Đề cương môn Toán học kỳ I lớp 11 của thầy Lê Văn Đoàn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.43 MB, 148 trang )
T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
TRUNG TM HONG GIA
C
NG TON
Học kì 1 Năm học 2016 2017
Biên soạn & Giảng dạy:
Ths. Lê Văn Đoàn
(sin x cos x )2 2 sin2 x
2
sin x sin 3x
2
2 4
1 cot x
4
1
x
2
x
3
x
u 2
2
un 1 2un 3, n
2
C 6C 6C 9x 14x
S
A'
C'
A'
E'
H
D'
B'
B'
C'
M
A
E
D
A
C
F
G
E
B
B
C
I
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
PHẦN i. Giải tích
Chương 1 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
§ 0. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trò lượng giác
sinx
Cung ph n t
II
I
II
III
IV
sin
cosx
O
cos
tan
IV
III
I
Giá tr LG
cot
Nh t c
Nhì sin
Tam tan
T cos
2. Công thức lượng giác cơ bản
tan . cot 1
sin2 cos2 1
1 tan2
1
cos2
1 cot2
1
sin2
3. Cung góc liên kết
Cung đ i nhau
Cung bù nhau
cos(a ) cos a
sin( a ) sin a
sin(a ) sin a
cos( a ) cos a
tan(a ) tan a
tan( a ) tan a
cot(a ) cot a
cot( a ) cot a
Cung h n kém
sin( a ) sin a
cos( a ) cos a
Cung ph nhau
sin a cos a
2
cos a sin a
2
tan a cot a
2
cot a tan a
2
Cung h n kém
2
sin a cos a
2
cos a sin a
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 1 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
tan a cot a
2
cot a tan a
2
tan( a ) tan a
cot( a ) cot a
4. Công thức cộng cung
sin(a b ) sin a cos b cos a sin b.
tan(a b)
cos(a b) cos a cos b sin a sin b.
tan a tan b
1 tan a tan b
H qu
tan(a b)
tan a tan b
1 tan a tan b
1 tan x
1 tan x
và tan x
tan x
4
4
1 tan x
1 tan x
5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đơi
H b c
sin 2 2 sin cos
sin2
1 cos 2
2
cos2 sin2
cos 2
2
2
2 cos 1 1 2 sin
cos2
1 cos 2
2
tan 2
2 tan
1 tan2
tan2
1 cos 2
1 cos 2
cot2
cot2 1
2 cot
cot2
1 cos 2
1 cos 2
Nhân ba
sin 3 3 sin 4 sin 3
cos 3 4 cos 3 3 cos
tan 3
3 tan tan3
1 3 tan2
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
a b
a b
cos
2
2
cos a cos b 2 sin
a b
a b
cos
2
2
sin a sin b 2 cos
a b
a b
sin
2
2
a b
a b
sin
2
2
tan a tan b
sin(a b)
cos a cos b
tan a tan b
sin(a b)
cos a cos b
cot a cotb
sin(a b)
sin a sin b
cot a cotb
sin(b a )
sin a sin b
Đ c bi t
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 2 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
sinx cos x 2 sinx 2 cosx
4
4
Mơn Tốn Năm h c
sin x cos x 2 sinx 2 cos x
4
4
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a cos b
1
cos(a b ) cos(a b)
2
sin a cos b
B ng l
sin a sin b
1
cos(a b) cos(a b)
2
1
sin(a b) sin(a b)
2
ng giác c a m t s góc đ c bi t
sin
cos
tan
cot
kxđ
kxđ
M t đi m M thu c đ
ng tròn l
ng giác s có t a đ M cos
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
kxđ
kxđ
sin
Page - 3 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
§ 1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Tính ch t c a hàm s
a Hàm s ch n hàm s l
Hàm s y f (x ) có t p xác đ nh D g i là hàm s ch n n u v i m i x D thì x D
và f (x ) f (x ). Đ th hàm s ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ng
Hàm s y f (x ) có t p xác đ nh D g i là hàm s l n u v i m i x D thì x D và
f (x ) f (x ). Đ th hàm s l nh n g c t a đ O làm tâm đ i x ng
b Hàm s đ n đi u Cho hàm s y f (x ) xác đ nh trên t p (a;b) .
y f (x ) g i là đ ng bi n trên (a;b) n u x 1, x 2 (a;b) có x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ).
y f (x ) g i là ngh ch bi n trên (a;b) n u x 1, x 2 (a;b) có x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ).
c Hàm s tu n hồn
Hàm s y f (x ) xác đ nh trên t p h p D, đ c g i là hàm s tu n hồn n u có s
T 0 sao cho v i m i x D ta có (x T ) D và (x T ) D và f (x T ) f (x )
N u có s d
tu n hồn f .
ng T nh nh t th a mãn các đi u ki n trên thì T g i là chu kì c a hàm
Hàm s y sin x .
