Ôn thi đại học phương trình lượng giác

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

oc

.c

HUỲNH ĐỨC KHÁNH

om

——————————————————————————————————————–
Ôn thi Đại học - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
——————————————————————————————————————–

kh

on

gb

oc
u

Phương trình LƯỢNG GIÁC

QUY NHƠN - 2012


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

om

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Phần 1

:

Các công thức cơ bản

Phần 2

:

Các công thức liên hệ

Phần 3

:

Phần 4

oc

.c

Mục lục

trang 2

:

trang 3 → 4

5 Dạng phương trình lượng giác cơ bản

:

trang 5 → 9

:

Một vài thủ thuật

:

trang 10 → 12

Phần 5

:

Đề thi Đại học 2002 → 2012

:

trang 13 → 27

Phần 6

:

100 Đề thi thử trên toàn quốc

:

trang 28 → 53

gb

oc
u

:

kh

on

Huỳnh Đức Khánh - - 0975.120.189

1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Phần 1. Các công thức cơ bản
1. Hệ thức cơ bản giữa các hàm số lượng giác
cos2 x + sin2 x = 1

om

tan x cot x = 1

sin x
cos x

1
= 1 + tan2 x
cos2 x

cot x =

cos x
sin x

1
= 1 + cot2 x
sin2 x

.c

tan x =

oc

2. Hai cung đối nhau x và −x

tan (−x) = − tan x

cos (−x) = cos x

cot (−x) = − cot x

oc
u

sin (−x) = − sin x

3. Hai cung bù nhau x và π − x
sin (π − x) = sin x

gb

cos (π − x) = − cos x

4. Hai cung phụ nhau x và

cos

cot (π − x) = − cot x

π
−x
2

π
− x = cos x
2

tan

π
− x = cot x
2

π
− x = sin x
2

cot

π
− x = tan x
2

on

sin

tan (π − x) = − tan x

kh

5. Hai cung hơn kém nhau π

sin (π + x) = − sin x

tan (π + x) = tan x

cos (π + x) = − cos x

cot (π + x) = cot x

6. Hai cung hơn kém nhau

π
2

sin

π
+ x = cos x
2

tan

π
+ x = − cot x
2

cos

π
+ x = − sin x
2

cot

π
+ x = − tan x
2

2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Phần 2. Các công thức liên hệ

om

1. Công thức cộng
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a

cot (a ± b) =

cot a. cot b ∓ 1
cot a ± cot b

oc

cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b

2. Công thức nhân đôi

tan a ± tan b
1 ∓ tan a. tan b

.c

cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b

tan (a ± b) =

tan 2a =

2 tan a
1 − tan2 a

cot 2a =

cot2 a − 1
2 cot a

sin 3a = 3 sin a − 4sin3 a

tan 3a =

3 tan a − tan3 a
1 − 3tan2 a

cos 3a = 4cos3 a − 3 cos a

cot 3a =

cot3 a − 3 cot a
3cot2 a − 1

oc
u

sin 2a = 2 sin a cos a

cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − 1 = 1 − 2sin2 a

on

gb

3. Công thức nhân ba

kh

4. Công thức hạ bậc
sin2 a =

1 − cos 2a
2

tan 3a =

3 tan a − tan3 a
1 − 3tan2 a

cos2 a =

1 + cos 2a
2

cot 3a =

cot3 a − 3 cot a
3cot2 a − 1

sin3 a =

1
(3 sin a − sin 3a)
4

cos3 a =

1
(3 cos a + cos 3a)
4

3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

5. Công thức chia đôi
Nếu đặt t = tan

a
2

(a = π + k2π). Khi đó ta có
2 tan a2
2 tan a2
2t
a
a
cos =
=
a =
2
1
2
2
1 + t2
1 + tan 2
a
2
cos 2
1 − tan2 a2

1 − tan2 a2
a
1 − t2
a
2
cos a = cos2 − sin =
=
=
a
2
1
2
2
1 + t2
1 + tan 2
a
2
cos 2
sin a
2t
tan a =
=
cos a
1 − t2

.c

om

sin a = 2 sin

6. Công thức biến đổi tích thành tổng

1
[sin (a + b) + sin (a − b)]
2

1
[cos (a + b) + cos (a − b)]
2

tan a tan b =

tan a + tan b
cot a + cot b

oc
u

sin a cos b =

cos a cos b =

oc

1
sin a sin b = − [cos (a + b) − cos (a − b)]
2

7. Công thức biến đổi tổng thành tích

a+b
a−b
cos
2
2

sin a − sin b = 2 cos

a−b
a+b
sin
2
2

gb

sin a + sin b = 2 sin

cos a + cos b = 2 cos

a+b
a−b
cos
2
2

on

cos a − cos b = −2 sin

tan a ± tan b =

sin (a ± b)
sin a sin b

cot a ± cot b =

sin (b ± a)
sin a sin b

a+b
a−b
sin
2
2

kh

8. Công thức đặc biệt
sin a + cos a

=

sin a − cos a

=

√
√

√

2 sin a +

π
4

=

2 sin a −

π
4

√
π
= − 2 cos a +
4

4

2 cos a −

π
4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Phần 3. Phương trình lượng giác
Dạng I - Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

a sin x + b = 0
Cách giải. Phương trình ⇔ a sin x = −b ⇔ sin x = −

(a = 0)

b
a

b
∈
/ [−1; 1]. Kết luận phương trình vô nghiệm.
a

.c

• Nếu −

om

1. Phương trình bậc nhất đối với sin x

b
∈ [−1; 1]. Xét hai trường hợp sau
a

√
√
b
2
3
1
i) − = 0; ± ; ±
;±
; ±1 . Khi đó phương trình trở thành
a
2
2
2
sin x = −

x = α + k2π
, k ∈ Z.
x = π − α + k2π

√
√
1
2
3
0; ± ; ±
;±
; ±1 . Khi đó phương trình trở thành
2
2
2


b
 x = arcsin − a + k2π
b
, k ∈ Z.
sin x = − ⇔ 

b
a
+ k2π
x = π − arcsin −
a

oc
u

b
=
a

b
⇔ sin x = sin α ⇔
a

gb

ii) −

oc

• Nếu −

2. Phương trình bậc nhất đối với cos x
a cos x + b = 0
b
a

on

Cách giải. Phương trình ⇔ a cos x = −b ⇔ cos x = −

(a = 0)

