Bài toán cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THU HIỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THU HIỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, người
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Phạm Thu Hiền


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:" Bài toán
Cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng
quát " được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác
giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Phạm Thu Hiền

i

Mục lục

Mở đầu

1

1

3

Các kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

Một số không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian L2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Không gian C m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Không gian Sobolev W2m (Ω) . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Không gian B m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.5

Không gian B

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.6

Không gian S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng
1.2.1

. . . . .

Bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo
hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Siêu mặt trong không gian Rn . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo
hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4

6

Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình
đạo hàm riêng về dạng chính tắc

2

5

. . . . . . . . . .

7

1.3

Định lý Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Định lý Holmgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Tính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy

16


ii

2.1

Khái niệm về tính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy

2.2

Tính giải được của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1

Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán
Cauchy

2.2.2
2.3

2.4

. . . 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy . . . 20

Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu . . . 26
2.3.1

Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 26

2.3.2

Miền phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Phương trình hyperbolic với hệ số hằng . . . . . . . . . . . 39
2.4.1

Định lý về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2

Điều kiện cần đối với hiện tượng truyền nhiễu với
tốc độ hữu hạn

2.4.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . 45

Kết luận
Tài liệu tham khảo

50
51


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một vấn
đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Nhà toán học
Hadamard đã đưa ra khái niệm đặt chỉnh của bài toán này gồm ba yếu

tố: sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm vào dữ kiện ban đầu. Luận văn trình bày bài toán Cauchy chính
tắc và trình bày mối quan hệ giữa ba yếu tố trên của bài toán đặt chỉnh.
Một lớp phương trình được quan tâm nhiều hơn, đó là loại phương trình
hyperbolic.

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày một cách hệ thống các vấn đề: bài toán Cauchy chính tắc
cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh của bài toán
Cauchy đối với các lớp phương trình khác nhau, tính giải được của bài
toán Cauchy.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày các điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh và mối quan hệ
giữa ba yếu tố đặt chỉnh của bài toán Cauchy.


2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy.
- Điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh.
- Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic

5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính.
Các phương pháp định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

6. Đóng góp của đề tài
Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết đặt chỉnh của bài toán

Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp bất kỳ.


3

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số không gian hàm
Không gian L2

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω ⊂ C là một tập mở trong Rn . Họ các hàm

u : Ω → C được gọi là không gian L2 (Ω) nếu nó đo được và có chuẩn sau
hữu hạn:
1/
2
|u (x)|2 dx < +∞.



u

L2 (Ω)

=
Ω

1.1.2

Không gian C m (Ω)

Định nghĩa 1.1.2. Không gian C m (Ω) là không gian bao gồm các hàm
khả vi, liên tục đến cấp m trên miền Ω.

1.1.3

Không gian Sobolev W2m (Ω)

Định nghĩa 1.1.3. Không gian W2m (Ω) là không gian bao gồm tất cả
các hàm u (x) ∈ L2 (Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp


4

α, |α| ≤ m thuộc L2 (Ω) và được trang bị chuẩn
1/
2
2
α
|D u (x)| dx .



u

W2m (Ω)

=
|α|≤m Ω

1.1.4

Không gian B m

Định nghĩa 1.1.4. Không gian B m là không gian bao gồm tất cả các
hàm f (x) thỏa mãn Dα f (x) (|α| ≤ m) bị chặn và liên tục trong Rn

sup |Dα f (x)| .

|f (x)|m =
|α|≤m

1.1.5

x∈Rn

Không gian B

Định nghĩa 1.1.5. Không gian B hay B ∞ là không gian bao gồm toàn
bộ các hàm khả vi vô hạn mà mọi đạo hàm của nó bị chặn và liên tục
trong Rn .

1.1.6

Không gian S

Định nghĩa 1.1.6. Không gian S là không gian bao gồm tất cả các hàm

ϕ ∈ C ∞ sao cho với mỗi k, α tùy ý 1 + |x|2

k

Dα ϕ(x) bị chặn trong Rn .