Hàm s y sin x có t p xác đ nh là D y sin f (x ) xác đ nh f (x ) xác đ nh
T p giá tr T 1;1 , nghĩa là 1 sin x 1
0 sin x 1
0 sin2 x 1
Hàm s y f (x ) sin x là hàm s l vì f (x ) sin(x ) sin x f (x ). Nên đ th
hàm s y sin x nh n g c t a đ O làm tâm đ i x ng
Hàm s y sin x tu n hồn v i chu kì To 2, nghĩa là sin(x k 2) sin x . Hàm s
y sin(ax b) tu n hồn v i chu kì To
2
a
Hàm s y sin x đ ng bi n trên m i kho ng k 2;
k 2 và ngh ch bi n
2
2
3
trên m i kho ng k 2;
k 2 , v i k .
2
2
Hàm s y sin x nh n các giá tr đ c bi t
k 2
2
sin x 0 x k
, (k ).
sin x 1 x k 2
2
sin x 1 x
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 4 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Đ th hàm s
Mơn Tốn Năm h c
y
y sin x
3
2
O
2
2
3
2
x
5
2
Hình d ng đ th hàm s y sin x
Hàm s y cos x .
Hàm s y cos x có t p xác đ nh D y cos f (x ) xác đ nh f (x ) xác đ nh
T p giá tr T 1;1 , nghĩa là 1 cos x 1
0 cos x 1
0 cos2 x 1
Hàm s y f (x ) cos x là hàm s ch n vì f (x ) cos(x ) cos x f (x ), nên đ th
c a hàm s nh n tr c tung Oy làm tr c đ i x ng
Hàm s y cos x tu n hồn v i chu kì To 2, nghĩa là cos(x k 2) cos x . Hàm s
y cos(ax b ) tu n hồn v i chu kì To
2
a
Hàm s y cos x đ ng bi n trên m i kho ng ( k 2; k 2) và ngh ch bi n trên m i
kho ng (k 2; k 2).
Hàm s y cos x nh n các giá tr đ c bi t
cos x 1 x k 2
cos x 0 x
k , (k ).
2
cos x 1 x k 2
y
Đ th hàm s
y cos x
3
2
2
O
2
3
2
5
2
x
Hàm s y tan x .
Hình d ng th hàm s y cos x
Hàm s y tan x có t p xác đ nh D \ k , k , nghĩa là x k
2
2
hàm s y tan f (x ) xác đ nh f (x ) k ; (k ).
2
T p giá tr T .
Hàm s y f (x ) tan x là hàm s l vì f (x ) tan(x ) tan x f (x ) nên đ th
c a hàm s đ i x ng qua g c t a đ O.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 5 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
Hàm s y tan x tu n hồn v i chu kì To y tan(ax b ) tu n hồn v i chu
kì To
a
Giá tr đ c bi t
tan x 0 x k
tan x 1 x k
, (k ).
4
tan x 1 x k
4
y
Đ th hàm s y tan x
3
2
2
y tan x
O
2
3
2
2
x
5
2
Hàm s y cot x .
Hàm s y cot x có t p xác đ nh là D \ k , k , nghĩa là x k ; (k )
hàm s y cot f (x ) xác đ nh f (x ) k ; (k ).
T p giá tr T .
Hàm s y f (x ) cot x là hàm s l vì f (x ) cot(x ) cot x f (x ) nên đ th
c a hàm s đ i x ng qua g c t a đ O.
Hàm s y cot x tu n hồn v i chu kì To y cot(ax b ) tu n hồn v i chu
kì To
a
Giá tr đ c bi t
k
2
cot x 1 x k
, (k ).
4
cot x 1 x k
4
cot x 0 x
y
Đ th hàm s y cot x
y cot x
2
3
2
2
O
2
3
2
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
x
Page - 6 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
Dạng toán 1: Tìm tập xác đònh của hàm số lượng giác
Ph
ng pháp gi i Đ tìm t p xác đ nh c a hàm s l
ng giác ta c n nh
y tan f (x )
sin f (x )
KX
cos f (x ) 0 f (x ) k , (k ).
cos f (x )
2
y cot f (x )
cos f (x )
KX
sin f (x ) 0 f (x ) k , (k ).
sin f (x )
M t s tr
y
y
ng h p tìm t p xác đ nh th
ng g p
1
KX
P (x ) 0.
P (x )
1
2n
P (x )
KX
y 2n P (x )
P (x ) 0.
KX
P (x ) 0.
