Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (538.95 KB, 16 trang )
3
•
•
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
MỞ đầu
BỘGIAO
GIÁODỤC
DỤCVA
VÀĐAO
ĐÀOTẠO
TẠO
BỌ
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
sư
PHẠM
HÀ
NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ2NỘI
2
Lời cảm ơn
DƯƠNG THUỲLINH
Muc
luc
Lời
cam
đoan
Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến các thầy cô,
bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi.
DƯƠNG THUỲLINH
ỨNG DỤNG
GIẢI TÍCH NGAU
NGHIÊN CỨU MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
NHIÊN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Ngô Hoàng
Long, người thầy
Luận hướng
văn được
thành
tạitiếp
trường
Đại học
Sư dẫn
phạm
Nộiđỡ2 tôi
dưới
sự hướng
đã định
chọnhoàn
đề tài,
trực
tận tình
hướng
vàHà
giúp
hoàn
thành
dẫn
luậncủa
vănTS.
này.Ngô Hoàng Long.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán
Trong
quá cô
trình
nghiên
cứuĐại
vàhọc
hoàn
văn2 tôi
kế tình
thừagiúp
những
cùng
các thầy
trong
trường
Sưthành
Phạm luận
Hà Nội
đã đã
nhiệt
đỡ, thành
giảng
ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH NGAU
NGHIÊN CỨU MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH
1.1 Đại
về quá
trình
ngẫu
nhỉẽn
....................................................
gốc.
LUẬN
VĂN
THẠC
sĩ
dưỡng
và cường
tạo những
điều
kiện
học tập
tốt
nhất choRIÊNG
tôi.TOÁN HỌC
ĐẠO
HÀM
NHIÊN
quả
học kiện
của các
nhà khoa
họctrong
và đồng
vớitập
sự tại
trân
trọng
và biết ơn.
dạy, khoa
tạo điều
tốt nhất
cho tôi
thời nghiệp
gian học
trường.
Chuyên
ngành:
Toán
ứng
dụng
Mã
số:
60
46
01 12
1 Kiến
bị lời
Tôi
xin
cam
rằng
cácơnthông
tin trích
dẫn
luậnngười
văn đãđãđược
rõ nguồn
Tôithức
xin chuẩn
kínhđoan
gửi
cảm
sâu sắc
đến bố
mẹtrong
- những
sinhchỉ
thành,
nuôi
Người hướng dẫn khoa học TS. NGÔ HOÀNG LONG
1.1.1
Một
kháithành
niệm cảm
cd bản
....................................................
Cuối cùng, tôi
xinsốchân
ơn06
các
bạn2016
đồngHọc
khóa
cao học KI8 - đợt
Hà Nội, tháng
năm
viên
1.1.2
Martingale
............................................................................
2 (2014-2016)
nói chung
và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đõ,
1.2 Chuyển
động
............................................................................
động viên
tôiBrown
hoàn thành
luận văn này.
1.3
Tích phân
ngẫuđược
nhiên
....................................................................
Nghiên
cứu này
tàiItô
trợ
bồi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia
1.3.1
Quá trình
báo101.03-2014.14
...............................................................
(NAFOSTED)
trong
đề tàikhả
mã số
1.3.2
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Tích phân
• • • ngẫu nhiên theo martingale địa phương
Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên
1.4 Công thức vỉ phân Itô ..........................................................................
Dương Thùy Linh
2 Phương trình Parabolic
2.1 Phương trình truyền nhiệi
...
Dương Thùy Linh
2.2 Phương trình không thuần nhất
2.3 Công thức Feynman-Kac
Hà-2016
Nội -2016
Hà Nội
■
1
2
5
8
8
8
1
0
13
15
15
16
20
26
26
31
2.4 Giải số phương trình Parabolic bằng phương pháp Monte Carlo . . 45
39
12
97
61011
4
Định
lýkiến
nghĩa
1.1.6.