5

1.2

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm
riêng

1.2.1

Bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm
riêng

Ta biểu diễn một điểm thuộc Rn+1 thành (x, t) = (x1 , . . . , xn , t) và một
điểm thuộc Rn thành x = (x1 , . . . , xn ). Toán tử vi phân cấp m dạng sau
đây:

L≡

∂
∂t

m

+
|ν|+j m,j m−1

∂
aν,j (x, t)
∂x

ν

∂
∂t

j

(1.1)

được gọi là một toán tử dạng chính tắc. Bài toán Cauchy chính tắc cho
toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm u(x, t) trong lân cận thích hợp

W (⊂ U ) của (x0 , 0) sao cho nó thỏa mãn phương trình:
Lu = f,

(x, t) ∈ W,

(1.2)

với điều kiện ban đầu:

∂

∂t

j

u(x, 0) = uj (x, 0), x ∈ W ∩ {t = 0}, (j = 0, 1, 2, . . . , m − 1).
(1.3)

1.2.2

Siêu mặt trong không gian Rn

Giả sử ϕ(x) = ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) là hàm số trơn có tính chất sau: Nếu

ϕ(x) = 0 thì
ϕx (x) ≡

∂ϕ
∂ϕ
(x), . . . ,
(x) = 0.
∂x1
∂xn

(1.4)

Ta định nghĩa siêu mặt S như sau:

S = {x ∈ Rn ; ϕ(x) = 0}

(1.5)

6

Ví dụ:
1) ϕ(x) = xn

ϕx (x) = (0, ..., 0, 1) = 0.
Do đó, ta có siêu mặt S = {x ∈ Rn ; xn = 0}
2) ϕ(x) = xn 2

ϕx (x) = (0, ..., 0, 2xn )
Nếu ϕ(x) = 0 thì ϕx (x) ≡ 0. Do đó hàm ϕ(x) không thỏa mãn điều
kiện (1.4).
Khi x ∈ S , vectơ ϕx (x) = 0 và là vectơ pháp tuyến của mặt cong S. Do
đó vectơ

ν(x) =

ϕx (x)
|ϕx (x)|

(1.6)

là vectơ pháp tuyến đơn vị trên S.

1.2.3

Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm
riêng

Cho toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính

∂
a x,
∂x

=
|ν| m

∂
aν (x)
∂x

ν

.

(1.7)

Cho u0 , . . . , um−1 là các hàm số cho trước xác định trên S , trong lân cận
của x0 . Trong trường hợp này, ta ký hiệu Ψ = (u0 , u1 , . . . , um−1 ) là dữ kiện
ban đầu (dữ liệu Cauchy, hay giá trị ban đầu) hay, chính xác hơn, dữ kiện
ban đầu trên S của toán tử vi phân bậc m.
Cho f xác định trong lân cận U của x0 (∈ S), và cho Ψ thuộc một lân
cận xác định của x0 trong S .
Bài toán Cauchy tổng quát cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm

u(x, t) trong lân cận thích hợp W (⊂ U ) của x0 sao cho nó thỏa mãn

7

phương trình

a x,

∂
u(x) = f (x),
∂x

với điều kiện ban đầu

 u(x) = u0 (x), (x ∈ S)
∂
∂

u(x) = u1 (x), . . . ,
∂ν
∂ν

(1.8)

m−1

u(x) = um−1 (x),

(1.9)

(x ∈ S),

trong đó ν là vectơ pháp tuyến đơn vị trên S.

1.2.4

Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo
hàm riêng về dạng chính tắc

Từ (1.4), không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ϕxn = 0. Đặt

x1 = x1 , . . . , xn−1 = xn−1 , xn = ϕ(x).
Ta thực hiện phép đổi biến, (x1 , . . . , xn ) → (x1 , . . . , xn ). Phép biến đổi
này và nghịch ảnh của nó là trơn trong một lân cận đủ nhỏ của x0 .
Đặt u(x) = v(x ). Ta có

∂v
∂v
∂u
=
,
+ ϕxj
∂xj
∂xj
∂xn

(j = 1, 2, . . . , n − 1),

∂u
∂v
= ϕxn

.
∂xn
∂xn

Các đạo hàm cấp cao, chẳng hạn đạo hàm cấp hai có thể tính như sau:

∂
∂ 2u
=
∂xk ∂xj
∂xk

∂u
∂xj

=

∂
∂xk

∂v
∂xj

+ ϕxj .

