Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (538.2 KB, 73 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
—————————————-
DƯƠNG THUỲ LINH
ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
—————————————-
DƯƠNG THUỲ LINH
ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGÔ HOÀNG LONG
Hà Nội - 2016
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến các thầy
cô, bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Ngô Hoàng Long, người
thầy đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa
Toán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp
đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh thành,
nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K18 - đợt
2 (2014-2016) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đỡ,
động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc
gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 101.03-2014.14
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Học viên
Dương Thùy Linh
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Ngô Hoàng Long.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Học viên
Dương Thùy Linh
3
Mục lục
Lời cảm ơn
1
Lời cam đoan
2
Mở đầu
5
1 Kiến thức chuẩn bị
8
1.1 Đại cương về quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.1
Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.2
Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1
Quá trình khả báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2
Tích phân ngẫu nhiên theo martingale địa phương . . . . . . 16
1.4 Công thức vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Phương trình Parabolic
26
2.1 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Công thức Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Giải số phương trình Parabolic bằng phương pháp Monte Carlo . . 45
4
3 Phương trình Elliptic
50
3.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Phương trình Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Kết luận
70
Tài liệu tham khảo
71
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Kể từ khi lý thuyết xác suất thống kê hiện đại ra đời vào những năm 1930
người ta đã nhận thấy có một mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết xác suất và giải
tích thông thường. Đặc biệt, nghiệm của nhiều phương trình đạo hàm riêng dạng
Elliptic và Parabolic có thể biểu diễn dưới dạng kì vọng của một phiếm hàm ngẫu
nhiên. Mối liên hệ này cho ta một cách tiếp cận mới để nghiên cứu tính chất của
nghiệm phương trình đạo hàm riêng. Hơn nữa, ta có thể sử dụng các biểu diễn
này để giải số nghiệm phương trình đạo hàm riêng.
Với mong muốn tìm hiểu kĩ mối liên hệ giữa các quá trình ngẫu nhiên Itô và
các phương trình đạo hàm riêng, tôi chọn đề tài nghiên cứu "Ứng dụng giải tích
ngẫu nhiên nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng" cho luận văn thạc
sĩ của mình.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là hai chuyên khảo của Durrett [1] và
của Karatzas và Shreve [2].
2. Mục đích nghiên cứu
• Xây dựng công thức biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng thông
qua kì vọng của một quá trình ngẫu nhiên.
6
• Nghiên cứu tính chất của nghiệm phương trình đạo hàm riêng.
• Xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thông qua biểu diễn kỳ
vọng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tổng kết một số kiến thức cơ bản của Lý thuyết Xác suất và Giải tích ngẫu
nhiên liên quan đến đề tài.
• Tìm hiểu phương pháp xây dựng công thức biểu diễn nghiệm cho các phương
trình dạng Parabolic bao gồm: phương trình truyền nhiệt, phương trình
không thuần nhất. Phát biểu và chứng minh công thức Feynman - Kac.
• Tìm hiểu phương pháp xây dựng công thức biểu diễn nghiệm cho các phương
trình dạng Elliptic bao gồm: Bài toán Dirichlet, phương trình Poisson, phương
trình Schr¨odinger.
• Ứng dụng phương pháp Monte Carlo để ước lượng giá trị của nghiệm tại
một vài thời điểm cố định.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Giải tích ngẫu nhiên.
• Phương trình Parabolic.
• Phương trình Elliptic.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết.
• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính.
7
6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn làm rõ phương pháp biểu diễn nghiệm của phương trình đạo hàm
riêng thông qua kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên và sử dụng biểu diễn này để
xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1
Đại cương về quá trình ngẫu nhiên
Một số khái niệm cơ bản
Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất.
Định nghĩa 1.1.1. Họ {Xt }t∈I nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá trình ngẫu
nhiên với tập chỉ số I và không gian trạng thái Rd . Tập chỉ số I có thể là nửa đường
thẳng thực R+ = [0, ∞) hoặc đoạn [a, b] hoặc tập hợp các số nguyên không âm.