A 0
r ng 1 sin f (x ); cos f (x ) 1 và A.B 0
B 0
V i k , ta c n nh nh ng tr ng h p đ c bi t
L u
k 2
2
sin x 0 x k
sin x 1 x k 2
2
cos x 1 x k 2
sin x 1 x
Ví d
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
tan x 1 x k
4
Tìm t p xác đ nh c a hàm s
y f (x )
k
2
cos x 1 x k 2
cos x 0 x
k
2
cot x 1 x k
4
cot x 1 x k
4
cot x 0 x
sin 3x
2 cos x
2
1 cos x
tan x 1
Gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 7 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Tìm t p xác đ nh c a hàm s
Mơn Tốn Năm h c
y f (x )
2 x 2
cos x
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
BT
Tìm t p xác đ nh c a các hàm s l
ng giác sau
4
x
b
y cos 2x .
y
1 cos x
sin x
d
2
y tan 5x
3
e
y
2 tan 2x 5
sin 2x 1
f
y
g
y
tan 2x
sin x 1
h
y
cos x 4
sin x 1
i
y
j
y
2 sin x
cos x 1
k
y
l
y
1 sin x
1 cos x
a
y cos
c
cos x 2
1 sin x
cot 2x
1 cos2 x
m y
x
sin x
n
y
o
x2 1
x cos x
p
y
y
Tìm t p xác đ nh c a các hàm s l
a
c
y
y
2 x 2
sin 2x
tan 2x
4
1 sin x
8
tan 2x
1 cos2 x
cos 2x
tan x .
1 sin x
tan 2x
sin x 1
ng giác sau
b
y 2 4x 2 tan 2x .
d
tan x
4
y
1 cos x
3
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 8 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
e
1 tan x
4
y
cos x 2
3
cos x cos 3x
g
y
i
y 2 sin x
k
1 cos x
y cot x
6
1 cos x
1
tan x 1
Mơn Tốn Năm h c
y
h
y cot 2x . tan 2x .
3
j
2
3 sin 4x
cos x 1
f
l
4
sin x cos2 x
1 cot x
3
y
2
tan 3x
4
y
2
Dạng toán 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Ph
ng pháp gi i
D a vào t p giá tr c a hàm s l
1 sin x 1
ng giác ch ng h n
0 sin x 1
0 sin2 x 1
ho c 1 cos x 1
0 cos x 1
0 cos2 x 1
Bi n đ i v d ng m y M .
K t lu n max y M và min y m.
Ví d
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y f (x )
4
5 2 cos2 x sin2 x
Gi i
Ví d
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a f (x ) 3 sin2 x 5 cos 2 x 4 cos 2x 2.
Gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 9 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a f (x ) sin6 x cos6 x 2, x ;
2 2
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s l
a
BT
b
y 1 cos 4x .
c
y 3 sin 2x 4.
d
y 4 5 sin2 2x cos2 2x .
e
y 3 2 sin 4x .
f
y 4 2 sin5 2x 8.
g
y
4
1 3 cos2 x
h
y
i
y
j
y
l
y
k
BT
y 5 3 cos 2x 4.
ng giác sau
2
2
4 2 sin2 3x
4
y
2 cos x 3
6
4
5 2 cos2 x sin2 x
3
3 1 cos x
2
3 sin 2x cos 2x
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s l
ng giác sau
a
y sin2 x cos x 2.
b
y sin4 x 2 cos2 x 1.
c
y cos2 x 2 sin x 2.
d
y sin 4 x cos4 x 4.
e
y 2 cos 2x sin2 x .
f
y sin6 x cos6 x .
g
y sin 2x 3 cos 2x 4.
h
y cos2 x 2 cos 2x .
i
y 2 sin2 x cos 2x .
j
y 2 sin 2x (sin 2x 4 cos 2x ).
k
y 3 sin2 x 5 cos2 x 4 cos 2x .
l
y 4 sin2 x 5 sin 2x 3.
m y (2 sin x cos x )(3 sin x cos x ).
n
y sin x cos x 2 sin x cos x 1.
o
y 1 (sin 2x cos 2x )3 .
p
y 5 sin x 12 cos x 10
q
y 2 sin x 2 sin x 1.
4
r
2
y 2 cos 2x cos 2x 3.
3
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s l
ng giác sau
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 10 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
a
c
f
y sin 2x , x 0;
2
y sin 2x , x ;
4 4
4
y 2 sin2 x cos 2x , x 0;
3
Mơn Tốn Năm h c
b
d
g
2
y cos x , x ; 0
3
3
y sin4 x cos4 x , x 0;
6
3
y cot x , x ;
4
4
4
Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Ph
ng pháp gi i
B
c
B
c
Tìm t p xác đ nh D c a hàm s l ng giác
N u x D thì x D D là t p đ i x ng và chuy n sang b c
Tính f (x ), nghĩa là s thay x b ng x , s có k t qu th ng g p sau
N u f (x ) f (x ) f (x ) là hàm s ch n
N u f (x ) f (x ) f (x ) là hàm s l
L u
N u khơng là t p đ i x ng (x D x D ) ho c f (x ) khơng b ng f (x ) ho c
f (x ) ta s k t lu n hàm s khơng ch n khơng l
Ta th ng s d ng cung góc liên k t d ng cung đ i trong d ng tốn này c th
cos(a ) cos a, sin(a ) sin a, tan(a ) tan a, cot(a ) cot a.