=

∂
∂xk

∂v
∂v
+ ϕxj .
∂xj
∂xn
∂
∂xk

∂v
∂xn

+ ϕxj xk

∂v
∂xn

∂ 2v
∂ 2v
∂ 2v
∂ 2v
=
+ ϕxk .
+ ϕxj .
+ ϕxk
∂xk ∂xj
∂xn ∂xj
∂xk ∂xn
∂xn 2
Khi đó:

∂
h(x, ϕx (x))
∂xn

+ ϕxj xk

∂v
∂xn

m

u + Σ··· = f

(1.10)


8

trong đó

ϕx =

∂ϕ
∂ϕ
,...,
∂x1
∂xn

và

aν (x)ξ ν ,

h(x, ξ) =

(ξ = (ξ1 , . . . , ξn )).

(1.11)

|ν|=m

aν (x)ϕνx11 · · · ϕνxnn , (|ν| = ν1 + · · · + νn ).

Tức là h(x, ϕx ) =
|ν|=m

Ta chú ý các số hạng Σ trong (1.11) chứa đạo hàm riêng nhiều nhất bậc

m − 1 theo xn . Ta chia các trường hợp như sau:
(1) Nếu h(x, ϕx ) = 0 trong lân cận của x = x0 , thì ta chia cả hai vế của
(1.11) cho h(x, ϕx ), tức là

∂
∂xn

m

u+
|ν| m,νn m−1

∂

aν (x )
∂x

ν

u = f /h(x, ϕx ).

(1.12)

Ta gọi (1.12) là dạng chuẩn tắc của (1.8). Trong trường hợp này, điều kiện
ban đầu có thể được viết lại thành

∂
∂xn

j

u(x1 , . . . , xn−1 , 0) = uj (x1 , . . . , xn−1 ) (j = 0, 1, . . . , m − 1).

(2) Nếu h(x, ϕx ) = 0 tại x = x0 thì bài toán Cauchy rất khó nghiên
cứu. Luận văn này tập trung xét bài toán trong trường hợp 1.
Định nghĩa 1.2.1. (Siêu mặt không đặc trưng). Nếu mặt S xác định bởi

ϕ(x) = 0 (ϕx = 0) thỏa mãn
h(x, ϕx (x)) = 0,

(x ∈ S),

thì ta gọi S là một siêu mặt không đặc trưng (để ngắn gọn, ta gọi ‘mặt
không đặc trưng’ ) hay đa tạp không đặc trưng cho toán tử a(x, ∂/∂x).

9

1.3

Định lý Cauchy-Kovalevskaya

Xét toán tử dạng chính tắc:

L≡

∂
∂t

m

+
|ν|+j m, j m−1

ν

∂
aν,j (x, t)
∂x

∂
∂t

j

(1.13)

Định lý 1.3.1. (Cauchy-Kowalewski). Cho các hệ số của L là các hàm
giải tích trong lân cận U của gốc tọa độ của không gian (x, t). Giả sử

f (x, t) giải tích trong U . Gọi Ψ là các giá trị ban đầu và là hàm giải tích
trong một lân cận xác định V của gốc tọa độ trong không gian x. Khi đó,
tồn tại một lân cận W của gốc tọa độ và tồn tại duy nhất hàm giải tích

u(x, t) xác định trên W, và

Lu = f, (x, t) ∈ W,
∂ j

u(x, 0) = uj (x, 0),
∂t

x ∈ W ∩ {t = 0},

(j = 0, 1, 2, . . . , m − 1).
(1.14)

Chứng minh. Đặt
m−1 j

u˜(x, t) = u(x, t) −
j=0

t

uj (x).
j!