Khi I là (tập con của) tập các số nguyên dương thì {Xt }t∈I được gọi là quá trình
ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R+ thì {Xt }t∈I được gọi
là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
Với mỗi thời điểm cố định t ∈ I, ánh xạ
Xt : Ω −→ Rd , ω −→ Xt (ω)
là một biến ngẫu nhiên và với mỗi ω ∈ Ω ta có hàm
X(ω) : I −→ Rd , t −→ Xt (ω) = X(t, ω)
được gọi là một quỹ đạo của quá trình X ứng với ω.
9
Định nghĩa 1.1.2.
• Họ {Ft }t≥0 các σ-đại số con của F gọi là một lọc nếu Ft ⊂
Fs với mọi s ≥ t ≥ 0.
• Lọc {Ft }t≥0 được gọi là liên tục phải nếu Ft =
s>t
Fs với mọi t ≥ 0.
• Lọc {Ft }t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó là liên tục
phải và F0 chứa tất cả các tập A ⊂ Ω sao cho A ⊂ B ∈ F và P(B) = 0.
Từ đây nếu không có chú thích gì đặc biệt, chúng ta luôn xét không gian xác
suất đầy đủ (Ω, F, P) và lọc {Ft }t≥0 thỏa mãn điều kiện thông thường. Sau đây ta
nêu một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên {Xt }t∈I .
Định nghĩa 1.1.3.
• Quá trình {Xt }t≥0 được gọi là liên tục (liên tục phải, liên
tục trái) nếu với hầu hết ω ∈ Ω, hàm t −→ Xt (ω) là liên tục (liên tục phải,
liên tục trái) trên đoạn [0, ∞).
• Cadlag (tức liên tục phải và có giới hạn trái) nếu nó là một hàm liên tục phải
và với hầu hết ω ∈ Ω thì giới hạn trái lims→t Xs (ω) tồn tại và hữu hạn với mọi
t > 0.
• Quá trình {Xt }t≥0 được gọi là tương thích với lọc (Ft ) nếu Xt là Ft -đo được
với mọi t ≥ 0.
• Quá trình ngẫu nhiên {Yt }t≥0 được gọi là bản sao của {Xt }t≥0 nếu P(Xt =
Yt ) = 1 với mọi t ≥ 0.
• Hai quá trình ngẫu nhiên {Xt }t≥0 và {Yt }t≥0 được gọi là bất khả phân biệt
nếu P(Xt = Yt với mọi t ≥ 0) = 1.
Định nghĩa 1.1.4. Biến ngẫu nhiên T : Ω → [0, ∞) được gọi là thời điểm dừng
nếu với mọi t, biến cố {T ≤ t} ∈ Ft . T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu
T < ∞. T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại K ∈ [0, ∞) sao cho
T ≤ K hầu chắc chắn.
10
Với mỗi quá trình ngẫu nhiên {Xt }t≥0 và thời điểm dừng T , ta kí hiệu XT (ω) =
XT (ω) (ω).
Với mỗi tập Borel A, đặt
TA = inf{t > 0 : Xt ∈ A}.
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện thông thường và quá trình
ngẫu nhiên (Xt ) có quĩ đạo liên tục. Khi đó:
1. Nếu A là tập mở thì TA là thời điểm dừng.
2. Nếu A là tập đóng thì TA cũng là thời điểm dừng.
Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt:
FT = {A ∈ F : A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft với mọi t > 0}.
FT là σ-đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T .
1.1.2
Martingale
Định nghĩa 1.1.5. Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 được gọi là một martingale thời
gian liên tục ứng với lọc (Ft ) và độ đo xác suất P nếu:
1. E[|Mt |] < ∞ với mọi t;
2. Mt là Ft -đo được với mọi t;
3. E[Mt |Fs ] = Ms hcc với mọi t > s.
Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi E[Mt |Fs ] ≥ Ms hầu chắc chắn với mọi t > s
thì (Mt ) được gọi là martingale dưới. (Mt ) được gọi là martingale trên nếu (−Mt )
là martingale dưới.
