Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ
HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ
HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:
62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả nêu
trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất cứ một công trình nào khác.

NCS. Phạm Thế Anh


Mục lục
Lời cam đoan
Mục lục

1

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

3

Mở đầu

4

1. Kiến thức chuẩn bị và tổng quan

9

1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 13

1.3

Điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . 18

2. Điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên

21

2.1

Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . . . 27

2.3

Điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . 47

3. Ứng dụng vào phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 60
3.1

Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau . . . . . . . . . 60

3.2

Ứng dụng của các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . 66
1


Kết luận và kiến nghị

73

Các kết quả chính của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận
án

74

Tài liệu tham khảo

75

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

N

Tập hợp các số tự nhiên

R

Tập hợp các số thực

R+

Tập hợp các số thực dương

C[a; b]

Không gian các hàm số liên tục trên [a; b]

L(X)

Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

LX
0 (Ω)

Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị

LX
p (Ω)

Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích cấp p

A, F

σ-đại số

B(X)

σ-đại số Borel của X

A×F

σ-đại số tích của các σ-đại số A và F

2X

Họ các tập hợp con khác rỗng của X

C(X)

Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X

H(A, B)

Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B

Graph(T) Đồ thị của toán tử ngẫu nhiên T
P

Độ đo xác suất

p-lim

Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất

h.c.c.

Hầu chắc chắn

[x]

Phần nguyên của số thực x

.

Chuẩn

3


MỞ ĐẦU
Trong toán học, điểm bất động (đôi khi còn được gọi là điểm cố định,
hay điểm bất biến) của một ánh xạ, là điểm mà ánh xạ biến điểm đó
thành chính nó. Từ những năm đầu thể kỉ 20, các nguyên lý điểm bất
động lần lượt ra đời trong đó đáng nói đến nhất là: nguyên lý điểm bất
động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach [7] (1922) và định lý
điểm bất động Schauder [51] (1930). Các kết quả này đã được mở rộng
đối với các lớp ánh xạ khác nhau, trong các không gian khác nhau và đã
được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học. Ta có thể thấy ứng
dụng của các nguyên lý điểm bất động trong việc giải quyết vấn đề tồn
tại lời giải của phương trình (toán tử, vi phân, tích phân, ...), trong các
bài toán xấp xỉ nghiệm, ...

Tiếp theo các kết quả trong trường hợp không ngẫu nhiên, rất nhiều
kết quả về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu. Vào
giữa thập niên 1950, O. Hans và A. Spacek ở trường Đại học Tổng hợp
Prague đã khởi xướng những nghiên cứu đầu tiên về điểm bất động của
toán tử ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan (xem [28, 53]). Các tác giả đã
đưa ra các điều kiện đủ ban đầu để toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động
ngẫu nhiên. Sau các công trình của O. Hans và A. Spacek, một số dạng
tương tự của các định lý điểm bất động tất định nổi tiếng khác cho trường
hợp ngẫu nhiên cũng đã được chứng minh. Cùng với việc nghiên cứu các
vấn đề về điểm bất động ngẫu nhiên, các vấn đề về phương trình toán
tử ngẫu nhiên cũng đã được quan tâm đến. Các nghiên cứu về phương
trình toán tử ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương
trình toán tử tất định. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý

4


thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa về bài
toán điểm bất động ngẫu nhiên để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm
ngẫu nhiên.
Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu
nhiên thực sự được quan tâm nghiên cứu sau sự ra đời cuốn sách Random
integral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems in
probabilistic analysis (1976) của A. T. Bharucha-Reid (xem [15, 16]).
Trong bài báo của mình, A. T. Bharucha-Reid đã chứng minh định lý
điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là dạng ngẫu nhiên
của nguyên lý ánh xạ co Banach và định lý điểm bất động Schauder
dạng ngẫu nhiên. Từ đó, nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộng
các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh dạng
ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định (xem

[11, 21, 32, 37, 60]). Vào những năm 1990, một số tác giả như H. K. Xu,
K. K. Tan, X. Z. Yuan,... đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu
nhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nhất
định, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định
thì toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (xem [14, 54, 60]).
Gần đây, một số tác giả như N. Shahzad, D. O’Regan, R. P. Agarwal
đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng
các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó dạng ngẫu nhiên của
nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh
(xem [47, 50]). Đặc biệt, trong bài báo [57] các tác giả D. H. Thang và T.
N. Anh đã chứng minh các kết quả tổng quát về sự tương đương tồn tại
nghiệm của phương trình tất định với phương trình ngẫu nhiên, sự tồn
tại điểm bất động của toán tử tất định và toán tử ngẫu nhiên.