• Nếu −

b
∈
/ [−1; 1]. Kết luận phương trình vô nghiệm.
a

b
∈ [−1; 1]. Xét hai trường hợp sau
a
√
√
b
1
2
3
i) − = 0; ± ; ±

;±
; ±1 . Khi đó phương trình trở thành
a
2
2
2

kh

• Nếu −

cos x = −
b
ii) − =
a

b
⇔ cos x = cos α ⇔
a

x = α + k2π
, k ∈ Z.
x = −α + k2π

√
√
1
2
3
0; ± ; ±

;±
; ±1 . Khi đó phương trình trở thành
2
2
2

b
 x = arccos − a + k2π
b
cos x = − ⇔ 
, k ∈ Z.

b
a
x = − arccos −
+ k2π
a

5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

3. Phương trình bậc nhất đối với tan x
a tan x + b = 0

(a = 0)

π
+ kπ, k ∈ Z.
2
b
Phương trình ⇔ a tan x = −b ⇔ tan x = −
a
√
1
0; ± √ ; ±1; ± 3 . Khi đó phương trình trở thành
3

b
=
a

tan x = −

√
1
0; ± √ ; ±1; ± 3 . Khi đó phương trình trở thành
3

b
=
a

tan x = −

b
b
⇔ x = arctan −
a
a

Công thức nghiệm đặc biệt

sin x = −1

π
+ k2π
2

⇔x=−

π
+ k2π
2

⇔ x = kπ

gb

sin x = 0

+ kπ, k ∈ Z.

oc
u

⇔x=

sin x = 1

.c

• Nếu −

b
⇔ tan x = tan αx = α + kπ, k ∈ Z.
a

oc

• Nếu −

om

Cách giải. Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

cos x = 1

⇔ x = k2π

cos x = −1

⇔ x = π + k2π

cos x = 0

⇔x=

π
+ kπ
2

Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình lượng giác sau :
√

2) cos x + 300 + 2cos2 150 = 1

3=0

on

1) 2 sin 3x +

√

3) 2 cos 3x +

3π
5

5) 2 sin 2x −

π
+3=0
3

2=0

4) tan

x
+2=0
2

6) tan 150 − 3x +

kh

−

6

√

3=0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Dạng II - Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

• Điều kiện để phương trình có nghiệm : c2 ≤ a2 + b2 .
√
• Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 ta đựợc phương trình

• Do

√

2

a
2
a + b2

√

+

a
b
c
sin x + √
cos x = √
.
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2

b
2

a + b2

2

= 1. Vì vậy ta đặt √

a
b
= cos α suy ra √
= sin α.
2
2
+b
a + b2

a2

• Khi đó phương trình trở thành

√

3 sin x + cos x =

√

3) 3 sin x + 3 cos x = 2

2

2)

√

3 sin 3x + cos 3x = 2 cos 2x

√

10)

on

3 cos x +

kh

15) cos 2x +
17)

√

√

3 sin 2x +

3 cos x + sin x + √

√
19) 2 2 cos 2x =

√

3 cos x − sin x = 1

8) 4 cos x + 3 sin x = 0

π
π
+ sin x −
= 2 sin 2x
2
2
√
√
13) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x − cos x = 0
11)

c
.
+ b2

a2

6) 3 sin x − 4 cos x = 4

7) 3 sin x − 4 cos x = 0
9)

sin (x + α) = √

4) 3 sin x + 4 cos x = 5

gb

5) 3 sin x − 4 cos x = 3

⇔

oc
u

Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình lượng giác sau :
1)

c
+ b2

a2

oc

cos α sin x + sin α cos x = √

.c

√

om

a sin x + b cos x = c

√

√

3 cos 3x − sin 3x = 2 sin 2x

12) cos 2x +
14) cos 2x +

3 sin x − cos x = 2

16)

6
=4
3 cos x + sin x + 1

√
√

3 sin 2x =
3 sin 2x +

20)

7

√

3 cos x − sin x

3 sin x − cos x = 4

cos x − 2 sin x cos x √
= 3
2cos2 x + sin x − 1

18) 3 cos x − 4 sin x +

1
1
+
sin x cos x

√

√

2
=3
3 cos x − 4 sin x − 6

3 sin x + cos x + 2 cos x −

π
3

=2

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Dạng III - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1. Phương trình bậc hai đối với sin x
(a = 0)

om

a sin2 x + b sin x + c = 0

• Nếu a + b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔

sin x = 1
c .
sin x =
a

• Nếu a − b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔

sin x = −1
c .
sin x = −
a

.c

Cách giải.

oc

• Nếu a ± b + c = 0. Ta đặt t = sin x, do −1 ≤ sin x ≤ 1 nên điều kiện −1 ≤ t ≤ 1. Khi đó ta được
phương trình
at2 + bt + c = 0
giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t = sin x để tìm x.

2. Phương trình bậc hai đối với cos x

(a = 0)

oc
u

a cos2 x + b cos x + c = 0

Cách giải.

cos x = 1
c .
cos x =
a

• Nếu a − b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔

cos x = −1
c .

cos x = −
a

gb

• Nếu a + b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔

• Nếu a ± b + c = 0. Ta đặt t = cos x, do −1 ≤ cos x ≤ 1 nên điều kiện −1 ≤ t ≤ 1. Khi đó ta được
phương trình
at2 + bt + c = 0

on

giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t = cos x để tìm x.

3. Phương trình bậc hai đối với tan x
a tan2 x + b tan x + c = 0

(a = 0)

kh

Cách giải. Giải như phương trình chứa sin x hoặc chứa cos x.
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình lượng giác sau :
1) 2sin2 2x −

π
π
− 7 sin 2x −

+3=0
6
6

3) tan2 x − 1 +
5) cos4

√

3 tan x +

√

3=0

x
x
+ sin4 + 2 sin x = 1
2
2

2) 2cos2

√
π
π
− x − 3 2 cos
−x +2=0
3
3

4) 3tan2

√
x π
x π
−
−
− 4 3 tan
+3=0
2
3
2
3

6) 4 sin6 x + cos6 x − cos

8

π
− 2x = 0
2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Dạng IV - Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

• Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không ?

om

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0

• Khi cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta thu được phương trình
a tan2 x + b tan x + c = 0.
Chú ý. Dạng a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d ta làm như sau

.c

Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình lượng giác sau :

3) sin2 x −
5) sin2 x−

√
√
√

3 + 1 sin x cos x +
3 + 1 sin x cos x +

√
√

2) sin2 x −

3 cos2 x = 0
3 cos2 x =

√

3

4) sin2 x −

√

√

3 + 1 sin x cos x +

√

3 cos2 x = 1

√
3 + 1 sin x cos x + 3 cos2 x = −2

oc
u

1) sin2 x −

oc

⇔
⇔

asin2 x + b sin x cos x + ccos2 x = d
asin2 x + b sin x cos x + ccos2 x = d sin2 x + cos2 x
(a − d) sin2 x + b sin x cos x + (c − d) cos2 x = 0.