Định lý 1.1.1. Giả sử (Mt ) là martingale hoặc là martingale dưới không âm có quĩ
đạo liên tục phải và có giới hạn trái. Khi đó:
11
1. Với mọi a > 0,
P(sup |Ms | ≥ a) ≤ E[|Mt |]/a.
s≤t
2. Nếu 1 < p < ∞ thì
E[sup |Ms |p ] ≤
s≤t
p
p−1
p
E[|Mt |p ].
Định lý 1.1.2. Giả sử (Xt ) là martingale dưới liên tục phải σ và τ là hai thời điểm
dừng bị chặn hầu chắc chắn. Khi đó:
E(Xτ |Fσ ) ≥ Xσ , P − hcc trên tập {τ ≥ σ}.
Hệ quả 1.1.1. Giả sử (Xt , Ft )t≥0 là martingale liên tục phải, τ là thời điểm dừng bị
chặn. Khi đó (Mt∧τ , Ft )t≥0 cũng là martingale.
Định lý 1.1.3. Giả sử (Mt , Ft )t≥0 là một martingale dưới liên tục phải thỏa mãn
supt≥0 E[Xt+ ] < ∞. Khi đó X∞ (w) = limt→∞ Xt (w) tồn tại với hầu chắc chắn mọi
w ∈ Ω và E[|X∞ |] < ∞.
Định nghĩa 1.1.6. Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 được gọi là một martingale địa
phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng (τn )n≥0 tăng tới ∞ hầu chắc chắn
sao cho với mọi n ≥ 0, quá trình ngẫu nhiên Mtn = Mt∧τn là một martingale.
Martingale địa phương (Mt )t≥0 được gọi là martingale bình phương khả tích
địa phương nếu E(|Mtn |2 ) < ∞ với mọi n ≥ 1, mọi t ≥ 0.
Kí hiệu tập tất cả các martingale địa phương liên tục bởi Mcloc và tập tất cả các
martingale bình phương khả tích địa phương liên tục bởi M2,c
loc .
Định lý 1.1.4. Cho X là martingale địa phương liên tục. Nếu S < T là thời điểm
dừng và XT ∧t là martingale khả tích đều thì E(XT FS ) = XS .
Định lý 1.1.5. Nếu X là martingale địa phương liên tục, ta luôn có một dãy mà
rút gọn được về X là Tn = inf{t : |Xt | > n} hoặc một dãy khác bất kỳ Tn ≤ Tn có
Tn ↑ ∞ khi n ↑ ∞.
12
Định lý 1.1.6. Nếu Xt là martingale trên địa phương và
sup |Xs |
E
< ∞ với mọi t > 0
0≤s≤t
thì Xt là martingale trên.
Hệ quả 1.1.2. Martingale địa phương bị chặn là martingale.
Định nghĩa 1.1.7. Qtnn (At )t≥0 được gọi là
• tăng nếu A0 = 0 và ánh xạ t → At là liên tục phải và tăng hcc.
• khả tích nếu E(|At |) < ∞ với mọi t ≥ 0.
• tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt )t≥0 , ta có
t
t
ms− dAs ,
ms dAs = E
E
∀t ≥ 0,
(1.1)
0
0
trong đó tích phân trong dấu kì vọng được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes
và ms− = limt↑s mt .
Đẳng thức (1.1) có nghĩa là quá trình tăng At là tự nhiên nếu nó gần như không
có cùng thời điểm nhảy với bất cứ một martingale bị chặn nào. Mệnh đề sau đưa
ra một đặc trưng khác của quá trình tăng tự nhiên.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử (At )t≥0 là quá trình tăng và khả tích. Khi đó (At )t≥0 là tự
nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt )t≥0 đẳng thức
t
ms− dAs
E(mt At ) = E
0
được nghiệm đúng với mọi t ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.8. Kí hiệu ST là tập các thời điểm dừng bị chặn bởi T ≥ 0. Martingale dưới (Xt )t≥0 được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các bnn {Xσ : σ ∈ ST } là
khả tích đều với mọi T ≥ 0.