Vì vậy, ta viết lại (1.14) thành
m−1

L[˜
u] = f −

L
j=0

tj
uj (x) .
j!

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử dữ kiện ban đầu của u(x, t)
là 0. Đầu tiên, nếu u(x, t) là giải tích trong lân cận của gốc tọa độ, thì

u(x, t) được xác định một cách duy nhất. Trên thực tế, ta có thể chứng
minh rằng khai triển Taylor của u(x, t) tại gốc tọa độ được xác định một
cách duy nhất. Để chứng minh điều này, ta viết (1.14) thành

∂
∂t

m−1

m

u(x, t) =

αj
j=0

∂
x, t;
∂x

∂
∂t

j

u(x, t) + f (x, t),

(1.15)


10

trong đó αj (x, t; ξ) là đa thức bậc (m − j) có các hệ số giải tích trong lân
cận U của gốc tọa độ. Bởi vì giá trị ban đầu của u(x, t) là 0 theo giả thiết,
nếu ta xét

cν,j xν tj

u(x, t) =

(1.16)

j m;ν

và khai triển Taylor của các hệ số của αj (x, t; ξ), thì cν,j được xác định
duy nhất. Trong trường hợp này cν,j được biểu diễn như một đa thức có:
(1) Các hệ số của khai triển Taylor của hàm giải tích xuất hiện như các
hệ số của đa thức α0 (x, t; ξ), . . . , αm−1 (x, t; ξ).
(2) Các hệ số của khai triển Taylor của f (x, t).
(3) cν,l (l

j − 1).

Cho nên, bằng đệ quy theo j , ta kết luận cν,j có thể được biểu diễn thành
một đa thức với các hệ số dương trong (1) và (2).
Tiếp theo, ta chú ý tính hội tụ của dãy hàm (1.16), để làm được điều
này, ta sử dụng chuỗi hàm trội, mà ta định nghĩa như sau: Ta nói F (x, t)
là chuỗi hàm trội của f (x, t), ta hàm ý F (x, t) giải tích tại gốc tọa độ và
các hệ số Cν,j của khai triển Taylor của F (x, t) lớn hơn hoặc bằng trị tuyệt
đối của các hệ số tương ứng cν,j của khai triển Taylor của f (x, t), tức là

Cν,j

|cν,j |.

Ta mở rộng định nghĩa sang trường hợp đa thức khả vi. Bằng cách nói

A(x, t; ξ) là chuỗi hàm trội của α(x, t; ξ) ta hàm ý với mỗi hàm số là hệ số
của ξ ν , hàm số tương ứng của A là một chuỗi hàm trội của các hàm tương
ứng của α theo nghĩa xác định như trên. Đối với (1.15), ta định nghĩa các
chuỗi hàm trội Aj (x, t; ξ), F (x, t) của αj (x, t; ξ), f (x, t) một cách tương

ứng.
Xét phương trình

∂
∂t

m−1

m

w=

Aj
j=0

∂
x, t;
∂x

∂
∂t

j

w + F (x, t).

(1.17)


11

Bây giờ ta chứng minh như sau: Nếu nghiệm w của phương trình có dữ
∂ m−1
∂
liệu Cauchy dương (ta hàm ý tất cả w(x, 0), w(x, 0), . . . m−1 w(x, 0)
∂t
∂t
có khai triển Taylor với hệ số không âm) là giải tích trong lân cận của gốc
tọa độ, thì w là chuỗi hàm trội của u. Do đó u(x, t) là giải tích tại lân cận,
cho nên, tính tồn tại nghiệm của phương trình được chứng minh.
Bây giờ, ta giả sử tất cả các hệ số của αj (x, t; ξ) và f (x, t) là giải
tích trong |xi |

r (i = 1, 2, . . . , n), |t| < r. Cho tất cả các hệ số của

αj (x, t; ξ) < M , và cho f (x, t) < d. Trong trường hợp này tất cả các hệ
số của αj (x, t; ξ) có chuỗi hàm trội