3 + 1 sin x cos x+

√

3 + 1 cos2 x = −1

6) 3sin2 x + 5cos2 x − 2 cos 2x − 4 sin 2x = 0

Dạng V - Phương trình đối xứng giữa sin x và cos x

gb

a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0

• Đặt t = (sin x + cos x) =

√

2 sin x +

π
π

. Vì −1 ≤ sin x +
4
4

2

on

Khi đó : t2 = (sin x + cos x) = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x =
at + b

t2 − 1
2

√
√
≤ 1 nên − 2 ≤ t ≤ 2.
t2 − 1
, phương trình trở thành :
2

+ c = 0 ⇔ bt2 + 2at + 2c − b = 0.

• Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t =

√

2 sin x −

π

4

để tìm x.

kh

Chú ý. Dạng a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0 thì ta đặt t = (sin x − cos x).
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình lượng giác sau :
√
1) 3 2 (sin x + cos x) − 2 sin x cos x − 4 = 0

3)

√

2) 1 +

√

3 (sin x + cos x) − sin 2x − 1 +

4) cos3 x +

2 (sin x + cos x) − 2 sin 2x − 2 = 0

5) (3 − cos 4x) (sin x − cos x) = 2

6) cos x +

9

√

3 sin x cos x + sin3 x = 0

1
1
10
+ sin x +
=
cos x
sin x
3

√

3 =0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Phần 4. Một vài thủ thuật

om

1. Các bước giải một phương trình lượng giác
• Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa (nếu có). Các phương trình có chứa căn, có mẫu
số, có tan hoặc cot thì cần có điều kiện.
• Bước 2. Sử dụng các phép biến đổi để đưa phương trình về 1 trong 5 dạng cơ bản.
• Bước 3. Giải và đối chiếu chọn nghiệm phù hợp.

.c

• Bước 4. Kết luận nghiệm.

2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác

oc

• Phương pháp 1. Biến đổi đưa về dạng cơ bản.

• Phương pháp 2. Biến đổi phương trình về dạng tích : A.B = 0 ⇔

A=0
.
B=0

oc
u

• Phương pháp 3. Biến đổi phương trình về dạng tổng bình phương : A2 + B 2 = 0 ⇔
• Phương pháp 4. Đánh giá hai vế :
A=B

A≤m

B≥m

mà

. Do đó A = B ⇔

A=m
B=m

.

gb

3. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. (Biến đổi về dạng cơ bản) Giải phương trình sau:
sin

x
x
+ cos
2
2

2

+

√

3 cos x = 2.

Lời giải. Phương trình đã cho

on

⇔

⇔

kh

⇔

√
1 + sin x +√ 3 cos x = 2
1
3
1
sin x +
cos x =
2
2
2

π
π
x + = + k2π
3
6 π


π
x + = π − + k2π
3
6

⇔
⇔
⇔

sin x +

√

3 cos x = 1
π
π
sin x +
= sin
3π
6

x = − + k2π

,
π6
x = + k2π
2

k ∈ Z.

Ví dụ 2. (Biến đổi về dạng tích) Giải phương trình sau:
cos3 x + sin3 x + 2sin2 x = 1.

Lời giải. Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

cos3 x + sin3 x = 1 − 2sin2 x
cos3 x + sin3 x = cos 2x
cos3 x + sin3 x = cos2 x − sin2 x
(cos x + sin x) (1 − sin x cos x) = (cos x − sin x) (cos x + sin x)
(cos x + sin x) [1 − sin x cos x − cos x + sin x] = 0 .
dạng 2

dạng 5

10

A=0
.
B=0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

om

Ví dụ 3. (Biến đổi về dạng tổng hai bình phương) Giải phương trình sau:
√
3tan2 x + 4sin2 x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0.
π
Lời giải. Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
2
Phương trình đã cho
√
⇔ 3tan2 x − 2 3 tan x + 1 + 4sin2 x − 4 sin x + 1 = 0
√
2
2
⇔
3 tan x − 1 + (2 sin x − 1) = 0.
√
3 tan x − 1 = 0
.
⇔
2 sin x − 1 = 0
Ví dụ 4. (Đánh giá hai vế ) Giải phương trình sau:

.c

sin2010 x + cos2010 x = 1.
Lời giải. Phương trình đã cho

sin2010 x + cos2010 x = sin2 x + cos2 x
sin2 x sin2008 x − 1 = cos2 x 1 − cos2008 x .

oc

⇔
⇔
Ta có

và

cos2 x ≥ 0
cos2008 x ≤ 1

Do đó phương trình (*) ⇔

⇒ sin2 x sin2008 x − 1 ≤ 0, ∀x

oc
u

sin2 x ≥ 0
sin2008 x ≤ 1

⇒ cos2 x 1 − cos2008 x ≥ 0, ∀x.

sin2 x sin2008 x − 1 = 0
cos2 x 1 − cos2008 x = 0

⇔x=

kπ
, k ∈ Z.
2

gb

4. Các nguyên tắc chung để giải phương trình

on

1. Biến đổi Phân tích thành phương trình tích theo nguyên tắc
• Lũy thừa
• Tích
• Tổng

−−−−−−→
−−−−−−→
−−−−−−→

Hạ bậc
Tổng
Tích

2. Biến đổi không được thì đổi biến theo nguyên tắc
• Đặt : t = sin x, t ∈ [−1; 1]. Khi đó

kh

(*)

cos2 x = 1 − sin2 x = 1 − t2
cos 2x = 1 − 2sin2 x = 1 − 2t2
sin2 x
t2
tan2 x =
=
cos2 x
1 − t2
sin 3x = 3 sin x − 4sin3 x = 3t − 4t3

• Đặt : t = cos x, t ∈ [−1; 1]. Khi đó
sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − t2
cos 2x = 2cos2 x − 1 = 2t2 − 1
sin2 x
1 − t2
tan2 x =
=
cos2 x
t2
cos 3x = 4cos3 x − 3 cos x = 4t3 − 3t