Nếu
là mới
martingale
•của
Họ
{.F{Xị
trên
các
CT-đại
phương
số đạo
con
vàhàm
của
mộtX Tlọc
với
mọiquá
a1.1.2.
>trình
0,Xị
t }t >0
•1.
Nghiên
cứu
tính
chất
nghiệm
phương
trình
với
mỗi
ngẫu
nhiên
} >0
vàđịa
thời
điểm
dừng
T,Triêng.
tagọi
kí là
hiệu
(ío)nếu
— Tị
vớic
6.Định
Dự
đóng
góp
3 T s Phương
50
với mọi trình
s > t >Ellipticj
0.
p(sup \ M S \ > a ) < E[|M t |]/a.
• Luận
Xấp xỉ
nghiệm
của
phương
trình
đạo
hàm
riêng
thông
qua
biểu
diễn
kỳ
vọng.
EÍ
sup
|X,|
ì
<
oo
với
mọi
t
>
0
văn
làmDirichletl
rõ phương
pháps
t
Ỉ3.1 Bài
toán
..................................................................................................
51
0
tập
Borel
A,
đặt
•
Lọc
{J
}
>0
được
gọi
là
liên
tục
phải
nếu
Tị
=
n
>t
vãi
mọi
t
>
0.
thông qua kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên và sử dụng biểu diễn này để xấp xỉ
2.
1 < ptrình
< ooPoisson.....................................................................................................
thì
3.2XịNeu
Phương
61
thì
là martingale
trên.
T A = inf{í > 0 : x t
Nhiệm
vụ
nghiên
cứu
nghiệm
của{T
phương
trình đạo hàm riêng.điều kiện thông thường nếu nó là liên tục phải
• Lọc
t }t>ũ được gọi là thỏa mãntrình
3.3 PhƯdng
Schrödinger
p
E [s up|
M s nchặn
< (—VE[|
M t |kiện
]. thông thườngvà quá trình
Mệnh
đề
1.1.1.
Giả
sử
lọcđịa
{Ft)phương
thỏa
mãn
điều
Hệ quả 1.1.2.......................................................................................................................
Martingale
bị
là martingale.
s
<
t
'
p
1
'
• Tổng
kết
một
số
kiến
thức
cơ
bản
của
Lý
thuyết
Xác
suất
và
Giải
và F ữ chứa tất cả các tập A c ũ sao cho A c B € T và P(B) = 0. tích ngẫu nhiên
66t ) có quĩ đạo liên tục. Khi đó:
ngẫu
nhiên (X
Ket luận
70
liên
quan
đến sử
đề tài.
Định
lý
1.1.2.
Giả
(X
)
là
martingale
dưới
liên
tục
phải
ơ
VÙT
là
hai
thời
điểm
t
Định nghĩa
1.1.7.
(i4có
t ) t>0
Từ đây
nếuQtnn
không
chúđược
thíchgọi
gì là
đặc biệt, chúng ta luôn xét không gian xác suất
1. Nếu A là tập mở thì T A là thời điểm dừng.
dừng
bị chặn
chắcpháp
chắn.xây
Khi đó: công thức biểu diễn nghiệm cho các phương71
• đủ
Tìm
hiểu hầu
phương
Tài
liệu
khảo
đầy
(fì,tham
P) và lọcdựng
{.Ft}t >0 thỏa mãn điều kiện thông thường. Sau đây ta
•
tăng
nếu
A
0 = 0 và ánh xạ 1!->• Aị là liên tục phải và tăng hcc.
1.2. LýNeu
do
chọn
đề
tài
A là dạng
tập đóng
thì T Abao
cũng
là thời
điểmtrình
dừng.
trình
Parabolic
gồm:
nhiệt,
phương trình không
~E{X
Xphương
p - hcc
trêntruyền
tập {r{X
>t }ơ}.
nêu một
số khái niệm
liên
quan
ngẫu
nhiên
T \Fđến
Ơ ) >quá
ơ , trình
t€l .
nhất.
và
chứng
Feynman
Kac. năm 1930 người
• Với
khảthuần
tíchtừ
nếu
E(|A
mọi thống
t >minh
0. kêcông
t |)
mỗi
thời
dừng
Tvới
tasuất
đặt:
Kể
khiđiểm
lýPhát
thuyết
hiệnthức
đại ra
đời vào- những
Hệ
quả
1.1.1.