Ví d
a
Xét tính ch n l c a hàm s
b
f (x ) sin2 2x cos 3x .
BT
f (x ) cos x 2 16.
BÀI T P V N D NG
Xét tính ch n l c a các hàm s sau
a y f (x ) tan x cot x .
b y f (x ) tan 7 2x . sin 5x .
9
c y f (x ) sin 2x
d y f (x ) 2 cos3 3x
2
2
e
y f (x) sin3(3x 5) cot(2x 7).
f
y f (x ) cot(4x 5) tan(2x 3).
g
y f (x ) sin 9 x 2 .
h
y f (x ) sin2 2x cos 3x .
Cố gắng hết sức ở giây phút này sẽ đặt bạn vào vò trí tuyệt vời nhất ở những khoảng khắc sau.
O. Winfrey
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 11 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
V i k , ta có các ph
ng trình l
ng giác c b n sau
a b k 2
sin a sin b
a b k 2
tan a tan b a b k.
a b k 2
cos a cos b
a b k 2
cot a cot b a b k.
N u đ bài cho d ng đ (o ) thì ta s chuy n k 2 k 360, k k 180, v i 180o.
Nh ng tr
ng h p đ c bi t
k 2
2
sin x 0 x k
sin x 1 x k 2
2
cos x 1 x k 2
sin x 1 x
Ví d
cos x 0 x
k
2
cot x 1 x k
4
cot x 1 x k
4
cot x 0 x
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
tan x 1 x k
4
Gi i các ph
k
2
cos x 1 x k 2
ng trình
a
1
sin 2x
2
b
cos x 1.
3
c
tan(2x 30o ) 3.
d
cot x 1.
3
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
a
c
ng trình l
2
3
sin 2x 1.
6
sin x sin
ng giác sau gi s đi u ki n đ
b
d
c xác đ nh
1
sin 2x
6 2
cos 2x cos
3
4
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 12 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
e
g
i
k
m
1
cos x
2
f
h
2 sin(x 300 ) 3 0.
2 cos 2x 2 0.
4
j
(1 2 cos x )(3 cos x ) 0.
2 sin 2x 2 cos x 0.
o sin 2x .cos 2x
Mơn Tốn Năm h c
1
0.
4
cos x 1.
6
cot(4x 35o ) 1.
2 cos x 3 0.
6
l
tan(x 300 ). cos(2x 1500 ) 0.
n
sin x 3 sin
p
sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x
x
0.
2
1
16
II. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác
1. Sử dụng thành thạo cung liên kết
Cung đ i nhau
Cung bù nhau
cos(a ) cos a
sin( a ) sin a
sin(a ) sin a
cos( a ) cos a
tan(a ) tan a
tan( a ) tan a
cot(a ) cot a
cot( a ) cot a
Cung h n kém
Cung ph nhau
sin a cos a
2
cos a sin a
2
tan a cot a
2
cot a tan a
2
Cung h n kém
2
sin a cos a
2
cos a sin a
2
sin( a ) sin a
cos( a ) cos a
tan a cot a
2
cot a tan a
2
tan( a ) tan a
cot( a ) cot a
Tính chu k
sin(x k 2) sin x
cos(x k 2) cos x
sin x ( k 2) sin x
cos x ( k 2) cos x
tan(x k ) tan x
cot(x k ) cot x
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 13 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
a
Gi i ph
ng giác sau gi s đi u ki n đ
sin 2x cos x
3
Ví d
a
ng trình l
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình l
b
tan 2x cot x
3
3
ng giác sau gi s đi u ki n đ
sin 3x cos x 0.
3
b
c xác đ nh
c xác đ nh
tan x . tan 3x 1 0.
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau gi s đi u ki n đ
c xác đ nh
a
sin 2x cos x
6
b
2
9
sin 3x cos x
3
4
c
cos 2x sin x .
4
d
2
cos 2x sin x
3
e
cos 4x sin 2x 0.
5
f
2
9
sin 3x cos x
3
4
g
3
cot 2x tan x
4
6
h
tan 3x cot x .
5
Mu n bi n đ i sin thành cos tan thành cot và ng
c l i ta s làm nh th nào
Hãy vi t các cơng th c cung góc liên k t d ng cung góc ph nhau
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau gi s đi u ki n đ
c xác đ nh
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 14 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
a
c
e
g
i
k
b
cos(3x 450 ) cos x .
sin x sin 2x
4
6
tan 3x tan x .