11


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

5. Một số công thức đặc biệt
1) sin2 x = (1 − cos x) (1 + cos x)

2) cos2 x = (1 − sin x) (1 + sin x)

3) cos 2x = (cos x − sin x) (cos x + sin x)

4) 1 + sin 2x = (sin x + cos x)

2

om

2

5) 1 − sin 2x = (sin x − cos x)

6) 1 + cos 2x + sin 2x = 2 cos x (sin x + cos x)

7) 1 − cos 2x + sin 2x = 2 sin x (sin x + cos x)

8) 1 + tan x =

x
1
=
2
cos x

10) cos3 x sin 3x + sin3 x cos 3x =

.c

9) 1 + tan x tan

5 + 3 cos 4x
8

sin (b ± a)
cos a cos b

17) tan a − cot b =

− cos (a + b)
cos a sin b

14) tan a ± tan b =

3 + cos 4x
4

sin (a ± b)
cos a cos b

16) tan a + cot anb =
18) tan a + cot a =

oc

u

15) cot a ± cot b =

12) cos4 x + sin4 x =

oc

11) cos3 x cos 3x + sin3 x sin 3x = cos3 2x
13) cos6 x + sin6 x =

sin x + cos x
cos x

19) cot a − tan a = 2 cot 2a

2
sin 2a

20) 1 + tan a tan b =

kh

on

gb

6. Đường tròn lượng giác

12

cos (a − b)
cos a sin b

cos (a − b)
cos a cos b

3
sin 4x
4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

Phần 5. Các đề thi Đại học
5 sin x +

cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x

om

Bài 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :
= cos 2x + 3.

Chính thức khối A năm 2002

• Khi đó với điều kiện trên phương trình

5

=

5

=

5 cos x.

.c

sin x + 2 sin x sin 2x + cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x
sin x + cos x + sin 3x
1 + 2 sin 2x

=

oc

1
Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x = − .
2
• Ta có
cos 3x + sin 3x
5 sin x +

1 + 2 sin 2x
sin x + cos x − cos 3x + cos 3x + sin 3x
= 5
1 + 2 sin 2x
(1 + 2 sin 2x) + cos x
= 5
1 + 2 sin 2x

gb

oc
u

5 cos x = cos 2x + 3
⇔ 2cos2 x − 5 cos x + 2 = 0
cos x = 2 (loại)
π
1
⇔
⇔ x = ± + k2π, k ∈ Z.
cos x =
3
2
π
5π
π
5π
1
• Vì x ∈ (0; 2π) nên ta chọn x1 = , x2 =
. Ta thấy x1 = , x2 =

thỏa mãn điều kiện sin x = − .
3
3
3
3
2
π
5π
Vậy các nghiệm cần tìm là x1 = và x2 =
.
3
3
2 sin x + cos x + 1
1
Bài 2. Giải phương trình :
= .
sin x − 2 cos x + 3
3
Dự bị 1 khối A năm 2002

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

on

⇔
⇔
⇔

Bài 3. Giải phương trình :

3 (2 sin x + cos x + 1) = sin x − 2 cos x + 3
5 sin x + 5 cos x = 0
sin x + cos x = 0.

tan x + cos x − cos2 x = sin x 1 + tan x tan

Dự bị 2 khối A năm 2002

cos x = 0
x
cos = 0
2
• Với điều kiện trên phương trình

kh

Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔

x
.
2

.

tan x + cos x − cos2 x = sin x

Bài 4. Giải phương trình :

1
cos x

⇔

cos2 x − cos x = 0.

sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.
Chính thức khối B năm 2002

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

1 + cos 6x 1 + cos 8x
1 − cos 10x 1 − cos 12x
−
=
−
2
2
2
2
cos 6x − cos 8x = cos 12x − cos 10x
2 sin 7x sin x = −2 sin 11x sin x
sin x (sin 7x + sin 11x) = 0
13

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 5. Giải phương trình :

tan4 x + 1 =

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

2 − sin2 2x sin 3x
.
cos4 x
Dự bị 1 khối B năm 2002

⇔
⇔

2 − sin2 2x sin 3x
sin4 x + cos4 x
=
cos4 x
cos4 x
2
2
1 − 2sin xcos x = 2 − sin2 2x sin 3x
1
2 − sin2 2x = 2 − sin2 2x sin 3x
2

Bài 6. Giải phương trình :

⇔
⇔
⇔

sin4 x + cos4 x = 2 − sin2 2x sin 3x
1
1 − sin2 2x = 2 − sin2 2x sin 3x
2
1
2 − sin2 2x
− sin 3x = 0.
2

sin4 x + cos4 x
1
1
= cot 2x −
.
5 sin 2x
2
8 sin 2x

.c

⇔

om

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

Dự bị 2 khối B năm 2002

⇔
⇔

1 cos 2x
1
sin4 x + cos4 x
=
−
5 sin 2x
2 sin 2x
8 sin 2x
1
8 1 − sin2 2x = 20 cos 2x − 5
2
4cos2 2x − 20 cos 2x + 9 = 0.

⇔

8 sin4 x + cos4 x = 20 cos 2x − 5

⇔

8 − 4sin2 2x = 20 cos 2x − 5

oc
u

⇔

oc

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

Bài 7. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0.
Chính thức khối D năm 2002

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

4cos3 x − 3 cos x − 4 2cos2 x − 1 + 3 cos x − 4 = 0
4cos2 x (cos x − 2) = 0

gb

⇔
⇔

Dự bị 1 khối D năm 2002

kh

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.

• Với điều kiện trên phương trình

sin x ≥ 0
⇔
1

= sin2 x
8cos2 x
sin x ≥ 0
⇔
1 = 2sin2 2x

Bài 9. Giải phương trình :

4cos3 x − 8cos2 x = 0
cos x = 0.

1
= sin x.
8cos2 x

on

Bài 8. Giải phương trình :

⇔
⇔

cot x − 1 =

⇔

⇔

sin x ≥ 0
1 = 8cos2 xsin2 x

sin x ≥ 0
√
.
sin 2x = ± 2
2

cos 2x
1
+ sin2 x − sin 2x.
1 + tan x
2
Chính thức khối A năm 2003



sin x = 0
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0


tan x = −1

.