Giả
sử
(Xị,
T
)t
> 0 là martingale liên tục phải, T là thời điểm dừng bị
t
nghĩa nếu
1.1.3.
• Quá trình bị
{Xchặn
} >0 được
gọi0 , là
• Định
tự nhiên
với mọi martingale
(m t)t>
ta liên
có tục (liên tục phải, liên
ta• đãTìm
nhận
thấy
có mộtpháp
mối liên
hệ
mậtcông
thiết thức
giữa biểu
lý thuyết
suất cho
và giải
thông
hiểu
phương
xây
dựng
diễn xác
nghiệm
cáctích
phương
chặn.tục
Khi
đó nếu
{M thT
,F thầu
)ịT>0T cũng
= {AU)elàeTmartingale.
t} EXị(u)
Tị với
> 0}.
trái)
với
hết
0,\ An
hàm{Tt <
I—»
là mọi
liên ttục
(liên tục phải, liên tục
thường.
biệt,
nghiệm
nhiều
trình đạo
hàm trình
riêngPoisson,
dạng Elliptic
trìnhĐặc
dạng
Elliptic
baocủa
gồm:
Bài phương
toán Dirichlet,
phương
phươngvà
trên đoạn
[0, 00(Mị,
). Tị)ị >0 là một martingale dưới liên tục phải thỏa mãn
Địnhtrái)
lý 1.1.3.
Giả sử
T TParabolic
là ст-đại
số thể
gồmbiểu
các diễn
sự kiện
xảydạng
ra cho
đến thời
T.
dưới
kì vọng
của điểm
một phiếm
hàm ngẫu nhiên. Mối liên
trình có
Schrödinger.
+
1.1.1
Một
số
khái
niệm
cơ
bản
Ví
> 0,
supt>0E[Xt ] < 00 . Khi đó X OŨ (w) = Hindoo x t (w) tồn tại với hầu
chắc chắn mọi w(1.€1) fĩ
• Cadlag
(tứccách
liên tục
và cóđểgiới
hạn trái)
nếu nó
là của
mộtnghiệm
hàm liên
tục phải
và
hệ này
cho ta một
tiếpphải
cận mới
nghiên
cứu tính
chất
phương
trình
•
ứng
dụng
phương
pháp
Monte
Carlo
để
ước
lượng
giá
trị
của
nghiệm
tại
một
vài
y àE Cho
ỊỊX ool
]
với
hầu
tưnữa,
€trong
fì thì
giới
hạn
trái
lim^t
x s (w)
tồn
tại và
hữu
hạnnghiệm
với mọiphương
đạotrong
hàm
riêng.
Hơn
ta có
thể
sử
dụng
cáchiểu
biểu
diễn
này
để
giải số
1.1.2
Martingale
đó
tíchhết
phân
dấu
kì
vọng
được
theo
nghĩa
Lebesgue-Stieltjes
thời
t > 0.điểm cố định.
d
1.1.1. Quá
Họ {X
trị (M
trên
được
một
quá trình địa
ngẫuphương
nhiên
Định
nghĩa
1.1.6.
trình
ngẫu giá
nhiên
) >0Rđược
gọigọi
là là
một
martingale
t } t€l nhận
trình
đạo
hàm
vàm
s_ =
Định
nghĩa
1.1.5.riêng.
