Chuyên đề phương trình chứa căn thức hay

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA

Dạng 1 : Phương trình
Dạng 2: Phương trình
Dạng 3: Phương trình

 A ≥ 0( B ≥ 0)
A= B⇔
A = B
B ≥ 0
A=B⇔
2 Tổng quát:
A = B

2k

B ≥ 0
A=B⇔
2k
A = B

3
3
3
3
+) A + B = C ⇔ A + B + 3 A.B

(

3

om

A ≥ 0

+) A + B = C ⇔ B ≥ 0
(chuyển về dạng 2)

 A + B + 2 AB = C

)

A + 3 B = C (1)

Dạng 4:

3

A = B ⇔ A = B3 ;

2 k +1

A = B ⇔ A = B 2 k +1

oc

Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1).

.c

và ta sử dụng phép thế : 3 A + 3 B = C ta được phương trình : A + B + 3 3 A.B.C = C (2)

- Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện cho 2 vế không âm là một
phép biến đổi hệ quả. Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại.
Giải các phương trình sau:

x2 − 4x + 6 = x + 4

2)

x 2 − 2x + 4 = 2 − x

3) ( x − 3) x 2 − 4 = x 2 − 9

4)

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2

5)

x 2 − 3x + 2 − 3 − x = 0

6)

8)

4 − 1− x = 2 − x

9)

16)

x + 5 + 3 x + 6 = 3 2 x + 11
x + 3 − 7 − x = 2x − 8
y − 14 − 12 − y = 0

18)

x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6 x + 5 = 2 x 2 + 9 x + 7

(20)

on
g

7) 3x − 3 3x − 1 = 5

cu

1)

3

Nếu phương trình :

17)

12)

15)

x −1 − x − 2 = x − 3
x + 2 − 3 − x = 5 − 2x

3x2 + 6x + 16 + x2 + 2x = 2 x2 + 2x + 4

19)

x +1 = x + 9 − 2

20)

x2 + 9 − x2 − 7 = 2

f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau đó bình phương ,giải phương trình hệ

kh

x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x+3

 Nhận xét :
Nếu phương trình :

đổi

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0
5 x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0

x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x

f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thì ta biến

đổi phương trình về dạng

(21)

3

3

x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2

 Nhận xét :

quả

11)
14)

bo

10)
13)

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2

f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) .h ( x ) = k ( x ) .g ( x ) thì ta biến

f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả
2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Các phương trình có dạng :
∗ α A.B + β A.B + γ = 0 , đặt t = A.B ⇒ A.B = t 2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
∗ α . f ( x ) + β . f ( x ) + γ = 0 , đặt t =
∗ α .( x − a )( x − b) + β ( x − a )

f ( x) ⇒ f ( x) = t 2

x −b
x −b
+ γ = 0 đặt t = ( x − a )
⇒ ( x − a)( x − b) = t 2
x−a
x−a

Chú ý:
∗ Nếu không có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lại
Bài 1. Giải các phương trình sau:
7) 5 x 2 + 10 x + 1 = 7 − x 2 − 2 x
1) ( x + 1)( x + 4) = 5 x 2 + 5 x + 28

2)

( x − 3) 2 + 3x − 22 =

3) x( x + 5) = 23 x 2 + 5 x − 2 − 2

x 2 − 3x + 7

5) − 4 (4 − x)(2 + x) = x 2 − 2 x − 12 6) (4 + x)(6 − x) = x 2 − 2 x − 12
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm?
a) (1 + 2 x)(3 − x) = 2 x 2 − 5 x + 3 + m
b) − x 2 + 2 x + 4 ( 3 − x )( x + 1) = m − 3

om

4) x 2 − 4 x + 2 = 2 x 2 − 4 x + 5

A ± B±

(

A± B

)

Bài 1. Giải các phương trình sau:
2
x − x2 = x + 1− x
a) (QGHN-HVNH’00) 1 +
3

b)