14


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

• Với điều kiện trên phương trình

⇔
⇔
⇔

Bài 10. Giải phương trình :

om

cos x cos2 x − sin2 x
cos x − sin x
=
+ sin x (sin x − cos x)
sin x
cos x + sin x
cos x − sin x = sin x cos x (cos x − sin x) + sin2 x (sin x − cos x)
(cos x − sin x) 1 − sin x cos x + sin2 x = 0
(cos x − sin x) sin2 x − sin x cos x + cos2 x = 0.

⇔

cos 2x + cos x 2tan2 x − 1 = 2.

Dự bị 1 khối A năm 2003
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

Bài 11. Giải phương trình :

⇔

cos x 2cos2 x − 1 + 2 − 3cos2 x = 2 cos x

⇔

(cos x + 1) 2cos2 x − 5 cos x + 2 = 0.

3 − tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0.

oc

⇔

=2

.c

2sin2 x − cos2 x
cos2 x
3

2
2cos x − 3cos x − 3 cos x + 2 = 0
2cos2 x − 1 + cos x

⇔

Dự bị 2 khối A năm 2003

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

3cos2 x − sin x (sin x + 2 sin x cos x) + 6cos3 x = 0
3cos2 x − sin2 x − 2sin2 x cos x + 6cos3 x = 0
3cos2 x − 1 − cos2 x − 2 1 − cos2 x cos x + 6cos3 x = 0
8cos3 x + 4cos2 x − 2 cos x − 1 = 0
(2 cos x + 1) 4cos2 x − 1 = 0.

oc
u

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

Bài 12. Giải phương trình :

cot x − tan x + 4 sin 2x =

2
.
sin 2x
Chính thức khối B năm 2003

⇔

cos x
sin x
1
−
+ 4 sin 2x =
sin x
cos x
sin x cos x

⇔

cos2 x − sin2 x + 4 sin x cos x sin 2x = 1

cos 2x + 2sin2 2x = 1

⇔

2cos2 2x − cos 2x − 1 = 0.

on

⇔

gb

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

Bài 13. Giải phương trình :

3 cos 4x − 8cos6 x + 2cos2 x + 3 = 0.
Dự bị 1 khối B năm 2003

kh

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔

3 2cos2 2x − 1 − 8cos6 x + 2cos2 x + 3 = 0
2
6 2cos2 x − 1 − 8cos6 x + 2cos2 x = 0

Bài 14. Giải phương trình :

2−

√

3 cos x − 2sin2
2 cos x − 1

⇔

⇔

6cos2 2x − 8cos6 x + 2cos2 x = 0
−8cos6 x + 24cos4 x − 22cos2 x + 6 = 0.

x π
−
2
4

= 1.

Dự bị 2 khối B năm 2003
1
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = .
2
• Với điều kiện trên phương trình
√
π
⇔
2 − 3 cos x − 1 − cos x −
= 2 cos x − 1
2
√
⇔
2 − 3√ cos x − (1 − sin x) = 2 cos x − 1
⇔ sin x − 3 cos x = 0.
15

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

sin2

Bài 15. Giải phương trình :

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

x
x π
tan2 x − cos2 = 0.
−
2
4
2
Chính thức khối D năm 2003

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình
π
1
1 − cos x −
2
2

⇔

(1 − sin x)

⇔

1 − cos2 x
− (1 − cos x) = 0
1 + sin x

⇔
⇔
⇔

1 − cos2 x − (1 + sin x) (1 − cos x) = 0
(1 − cos x) [(1 + cos x) − (1 + sin x)] = 0
(1 − cos x) (cos x − sin x) = 0.

om

1 − cos2 x 1
− (1 − cos x) = 0
2
1 − sin2 x

⇔

Bài 16. Giải phương trình :

oc

.c

1 − cos2 x
− (1 − cos x) = 0
1 − sin2 x

cos2 x (cos x − 1)
= 2 (1 + sin x).
sin x + cos x

Dự bị 1 khối D năm 2003

oc
u

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x + cos x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

cot x = tan x +

2 cos 4x
.
sin 2x

gb

Bài 17. Giải phương trình :

(cos x − sin x) (cos x − 1) = 2 (1 + sin x)
cos2 x − cos x − sin x cos x − sin x − 2 = 0
cos2 x − cos x − 2 − (sin x cos x + sin x) = 0
(cos x + 1) (cos x − 2) − sin x (cos x + 1) = 0
(cos x + 1) (cos x − sin x − 2) = 0.

Dự bị 2 khối D năm 2003

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

on

⇔

⇔

cos x
sin x
cos 4x
=
+
sin x
cos x sin x cos x

⇔

cos2 x = sin2 x + cos 4x

cos2 x − sin2 x = cos 4x

⇔

cos 2x = cos 4x.

kh

Bài 18. Giải phương trình :

4 sin3 x + cos3 x = cos x + 3 sin x.
Dự bị 1 khối A năm 2004

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
cos x 1 − 4cos2 x + sin x 3 − 4sin2 x = 0
cos x 1 − 4cos2 x + sin x 4cos2 x − 1 = 0
1 − 4cos2 x (cos x + sin x) = 0.

⇔
⇔
⇔

Bài19. Giải phương trình :

√

1 − sin x +

√

1 − cos x = 1.
Dự bị 2 khối A năm 2004

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
(1 − sin x) (1 − cos x) + 1 − cos x = 1.

⇔

1 − sin x + 2

⇔

1 − (sin x + cos x) + 2

1 − (sin x + cos x) + sin x cos x = 0.
16


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x) tan2 x.

Bài 20. Giải phương trình :

Chính thức khối B năm 2004
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.

• Với điều kiện trên phương trình
5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x)

⇔

(5 sin x − 2) (1 + sin x) = 3sin2 x

3sin2 x
1 + sin x

⇔

5 sin x − 2 =

⇔

2sin2 x + 3 sin x − 2 = 0.

om

sin2 x
1 − sin2 x

⇔

√
1
π
1
+

2 2 cos x +
=
.
4
sin x
cos x

Bài 21. Giải phương trình :

.c

Dự bị 1 khối B năm 2004
Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình
2 (cos x − sin x) +

⇔

(cos x − sin x) 2 +

=0

2 (cos x − sin x) +

⇔

(cos x − sin x) (sin 2x + 1) = 0.

sin 4x sin 7x = cos 3x cos 6x.

oc
u

Bài 22. Giải phương trình :

1
sin x cos x

cos x − sin x
=0
sin x cos x

⇔

oc

1
1
−
=0
sin x cos x

⇔

Dự bị 2 khối B năm 2004

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

1
1

(cos 3x − cos 11x) = (cos 9x + cos 3x)
2
2
cos 11x = cos 9x.