3
cos 3x cos x 0.
3
sin 2x cos x 0.
4
d
f
h
tan 3x tan 2x 0.
4
Mu n b d u tr
Mơn Tốn Năm h c
cos 2x cos x
3
sin 2x sin x 0.
3
4
cot x cot x 0.
4
2
2
7
sin 3x sin x 0.
3
5
j
cos 4x sin x 0.
3
4
l
tan 2x . tan 3x 1.
c sin cos tan cotan ta s làm nh th nào
Hãy vi t cơng th c cung góc liên k t d ng cung đ i nhau
BT
Gi i các ph
a
c
e
f
h
ng trình l
ng giác sau
sin 4x 2 cos2 x 1 0.
sin 5x 2 cos2 x 1.
cos x sin 2x 0.
2
x
cos 5x 1.
2
4
x cos x 3.
sin
9
18
2 sin2
b
d
f
g
i
2 cos 5x . cos 3x sin x cos 8x .
cos 2x cos x cos x sin 2x sin x .
1 tan x
cot2x
1 tan x
4
sin 3x sin 3x 3.
5
5
5
cos 3x sin 3x 2.
3
6
2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng
a b
a b
cos
2
2
cos a cos b 2 sin
a b
a b
cos
2
2
sin a sin b 2 cos
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
a b
a b
sin
2
2
a b
a b
sin
2
2
Khi áp d ng t ng thành tích đ i v i hai hàm sin và cosin thì đ c hai cung m i là
a b a b
;
Do đó khi s d ng nên nh m t ng và hi u hai cung m i này tr c đ
2
2
nhóm h ng t thích h p sao cho xu t hi n nhân t chung cùng cung v i h ng t còn l i
ho c c m ghép khác trong ph ng trình c n gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 15 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình sin 5x sin 3x sin x 0.
Gi i ph
ng trình cos 3x cos 2x cos x 1 0.
Gi i
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
sin x sin 2x sin 3x 0.
b
cos x cos 3x cos 5x 0.
c
1 sin x cos 2x sin 3x 0.
d
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0.
e
sin 3x cos 2x sin x 0.
f
sin x 4 cos x sin 3x 0.
g
cos 3x 2 sin 2x cos x 0.
h
cos x cos 2x sin 3x .
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
sin 5x sin x 2 sin2 x 1.
b
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x.
c
cos 3x 2 sin 2x cos x sin x 1.
d
4 sin 3x sin 5x 2 sin x cos 2x 0.
e
sin 5x sin 3x 2 cos x 1 sin 4x .
f
cos2x sin 3x cos 5x sin10x cos 8x .
g
1 sin x cos 3x cos x sin 2x cos 2x .
h
sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x .
3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos
sin2
1 cos 2
2
tan2
L u
cos2
1 cos 2
1 cos 2
1 cos 2
2
cot2
1 cos 2
1 cos 2
đ i v i cơng th c h b c c a sin và cosin
M i l n h b c xu t hi n h ng s
1
và cung góc tăng g p đơi
2
M c đích c a vi c h b c h b c đ tri t tiêu h ng s khơng mong mu n và nhóm
h ng t thích h p đ sau khi áp d ng cơng th c t ng thành tích sau khi h b c s
xu t hi n nhân t chung ho c làm bài tốn đ n gi n h n
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 16 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
1
cos10x .
2
Gi i ph
ng trình sin2 2x cos2 8x
Gi i ph
ng trình cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x
Gi i
Ví d
3
2
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
a
sin2 x
c
cos2 x
e
ng trình l
ng giác sau
1
2
2 3
4
7
2
sin2 3x sin2 x
3
4
g
sin2 2x sin2 x 1.
i
sin2 x sin2 2x sin2 3x
k
3
2
sin2 x sin2 2x sin2 3x 2.
3
cos2 2x
4 4
d
4 sin2 x 1 0.
f
1
cos4 x sin 4 x
4 4
h
sin2 2x cos2 3x 1.
j
cos2 x cos2 2x cos2 3x
l
2
n
8
Gi i các ph ng trình l ng giác sau
a sin2 4x cos2 6x sin10x, x 0; b
2
m sin 3 x cos x sin x cos3 x
BT
b
3
2
sin2 x sin2 3x cos2 2x cos2 4x .
sin 3 x cos x sin x cos3 x
2
4
5x
9x
cos3x sin7x 2sin2 2cos2
4 2
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 17 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
c
Mơn Tốn Năm h c
2 sin2 2x sin 7x 1 sin x .