2 x

= 2x +

1
+4
2x

(Đ36)

cu

5

+C = 0

Đặt

t= A± B

2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5x + 3 - 2

c) (AN’01) 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 = 181 − 14 x
e) 5 x +

2

oc

Dạng 2: Các phương trình có dạng:

.c

Bài 3. Cho phương trình: − x 2 + 2 x + 4 (3 − x)( x + 1) = m − 2
a. Giải phương trình khi m = 12
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
x+1
Bài 4. Cho phương trình: (x − 3)(x + 1)+ 4(x − 3)
(Đ3)
=m
x− 3
a. Giải phương trình với m = -3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?

d)

g) (TN- KA, B ‘01) 3 x +

3

x+ 4 + x− 4
= x + x2 − 16 − 6
2

2 x

= 2x +

1
−7

2x

z − 1 + z + 3 + 2 ( z − 1)( z + 3) = 4 − 2 z i)

kh

on
g

bo

3 x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3x 2 − 5 x + 2 (KTQS‘01)
1 + x + 8 − x − (1 + x )( 8 − x ) = a
Bài 2. Cho phương trình:
(ĐHKTQD - 1998)
a. Giải phương trình khi a = 3.
b. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?
Bài 3. Cho phương trình: 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m (Đ59)
a. Giải phương trình với m = 3.
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
x + 1 + 3 − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000)
Bài 4. Cho phương trình:
a. Giải phương trình khi m = 2.
b. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 5. Tìm a để PT sau có nghiệm: 2 + x + 2 − x − ( 2 + x )( 2 − x ) = a
Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau:
a) Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất? (ĐK cần và đủ)
b) Tìm a để phương trình đã cho vô nghiệm?
h)

Dạng 3: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu. (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )

 Từ những phương trình tích

(

)(

x +1 −1

)

x +1 − x + 2 = 0 ,

(

2x + 3 − x

)(

)

2x + 3 − x + 2 = 0

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương
trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ

(

)

2
2
2
sau .Bài 1. Giải phương trình : x + 3 − x + 2 x = 1 + 2 x + 2

Giải: Đặt t =

t = 3
2
x 2 + 2 , ta có : t − ( 2 + x ) t − 3 + 3 x = 0 ⇔ t = x − 1


2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Bài 2. Giải phương trình : ( x + 1)

x2 − 2x + 3 = x2 + 1

Giải:

2
2
Đặt : t = x 2 − 2 x + 3, t ≥ 2
Khi đó phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + 1 ⇔ x + 1 − ( x + 1) t = 0
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn :

t = 2
x 2 − 2 x + 3 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ t 2 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ 
t = x − 1

(

1− x − 2 1+ x

)(

)

1 − x − 2 + 1 + x = 0 , khai triển ra ta sẽ được pt

sau
Bài 3. Giải phương trình sau : 4 x + 1 − 1 = 3 x + 2 1 − x + 1 − x 2
Giải:
Nhận xét : đặt t = 1 − x , pttt: 4 1 + x = 3 x + 2t + t 1 + x (1)

)

(

)

1+ x −1 = 0

(

Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t ∆ = 2 + 1 + x

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo
Cụ thể như sau : 3 x = − ( 1 − x ) + 2 ( 1 + x )

(

) (
2

1− x ,

2

1+ x

)

− 48

(

)

x +1 −1

2

oc

không có dạng bình phương .

)

.c

(

2
Ta rút x = 1 − t 2 thay vào thì được pt: 3t − 2 + 1 + x t + 4

om

Từ một phương trình đơn giản :

thay vào pt (1) ta được:

cu

Bài 4. Giải phương trình: 2 2 x + 4 + 4 2 − x = 9 x 2 + 16
Giải .