13
Định lý 1.1.7 (Khai triển Doob-Meyer). Giả sử (Xt )t≥0 là martingale dưới thuộc
lớp (DL). Khi đó (Xt ) có biểu diễn duy nhất dưới dạng
Xt = Mt + At ,
trong đó (At )t≥0 là quá trình tăng, khả tích và tự nhiên và (Mt )t≥0 là martingale.
Định nghĩa 1.1.9. Martingale (Mt )t≥0 được gọi là martingale bình phương khả
tích, kí hiệu là M ∈ M2 , nếu
E(Mt2 ) < ∞,
∀t ≥ 0.
Nếu M liên tục, ta kí hiệu M ∈ M2,c .
Bổ đề 1.1.1. Nếu (Mt )t≥0 là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên
tục phải. Khi đó (Mt2 )t≥0 là martingale dưới, liên tục phải và thuộc lớp (DL).
Áp dụng khai triển Doob-Meyer cho martingale (Mt )t≥0 ở Bổ đề 1.1.1, tồn tại
duy nhất một quá trình tăng, tự nhiên At sao cho Mt2 −At là martingale. Ta kí hiệu
At = M
t
và gọi M là đặc trưng hay quá trình Meyer của martingale (Mt ).
Giả sử M, N ∈ M2 và cùng liên tục phải. Khi đó qtnn
M, N
t
1
= ( M +N
4
t
− M − N t)
được gọi là đặc trưng tương hỗ hay quá trình Meyer của M và N .
Định lý 1.1.8. Giả sử M ∈ Mcloc . Khi đó tồn tại duy nhất một quá trình tăng,
liên tục (At )t≥0 với A0 = 0 và Mt2 − At là martingale địa phương. Ta cũng kí hiệu
At = M t .
1.2
Chuyển động Brown
Định nghĩa 1.2.1. Một chuyển động Brown xuất phát từ 0 là quá trình Bt , t ≤ 0,
lấy giá trị trong R và thỏa mãn các tính chất sau:
14
(a) Nếu t0 < t1 < . . . < tn thì B(t0 ), B(t1 ) − B(t0 ), . . . , B(tn ) − B(tn−1 ) là độc lập.
(b) Nếu s, t ≥ 0 thì
(2πt)−1/2 exp(−x2 /2t)dx.
P (B(s + t) − B(s) ∈ A) =
A
(c) B0 = 0 và t → Bt là liên tục hầu chắc chắn.
Định lý 1.2.1. Giả sử Bt là chuyển động Brown bắt đầu từ 0. Xét quá trình ngẫu
nhiên X0 = 0 và Xt = tB(1/t) với t > 0. Khi đó X cũng là một chuyển động Brown.
Từ chuyển động Brown là bất biến tịnh tiến, tức là: Nếu s ≥ 0 thì Bt+s − Bs , t ≥
0 là chuyển động Brown độc lập với mọi điều xảy ra trước thời điểm s. Tổng quát
hơn, chuyển động Brown có tích chất Markov mạnh được phát biểu như sau:
Định lý 1.2.2. Với mọi thời điểm dừng T , với điều kiện T < ∞, quá trình ngẫu
nhiên Xs = BT +s − BT là một chuyển động Brown tiêu chuẩn độc lập với quá
trình ngẫu nhiên (Bt )0≤t≤T .
Áp dụng tính chất Markov, ta thu được các kết quả sau
1. Cho 0 < s < t. Nếu f : Rd → R là bị chặn và đo được thì
Ex (f (Bt ) Fs ) = EBs f (Bt−s ).
Lấy f (x) = xi , f (x) = xi xj với i = j thì Bti và Bti Btj là martingale với i = j.
2. Cho 0 < s < t. Nếu h : R × Rd → R là bị chặn và đo được thì
t
s
h(r, Br )dr Fs =
Ex
0
t−s
h(r, Br )dr + EBs
0
h(s + u, Bu )du.