Quá trình ngẫu nhiên 0 được gọi là một martingale thời gian liên tục
d
với •tập
chỉ
I và
gianđiểm
trạng
thái(rK„)„>0
. Tập
chỉtới
sốoo
I có
thể
là nửa
đường
thẳng
nếu
tồnQuá
tại số
một
dãy
tăng
hầu
chắc
chắn
saođược
cho
với
trình
{Xkhông
được
gọi
làdừng
tương
thích
với
lọc
(Tị)
nếu
Xị
là
Tị-do
t }các
t > 0 thời
ứng4.với
lọc
(Fị)
và
độ
đo
xác
suất
p
nếu:
Đẳng
thức
(Ịl.lị
có
nghĩa
là
quá
trình
tăng
Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu A t là tự nhiên nếu nó gần như không có
Với
muốnđoạn
tìm [a,
hiểu
liên
hệ
giữasố
các
quá trình
thựcnR
=0,mong
[0,
hoặc
6]kĩ
hoặc
hợp
các
nguyên
khôngngẫu
âm. nhiên Itô và các
mọi
>+mọi
quá
trình
ngẫu
nhiên
Mịmối
=tập
M
là một
martingale.
t 00>) 0.
thT
cùng thời điểm nhảy với bất cứ một martingale bị chặn nào. Mệnh đề sau đưa ra một
1.• phương
E[|M
< oo
với
mọi
í; riêng, tôi chọn đề tài nghiên cứu "ứng dụng giải tích ngẫu
t|]
Giải
tích
ngẫu
trình
đạo
hàm
Martingale
địanhiên.
phương
(M ) >0 được gọi là martingale bình phương khả tích địa
Khi
I
là
(tập
con
tập
các
nguyên
dương
thì của
{X t } t€l
gọi là quá trình
đặc trưng
khác
của
quá
trình
tăng
tự>0số
nhiên.
• Quá trình ngẫucủa)
nhiên
{yi}t
được
gọi là
bản sao
{Xđược
} >0 nếu P(X t = Yị) = 1
2
nhiên
nghiên
cứu
một
số
phương
trình
đạo
hàm
riêng"
cho
luận
văn thạc sĩ của
phương
nếu
E(|M"|
)
<
oovớimọin
>
l,mọií
>
0.
2.• ngẫu
Mị
là
Tị-đo
được
với mọi t;
nhiên
với
Phương
Parabolic.
với trình
mọi
tthời
> 0.gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R + thì {X t}íe/ được gọi là quá
Mệnh
đề 1.1.2. Giả sử {A ) > 0 là quá trình tăng và khả tích. Khic đó {A ) > 0 là tự nhiên
mình.
trình
nhiên
gian liên tục.
Kíngẫu
hiệu tập
tấtvới
cả thời
các martingale
địa phương liên tục bỏi M lo c và tập tất cả các
3.
= trình
M s Elliptic.
hcc
vớibịmọi
t > s. t ) t >0 đẳng và
a ]trình
• Với
Phương
nếu
vói
mọi
martỉngale
chặn
thức{vt}t>0 được gọi là bất khả phân biệt
•E[Mị\F
Hai
quá
ngẫu
nhiên
mỗi
thời
điểm
cố
định
t E I,( m
ánh xạ
martingale bình phương khả tích địa phương liên tục bồi M tel.
Nếu điều
được
thay
M s hầuchắc
với mọi [1]
t và> của
s
s ] >là hai chuyên
Tàikiện
liệuthứ
tham
chính
của=E[Mị\T
luận
khảochắn
của Durrett
nếu
P(-Xt
= ba
Yị khảo
với
mọi
t >bỏi
0)
1. văn
x t :tt —» Rd, u I—» x t {u)
Định
lýđược
1.1.4.
Cho
là martingale
liên
Nếu s
thời(-Mị)
điểmlàdừng
thì
(Mị)
gọi
là X
martingale
dưới.
(Mphương
là tục.
martingale
t ) được gọi
Karatzas
và Shreve
[2].
5.
Phương
pháp
nghiên
cứuTđịa
Đỉnh
nghĩa
1.1.4.