(

)

2
2
Bình phương 2 vế phương trình: 4 ( 2 x + 4 ) + 16 2 4 − x + 16 ( 2 − x ) = 9 x + 16

(

)
= α 2 ( 4 − x ) + ( 9 + 2α ) x

2
Ta đặt : t = 2 4 − x ≥ 0 . Ta được: 9 x 2 − 16t − 32 + 8 x = 0
2

2

− 8α làm sao cho ∆ t có dạng chính phương .

bo

2
Ta phải tách 9 x

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau
1) ( 4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1
2) 2(1 − x ) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1
3) x2 + x + 12 x + 1 = 36
5) 4 1 + x − 3 = x + 3 1 − x + 1 − x 2
6) sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1


x−1
1
1
2
2 x+ y

+ 2 cos( x + y )  = 13 + 4 cos 2 ( x + y )
7) 2x +
8) 4 3. 4 x − x sin
− 1− − 3 x − = 0
2


x
x
x
12
12
(9) 12 − 2 + x 2 − 2 = x 2
x
x

on
g

4) 1+ x − 2x2 = 4x2 − 1 − 2x + 1

Một số dạng khác.

(

kh

1) 9( x + 1) 2 = ( 3 x + 7 ) 1 − 3 x + 4

(

4) 10. x 3 + 8 = 3 x 2 − x + 6
7) x +

10)

x

x 2 −1

=

)

35
12

x
x +1
−2
= 3 (Đ141)
x +1
x

)

2

5)
8)

2) x 2 − 3 x + 1 = −
4

3
x4 + x2 +1
3

x − x2 −1 + x + x2 −1 = 2

3)
6)

x 3 − 1 = x 2 + 3x − 1

6x
12 x
12 x
−
− 24
=0
x−2
x−2
x−2

1
3x
1− x 2 + x 2
3x
=

−
1
⇔
=
−1
2
2
2
1− x
1− x
1− x
1− x 2
4x 2
= 2x + 9
11)
2
1− 1 + 2x

(

)

Dạng 4: . Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
2
2
 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = 0 (1) bằng cách

3

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
2

u
u
Xét v ≠ 0 phương trình trở thành :   + α   + β = 0
v
v
v = 0 thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)


a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )


α u + β v = mu 2 + nv 2
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ
theo dạng này .

om

a) . Phương trình dạng : a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )

 P ( x ) = A ( x ) .B ( x )
Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x )

Như vậy phương trình Q ( x ) = α P ( x ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ đẳng thức :

.c

x 3 + 1 = ( x + 1) ( x 2 − x + 1)

x 4 + x 2 + 1 = ( x 4 + 2 x 2 + 1) − x 2 = ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1)

(

)(

)

oc

x4 + 1 = x2 − 2 x + 1 x2 + 2x + 1

4 x 4 + 1 = ( 2 x 2 − 2 x + 1) ( 2 x 2 + 2 x + 1)

(

cu

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x 2 − 2 2 x + 4 = x 4 + 1
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at 2 + bt − c = 0
giải “ nghiệm đẹp”

)

2
3
Bài 1. Giải phương trình : 2 x + 2 = 5 x + 1

Giải: Đặt u =

x + 1, v = x 2 − x + 1

bo

u = 2v
Phương trình trở thành : 2 ( u + v ) = 5uv ⇔ 
u = 1 v
2

3 4
Bài 2. Giải phương trình : x 2 − 3 x + 1 = −
x + x2 + 1
3

on
g

2

2

Tìm được: x =

5 ± 37
2

Bài 3: giải phương trình sau : 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x3 − 1

Giải:
Đk: x ≥ 1

(

)

( x − 1) ( x 2 + x + 1)

2
Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β x + x + 1 = 7

(

)

kh

2
Đồng nhất thức ta được: 3 ( x − 1) + 2 x + x + 1 = 7

( x − 1) ( x 2 + x + 1)

v = 9u
Đặt u = x − 1 ≥ 0 , v = x + x + 1 > 0 , ta được: 3u + 2v = 7 uv ⇔ 
v = 1 u
4

Ta được : x = 4 ± 6
2

Bài 4. Giải phương trình : x 3 − 3 x 2 + 2
Giải:
Nhận xét : Đặt y =

( x + 2)