0
3. Cho 0 < s < t. Nếu f : Rd → R và h : R × Rd → R là bị chặn và đo được thì
t
h(r, Br )dr Fs
Ex f (Bt ) exp
0
t
= exp
t−s
h(r, Br )dr EBs f (Bt−s ) exp
0
h(s + u, Bu )du
0
.
15
Giả sử Bt là chuyển động Brown xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P).
Gọi (FtB ) là σ-đại số tự nhiên sinh bởi B và
F0+ = ∩t>0 FtB .
Ta có kết quả sau
Định lý 1.2.3 (Luật 0-1 Blumenthal). Nếu A ∈ F0+ thì với mọi x ∈ Rd
Px (A) = P(A|B0 = x) ∈ {0, 1}.
1.3
Tích phân ngẫu nhiên Itô
1.3.1
Quá trình khả báo
Giả sử L là họ tất cả các ánh xạ đo được
X : (R+ × Ω, B(R+ ) ⊗ F) → (R, B(R)),
sao cho với mọi t ≥ 0, Xt : Ω → R là Ft -đo được và với mỗi w ∈ Ω, ánh xạ
t → Xt (w) là liên tục trái. Đặt
P = σ X −1 (B) : B ∈ B(R), X ∈ L ,
trong đó
X −1 (B) = {(t, w) ∈ R+ × Ω : Xt (w) ∈ B}.
Có thể hiểu P là σ-đại số bé nhất trên (R+ × Ω, B(R+ ) ⊗ F) sao cho với mọi X ∈ L,
ánh xạ X : (R+ × Ω, P) → (R, B(R)) là đo được.
Định nghĩa 1.3.1. Qtnn X = (Xt (w)) là khả báo nếu ánh xạ X : (R+ × Ω, P) →
(R, B(R)) là đo được.
16
Ví dụ 1.3.1. Cho 0 = t0 < t1 < . . . < tn . Xác định qtnn đơn giản
n−1
Xt (w) = X0 (w)I{0} (t) +
Xj (w)I(tj ,tj+1 ] (t).
j=0
Nếu Xj là Ftj đo được với mọi j = 0, . . . , n thì X là khả báo vì Xt là Ft -đo được với
mọi t ≥ 0 và quĩ đạo của X là liên tục trái.
Bổ đề sau cho ta một mô tả hữu dụng về σ-đại số khả báo P.
Bổ đề 1.3.1. σ-đại số P được sinh bởi tất cả các tập có dạng Γ = (u, v] × B với
B ∈ Fu và Γ = {0} × B với B ∈ F0 .
Chứng minh. Kí hiệu G là họ tất cả các tập có dạng Γ = (u, v] × B với B ∈ Fu
và Γ = {0} × B với B ∈ F0 . Với mọi Γ ∈ G, dễ thấy IΓ ∈ L, do đó G ⊂ P, tức là
σ(G) ⊂ P.
Mặt khác, với mọi X ∈ L, đặt
n2
Xtn (w)
= X0 (w)I{0} (t) +
Xj/n (w)I(j/n,(j+1)/n] (t).
j=0
Rõ ràng X n là σ(G)-đo được và Xtn → Xt (w) khi n → ∞ với mọi t ≥ 0 và w ∈ Ω. Do
đó X là σ(G)-đo được, tức là P ⊂ σ(G). Kết hợp với trên suy ra P = σ(G).
1.3.2
Tích phân ngẫu nhiên theo martingale địa phương
Kí hiệu L0 tập tất cả các qtnn đơn giản ft có dạng
n−1
ft (w) =
fj (w)I(tj ,tj+1 ] (t),
j=1
trong đó 0 ≤ t0 < . . . < tn và fj là bnn Ftj -đo được.
17
Giả sử ta cố định một qtnn M ∈ M2,c . Với f ∈ L0 , ta xác định tích phân Itô
như sau
n−1
I(f ) =
fj (Mtj+1 − Mtj ).
fs dMs =
(1.2)
j=1
Sau đây là một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên.