M
,
(1 − x1 /r) · · · (1 − xn /r)(1 − t/r)
hay

M
.
1 − (x1 + · · · + xn + t)/r
Đưa ρ (> 1) vào, ta viết

M
1 − (x1 + · · · + xn + ρt)/r

là chuỗi hàm trội. Đối với f ,

d
1 − (x1 + · · · + xn + ρt)/r
là một trong các chuỗi hàm trội, với ρ > 1 (mà ta sẽ xác định sau). Do
đó, tồn tại các đa thức thích hợp b(ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ), c(ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ) và

∂
∂t

m

w=

1
1 − (x1 + · · · + xn + ρt)/r
∂
∂
∂
∂ ∂
w+c
,
,...,
,...,
× b
∂t ∂x1
∂xn
∂t
∂xn

w+d
(1.18)

thỏa mãn (1.17), với b là một đa thức bậc m và b(1, 0, . . . , 0) = 0, và c là
một đa thức bậc (m − 1).


12

Ví dụ, ta có thể lấy

ξ0ν0 . . . ξnνn − M ξ0m , c(ξ0 , . . . , ξn )

b(ξ0 , . . . , ξn ) = M
|ν|=m

ξν .

=M
|ν| m−1

Bây giờ, ta tìm nghiệm w mà w có thể được biểu diễn thành hàm của
một biến duy nhất

s = (x1 + · · · + xn + ρt)/r,

(|s| < 1).

Trong trường hợp này (1.18) là một phương trình vi phân

ρ
r

m

w(m) (s) =

b(ρ) (m)
ρd 1d
1d
1
w
(s)
+
c
,
,
.
.
.
,
w+d ,
1 − s rm
r ds r ds
r ds

trong đó b(ρ) = b(ρ, 1, . . . , 1) và b nhiều nhất là bậc (m − 1). Do vậy,
phương trình có thể được viết lại là

w

(m)

(s) =

r
ρ

m

1
ρd 1d
1d
c
,
,
.
.
.
,
w+d .
1 − b(ρ)ρ−m − s
r ds r ds
r ds
(1.19)

Bây giờ, ta chọn ρ đủ lớn sao cho b(ρ)ρ−m < 1.
Trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính, (1.19) với dữ kiện ban
đầu w(j) (0), (j = 0, 1, . . . , m − 1), luôn có một nghiệm chính quy duy
nhất trong |s| < 1 − b(ρ)ρ−m . Hiển nhiên, w(s) có khai triển Taylor với

hệ số dương. Do vậy, nếu ta xét

w(x, t) ≡ w(s) = w((x1 + · · · + xn + ρt)/r),
(1.18) có nghiệm w(x, t) mà có các hệ số khai triển Taylor dương hội tụ
trong

n

|xi | + ρ|t| < r{1 − b(ρ)ρ−m }.

(*)

i=1

Do đó, (1.18) chính là một khai triển hội tụ trong (*). Vì vậy, nó là một
nghiệm trong lân cận của gốc tọa độ.


13

1.4

Định lý Holmgren

Định lý 1.4.1. (Holmgren). Ta ký hiệu

Dε = {(x, t) ∈ Rn+1 ; |x|2 + |t| < ε}.
Giả sử tất cả các hệ số aν,j (x, t) của L là giải tích trong lân cận U của
gốc tọa độ. Khi đó, tồn tại ε0 (> 0) sao cho với ε thỏa mãn 0 < ε < ε0 nếu

u(x, t) ∈ C m (Dε ) thỏa mãn
Lu = 0 trong Dε
∂
∂t

j

u(x, 0) = 0, (j = 0, 1, . . . , m − 1), x ∈ Dε ∩ {t = 0},

thì u(x, t) ≡ 0 trong Dε .
Chú ý. Tính duy nhất nghiệm vẫn đúng trong trường hợp nửa không gian.
Trong trường hợp này, ta giả thiết u(x, t) xác định trên Dε = Dε ∩ {t