3

− 6x = 0

x + 2 ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
x = y
x 3 − 3 x 2 + 2 y 3 − 6 x = 0 ⇔ x3 − 3xy 2 + 2 y 3 = 0 ⇔ 
 x = −2 y
Pt có nghiệm : x = 2, x = 2 − 2 3
b).Phương trình dạng : α u + β v = mu 2 + nv 2
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế
thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. giải phương trình : x 2 + 3 x 2 − 1 = x 4 − x 2 + 1
Giải:

Đk x ≥
2

1
. Bình phương 2 vế ta có :
2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = x 2 + 1 ⇔

(x

2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = ( x 2 + 2 x ) − ( 2 x − 1)

oc

(x

x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3x 2 + 4 x + 1

.c

Bài 2.Giải phương trình sau :
Giải

om

u = x 2
Ta đặt : 
khi đó phương trình trở thành : u + 3v = u 2 − v 2
2
v = x − 1


1− 5
u=
v

u = x + 2 x
2
2
2
Ta có thể đặt : 
khi đó ta có hệ : uv = u − v ⇔ 

v
=
2
x
−
1
1+ 5

v
u =

2
1+ 5
1+ 5
Do u , v ≥ 0 . u =
v ⇔ x2 + 2x =
( 2 x − 1)

2
2
5 x 2 − 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1

bo

Bài 3. giải phương trình :
Giải:

cu

2

2
Đk x ≥ 5 . Chuyển vế bình phương ta được: 2 x − 5 x + 2 = 5

(

(x

2

− x − 20 ) ( x + 1)

)

2
2
Nhận xét : không tồn tại số α , β để : 2 x − 5 x + 2 = α x − x − 20 + β ( x + 1) vậy ta không thể đặt

on
g

u = x 2 − x − 20
.

v = x + 1

(

)

(

)

2
2
Nhưng may mắn ta có : x − x − 20 ( x + 1) = ( x + 4 ) ( x − 5 ) ( x + 1) = ( x + 4 ) x − 4 x − 5 . Ta viết lại

(

)

2
2
phương trình: 2 x − 4 x − 5 + 3 ( x + 4 ) = 5 ( x − 4 x − 5)( x + 4) . Đến đây bài toán được giải quyết .

kh

Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi
giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có
3

a 3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = 0
3

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .

7 x + 1 − 3 x2 − x − 8 + 3 x2 − 8x + 1 = 2
3
3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0
Bài 1. Giải phương trình : x = 2 − x . 3 − x + 3 − x . 5 − x + 5 − x . 2 − x
3

5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
u = 2 − x

Giải : v = 3 − x , ta có :

 w = 5 − x
30
239
u=

⇔x=
60
120

( u + v ) ( u + w ) = 2
2 − u 2 = uv + vw + wu


2
3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = 3 , giải hệ ta được:
5 − w2 = uv + vw + wu


( v + w ) ( u + w ) = 5

Bài 2. Giải phương trình sau : 2 x 2 − 1 + x 2 − 3 x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2

2x2 − 1
x 2 − 3x − 2
2x2 + 2x + 3

a + b = c + d

, khi đó ta có : 

2
2
2
2
a − b = c − d

om

a =

b =
Giải . Ta đặt : 
c =

d =

⇔ x = −2

x2 − x + 2

.c

Bài 3. Giải các phương trình sau
1)
4 x2 + 5x + 1 − 2 x2 − x + 1 = 9 x − 3

x + 4 x ( 1 − x ) + 4 ( 1 − x ) = 1 − x + 4 x3 + 4 x 2 ( 1 − x )

oc

3

3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

 Sử dụng đẳng thức

au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = 0
ax + b ± cx + d =

( a - c) x + ( b - d )
m

A = B ⇔ ( A − B )( A + B ) = 0
a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b
2