5


Tiếp theo bài toán điểm bất động ngẫu nhiên, bài toán điểm bất động
ngẫu nhiên chung của nhiều toán tử ngẫu nhiên cũng đã được nghiên cứu
một cách kỹ lưỡng. Tuy nhiên, điều kiện để nhiều toán tử có điểm bất động
chung thường là phức tạp, do đó bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đã
được quan tâm nghiên cứu. Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên được
nghiên cứu nhiều đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị và
toán tử đa trị (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]).
Một cách tổng quát, có thể xem toán tử ngẫu nhiên như một ánh xạ
biến mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên. Bên
cạnh đó, ta coi mỗi phần tử của không gian metric như là một biến ngẫu
nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1. Với cách quan
niệm như vậy, ta có thể đồng nhất không gian metric X như tập con
(gồm các biến ngẫu nhiên suy biến) của không gian LX

0 (Ω) các biến ngẫu
nhiên X-giá trị. Từ đó, với mỗi toán tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào
Y
Y ta xây dựng được một ánh xạ Φ từ LX
0 (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế của

Φ trên X trùng với f . Ngoài ra mối liên hệ giữa sự tồn tại điểm bất động
ngẫu nhiên của f và Φ cũng được thiết lập. Với mục đích mở rộng miền
xác định của toán tử ngẫu nhiên, trong [1, 5, 58] các tác giả đã đưa ra
khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ biến mỗi biến
ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian metric. Sử dụng các tính toán thuần túy
xác suất, các tác giả đã chứng minh được một số kết quả ban đầu tương
tự như của O. Hadzic và E. Pap về điểm bất động của toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên.
Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu
nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, là cơ sở để xét đến các bài

6


toán về điểm bất động, điểm trùng nhau và bài toán về phương trình toán
tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Ngoài ra luận án đề cập đến các kết quả nghiên
cứu về điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên, từ đó áp dụng các định lý điểm bất động và định lý điểm trùng
nhau để tìm nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Luận án gồm 3 chương.
Chương 1 trình bày tổng quan về các khái niệm và kết quả đã biết
của các tác giả khác liên quan đến định lý điểm bất động và điểm trùng
nhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên. Các kết quả của chương

này được trích dẫn và bỏ qua chứng minh chi tiết.
Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định
lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên,
tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo,
chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một
số dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cuối cùng, một số kết quả về
điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến.
Nội dung chính của chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động
và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểm
bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các
ứng dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử
hoàn toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên
để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên. Nội dung chính của
chương này là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên.
Các kết quả của luận án đã được trình bày tại Seminar của Bộ môn

7


Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Tạ Ngọc Ánh (2012), Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu
nhiên, Luận án Tiến sĩ, ĐHKHTN, ĐHQGHN.
[2] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu
nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất
bản Giáo dục.

Tiếng Anh
[4] Abbas M. (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D. thesis, National College of Business Administration and
Economics, Parkistan.
[5] Anh T. N. (2010), Random fixed points of probabilistic contractions
and applications to random equations, Vietnam. J. Math 38, pp.
227–235.
[6] Aubin J. P., Frankowska H. (1990), Set-valued analysis, Birkh¨auser
Boston.

75


[7] Banach S., (1922) Sur les operations dans les ensembles abstraits et
leur application aux equations itegrales, Fundamenta Mathematicae
3, pp. 133–181.
[8] Beg I., Azam A. (1992), Fixed points of asymptotically regular multivalued mappings, Austral. Math. Soc. (Ser. A) 53, pp. 313–326.
[9] Beg I., Shahzad N. (1993), Random fixed points of random multivalued operators on Polish spaces, Nonlinear Anal. 20(7), pp. 835–847.
[10] Beg I., Shahzad N. (1993), Random fixed points and approximations
in random convex metric spaces, J. Appl. Math. Stochastic Anal.
6(3), pp. 237-246.
[11] Beg I., Shahzad N. (1994), Random fixed point theorems for nonexpansive and contractive-type random operators on Banach spaces,
J. Appl. Math. Stoc. Anal.