Mệnh đề 1.3.1. Với mọi f ∈ L0 , ta có
E
fs dMs = 0,
và
fs dMs
E
2
fs2 d M
=E
s
.
Chứng minh. Đẳng thức thứ nhất suy ra từ
n−1
E
n−1
E(fj (Mtj+1 − Mtj )) =
fs dMs =
j=1
E(fj E(Mtj+1 − Mtj |Ftj )) = 0.
j=1
Để chứng minh đẳng thức thứ hai ta chú ý rằng
n−1
fs dMs
2
fj2 (Mtj+1 − Mtj )2 + 2
=
j=1
fj fk (Mtj+1 − Mtj )(Mtk+1 − Mtk )
0≤j
= I1 + I2 .
Tính toán tương tự như phần trước, ta được
n−1
E(I1 ) =
n−1
E
fj2 E((Mtj+1
j=1
=E
2
E fj2 ( M
− Mtj ) |Ftj ) =
tj+1
−( M
j=1
fs2 d M
s
,
E fj fk (Mtj+1 − Mtj )E(Mtk+1 − Mtk |Ftk ) = 0.
E(I2 ) = 2
0≤j
tj )
18
Để xây dựng được tích phân ngẫu nhiên cho hàm dưới dấu tích phân f tổng
quát hơn, với mỗi M ∈ M2,c , ta xác định độ đo νM trên (R+ × Ω, P) bởi
νM (A) = E
IA (t, w)d M
t
.
Áp dụng Bổ đề 1.3.1 ta thấy L0 là không gian con trù mật trong L2 (νM ). Hơn nữa,
áp dụng Mệnh đề 1.3.1 ta có:
Định lý 1.3.1. Ánh xạ I : L0 → L2 (Ω, F, P) xác định bởi đẳng thức (1.2) là đẳng cự
tuyến tính. Tức là, với mọi f, g ∈ L0 và α, β ∈ R, ta có
I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g),
hcc,
và
E |I(f )|2 =
|f (t, w)|2 νM (dtdw).
R+ ×Ω
Do đó I có thác triển duy nhất thành một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ L2 (νM ) lên
L2 (Ω, F, P). Ta vẫn kí hiệu thác triển đó bởi
I(f ) =
fs dMs .
Bây giờ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên là một quá trình ngẫu nhiên xác
định bởi
t
It (f ) ≡
fs dMs ≡
fs I[0,t] (s)dMs .
0
Định lý 1.3.2. Qtnn (It (f ))t≥0 là martingale thuộc M2,c với quá trình Meyer
t
fs2 d M s .
I(f ) t =
0
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh định lí cho t ≤ T với T > 0 cố định. Giả sử
(F n )n≥1 là dãy quá trình đơn giản khả báo thỏa mãn
|fsn | ≤ |fs |,
19
và
T
(fsn − fs )2 d M
E
< 2−n .
s
0
Theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên, ta có với mọi t ∈ [0, T ],
E It (f n ) − It (f )|2 → 0, khi n → ∞.
Dễ thấy It (F n ) và
t
(fsn )2 d M
It (F n )2 −
s
0
là martingale. Sử dụng định lí hội tụ bị chặn, ta có It (f ) và
t
(fs )2 d M
2
It (F) −
s
0
là các martingale. Vậy (It (f ))t≥0 ∈ M2 với quá trình Meyer
t
fs2 d M s .
I(f ) t =
0
Bây giờ ta chỉ còn phải chứng tỏ It (f ) có quĩ đạo liên tục. Áp dụng bất đẳng thức
Doob cho martingale It (f n 0 − It (f ), ta được
P
sup |It (f n ) − It (f )| ≥ n−1 ≤ n2 E(|IT (f n ) − IT (f )|2 )
0≤t≤T
T
2
(fsn − fs )2 d M
=n E
s
0
Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli, ta có
∞
P ∩∞
m=1 ∪n=m
sup |It (f n ) − It (f )| > n−1
= 0.