Bài 1. Giải phương trình :
Giải: pt ⇔

(

3

)(

x +1 −1

3

bo

2

x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2
x = 0

x + 2 −1 = 0 ⇔ 
 x = −1

3

)

on
g

Bi 2. Giải phương trình : 3 x + 1 + 3 x 2 =
Giải:
+ x = 0 , không phải là nghiệm
+ x ≠ 0 , ta chia hai vế cho x:

kh

Bài 3. Giải phương trình:
Giải: dk : x ≥ −1

cu

u + v = 1 + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = 0

3

3

x + 3 x2 + x

 x +1 
x +1 3
+ x = 1+ 3 x +1 ⇔  3
− 1
x
x



(

3

x + 3 + 2 x x + 1 = 2x + x2 + 4 x + 3

x = 1
x +1 −1 = 0 ⇔ 
x = 0
4x
=4 x
Bài 4. Giải phương trình : x + 3 +
x+3
pt ⇔

(

x + 3 − 2x

)(

)

Giải:
Đk: x ≥ 0
2

Chia cả hai vế cho


4x
4x
4x 
=2
⇔ 1 −
x + 3 : 1+
 = 0 ⇔ x =1
x+3
x+3
x
+
3



 Dùng hằng đẳng thức

6

)

x −1 = 0 ⇔ x = 1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Biến đổi phương trình về dạng : Ak = B k ⇔ ( A − B )( AK −1 + AK − 2 .B + AK −3 .B 2 + ... + A.B K − 2 + B K −1 )
Bài 1. Giải phương trình :

3−x = x

3+x

Giải:
Đk: 0 ≤ x ≤ 3 khi đó pt đ cho tương đương : x 3 + 3 x 2 + x − 3 = 0
3

Giải:

(

Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : 1 + 3 + x

)

2

x = 1
 x + 3 + 1 = 3x
= 9x ⇔ 
⇔
 x = −5 − 97

 x + 3 + 1 = −3 x

18
2

(

3

x + 2 − 3 3x

)

3

= 0 ⇔ x =1

ĐS: x=1.

3)

4) 8) x 2 + 8 x + 15 = 3 x + 3 + 2 x + 5 − 6
x2 + 7x + 4
5)
= 4 x (ĐHDL ĐĐ’01)
( x + 1) 2 + 3n ( x − 1) 2 + 2n x 2 − 1 = 0 (với n ∈ N; n ≥ 2)
x+2
6) ( x + 2)( 2 x − 1) − 3 x + 6 = 4 − ( x + 6)( 2 x − 1) + 3 x + 2
x2 − x − 2 − 2 x − 2 + 2 = x + 1
x 2 + 10 x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6

n

7) x − 2 x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0

cu

2)

oc

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
1)

2

.c

Bài 3. Giải phương trình sau : 2 + 3 3 9 x 2 ( x + 2 ) = 2 x + 3 3 3 x ( x + 2 )
Giải : pttt ⇔

om

3
1 
10
10 − 1

⇔x+

=
⇔
x
=

3 3 3
3

Bài 2. Giải phương trình sau : 2 x + 3 = 9 x 2 − x − 4

(1)

(HVKT QS - 2001)

1. (ĐHSPHN2’00)

bo

4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC

x( x − 1) + x ( x + 2) = x 2

2.

x 2 − 2002 x + 2001 + x 2 − 2003 x + 2002 = x 2 − 2004 x + 2003

5.

x( x − 1) + x( x − 2) = 2 x( x + 3)

on
g

3.

6. x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3)

9.

8)

x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 5x + 4
4. 2 x( x − 1 − x( x + 2) = x 2

x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4

x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6 x + 5 = 2 x 2 + 9 x + 7

(Đ8)

(BKHN- 2001)

5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

x2 − 4x + 5 − x2 − 10x + 50 = 5

2.

x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 1

3.

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =

x+3
2

4.

x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 2

6.

x 4 − 2x 2 + 1 = 1 − x

8.

x + 15 − 8 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1

kh

1.

5.

7.

x + 2 x −1 − x − 2 x −1 = 2

(HVCNBC’01)

x − 4x − 4 + x + 4x − 4 = 2 .

(Đ24)

8. 4 x + 2 = x + 1 + 4

6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

6.1. Nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về

được dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có thể giải phương trình A ( x ) = 0 hoặc chứng minh A ( x ) = 0 vô
nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A ( x ) = 0 vô nghiệm

7