
xy 2
ïî

Câu 4 (5,0 điểm)
µ < 900 , một đường tròn ( O ) tiếp xúc với AB, AC tại B và
Cho tam giác cân ABC AB = AC ; A

(

)

C . Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M ( M ¹ B, C ) . Gọi I ; H ; K lần lượt
là hình chiếu của M trên BC ; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK , Q là giao điểm của
MC với IH .
a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK .
b) Chứng minh rằng PQ / / BC .
c) Gọi ( O1 ) và ( O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MPK và MQH . Chứng
minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) .
d) Gọi D là trung điểm của BC ; N là giao điểm thứ hai của ( O1 ) và ( O2 ) . Chứng minh rằng ba
điểm M , N , D thẳng hàng.
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt
AM BN CP
+
+
³ 9.
OM ON OP
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

cắt BC , CA, AB tại M , N , P . Chứng minh rằng

Trang 20/58

Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN. BẢNG A.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm)
Giải phương trình
x 2 - 3x + 6 - 3 x 2 - 3x + 4 = 0 .
Câu 2 (3,5 điểm)
Cho x = 3 3 + 2 2 + 3 3 - 2 2 , y = 3 17 + 12 2 + 3 17 - 12 2 .
3
3
Tính giá trị của biểu thức P = x + y - 3( x + y ) + 2010 .

Câu 3 (3,5 điểm)
2
Tìm cặp số nguyên ( x; y ) sao cho x ( x + 1) = y + 1 .

Câu 4 (8,0 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB . Qua trung điểm H của OB kẻ đường thẳng d vuông
góc với AB . Gọi M là điểm bất kỳ khác A, B trên đường tròn ( O; R ) . AM và BM cắt đường

thẳng d lần lượt tại K và I , BK cắt ( O; R ) tại điểm thứ hai N khác B .
a) Tính tích BN .BK theo R .
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB luôn đi qua một điểm cố định khác B khi
M di chuyển trên ( O; R ) ( M khác giao điểm của d với ( O ) ).
c) Khi AK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB . Tính tỷ số

MA
.
MB

Câu 5 (2,0 điểm)
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 £ 1 .
2

æ 1ö
æ
çb +
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ç
a+ ÷
+
÷
ç
÷ ç
ç
ç
è
è
aø

2

1ö
÷
÷
÷.
bø

-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 21/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN. BẢNG B.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (3,5 điểm)
Cho biểu thức A =

xy + 2 y + 1
yz + 2 y + 1

zx + 2 x + 1
+
+
, với x, y , z là các số thực có
xy + x + y + 1 yz + y + z + 1 zx + z + x + 1

giá trị khác - 1 .
Chứng minh rằng A là một số nguyên.
Câu 2 (3,5 điểm)
Tìm số tự nhiên a sao cho A = a 2 + 10a + 136 có giá trị là số chính phương.
Câu 3 (4,0 điểm)
Giải phương trình
2
7
1
= .
2
3x - x + 2 3 x + 5 x + 2 x
2

Câu 4 (7,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , C là điểm chính giữa cung AB , M là điểm bất kỳ
thuộc cung BC (điểm M khác B và C ) AM cắt OC tại I . Kẻ CK vuông góc với
AM ( K Î AM ) , OK cắt BC tại N .
a) Chứng minh IKNC là tứ giác nội tiếp.
b) Khi M di chuyển trên cung BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICM luôn nằm trên
một đường thẳng cố định.
Câu 5 (2,0 điểm)
Trục căn thức ở mẫu:
2

A= 3
.
2 2 + 2+ 3 4
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 22/58


Tuyn chn cỏc thi hc sinh gii lp 9

S GIO DC V O TO
TNH QUNG TR
----- THI CHNH THC

K THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS
NM HC 2010 2011
Mụn thi: TON.
Thi gian lm bi: 150 phỳt.
( thi gm 05 cõu, 01 trang)

Cõu 1 (4,0 im)
Cho biu thc P =

x+1
2 x
2+ 5 x
+
+
, vi x 0; x ạ 4 .

