CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

CHUYÊN ĐỀ 3. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
a n = a.a...a
{

n thõa sè a

(n

≠ 0)

Ví dụ: 23 = 2. 2. 2 = 8
0

Quy ước: a = 1 (a

≠ 0)

1n = 1
2. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số:
a) Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:
am . an = am + n
b) Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:
m

n

a :a =a

m–n

(a

≠ 0;m ≥ n)

Ví dụ: 35 . 32 = 37
2 . 22 . 23 = 26
a2 : a = a
139 : 135 = 134
3. Lũy thừa của một tích.


Ví dụ: Tính
(2 . 3)2 = (2 . 3).(2 . 3) = (2 . 2).(3 . 3) = 22 . 32
Tổng quát: (a . b)n = an . bn
4. Lũy thừa của lũy thừa:
Ví dụ: Tính
(32)3 = 32 . 32 . 32 = 32 + 2 + 2 = 36
Tổng quát: (am)n = am.n
Ví dụ: Viết tích hai lũy thừa sau thành một lũy thừa:
93 . 32 = (32)3 . 32 = 36 . 32 = 38
5. Thứ tự thực hiện phép tính:
- Biểu thức có dấu ngoặc: ( ) => [ ] => { }
- Biểu thức không có dấu ngoặc: Nâng lũy thừa => Nhân, chia => cộng trừ
6. So sánh hai lũy thừa:
Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc
cùng số mũ.
+ Nếu hai lũy thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ
lớn hơn.

m > n thì am > an (a > 1)
+ Nếu hai lũy thừa có cùng số mũ ( lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ
lớn hơn.


a > b thì an > bn ( n > 0)
Ví dụ:
a) 23 và 32
23 = 8, 32 = 9, 8 < 9 nên 23 < 32
b) 162 và 210
162 = (24)2 = 28, 28 < 210 nên 162 < 210
c) 274 và 46
274 = (33)4 = 312, 46 = (22)6 = 212, 312 > 212 nên 274 > 46
III. Bài tập:
Bài 1. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng lũy thừa:
a) 7.7.7.7.7.7 = 76

b) 6.6.6.3.2 = 64

c) 2.2.2.3.3 = 23.32

d) 3 . 3 . 3 . 4 . 4 = 33.42

e) a . a . a + b . b . b . b = a3 + b4

f) 33.34 = 33+4 = 37

g) 52.57 = 59

h) 35.45 = (3.4)5 = 125

i) 85.23 = (23)5.23 = 215.23 = 218 k) 414 . 528 = 414 .2514 =10014
l) x7.x.x4 = x7+1+4 = x12

m) 10000 = 104

h) 56:52 = 54
4

i) a : a (a

≠ 0)

a) 166 : 42 = 412 : 42 = 410
b) 278 : 94 = 324 : 38 = 316

k) 98:32 = (32)8.32 = 316.32 = 318.

n) 1 tỉ = 106


e) 12n : 22n = 12n : 4n = 3n
Bài 2. So sánh:
a) 24 và 33
24 = 16, 33 = 27. Vì 16< 27 nên 24 < 33
b) 25 và 52
25 = 32, 52 = 25. Vì 32 > 25 nên 25 > 52
c) 24 và 42
42 = (22)2 = 24, nên 24 = 42
d) 163 và 214

163 = (24)3 = 212, 212 < 214 nên 163 < 212
e) 272 và 253
272 = 36, 253 = 56, vì 36 < 56 nên 272 < 253
f) (Xuất phát từ bài so sánh 35 và 73)
350 và 730
350 = 35.10 = (35)10 = 24310
730 = 73.10 = 34310
Do 24310 < 34310 nên 350 < 730
(=> Mở rộng so sánh 3500 và 7300)
b) 85 và 3.47


85 = 215, 3.47 = 3.214 mà 215 < 3.214 nên 85 và 3.47
d) 321 và 231;
321 = 3.320 = 3.910; 221 = 2.230 = 2.810
3.910 > 2.810 nên 321 > 231
Bài 3. Viết các tổng sau thành một bình phương:
a) 13 + 23 = 1 + 8 = 9 = 32;
b) 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 62;
c) 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102
Bài 2. Tính giá trị biểu thức:
a) 38 : 34 + 22 . 23 = 34 + 25 = 81 + 32 = 113
b) 3. 42 – 2 . 32 = 3.24 – 2.32 = 3.2(23 – 3) = 6.5 = 30

c)

d)

4 6.34.9 5 (2 2 )6 .34.(32 )5 212.34.310 212.314 212.312.32
=

=
= 12 =
= 32 = 9
12
12
12
12
6
6
6
6
6
212.14.125 (3.7)2 .2.7.53 32.7 2.2.7.53 (7 3.53 ).(3.2).3 353.6.3
=
=
=
=
=3
353.6
35 3 .6
353.6
353.6
353.6

e)
453.20 4.182 93.53.20 4.182 (9 3.20 3 ).5 2.(5.20).182 180 3.5 2.100.182
=
=
=
1805

1805
1805
1805
1803.52.180 2
=
= 52 = 25
5
180


g)

213 + 25 23 (210 + 2 2 )
=
= 23 = 8
10
2
10
2
2 +2
2 +2

Bài 7. Tìm n sao cho:
a) 9 < 3n < 81;

b) 25

≤

5n

≤

125

LG:
a) 9 < 3n < 81 hay 32 < 3n < 34, suy ra 2 < n < 4, vậy n = 3.
b) 25

≤

5n

≤

125 hay 52

≤

5n

≤

53, suy ra n = 2 hoặc n = 3

Bài 8. Tính giá trị biểu thức:

a)

210.13 + 210.65 210.78 2 2.3

=
=
=3
28.104
28
4

b) (1 + 2 +...+100)(12 + 22 +...+102).(65.111 – 13.15.37)
= (1 + 2 +...+100)(12 + 22 +...+102).(65.111 – 13.3.5.37)
= (1 + 2 +...+100)(12 + 22 +...+102).(65.111 – 65.111)
= (1 + 2 +...+100)(12 + 22 +...+102).0
=0
Bài 9. Tìm x

∈N

a) 2x . 4 = 128
2x

= 32

biết:
c) (2x + 1)3 = 125
(2x + 1)3 = 53


2x

= 25

Suy ra x

Suy ra 2x + 1
=5

=3

2x

=2

x

=1

d) (x – 5)4 = (x – 5)6

b) x15 = x

suy ra

suy ra x = 1hoặc x = 0

x – 5 = 1 hoặc x – 5 = 0

Với x – 5 = 1
x

=6

Với x – 5 = 0
x

=5

Bài 10. Tìm x, biết:
a) 2x . 7 = 224

c) x . (x2)3 = x5

2x

= 32

x . x6

= x5

2x

= 25

x7

= x5

Suy ra x = 5

suy ra x = 1 hoặc x = 0

b) (3x + 5)2 = 289

d) 32x + 1 . 11 = 2673

(3x + 5)2 = 172

32x + 1

= 243

Suy ra 3x + 5 = 17

32x + 1

= 35

3x

= 12

Suy ra 2x + 1 = 5


x

=4

x

=2