7(4), pp. 569–580.

[12] Beg I., Abbas M. (2006), Iterative procedures for solutions of random
operator equations in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl. 315 (1),
pp. 181–201.
[13] Beg I., Abbas M. (2008), Random fixed points of asymptotically nonexpansive random operators on unbounded domains, Math. Slovaca
58 (6), pp. 755–762.

[14] Benavides T. D., Acedo G. L., Xu H. K. (1996), Random fixed points
of set-valued operators, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (3), pp. 831–838.
[15] Bharucha-Reid A. T. (1972), Random integral equations, Academic
Press, New York.
76


[16] Bharucha-Reid A. T. (1976), Fixed point theorems in probabilistic
analysis, Bull. Amer. Math. Soc.

82(5), pp. 641–657.

[17] Chandra M., Mishra S. N., Singh S. L., Rhoades B. E. (1995), Coincidence and fixed points of nonexpansive type multi-valued and
single-valued maps, Indian J. Pure Appl. Math. 26 (5), pp. 393–401.
[18] Choudhury B. S. (1995), Convergence of a random iteration scheme
to a random fixed point, J. Appl. Math. Stochastic Anal. 8 (2), pp.
139–142.
[19] Choudhury B. S. (2003), Random Mann iteration scheme, J. Appl.
Math. Stochastic Anal. 16 (1), pp. 93–96.
[20] Chouhury B.S., Metiya N. (2010), The point of coincidence and common fixed point for a pair mappings in cone metric spaces, Comput.
Math. Appl., 60, pp. 1686-1695.
[21] Ciric L. B. (1993), On some nonexpansive type mappings and fixed
points, Indian J. Pure Appl. Math. 24 (3), pp. 145–149.
[22] Ciric L. B., Ume J. S., Jesic S. N. (2006), On random coincidence and
fixed points for a pair of multivalued and single-valued mappings, J.
Inequal. Appl. (Hindawi Publ. Corp.) Article ID 81045, 2006, pp.
1–12.
[23] Deimling K. (1985), Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag,
Berlin.

77


[24] Engl H. W. (1978), Some random fixed point theorems for strict
contractions and nonexpansive mappings, Nonlinear Anal. 2 (5), pp.
619–626.
[25] Fierro R., Martínez C., Morales C. H. (2011), Random coincidence
theorems and applications, J. Math. Anal. Appl.378(1), pp. 213-219.
[26] Hadzic O., Pap E. (2001), Fixed point theory in probabilistic metric
spaces, Kluwer Academic Publishers.
[27] Hadzic O., Pap E., Budincevic M. (2005), A generalization of Tardiff’s
fixed point theorem in probabilistic metric spaces and applications
to random equations, Fuzzy Sets and Systems 156, pp. 124–134.
[28] Hans O. (1957), Random fixed point theorems, Trans. 1st Prague
Conf. on Information Theory, Statist. Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad. Sci., Prague, pp.
105–125.
[29] Himmelberg C. J. (1975), Measurable relations, Fund. Math. 87, pp.
53–72.
[30] Itoh S. (1977), A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping, Pacific J. Math. 68(1), pp. 85–90.
[31] Itoh S. (1979), Random fixed-point theorems with an application
to random differential equations in Banach spacess, J. Math. Anal.
Appl. 67(2), pp. 261–273.

78


[32] Joshi M. (1980), Nonlinear random equations with P -compact operators in Banach spaces, Indian J. Pure Appl. Math. 11 (6), pp.
791–799.
[33] Khan A. R., Hussain N. (2004), Random coincidence point theorem
in Frechet spaces with applications, Stoch. Anal. Appl. 22 (1), pp.