7
cos2 x cos2 2x cos2 3x
3
4
d
g
sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x.
h
tan2 x sin2 2x 4 cos2 x .
i
cos2 3x .cos 2x cos2 x 0.
j
4 sin2
e
f
cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x 2.
sin2 4x cos2 6x sin 10x, x 0;
2
2
x
3
3 cos2x 1 2cos2 x
2
4
4. Xác đònh nhân tử chung để đưa về phương trình tích số
Đa s đ thi ki m tra th ng là nh ng ph ng trình đ a v tích s Do đó tr c khi gi i
ta ph i quan sát xem chúng có nh ng l ng nhân t chung nào sau đó đ nh h ng đ
tách ghép nhóm phù h p M t s l ng nhân t th ng g p
— Các bi u th c có nhân t chung v i cos x sin x th
ng g p là
1 sin 2x sin2 x 2 sin x cos x cos2 x (sin x cos x )2 .
cos 2x cos2 x sin2 x (cos x sin x )(cos x sin x ).
cos4x sin4 x (cos2 x sin2 x )(cos2 x sin2 x ) (cos x sin x )(cos x sin x ).
cos3x sin 3 x (cos x sin x )(1 sin x cos x ).
1 tan x 1
sin x
cos x sin x
cos x
cos x
cos x
sin x cos x
sin x
sin x
1
cos x sin x
(sin x cos x ).
4
4
2
1 cot x 1
1
sin x cos x
(sin x cos x )............
4
4
2
— Nhìn d
i góc đ h ng đ ng th c s 3, d ng a 2 b 2 (a b )(a b), ch ng h n
sin2 x 12 cos2 x (1 cos x )(1 cos x )
sin x cos x 1 2
2
2
cos x 1 sin x (1 sin x )(1 sin x )
2
2
cos3 x cos x . cos2 x cos x .(12 sin2 x ) cos x (1 sin x )(1 sin x ).
sin 3 x sin x .sin 2 x sin x .(12 cos 2 x ) sin x (1 cos x )(1 cos x ).
3 4 cos2 x 3 4(1 sin2 x ) (2 sin x )2 12 (2 sin x 1)(2 sin x 1).
sin 2x (1 sin 2x ) 1 (sin x cos x )2 12 (sin x cos x 1)(sin x cos x 1).
2(cos4x sin 4 x ) 1 3 cos2 x sin2 x ( 3 cos x sin x )( 3 sin x cos x ).........
— Phân tích tam th c b c hai d ng f (X ) aX 2 bX c a.(X X1 ) (X X 2 ) v i X
có th là sin x , cos x ,....
và X1, X 2 là nghi m c a f (X ) 0.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 18 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình 2 cos x 3 sin x sin 2x 3.
Gi i ph
ng trình cos 2x (1 sin x )(sin x cos x ) 0.
Gi i ph
ng trình (sin x cos x 1)(2 sin x cos x ) sin 2x 0.
Gi i ph
ng trình (2 sin x 3)(sin x cos x 3) 1 4 cos2 x .
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
sin 2x 3 sin x 0.
b
(sin x cos x )2 1 cos x .
c
sin x cos x cos 2x .
d
cos 2x (1 2 cos x )(sin x cos x ) 0.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 19 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
BT
BT
e
(tan x 1)sin2 x cos 2x 0.
f
sin x .(1 cos 2x ) sin 2x 1 cos x .
g
sin 2x cos x 2 sin x 1.
4
h
1 cos 2x
2 cos x
1 cot x .
4
sin x
i
1 tan x 2 2 sin x
4
j
Gi i các ph
ng trình l
cos x cos 3x 1 2 sin 2x
4
ng giác sau
a
2 sin2 x 3 sin x cos x cos2 x 1. b
c
4 sin2 x 3 3 sin 2x 2 cos 2 x 4.
d
(cos x 1)(cos2x 2cos x ) 2 sin2 x 0.
e
(2cosx 1)(sin2x 2sinx 2) 4cos2 x 1. f
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx 3) 4sin2 x 1.
g
(2sin x 1)(2sin2x 1) 4 cos2 x 3.
h
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx 1) 3 4cos2 x.
i
sin2x (sinx cosx 1)(2sinx cosx 2). j
Gi i các ph
a
BT
Mơn Tốn Năm h c
ng trình l
4sin2x sin x 2sin2x 2sin x 4 4cos2 x.
2(cos4 x sin 4 x ) 1 3 cos x sin x .
ng giác sau
sin x 4 cos x 2 sin 2x .
b
sin 2x 3 2 cos x 3 sin x .
c
2(sin x 2 cos x ) 2 sin 2x .
d
sin 2x sin x 2 4 cos x .
e
sin 2x 2 cos x sin x 1 0.
f
sin 2x 2 sin x 2 cos x 2 0.
g
sin 2x 1 6 sin x cos 2x .
h
sin 2x cos 2x 2 sin x 1.
i
sin 2x 2 sin x 1 cos 2x .
j
sin x (1 cos 2x ) sin 2x 1 cos x .
l
sin 2x sin x 2 cos 2x 1.
m (2cos x 1)(2sin x cos x) sin2x sin x.
n
tan x cot x 2(sin 2x cos 2x ).
o
(1 sin2 x)cosx (1 cos2 x)sinx 1 sin2x.
p
sin 2x 2 sin2 x sin x cos x .
q
cos 3x cos x 2 3 cos 2x sin x .
r
cos 3x cos x 2 sin x cos 2x .
s
2 sin2 x sin 2x sin x cos x 1.
t
cos x tan x 1 tan x sin x .
u
tan x sin 2x 2 cot2x .