0}

và khả vi liên tục m lần kể cả trên biên.
Chứng minh. Ta định nghĩa một loại phép biến đổi đặc biệt mà cần thiết
trong phần tiếp theo. Phép biến đổi Holmgren là phép biến đổi được xác
định bởi xj = xj (j = 1, 2, . . . , n), t = t + x21 + · · · + x2n , và ánh xạ từ
nửa không gian t

0 vào miền Ω = {(x , t ) ∈ Rn+1 ; t − |x |2

0}. Lưu

ý, hàm u(x , t ) bằng 0 trên siêu mặt, t − |x |2 = 0 sau phép biến đổi trở
thành đạo hàm bậc m của nó.
Do đó, nếu ta mở rộng hàm u bằng cách đặt giá trị bằng không của nó
ngoài Ω, thì hàm được mở rộng có giá thuộc Ω và là một hàm lớp C m . Các
toán tử vi phân được biến đổi thành các toán tử vi phân khác trong một

lân cận đủ nhỏ, ta viết (x, t) thay vì (x , t ). Khi đó, ta có phương trình
mới

L[u] ≡

∂
∂t

m

u+

∂
aν,j (x, t)
∂x

ν

∂
∂t

j

u=0


14

trong đó, các hệ số là giải tích, và giá của u nằm trong Ω.
Bây giờ ta định nghĩa một toán tử quan trọng. Một toán tử được gọi là

toán tử chuyển vị nếu nó thỏa mãn
t

L[u] ≡ (−1)

m

∂
∂t

m

u+

∂
∂x

|ν|+j

(−1)

ν

∂
∂t

j

[aν,j (x, t)u].
(1.20)

Tổng quát, nếu v(x, t) là hàm m lần khả vi liên tục, xác định trong lân
cận của D ≡ Ω ∩ {0

t

h} và thỏa mãn t L[v] = 0, thì
{ut L[v] − vL[u]}dxdt = 0.

D

Ngoài ra, nếu v(x, t) thỏa mãn

∂
v(x, h) = v(x, h) = . . . =
∂t

∂
∂t

m−2

v(x, h) = 0

trên siêu phẳng t = h, thì lấy tích phân từng phần ta có

∂
{u L[v] − vL[u]}dxdt =
(−1) u(x, t)
∂t

D
t=h
t

m

m−1

v(x, t)dx = 0.

Lưu ý, ở đây t L có dạng như (1.11), và các hệ số của v(x, t) giải tích.
Do đó, từ Định lý 1.3.1 và các chú ý sau nó, nếu ta thêm điều kiện

∂
∂t

m−1

v(x, h) = P (x),

với P (x) là một đa thức, vào điều kiện ban đầu giả định trước, thì nghiệm
của phương trình t L[v] = 0 tồn tại trong lân cận của D ≡ Ω ∩ {0

t

h}

với mọi h thỏa mãn 0 < h < h0 , h0 > 0, và h0 đủ nhỏ. h0 có thể được chọn
độc lập với đa thức P (x). Từ đó, suy ra

u(x, h)P (x)dx = 0 với bất kỳ

đa thức P (x), tức là cho u(x, h) là hàm liên tục có giá compắc theo x thì

u(x, h) trực giao với bất kỳ P (x).
Khi đó, theo Định lý Weierstrass ([1], Định lý 1.13), u(x, h) = 0, do đó

u(x, t) ≡ 0, trong (x, t) ∈ Ω ∩ {0
−t.

t

h0 }. Nếu t

0, thì ta thay t bởi


15

Định lý 1.4.2. (Calderón). Cho tất cả các hệ số của aν,j (x, t) (|ν|+j = m)
bậc cao nhất của toán tử L trong (1.13) là thực và thuộc C 1+σ (σ > 0)
trong lân cận U của gốc tọa độ (σ là một số dương tùy ý), và cho các hệ số
khác bị chặn trong U . Trong trường hợp này, nếu phương trình đặc trưng
của L tại gốc tọa độ

p(λ, ξ) = λm +

aν,j (0, 0)ξ ν λj = 0

(1.21)

|ν|+j=m

có các nghiệm λi (ξ), (i = 1, 2, . . . , m) phân biệt với mọi ξ ∈ Rn , ξ = 0,
trong ξ thì kết luận của Định lý 1.4.1 đúng.