155–167.
[34] Khan A. R., Akbar F., Sultana N., Hussain N. (2006), Coincidence and invariant approximation theorems for generalized f nonexpansive multivalued mappings, Internat. J. Math. Math. Sci.,
Hindawi Publ. Corp., Article ID17637, 2006, pp. 1–18.
[35] Khan A. R., Domlo A. A., Hussain N. (2007), Coincidences of
Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation, Numer.
Funct. Anal. Optim. 28 (9-10), pp. 1165–1177.
[36] Latif A., Al-Mezel S. A. (2008), Coincidence and fixed point results
for non-commuting maps, Tamkang J. Math. 39 (2), pp. 105–110.
[37] Lin T. C. (1988), Random approximations and random fixed point
theorems for non-self-maps, Proc. Amer. Math. Soc. 103 (4), pp.
1129–1135.
[38] Mann W. R. (1953), Mean value methods in iteration, Proc. Amer.
Math. Soc. 4, pp. 506–510.
[39] Matkowski J. (1977), Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point,

Proc. Amer. Math. Soc. 62 (3), pp.

344–348.
79


[40] Mustafa G. (2003), Some random coincidence point theorems, J.
Math. Res. Exposition 23(3), pp. 413–421.
[41] Mustafa G., Noshi N. A., Rashid A. (2005), Some random coincidence and random fixed point theorems for hybrid contractions,
Lobachevskii J. Math. 18, pp. 139–149.
[42] Nashine H. K. (2010), Random coincidence points, invariant approximation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces, Random Oper. Stoch. Equ. 18, pp. 165–183.
´ c[43] Saha M., Anamika G. (2012), Random fixed point theorem on a Ciri´
type contractive mapping and its consequence, Fixed Point Theory
Appl. 2012:209..
[44] Shahzad N. (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D.

thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan.
[45] Shahzad N., Latif A. (2000), A random coincidence point theorem,
J. Math. Anal. Appl. 245, pp. 633–638.
[46] Shahzad N. (2000), Random approximations and random coincidence points of multivalued random maps with stochastic domain,
New Zealand J. Math.,29(1), pp. 91–96.
[47] Shahzad N. (2004), Some general random coincidence point theorems,
New Zealand J. Math. 33(1), pp. 95–103.
[48] Shahzad N. (2005), On random coincidence point theorems, Topol.
Methods Nonlinear Anal.,25(2), pp. 391-400.

80


[49] Shahzad N., Hussain N. (2006), Deterministic and random coincidence point results for f-nonexpansive maps, J. Math. Anal. Appl.,
323, pp. 1038–1046.
[50] Shahzad N. (2008), Random fixed point results for continuous
pseudo-contractive random maps, Indian J. Math. 50 (2), pp. 263–
271.
[51] Schauder J.(1930), Der Fixpunktsatz in Funktionalr¨aumen, Studia
Math., 2, pp. 171–180.
[52] Singh S. L., Ha K. S., Cho Y. J. (1989), Coincidence and Fixed points
of nonlinear hybrid contractions, Internat. J. Math. Math. Sci. 12
(2), pp. 247–256.
[53] Spacek A. (1955), Zufallige Gleichungen (Random equations),
Czechoslovak Math. J. 5 (4), pp. 462–466.
[54] Tan K. K., and Yuan X. Z. (1993), On deterministic and random
fixed points, Proc. Amer. Math. Soc.

119(3), pp. 849–856.

[55] Thang D. H., Thinh N. (2004), Random bounded operators and their
extension, Kyushu J. Math. 58, pp. 257–276.
[56] Thang D. H., Cuong T. M. (2009), Some procedures for extending
random operators, Random Oper. Stoch. Equ. 17(4), pp. 359–380.
[57] Thang D. H., Anh T. N. (2010), On random equations and applications to random fixed point theorems, Random Oper. Stoch. Equ.
18(3), pp. 199–212.

81


[58] Thang D. H., Anh T. N. (2010), Some results on random equations,
Vietnam J. Math. 38 (1), pp. 35–44.
[59] Tsokos C. P., Padgett W. J. (1971), Random integral equations with
applications to stochastic sytems. Lecture Notes in Mathematics, Vol.
233, Springer-Verlag, Berlin-New York.
[60] Xu H. K. (1990), Some random fixed point theorems for condensing
and nonexpansive operators, Proc. Amer. Math. Soc. 110 (2), pp.
395–400.
[61] Xu H. K. (1993), A random fixed point theorem for multivalued
nonexpansive operators in uniformly convex Banach spaces, Proc.
Amer. Math. Soc. 117 (4), pp. 1089–1092.
[62] Xu H. K., Beg I. (1998), Measurability of fixed point sets of multivalued random operators, J. Math. Anal. Appl. 225 (1), pp. 62–72.

82