4- x
x- 2
x+ 2

a) Rỳt gn P .
b) Tỡm x P = 2 .
Cõu 2 (4,0 im)
1) Rỳt gn biu thc A =

8 + 15
+
2

2) Gii phng trỡnh x 2 +

x+ 3 =3.

8-

15
2

.

Cõu 3 (4,0 im)
1) Cho bn s thc bt k a, b, c, d . Chng minh rng
ab + cd Ê

( a2 + c2 ) ( b2 + d 2 ) .

Du ng thc xy ra khi no?
2) Cho na ng trũn ( O; R ) , ng kớnh AB , M l im chuyn ng trờn na ng trũn.
Xỏc nh v trớ ca im M MA + 3MB t giỏ tr ln nht.
Cõu 4 (4,0 im)
Tỡm tt c cỏc b ba s nguyờn ( x; y; z ) tha món
ỡù y 3 = x3 + 2 x 2 + 1
ùớ
.
ùù xy = z 2 + 2
ợ
Cõu 5 (4,0 im)
Cho tam giỏc ABC cõn ti A vi BC = a, ABAC = b ( a > b) . ng phõn giỏc BD ca gúc
ãABC ct AC ti D v cú di bng cnh bờn ( BD = b) .
1) Tớnh CD theo a v b .
ổ aử
ổa b ử
ỗ - ữ
1+ ữ
) Chng minh rng ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữỗ
ữ= 1 .
ỗ
ỗ
ố bứ
ốb a ứ
-----Ht----Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh:..........................................................; S bỏo danh:..................

Trang 23/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH SƠN LA
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 04 câu, 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức
3
æ
ç1 + 3 3a
A =ç
ç
ç
1
+
3
a
è

ö
6a + 4
3a
־
ç
3a ÷
ç
÷
÷
ç3 3a 3 - 8 3a + 2 3a +
֍
è
ø

ö
÷
÷
.
÷
÷
4ø

1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm các giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (7,0 điểm)
2
2
Cho phương trình 2 x - 2mx + m - 2 = 0 ( 1) .

1) Tìm các giá trị của m để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn hệ thức

x12 + x22 =

5
.
2

2) Giả sử phương trình ( 1) có hai nghiệm không âm ( 0 £ x1 £ x2 ) . Tìm giá trị của m để nghiệm
lớn của phương trình ( 1) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 2 . Chứng minh rằng
a + 2009 + b + 2009 +

c + 2009 £ 3016 .

Câu 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD
cắt BC tại E . Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F , G .Chứng minh rằng
1) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
2) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp.
3) AC / / FG .
4) Các đường thẳng AC , DE , FB đồng quy.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 24/58


Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH THÁI BÌNH
-----ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 07 câu, 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên
2 x 2 y 4 + 2 y 4 + y 2 + 5 x + 2 y = 5 xy 4 + 2 x 2 + 1 .
Câu 2 (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
ìï
3
85
ïï 4 xy + 4 ( x 2 + y 2 ) +
=
2
ïï
3
( x + y)
.
í
ïï
1
13
ïï 2 x +
=

x+ y
3
ïïî
Câu 3 (3,0 điểm)
4
3
2
Chứng minh rằng nếu đa thức P ( x ) = x + bx + cx + bx + 1 có nghiệm thì 2b + c ³ 2 .

Câu 4 (3,0 điểm)
Cho x; y là các số thực thỏa mãn 4 x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
A=

2x + 3y
.
2x + y + 2

Câu 5 (3,0 điểm)
Từ một điểm E ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B . Gọi
M là điểm nằm trên đoạn AB ( M khác A và B , MA ¹ MB ). Gọi C và D là 2 điểm trên
đường tròn sao cho M là trung điểm của CD . Các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt
nhau tại F . Chứng minh rằng tam giác OEF là tam giác vuông.
Câu 6 (3,0 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 . Tìm điểm
M trên đường tròn sao cho tổng MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 7 (2,0 điểm)
Một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số tự nhiên có 2 chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của
số đo cạnh huyền ta được số đo của một cạnh góc vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác đó.
-----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh:..................

Trang 25/58