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
cos x 2sin x.(1 cos x )2 2 2sin x.
b
2(cos x sin 2x ) 1 4 sin x (1 cos2x ).
c
x
1 sin x cos x 2 sin x cos 2
2
d
sin 2x cos x 2 sin x 1.
4
e
2
sin 2x sin x
2
4
4
f
2
cos x sin 2x
4
2
4
g
sin 3 x cos3 x sin x cos x .
h
sin 3 x cos3 x 2(sin5 x cos5 x ).
i
2 sin 3 x cos 2x cos x 0.
j
5
sin8 x cos8 x 2(sin10 x cos10 x) cos2x.
4
l
sin 2x cos 2x 2 sin x 0.
m tan 2x cot x 8 cos2 x .
n 3sin3x 2 sin x(3 8cos x) 3cos x.
o
2 sin x (2 cos 2x 1 sin x ) cos 2x 2.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 20 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
Mơn Tốn Năm h c
III. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác
Quan sát và dùng các cơng th c bi n đ i đ đ a ph ng trình v cùng m t hàm l ng giác
cùng sin ho c cùng cos ho c cùng tan ho c cùng cot v i cung góc gi ng nhau ch ng h n
D ng
Đ t n ph
Đi u ki n
a sin2 X b sin X c 0
t sin X
1 t 1
a cos2 X b cos X c 0
t cos X
1 t 1
a tan2 X b tan X c 0
t tan X
a cot2 X b cot X c 0
t cot X
X
k
2
X k
N u đ t t sin2 X , cos2 X ho c t sin X , cos X thì đi u ki n là 0 t 1
Ví d
Gi i ph
ng trình 4 cos2 x 4 sin x 1 0.
Gi i ph
ng trình cos 2x 3 cos x 2 0.
Gi i ph
ng trình 3 cos 2x 7 sin x 2 0.
Gi i ph
ng trình 4 sin 4 x 5 cos2 x 4 0.
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 21 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình cos 4x 12 sin2 x 1 0.
Gi i ph
1
2
5
ng trình tan2 x
0.
2
cos x 2
Gi i
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
BT
ng giác sau
a
2 sin2 x sin x 1 0.
b
4 sin2 x 12 sin x 7 0.
c
2 2 sin2 x (2 2)sin x 1 0.
d
2 sin 3 x sin2 x 2 sin x 1 0.
e
2 cos2 x 3 cos x 1 0.
f
2 cos2 x 3 cos x 2 0.
g
2 cos2 x ( 2 2) cos x 2.
g
4 cos2 x 2( 3 2)cos x 6.
i
tan2 x 2 3 tan x 3 0.
j
2 tan2 x 2 3 tan x 3 0.
k
tan2 x (1 3) tan x 3 0.
l
3 cot2 x 2 3 cot x 1 0.
m
BT
ng trình l
3 cot2 x (1 3)cot x 1 0.
Gi i các ph
ng trình l
n
3 cot2 x (1 3)cot x 1 0.
ng giác sau
a
6 cos2 x 5 sin x 2 0.
b
2 cos2 x 5 sin x 4 0.
c
3 4 cos2 x sin x (2 sin x 1).
d
sin2 x 3 cos x 3 0.
e
2 sin2 x 3 cos x 3 0.
f
2 cos2 2x 5 sin 2x 1 0.
g
3 sin2 x 2 cos4 x 2 0.
h
4 sin 4 x 12 cos2 x 7.
i
4 cos 4 x 4 sin2 x 1.
j
4 sin 4 x 5 cos2 x 4 0.
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
2 cos 2x 8 cos x 5 0.
b
1 cos 2x 2 cos x .
c
9 sin x cos 2x 8.
d
2 cos 2x 5 sin x 0.
e
3 sin x cos 2x 2.
f
2 cos 2x 8 sin x 5 0.
g
2 cos2 2x 5 sin 2x 1 0.
g
5 cos x 2 sin
x
7 0.