⇔

⇔

(2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.

gb

Bài 23. Giải phương trình :

Chính thức khối D năm 2004

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

on

⇔
⇔
⇔

Bài 24. Giải phương trình :

(2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin x (2 cos x − 1)
(2 cos x − 1) (2 sin x + cos x − sin x) = 0
(2 cos x − 1) (sin x + cos x) = 0.

2 sin x cos 2x + sin 2x cos x = sin 4x cos x
Dự bị 1 khối D năm 2004

kh

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

2 sin x cos 2x + 2 sin xcos2 x = 2 sin 2x cos 2x
2 sin x cos 2x + cos2 x − 2 cos x cos 2x = 0
2 sin x 2cos2 x − 1 + cos2 x − 2 cos x 2cos2 x − 1
2 sin x −4cos3 x + 3cos2 x + 2 cos x − 1 = 0.

Bài 25. Giải phương trình :

sin x + sin 2x =

√

=0

3 (cos x + cos 2x).
Dự bị 2 khối D năm 2004

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔

√
3 cos x = 3 cos 2x − sin 2x
π
π
sin x +
= sin
− 2x .
3
3
sin x +

√

17


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 26. Giải phương trình :

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.
Chính thức khối A năm 2005

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

⇔

1 + cos 6x
2

cos 2x −

1 + cos 2x
=0
2

4cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0

Bài 27. Giải phương trình :

⇔

cos 6x cos 2x − 1 = 0

⇔

4cos4 2x − 3cos2 2x − 1 = 0.

om

⇔

√
π
− 3 cos x − sin x = 0.

2 2cos3 x −
4

Dự bị 1 khối A năm 2005

− 3 cos x − sin x = 0

3

(sin x + cos x) − 3 cos x − sin x = 0
sin3 x + 3sin2 x cos x + 3 sin xcos2 x + cos3 x − 3 cos x − sin x = 0
cos x = 0
sin3 x − sin x = 0

⇔

cos x = 0
tan3 x + 3 tan x + 3 tan x + 1 − 3 1 + tan2 x − tan x 1 + tan2 x = 0

oc
u

hoặc

oc

⇔
⇔

⇔

3

cos x = 0

Bài 28. Giải phương trình :

cos x = 0
tan x = 1

hoặc

tan

.

3π
sin x
−x +
= 2.
2
1 + cos x

on

cos x (1 + cos x) + sin2 x = 2 sin x (1 + cos x)
(1 + cos x) (1 − 2 sin x) = 0.

Bài 29. Giải phương trình :

Dự bị 2 khối A năm 2005

= 0 ⇔ − sin x = 0 ⇔ sin x = 0.

gb

3π
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos
−x
2
• Với điều kiện trên phương trình
sin x
=2
⇔ cot x +
1 + cos x
⇔
⇔

.c

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
√
π
⇔
2 cos x −
4

⇔

cos x

sin x
+
=2
sin x
1 + cos x

⇔

1 + cos x = 2 sin x (1 + cos x)

1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
Chính thức khối B năm 2005

kh

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

(1 + sin 2x) + (sin x + cos x) + cos 2x = 0
2
(sin x + cos x) + (sin x + cos x) + cos2 x − sin2 x = 0
(sin x + cos x) [(sin x + cos x) + 1 + (cos x − sin x)] = 0
(sin x + cos x) (2 cos x + 1) = 0.

Bài 30. Giải phương trình :

sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x − 2 = 0.

Dự bị 1 khối B năm 2005

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

(sin 2x − cos x) + (cos 2x + 3 sin x − 2) = 0
(sin 2x − cos x) + −2sin2 x + 3 sin x − 1 = 0
cos x (2 sin x − 1) − (sin x − 1) (2 sin x − 1) = 0
(2 sin x − 1) (cos x − sin x + 1) = 0.
18


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 31. Giải phương trình :

4sin2

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

x √
3π
− 3 cos 2x = 1 + 2cos2 x −
.
2

4
Dự bị 2 khối B năm 2005

⇔
⇔
⇔
⇔

2 (1 − cos x) −

√

3 cos 2x = 1 + 1 + cos 2x −

√
2 (1 − cos√x) − 3 cos 2x = 2 − sin 2x
sin 2x − 3 cos 2x = 2 cos x
π
= cos x
sin 2x −
3
π
π
sin 2x −
= sin
−x .
3
2

Bài 32. Giải phương trình :

cos4 x + sin4 x + cos x −

3π
2

π
3
π
sin 3x −
− = 0.
4
4
2

.c

⇔

om

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

Chính thức khối D năm 2005

⇔
⇔
⇔

1

π
3
1 − 2sin2 xcos2 x +
sin 4x −
+ sin 2x − = 0
2
2
2
1 2
1
3
1 − sin 2x + (− cos 4x + sin 2x) − = 0
2
2
2
2 − sin2 2x + 2sin2 2x + sin 2x − 1 − 3 = 0
sin2 2x + sin 2x − 2 = 0.

oc
u

⇔

oc

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

Bài 33. Giải phương trình :

sin x cos 2x + cos2 x tan2 x − 1 + 2sin3 x = 0.

Dự bị 1 khối D năm 2005

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

sin2 x − cos2 x
+ 2sin3 x = 0
cos2 x
sin x cos 2x + sin2 x − cos2 x + 2sin3 x = 0
sin x cos 2x − cos 2x + 2sin3 x = 0
sin x 1 − 2sin2 x − 1 − 2sin2 x + 2sin3 x = 0
2sin2 x + sin x − 1 = 0.
sin x cos 2x + cos2 x

gb

⇔

on

⇔
⇔
⇔
⇔

Bài 34. Giải phương trình :

tan

π

cos 2x − 1
+ x − 3tan2 x =
.
2
cos2 x
Dự bị 2 khối D năm 2005

kh

π
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos
+ x = 0 ⇔ − sin x = 0 ⇔ sin x = 0.
2
• Với điều kiện trên phương trình
⇔

− cot x − 3tan2 x =

⇔

− cot x − tan2 x = 0

−2sin2 x
cos2 x

19

⇔

− cot x − 3tan2 x = −2tan2 x

⇔

tan3 x = 1.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 35. Giải phương trình :

