Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển
động tròn đều

I. Về vòng tròn lượng giác
Hầu hết các bài tập về dao động cơ điều hòa đều có thể giải nhanh hơn nhờ sử dụng
mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. Do đó, việc nắm vững
được kiến thức về vòng tròn lượng giác là rất cần thiết. Hình sau đây là hình ảnh mà
các bạn nên rèn luyện để có thể tự vẽ lại được trên giấy và hình dung được trong đầu
mỗi khi cần dùng đến.

II. Căn bản về dao động điều hòa
1. Dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp đi lặp lại nhiều lần quanh
vị trí cân bằng.


2. Dao động tuần hoàn là dao động mà trong đó một trạng thái dao động của vật được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng
nhau. Khoảng thời gian này được gọi là chu kỳ dao động.
3. Dao động điều hòa là dao động có quỹ đạo là một đoạn thẳng và có li độ là một hàm sin hay cosin theo thời gian. Phương trình li độ có
dạng chuẩn (thường dùng) là:

Trong đó
x là li độ của vật (ta hiểu là độ lệch vị trí của vật so với vị trí cân bằng) (Đơn vị là m hay cm)
A là biên độ dao động (hay li độ cực đại) (Đơn vị là m hay cm)

là tần số góc của dao động (Đơn vị là rad/s)

là pha ban đầu (Đơn vị là rad)
(

) là pha dao động tại thời điểm t (gọi vắn tắt là pha của li độ) (Đơn vị là rad)

Dưới đây là ảnh động minh họa dao động điều hòa:

•

Hình giữa: Vật m (màu đỏ) dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Vị trí
cân bằng là vị trí của vật m khi nó còn đứng yên được đánh dấu bằng đoạn
------. Vị trí biên trên là vị trí cao nhất của vật; vị trí biên dưới là vị trí thấp nhất
của vật.


Hình bên trái (Example 1) và hình bên phải (Example 2) là minh họa dao động
điều hòa trong thực tế: Hình bên trái là con lắc lò xo; hình bên phải là con lắc
xoắn.
Chú ý: Quỹ đạo của một vật dao động điều hòa là một đoạn thẳng có chiều dài
bằng 2 lần biên độ A.
4. Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
•

Một chất điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng với tần số góc

luôn có thể

được coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều với tốc độ góc
một đường kính là đoạn thẳng đó.

lên

Giải thích: Xét một điểm M chuyển động tròn đều với tốc độ góc
trên vòng tròn
tâm O, bán kính bằng A theo chiều dương lượng giác (ngược chiều kim đồng hồ)

•

.Lúc t = 0: M ở vị trí Mo ứng với đỉnh cung bằng pha ban đầu
của dao động
điều hòa. Hình chiếu của điểm Mo lên đường kính mang trục Ox cho ta biết vị trí
và hướng chuyển động của điểm P dao động điều hòa lúc t = 0.

Tại thời điểm t: M ở vị trí Mt ứng với đỉnh cung bằng pha dao động (
) tại
thời điểm này. Hình chiếu của điểm Mt lên đường kính mang trục Ox cho ta biết
vị trí và hướng chuyển động của điểm P dao động điều hòa lúc t đang xét.
Nhận xét: Trong thời gian t giây, điểm M chuyển động tròn đều (gắn liền với điểm P
•

dao động điều hòa đang xét) đi được một cung bằng

theo chiều dương lượng

giác., nghĩa là bán kính OM quay được một góc là
cũng theo chiều dương lượng
giác.
Xem video minh họa về liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

5. Chu kỳ là khoảng thời gian ngắn nhất để một trạng thái dao động đựoc lặp lại như
cũ (cũng chính là khoảng thời gian mà vật thực hiện được một dao động), ký hiệu là T,
đơn vị là giây (s)
Công thức liên hệ giữa chu kỳ vâ tần số góc là

Thời gian một chất điểm dao động điều hòa đi từ li độ đặc biệt này đến li độ đặc biệt
khác cho bởi hình sau:

6.. Tần số là số dao động mà vật thực hiện được trong một giây, bằng nghịch đảo của
chu kỳ, ký hiệu là f, đơn vị là Hz.
•
Công thức liên hệ giữa tần số và chu kỳ là

•

Công thức liên hệ giữa tần số và tần số góc là

6. Vận tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm của li độ x theo t : v = x'
Nếu li độ của chất điểm dao động điều hòa có phương trình
thì vận tốc có phương trình

Vì
và
phương trình v ở trên thành

nên có thể biến đổi

Ta thấy rằng:
•

Vận tốc của chất điểm dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa cùng tần
số nhưng sớm pha

so với li độ (v là đại lượng đại số).

Vận tốc của chất điểm dao động điều hòa có độ lớn cực đại
khi
nó qua vị trí cân bằng (qua li độ x = 0).
7. Hệ thức độc lập trong dao động điều hòa: Vì vận tốc v là li độ x của dao động điều
hòa vuông pha nhau nên giữa v và x có hệ thức độc lập (chứng minh được bằng cách
bình phương tỉ số x/A rồi cộng với bình phương của tỉ số v/v max)
•


tương đương với

8. Gia tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm bậc 2 của li độ x theo t : a = x"
Dễ dàng chứng minh được rằng dù phương trình li độ có dạng sin hay dạng cos thì
quan hệ giữa gia tốc và li độ là
Ta thấy rằng:
• Gia tốc trong dao động điều hòa ngược pha (đối pha) với li độ, tức là sớm

•

pha
so với vận tốc.
Gia tốc trong dao động điều hòa có độ lớn cực đại khi vật ở một trong hai vị
trí biên (x = + A hoặc x = - A).

Chú ý: Vì gia tốc a cũng vuông pha với vận tốc v nên giữa a và v cũng có hệ thức độc
lập

9. Cơ năng dao động của một chất điểm dao động điều hòa bảo toàn (không đổi) và tỉ
lệ với bình phương biên độ dao động của vật, ký hiệu là W, đơn vị J (đọc là "jun")

Trong đó:
• Wt là thế năng:

•

Wđ là động năng


Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số f' bằng 2 lần tần số f của li
độ, nghĩa là có chu kỳ T' bằng 1/2 chu kỳ T của li độ.
10. Lực kéo về (còn gọi là lực hồi phục hay hợp lực gây ra dao động điều hòa) là một
đại lượng vectơ có hướng luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và tuân theo định luật
II Niutơn: Fkv = m.a trong đó a là gia tốc của vật. Fkv là đại lượng đại số.

Ta thấy rằng:
•

Độ lớn của lực kéo về là

•

Lực kéo về có độ lớn cực đại khi vật ở một trong hai vị trí biên.(x = +A hoặc x
= - A) và triệt tiêu (bằng 0) khi vật qua vị trí cân bằng (x = 0).

•

Với hệ con lắc lò xo (xem bài con lắc lò xo) ta có

nên suy được: Fkv = - k.x , do đó, đối với hệ này thì Fkvmax = k.A