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 22 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
h
BT
BT
Gi i các ph
cos 2x cos2 x sin x 2 0.
ng giác sau
3 cos2 x 2 cos 2x 3 sin x 1.
b cos 4x 12 sin2 x 1 0.
c
cos 4x 2 cos2 x 1 0.
d
16 sin2
e
cos 2x 2 cos x 2 sin2
f
cos 2x 3 cos x 4 cos2
g
1 cos 4x 2 sin2 x 0.
h
8 cos2 x cos 4x 1.
i
6 sin2 3x cos12x 4.
j
5(1 cos x ) 2 sin 4 x cos 4 x .
k
cos4 x sin 4 x cos 4x 0.
l
4(sin4 x cos4 x ) cos 4x sin 2x 0.
b
cos2 x 4 cos x 4.
3
6
Gi i các ph
ng trình l
x
2
x
cos 2x 15.
2
x
2
ng giác sau
a
2
cos 2x 3 cos x 1 0.
3
3
c
4 cos2 (6x 2) 16 cos2 (1 3x ) 13. d
5
5 cos 2x 4 sin x 9.
3
6
e
7
5
sin2x 3cosx 1 2sin x. f
2
2
cos2x 3 sin 2x 3 sin x 4 cos x .
g
3 sin2x 3 sin x cos2x cos x 2. h
1
1
7. j
4sin2 x 2 4 sin x
sin x
sin x
Gi i các ph
a
c
e
g
BT
ng trình l
k
a
i
BT
sin2 x cos 2x cos x 2.
Mơn Tốn Năm h c
ng trình l
2
sin x
cos2 x
1
cos x 1
2
2
cos x
cos2 x
ng giác sau
3
3 2 tan2 x .
2
cos x
3
4 2
2cos2 x 2 9
cos x 1.
cos x cos x
b
1
3 cot2 x 5.
2
cos x
3 cot x 3.
d
9 13 cos x
3
cos x
f
1
2
5
tan2 x
0.
2
cos x 2
g
2 sin2 x tan2 x 2.
2 tan2 x 3
3 sin x cos x
Gi i các ph
1
cos x
ng trình l
4
0.
1 tan2 x
ng giác sau
a
8 sin x cos x cos 4x 3 0.
b
2 sin2 8x 6 sin 4x cos 4x 5.
c
cos x
1 sin x .
1 sin x
d
1 cos x (2 cos x 1) 2. sin x
1.
1 cos x
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 23 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
BT
Mơn Tốn Năm h c
f
2 sin2 x 3 2 sin x sin 2x 1
1.
(sin x cos x )2
g
3
4 2sin2x
2 3 2(cot x 1).
2
sin2x
cos x
3 cos 4x 2 cos2 x 3 8 cos6 x .
k
3 cos x 2 3(1 cos x ).cot2 x .
l
sin 3x cos 2x 1 2 sin x cos 2x .
m 2 cos 5x . cos 3x sin x cos 8x .
n
4(sin6 x cos6 x ) 4 sin 2x .
o
sin 4x 2 cos 3x 4 sin x cos x .
b
3tan2x
e
3 sin 2x 2 sin x
2.
sin 2x cos x
g
2 cos 2x 8 cos x 7
h
Gi i các ph
ng trình l
1
cos x
ng giác sau
cos2 x cos3 x 1
cos2 x
3
2tanx 2
4cos2 x 2.
cos2x 1 tan x
a
cos2x tan2 x
c
(2 tan2 x 1)cos x 2 cos 2x .
d
2cos2 x 3 cos x 2cos 3x 4 sin x sin2x.
e
4 sin x 3 2(1 sin x ) tan 2 x .
f
2sin3 x 3 (3sin2 x 2sin x 3)tan x .
g
5 sin x 3(1 cos x )cot2 x 2.
2
g
3 sin2 x 2 sin x 3
3 2 sin 3 x .
cot x
h
5sin x
cos 3x sin 3x
3 cos2x.
1 2sin2x
k
3
1 tanx tan x
tan
2
3
sin
x
x
2
cos2 x
2. Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)
D ng t ng qt a sin x b cos x c
Đi u ki n có nghi m c a ph
Ph
() , a, b \ 0
ng trình a 2 b 2 c 2 , ki m tra tr
c khi gi i
ng pháp gi i
Chia
Gi s
v
a 2 b 2 0, thì ()
cos
a
2
a b
2
, sin
a
a 2 b2
b
2
2
sin x
b
a 2 b2
cos x
c
a 2 b2
()
, 0;2 thì
a b
c
c
() sin x cos cos x sin
sin(x )
: d ng c b n
a 2 b2
a 2 b2
sin a cos b cos a sin b sin(a b)
L u
Hai cơng th c s d ng nhi u nh t là
cos a cos b sin a sin b cos(a b)
Các d ng có cách gi i t ng t
2
2
a b cos nx
a.sin mx b.cos mx
, (a 2 b2 0)
PP
2
2
Chia : a 2 b2 .
a b sin nx
a.sin mx b.cos mx c.sin nx d.cos nx, (a 2 b 2 c2 d 2 )
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 24 -