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

2 cos6 x + sin6 x − sin x cos x
√
= 0.
2 − 2 sin x
Chính thức khối A năm 2006

√
Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x =

2
.
2

⇔

2 cos6 x + sin6 x − sin x cos x

⇔

2

⇔

Bài 36. Giải phương trình :

− sin x cos x = 0

√
2+3 2
cos 3xcos x − sin 3xsin x =
.
8

.c

⇔

3

cos2 x + sin2 x − 3cos2 xsin2 x cos2 x + sin2 x
3
1
2 1 − sin2 2x − sin 2x = 0
4
2
3sin2 2x + sin 2x − 4 = 0.

om

• Với điều kiện trên phương trình

3

3

oc

Dự bị 1 khối A năm 2006

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

⇔
⇔
⇔
⇔

cos 3x4cos3 x − sin 3x4sin3 x =

√
2+3 2
2

√
2+3 2
cos 3x (cos 3x + 3 cos x) − sin 3x (3 sin x − sin 3x) =
2

√
2+3 2
2
2
cos 3x + sin 3x + 3 (cos 3x cos x − sin 3x sin x) =
2
√
2
cos 3x cos x − sin 3x sin x =
2
√
2
cos 4x =
.
2

oc
u

⇔

2 sin 2x −

π
6

+ 4 sin x + 1 = 0.
Dự bị 2 khối A năm 2006

gb

Bài 37. Giải phương trình :

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

on

⇔

⇔
⇔
⇔

Bài 38. Giải phương trình :

π
π
2 sin 2x cos − sin cos 2x + 4 sin x + 1 = 0
6
6
√
+ 4 sin x + 1 = 0
√3 sin 2x − cos 2x
2
3 sin 2x
√ + 2sin x + 4 sin x = 0
2 sin x 3 cos x + sin x + 2 = 0 .
cot x + sin x 1 + tan x tan

x

= 4.
2
Chính thức khối B năm 2006

kh




sin x = 0
⇔ sin 2x = 0.
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0

x

cos = 0
2
• Với điều kiện trên phương trình

x
x
cos x cos + sin x sin
cos x
2
2=4
⇔
+ sin x 
x
sin x
cos x cos

2
⇔

cos2 x + sin2 x = 4 sin x cos x

20

⇔

cos x
1
+ sin x
=4
sin x
cos x

⇔

sin 2x =

1
.
2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 39. Giải phương trình :

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

2sin2 x − 1 tan2 2x + 3 2cos2 x − 1 = 0.
Dự bị 1 khối B năm 2006

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos 2x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

⇔
⇔
Bài 40. Giải phương trình :

cos 2x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0.

om

⇔

sin2 2x
+ 3 2cos2 x − 1 = 0
cos2 2x
sin2 2x
+ 3 cos 2x = 0
− 1 − 2sin2 x
1 − 2sin2 x cos 2x
−sin2 2x + 3cos2 2x = 0
4sin2 2x − 3 = 0.
2sin2 x − 1

.c

⇔

Dự bị 2 khối B năm 2006

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành

cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.

oc
u

Bài 41. Giải phương trình :

cos2 x − sin2 x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0
(cos x − sin x) [(cos x − sin x) − (1 + 2 cos x)] = 0
(cos x − sin x) (− cos x − sin x − 1) = 0.

oc

⇔
⇔
⇔

Chính thức khối D năm 2006

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
⇔
⇔

⇔

cos3 x + sin3 x + 2sin2 x = 1.

gb

Bài 42. Giải phương trình :

4cos3 x − 3 cos x + 2cos2 x − 1 − cos x − 1 = 0
4cos3 x + 2cos2 x − 4 cos x − 2 = 0
cos2 x − 1 (4 cos x + 2) = 0.

Dự bị 1 khối D năm 2006

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
3

(cos x + sin x) − 3 cos x sin x (cos x + sin x) = 1 − 2sin2 x
3
(cos x + sin x) − 3 cos x sin x (cos x + sin x) = cos2 x − sin2 x

⇔
⇔

(cos x + sin x) (cos x + sin x) − 3 cos x sin x − (cos x − sin x) = 0
(cos x + sin x) [1 − cos x sin x − (cos x − sin x)] = 0.

on

⇔

⇔

Bài 43. Giải phương trình :

2

4sin3 x + 4sin2 x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0.
Dự bị 2 khối D năm 2006

kh

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
⇔
⇔

4sin3 x + 4sin2 x + (3 sin 2x + 6 cos x) = 0
(sin x + 1) 4sin2 x + 6 cos x = 0

Bài 44. Giải phương trình :

⇔

4sin2 x (sin x + 1) + 6 cos x (sin x + 1) = 0

⇔

(sin x + 1) −4cos2 x + 6 cos x + 4 = 0.

1 + sin2 x cos x + 1 + cos2 x sin x = 1 + sin 2x.
Chính thức khối A năm 2007

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
⇔
⇔
⇔

2

cos x + sin2 x cos x + sin x + cos2 x sin x = (sin x + cos x)
2
cos x + sin x + sin x cos x (cos x + sin x) = (sin x + cos x)
(cos x + sin x) [1 + sin x cos x − (sin x + cos x)] = 0

21


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 45. Giải phương trình :

sin 2x + sin x −

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

1
1
−
= 2 cot 2x.

2 sin x sin 2x
Dự bị 1 khối A năm 2007

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình

om

sin2 2x + sin 2x sin x − cos x − 1 = 2 cos 2x

⇔

sin2 2x − 1 + (sin 2x sin x − cos x) − 2 cos 2x = 0

⇔

−cos2 2x + cos x 2sin2 x − 1 − 2 cos 2x = 0

⇔

−cos2 2x − cos x cos 2x − 2 cos 2x = 0

⇔

− cos 2x (cos 2x + cos x + 2) = 0

⇔

cos 2x 2cos2 x + cos x + 1 = 0.

√
√
2cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 sin x + 3 cos x .

oc

Bài 46. Giải phương trình :

.c

⇔

Dự bị 2 khối A năm 2007

oc
u

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
√
√
⇔ 3cos2 x + 2 3 sin x cos x + sin2 x = 3 sin x + 3 cos x
√
√
2
= 3 sin x + 3 cos x
⇔
√3 cos x + sin x √
⇔
3 cos x + sin x
3 cos x + sin x − 3 = 0.

Bài 47. Giải phương trình :

2sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.