0≤t≤T
Do đó
sup |It (f n ) − It (f )| → 0,
hcc.
0≤t≤T
Lại có It (f n ) liên tục nên It (f ) cũng liên tục hcc.
Tiếp theo ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho M ∈ M2,c
loc .
< n2 2−n .
20
2
Định nghĩa 1.3.2. Với mỗi M ∈ M2,c
loc , đặt Lloc (M ) là tập tất cả các qtnn khả báo f
thỏa mãn tồn tại một dãy thời điểm dừng (σn ) tăng tới ∞ hcc và
T ∧σn
ft2 d M
E
t
< ∞,
∀T > 0, n ∈ N.
(1.3)
0
Chú ý 1.3.1. Ta có thể chọn dãy (σn ) trong Định nghĩa 1.3.2 sao cho với mọi n ∈ N,
qtnn Mtσn := Mt∧σn thuộc M2 và phương trình (1.3) được thỏa mãn.
Đặt
Itn (f ) = It (I(0,σn ] f ).
Với mọi m < n, ta thấy
n
Itm (f ) = It∧σ
(f ).
m
Do đó tồn tại duy nhất qtnn It (f ) sao cho
Itn (f ) = It∧σn (f ).
Định nghĩa 1.3.3. Qtnn It (f ) được gọi là tích phân ngẫu nhiên của f ∈ L2loc (M )
với M ∈ M2,c
loc . Ta cũng kí hiệu
t
fs dMs .
It (f ) =
0
1.4
Công thức vi phân Itô
Định nghĩa 1.4.1. Qtnn d-chiều (Xt )t≥0 được gọi là semi-martingale liên tục nếu
Xt = X0 + Mt + At ,
trong đó M 1 , . . . , M d là các martingale địa phương liên tục và A1 , . . . , Ad là các
quá trình liên tục có biến phân hữu hạn.
Trước khi phát biểu công thức vi phân Itô ta cần đưa ra một số kí hiệu sau. Gọi
C 2 (Rd ) là họ các hàm khả vi đến cấp hai từ Rd vào R. Với mỗi ánh xạ F ∈ C 2 (Rd ),
ta kí hiệu đạo hàm riêng của F với biến thứ i là ∂i F . Tương tự ta kí hiệu
∂ij2 F.
∂2F
∂xi ∂xj
bởi
21
Định lý 1.4.1 (Công thức vi phân Itô). Giả sử X là semi-martingale liên tục dchiều và F ∈ C 2 (Rd ). Khi đó
d
d
t
∂i F (Xs )dMsi
F (Xt ) = F (X0 ) +
i=1
0
d
t
∂i F (Xs )dAis
+
i=1
0
1
+
2 i,j=1
t
∂ij2 F (Xs )d M i , M j s .
0
(1.4)
Chứng minh. Để đơn giản, ta xét trường hợp d = 1. Đặt
0
τn =
inf{t : |Mt | > n hoặc V ar(At ) > n hoặc M t > n}
nếu|X0 | > n,
nếu |X0 | ≤ n,
với V ar(A)t là biến phân toàn phần của A trên đọan [0, t]. Rõ ràng τn ↑ ∞ hcc. Ta
chỉ cần chứng minh đẳng thức (1.4) với t được thay bởi t ∧ τn , sau đó cho n → ∞.
Vì vậy, ta có thể giả sử rằng |X0 |, |Mt |, V ar(A)t và M
t
là các quá trình bị chặn bởi
một hằng số K và F ∈ C02 (R). Ở đây C02 (Rd ) là tập các hàm khả vi đến cấp hai và
có giá compact trong Rd .
Đặt ti = it/n với i = 0, 1, . . . Khi đó áp dụng công thức khai triển Taylor,
n
F (Xt ) − F (X0 ) =
((F (Xti ) − F (Xti−1 ))
i=1
n
=
i=1
1
F (Xti−1 )(Xti − Xti−1 ) +
2
n
F (ξi )(Xti − Xti−1 )2
i=1
= I1n + I2n ,
với ξi nằm giữa Xti−1 và Xti .