16

Chương 2
Tính đặt đúng đắn của bài toán
Cauchy
2.1

Khái niệm về tính đặt đúng đắn của bài toán
Cauchy

Cho toán tử

L≡

∂
∂t

m

+
|ν|+j m, j m−1

∂

aν,j (x, t)
∂x

ν

∂
∂t

j

.

Xét bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng:

Lu = f, (x, t) ∈ W,
∂ j

u(x, 0) = uj (x, 0), x ∈ W ∩ {t = 0}, (j = 0, 1, 2, . . . , m − 1).
∂t
(2.1)
Tính đặt đúng đắn của bài toán này bao gồm 3 yếu tố:
- Sự tồn tại nghiệm.
- Tính duy nhất nghiệm.
- Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu.


17

2.2

Tính giải được của bài toán Cauchy

2.2.1

Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán
Cauchy

Trong mục trước, ta đặt ra câu hỏi liệu Định lý Cauchy-Kowalewski có
thể được thiết lập với giá trị ban đầu Ψ thuộc lớp hàm C ∞ và với f. Ta
sẽ kiểm tra bài toán trong mục này. Xét phương trình :

L[u] =

∂
∂t

m

u+
|ν|+j≤m
j≤m−1

∂
aν,j (x, t)
∂x

ν

∂
∂t

j

u = f.

(2.2)

Để cho đơn giản, ta giả sử các hệ số xác định trong một lân cận của gốc
tọa độ, và ngoài ra aν,j (x, t) ∈ C(U ).
Định nghĩa 2.2.1. (Tính giải được địa phương). Ta nói phương trình
(2.2) là giải được địa phương tại gốc tọa độ trong C, nếu với bất kỳ

f (x, t) ∈ C(U ) và với mọi dữ kiện ban đầu Ψ ≡ (u0 (x), . . . , um−1 (x)) ∈ C ,
tồn tại một lân cận D(f,Ψ) của gốc tọa độ, u(x, t) ∈ C(D(f,Ψ) ) thỏa mãn

L[u] = f với (x, t) ∈ D(f,Ψ) và
∂
∂t

j

u(x, 0) = uj (x), x ∈ D(f,Ψ) ∩ {t = 0}, (j = 0, 1, . . . , m − 1).

Điều kiện ta áp dụng ở trên ở dạng khá mạnh, ta có thể sử dụng một định
nghĩa yếu hơn như sau.
Định nghĩa 2.2.2. Ta nói phương trình (2.2) giải được địa phương tại
gốc tọa độ trong C m , nếu với bất kỳ f (x, t) ∈ C(U ) và với mọi giá trị ban
đầu Ψ ∈ C , tồn tại một lân cận D(f,Ψ) và u là hàm khả vi liên tục m lần
trong D(f,Ψ) ∩ {t > 0} và thỏa mãn Lu = f , và trong D(f,Ψ) ∩ {t

0}, u

là hàm khả vi liên tục (m − 1) lần thỏa mãn điều kiện ban đầu tại t = 0.
Một số ví dụ về các phương trình không giải được địa phương theo nghĩa
trong Định nghĩa 2.2.2.


18

Ví dụ 2.2.1. (Hadamard) Bài toán Cauchy cho phương trình

∂2
∂2
∂2
∆u(x, y, z) ≡ 2 u + 2 u + 2 u = 0
∂x
∂y
∂z
với giá trị ban đầu Ψ trên mặt phẳng z = 0 không giải được địa phương
tại gốc tọa độ.
Để chứng minh điều này, ta xét giá trị ban đầu Ψ
u(x, y, 0) = u0 (x, y) ∈ C,
∂
u(x, y, 0) = 0.
∂z
Ngoài ra, giả sử một nghiệm u(x, y, z) tồn tại theo nghĩa trong Định
nghĩa 2.2.2, và u xác định trên Bδ = {(x, y, z); x2 + y 2 + z 2 < δ 2 } với δ
đủ nhỏ, và z

0.