Biến
ngẫu
nhiên
:
Q
—>•
[0,
00
)
được
gọi
là
thời
điểm
dừng
nếu với
là một
ngẫu nhiên khả
và với
mỗi
UIthìE(X
e 0, taT \3
cór s)
hàm
và
X TMbiến
làdưới.
martingale
tích
đều
= xs.
martingale
t, biếncứu
cốđúng
{T
< vôi
í} €mọi
Tị. T
• mọi
Nghiên
lý thuyết.
được
nghiệm
t >được
0. gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu T < 00 . T được gọi
d
2.Định
Mục
nghiên
cứu
X(u)
:
I
—> Rđịa
,t 1—>
X t (oj)
Xịt,u)
Địnhlýlýđích
1.1.5.
Neu
X
là
martingale
phương
liên= tục,
ta luônkhông
có một
mà rút
martingale
martingale
âmdãy
có quĩ
là thời 1.1.1.
điểm Giả
dừngsửbị(Mị)
chặnlànếu
tồn tại K €hoặc
[0, 00là
) sao
cho T < Kdưới
hầu chắc chắn.
Định
nghĩa
1.1.8.
Kí nghiệm
hiệu
§ T {í
là
các trên
thời máy
điểmtính.
dừng
chặn
• gọn
Nghiên
mô
phỏng
được
vềphải
Xthực
làT
—giới
inf
:tập
\x
dãy bị
khác
bấtbỏi
kỳTT’>n 0.
< MarT n có tingale
T' n t oo
t \ > n}
đạo
liên
tụccứu
và ncó
hạn
trái.
Khihoặc
đó: một
Xây
biểu
diễn
nghiệm
trình
đượcdựng
gọi làcông
mộtthức
quỹ đạo
của
quá
trình phương
X ứng với
u. đạo hàm riêng thông
dưới {x t )t > 0 được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các bnn {X ơ : ơ e § T} là khả tích đều với
khin tqua
oo. kì vọng của một quá trình ngẫu nhiên.
mọi T > 0.
t
t t
I. MỞ ĐẦu
Chương
1
Kiến thức chuẩn bị
t t
1.1
Đại cương về quá trình ngẫu nhiên
t t
t t
t t
t
t
t
t
1714
13
16
15
,0
ci =
ví
dụ Brown
1.3.1.
to
t 0ị)không
<, ữ.B
. là
. {xác
qtnn
đơn
(a)Định
Nếu
o1.1.7
tđộng
thì
BM(to),
tđịnh
-sử
Bt t định
). -xác
là
độc
lập.
n qtnn
nnxác
Giả
là
xác
trên
gian
suất
(0,7",
P).
Gọigiản
lýt sử
(Khai
Doob-Meyer).
)ị>
dưới
thuộc
lớp
tLo,
tahcố
định
£ Cho
MB2{Giả
.) với
G
ta
tích
phân
Itô
7
(JNếu
?)
nhiên
в và
(DL).
(số
x ttự
) có
biểusinh
diễnbỏi
duy
nhất dưới dạng
như
saulà
(b)
sKhi
, tơ-đại
>đó0 thì
w )s I {=0 y (xi
t ) /;(M
+ £ íi+1
x»/-(t3M,Í3t .j+l]) (í).
1( fx)t ( w
= ) Ị= ỉXs 0d(M
.
7 t = M tj +
r0 Bt , - 1 2
=
X
A
ĩ )ũ =j =
nỊt1>(27TÍ)
oJ í . / exp(— X 2 / 2 t ) d x .
P(B(s + t) — B(s) € A
(1.2)
J A
Sau đây
là một
tính chất
của
tích
phân
Tt đó
ị!->
. số
đo
với
mọi
j =chắc
0,...,chắn.
nngẫu
thì tích
Xnhiên.
là và
khảtựbáo
vì Xvà
ị là0 là
J"t-đo
được với mọi
{A
) là
>0 là
quả
trình
tăng,
khả
nhiên
martingale.