Chính thức khối B năm 2007

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành

gb

⇔
⇔
⇔

on

Bài 48. Giải phương trình :

sin 7x − sin x = 1 − 2sin2 2x
2 cos 4x sin 3x = cos 4x
cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0.

5x π
−
2
4

sin

x π

−
2
4

− cos

=

√

2 cos

3x
.
2
Dự bị 1 khối B năm 2007

kh

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔

sin

5x π
−
2
4

− sin

√
π π x
3x
+ −
= 2 cos
2
4
2
2

⇔

sin

5x π
−
2
4

− sin

3π x
−
4
2

⇔

2 cos x +

⇔

−2 cos x +

⇔

√

2 cos

π
sin
4

3x π
−
2
2

=

=
√

√

2 cos

2 cos

π
3x √
3x
cos
= 2 cos
4
2
2

√
3x
π
1 + 2 cos x +
2
4

22

= 0.

3x
2

3x
2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 49. Giải phương trình :

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

sin 2x cos 2x
+
= tan x − cot x.
cos x
sin x
Dự bị 2 khối B năm 2007

sin x = 0
⇔ sin 2x = 0.
cos x = 0
• Với điều kiện trên phương trình
sin 2x sin x cos x cos 2x
sin x
cos x
⇔
+
=
−
cos x sin x
cos x sin x
cos
x
sin x
⇔ sin 2x sin x + cos x cos 2x = sin2 x − cos2 x

⇔ cos x = − cos 2x
⇔ cos x = cos (π + 2x).
sin

2

x
x
+ cos
2
2

+

√

3 cos x = 2.

.c

Bài 50. Giải phương trình :

om

Hướng dẫn. • Điều kiện :

Chính thức khối D năm 2007

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành

⇔

√
π
2 2 sin x −
cos x = 1.
12

oc
u

Bài 51. Giải phương trình :

x
x √
1 + 2 sin + cos + 3 cos x = 2
2
√2
sin x + 3 cos x = 1.

oc

⇔

Dự bị 1 khối D năm 2007

gb

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
√

π
π
⇔
2 sin 2x −
− sin
=1
12
12
π
1
π
⇔ sin 2x −
=√
− sin
12
12
2
π
π
π
π
π
⇔ sin 2x −
= 2 sin cos
= sin + sin
12
4
12
6
12

π
π
5π
⇔ sin 2x −
= cos
= sin
.
12
12
12
Bài 52. Giải phương trình :

(1 − tan x) (1 + sin 2x) = 1 + tan x.
Dự bị 2 khối D năm 2007

kh

on

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0.
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

cos x − sin x
cos x + sin x
2
(sin x + cos x) =
cos x

cos x
(cos x + sin x) [(cos x − sin x) (sin x + cos x) − 1] = 0
(cos x + sin x) (cos 2x − 1) = 0.

Bài 53. Giải phương trình :

Hướng dẫn. • Điều kiện :

1
+
sin x

1
3π
sin x −
2

= 4 sin

7π
−x .
4

Chính thức khối A năm 2008

sin x = 0
sin x −

3π
2

=0

⇔

sin x = 0
cos x = 0

.

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

√
1
1
+
= −2 2 (sin x + cos x)
sin x cos x
√
2 sin x cos x (sin x + cos x)
cos x + sin x = −2 √
(sin x + cos x) 1 + 2 sin 2x = 0 .
23


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học

Bài 54. Giải phương trình :

Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh

tan x = cot x + 4cos2 2x.
Dự bị 1 khối A năm 2008
⇔ sin 2x = 0.

om

sin x = 0
cos x = 0
• Với điều kiện trên phương trình
Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔

cos x
sin x
=
+ 4cos2 2x
cos x
sin x

⇔

sin2 x = cos2 x + 4 sin x cos xcos2 2x

⇔

cos2 x − sin2 x + 4 sin x cos xcos2 2x = 0

⇔

cos 2x + 2 sin 2xcos2 2x = 0

⇔

cos 2x (1 + 2 sin 2x cos 2x) = 0

⇔

cos 2x (1 + sin 4x) = 0.

√
π
2
= sin x −
+
.
4
2

.c

Bài 55. Giải phương trình :

π

sin 2x −
4

Dự bị 2 khối A năm 2008

⇔

sin 2x − cos 2x = sin x − cos x + 1

⇔
⇔

sin 2x − 2cos2 x − sin x + cos x = 0
(sin x − cos x) (2 cos x − 1) = 0.

oc
u

√

oc

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
√
√
π
π
⇔
2 sin 2x −
= 2 sin x −

+1
4
4
⇔ sin 2x − (cos 2x + 1) − sin x + cos x = 0
⇔ 2 cos x (sin x − cos x) − (sin x − cos x) = 0
Bài 56. Giải phương trình :

sin3 x −

3cos3 x = sin xcos2 x −

√

3sin2 x cos x.

gb

Chính thức khối B năm 2008
Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
√
√
3
⇔
sin3 x + 3sin√2 x cos x −
3cos√
x + sin xcos2 x = 0
2
2
⇔ sin x sin√x + 3 cos x − cos x 3 cos x + sin x = 0
⇔

sin x + √3 cos x sin2 x − cos2 x = 0
⇔
sin x + 3 cos x (− cos 2x) = 0.
Bài 57. Giải phương trình :

2 sin x +

π
π
− sin 2x −
3
6

=

1
.
2
Dự bị 1 khối B năm 2008

kh

on

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

⇔
⇔

Bài 58. Giải phương trình :

π
π
− 2 sin 2x −
=1
3
√
√ 6
2 sin x + √3 cos x −√ 3 sin 2x − cos 2x = 1
2 sin x + 2√3 cos x − √3 sin 2x + cos 2x − 1 = 0
2
2 sin x + 2 3 cos x − √
3 sin 2x − 2sin
x=0
√
2
2 sin x − 2sin x + √
2 3 cos x − 3 sin 2x = 0
2 sin x (1 − sin x) + 2√ 3 cos x (1 − sin x) = 0
2 (1 − sin x) sin x + 3 cos x = 0.
4 sin x +

x
3 sin x + cos 2x + sin 2x = 4 sin xcos2 .
2
Dự bị 2 khối B năm 2008

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
⇔
⇔
⇔
⇔

3 sin x + cos 2x + sin 2x = 2 sin x (1 + cos x)
3 sin x + cos 2x + sin 2x = 2 sin x + sin 2x
sin x + cos 2x = 0
−2sin2 x + sin x + 1 = 0.
24