Trong trường hợp này, nếu đặt
u(x, y, z)
(z 0),
u˜(x, y, z) =
u(x, y, −z) (z < 0),
thì u
˜ là hàm xác định trên Bδ thỏa mãn ∆˜
u = 0 trong Bδ theo nghĩa hàm
suy rộng. Do đó, u
˜(x, y, z) là một hàm giải tích của (x, y, z) trong Bδ như
ta sẽ chứng minh sau này. u
˜(x, y, 0) (≡ u0 (x, y)) cũng là một hàm giải tích
của (x, y).
Cuối cùng, từ điều trên, với u0 (x, y) nếu ta chọn một hàm sao cho hạn
chế của nó trên bất kỳ lân cận nào của gốc tọa độ không giải tích, thì bài
toán Cauchy tương ứng cho hàm này không có nghiệm địa phương u tại
gốc tọa độ.
Ta chứng minh ∆˜
u = 0 trong Bδ . Đây chính là định lý cổ điển của
nguyên lý phản xạ Schwartz. Theo ngôn ngữ hàm suy rộng, ý nghĩa của
nó là: cho ϕ ∈ D(Bδ ), và cho

u˜, ∆ϕ =

u˜(x, y, z)∆ϕ(x, y, z)dxdydz

= lim −
ε→0

|z|

∂ u˜ ∂ϕ
dxdydz +
ε ∂z ∂z

|z| ε

∂ 2 u˜ ∂ 2 u˜
+
ϕdxdydz .
∂x2 ∂y 2


19

Từ

−
|z|

∂ u˜ ∂ϕ
dxdydz =
ε ∂z ∂z

∂ u˜
·ϕ
∂z

z=ε

dxdy +
|z|

z=−ε

∂ 2 u˜
ϕdxdydz,
2
ε ∂z

ta có

u˜, ∆ϕ = lim

ϕ→0

∂ u˜
(x, y, ε)ϕ(x, y, ε)dxdy
∂z
∂ u˜
−
(x, y, −ε)ϕ(x, y, −ε)dxdy
∂z

= 0.

Khi đó, ta có thể thấy rằng u
˜(x, y, z) ∈ C(Bδ ) theo [1] (Hệ quả của Định
lý 3.22), tức là u

˜ là hàm giải tích và điều hòa.
Để thấy điều này, ta chứng minh kết quả sau: Bất kỳ hàm điều hòa xác
định trên tập mở Ω ⊂ Rn là giải tích. Đầu tiên, ta có

E(x) = −

1
1
· n−2 ,
(n − 2)Sn |x|

thỏa mãn ∆E(x) = δ với Sn là diện tích mặt của hình cầu đơn vị trong
không gian n chiều (n > 2). Ta cố định một điểm lấy trong Ω. Chọn

α ∈ D(Ω) sao cho α(x) ≡ 1 trong lân cận U của điểm cố định này. Ta
viết

∂α ∂u
+ ∆α.u
∂xi ∂xi
và đặt vế phải = g(x). Khi đó, g ∈ D(Ω).
∆(αu) = α(∆u) + 2

Nhân E(x) vào hai vế của phương trình thu được

E(x) ∗ ∆(αu) = αu = E(x) ∗ g(x) = −

1
(n − 2)Sn

g(y)
dy
|x − y|n−2

trong đó, ta sử dụng tính chất E(x) ∗ ∆(αu) = (∆E(x)) ∗ (αu) = δ ∗ (αu)
(xem [1], Mệnh đề 2.14).
Bây giờ, ta lấy δ(> 0) đủ nhỏ và xét α(x) trong |x − x0 | < δ. Thì ta
thấy α(x) ≡ 1. Ngoài ra, g(x) không có giá trong cùng lân cận, do đó

u(x) = −

1
(n − 2)Sn

|y−x0 | δ

g(y)
dy, (|x − x0 | < δ).
|x − y|n−2