Khi n → ∞,
n
I1n
n
F (Xti−1 )(Mti − Mti−1 ) +
=
i=1
t
F (Xti−1 )(Ati − Ati−1 ) →
i=1
t
F (Xs )dMs +
0
F (Xs )dAs .
0
(1.5)
22
Mặt khác
n
2I2n =
n
F (ξi )(Mti − Mti−1 )2 + 2
i=1
=
n
I21
n
i=1
+
n
I22
+
F (ξi )(Ati − Ati−1 )2
F (ξi )(Mti − Mti−1 )(Ati − Ati−1 ) +
i=1
n
I23
.
n
n
Do At liên tục và có biến phân hữu hạn và M là liên tục nên I22
→ 0 và I23
→0
hcc. Đặt
k
Vkn
(Mti − Mti−1 )2 ,
=
k = 1, . . . , n.
i=1
Khi đó
n
E
(Vnn )2
E(Mti − Mti−1 )4 + 2
=
i=1
E E (Mtj − Mtj−1 )2 |Ftj−1 (Mti − Mti−1 )2
1≤i
n
E(Mti − Mti−1 )2 + 2
≤ 4K 2
i=1
M
E
tj
− M
tj−1
(Mti − Mti−1 )2
1≤i
E (Mti − Mti−1 )2
≤ 4K 2 E(Vnn ) + 2K
1≤i
≤ (4K 2 + 2K)E(Vnn )
≤ (4K 2 + 2K)
E (Vnn )2 .
Do đó
E (Vnn )2 ≤ (4K 2 + 2K)2 .
Đặt
n
I3n =
n
F (Xti−1 )(Mti − Mti−1 )2 ,
i=1
I4n =
F (Xti−1 )( M
ti
− M
2
ti−1 ) .
i=1
Ta có
n
E(|I3n − I21
|)
2
≤ E max |F (ξi ) − F (Xti−1 )|2 E (Vnn )2 → 0,
1≤i≤n
(1.6)
và
t
I4n →
F (Xs )d M s ,
0
hcc.
(1.7)
23
Mặt khác
n
E
|I3n
−
I4n |2
F (Xt2i−1 ) (Mti − Mti−1 )2 − ( M
=E
2
ti
− M
ti−1 )
i=1
n
2
∞E
≤ F
(Mti − Mti−1 )4 + ( M
ti
− M
2
ti−1 )
i=1
→ 0.
Kết hợp khẳng định trên với (1.6) và (1.7) ta được
t
n
I21
→
F (Xs )d M s .
0
Lại kết hợp với (1.5) ta được điều phải chứng minh.
Định lý 1.4.2. Cho G là tập mở bị chặn và τ = inf{t : Bt ∈ G}. Nếu f ∈ C 2 và
∆f = 0 trong G và f là liên tục trên G, thì với x ∈ G ta có f (x) = Ex f (Bτ ).
Biến phân bậc hai
Áp dụng công thức vi phân Itô ta sẽ chứng tỏ rằng đối với martingale bình
phương khả tích, quá trình Meyer sẽ đồng nhất với quá trình biến phân bậc hai.
n
n
n
Định lý 1.4.3. Giả sử M ∈ M2,c
loc . Giả sử (ti )0≤i≤n là dãy thỏa mãn 0 = t0 < t1 <
. . . < tnn = t và
max (tnj − tnj−1 ) → 0 khi n → ∞.
1≤j≤n
Khi đó
n
(Mtnj − Mtnj−1 )2 ) = M t .
lim
n→∞
j=1
Chứng minh. Áp dụng công thức vi phân Itô cho F (x) = x2 , ta được
n
n
tn
j
j=1
tn
j−1
2
(Mtnj − Mtnj−1 ) =
j=1
2(Ms − Mtnj−1 )dMs + M
− M
tn
j−1
n
t
Ms dMs − 2
=2
tn
j
0
→ M t,
Mtnj−1 (Mtnj − Mtnj−1 ) + M
j=1
t