(c)Nếu
B 0có
=Xtrong
0j là
vàquả
Bịđược
liên
tục
hầu
Ta
kết
sau
t Định
> 0 vàlýquĩ
đạo Giả
của X
liên tục
trái. động Brown bắt đầu từ 0. xét quá trình ngẫu
1.2.1.
sửlà
chuyển
Mệnh
đề
1.3.1.
Với Martingale
mọi
/ Bị
€ Llà
có) >0 được
0 , ta
d
Định
nghĩa
1.1.9.
(M
gọiG là
martingale
bình
phương
khả tích, kí
Định lý 1.2.3 (Luật 0-1 Blumenthal). Neu A
iFjJ’
thì với mọi
X G R
nhiên
x
=
0
vàx
—
t
B
(
l
/
t
)
vớit
>
0.
Khỉ
đó
X
cũng
là
một
chuyển
động
Brown.
t một mô tả hữu dụng về ст-đại số khả báo V .
2
ta
hiệuBổ
làđề
M0sau
e Mcho
, nếu
3 ) =x0,
) £là:
{ 0 Nếu
, 1 } . s > 0 thì B
X ( A ) =e(ỸJ{ A \f 3Bd 0M —
Từ chuyển động Brown plà
bất biến tịnh tiến,
tức
i+S — B s , t > 0
2
Bổ đề 1.3.1. ơ-đạỉ số V được sinh bởi
cả
các
tập
có
dạng
г
=
(u , v ] Xв với
E( Mtất
)
<
00,
Ví
>
0.
t
là chuyển động Brown độc lập với mọi điều xảy ra trước thời điểm s . Tổng quát hơn,
vàВ £ T u và Г = {0} X В với В G 7"о.
2, 0
Neu
M liên
tục,Brown
ta kí hiệu
e ((tích
JMf E
'chất
dM
M . Markov
y ). = e( / / s 2mạnh
d( M > sđược
).
chuyển
động
có
phát biểu như sau:
Chứng
minh.
Kí
hiệu
G
là
họ
tất
cả
các
tập
có
dạng
г
—
(и, v]TX< 00 , quáв với
в Gngẫu
Tu
Định lý 1.2.2. Với mọi thời điểm d ừ n g T , với điều kiện
trình
Chứng
minh.Nếu
Đẳng{ M
thức
thứ
suy ra từ
Bổ đề 1.1.1.
ị ) ị >0
là nhất
martingale
bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục
vànhiên
Г = {0}
X В trình
với- ВB Gkhả
Т’о.báo
Với
mọi г G
ổ, dễBrown
thấy I rtiêu
£ L,chuẩn
do đó độc lập với
G сquá
V, tức
là
1.3.1
xQuá
chuyển
động
trình
s = B T+S
T là một
phải. Khi đó (M ) >0 là martingale dưới, liên tục phải và thuộc ỉớp (DL).
ơ ngẫu
{ G ) сnhiên
V . ( B ịE ) 0< t < T : ( [ sử
fkhác,
M slà
) với
Ehọ(/Ä
-I E
Щ
= E E(
s dL
t J + 1 - M t i \ T t i ) ) = 0.
Giả
tất+ 1 cả
các
xạ/jE(
đoMđược
Mặt
mọi
L) ,) ánh
đặt
Áp dụng tính
chất
Markov,
ta thu được các kết quả sau
t t
t t
1.3
Tích phân ngẫu nhỉên Itô
t
2
t
j =1
j =1
EI
n
Áp dụng khai triển dDoob-Meyer cho martingale
(ỔM
X : ( R + Xchặn
n , B { Kvà
+X) ®
J ) - ) ■ ( R ,thì
( R ị) )), ị >0 ồ Bổ đề 1.1.1 tồn tại duy
x / w: R ->■ R
1. Cho 0 < s < t. Nếu
t ( ) = X 0 ( w ) Ilà{ 0 bị
jđo
/ n (được
w)I(j/n,(j + l)/n](t)}(t) + ^2
Để
chứng
ta chú
ý rằng
j =0 Mị - A t là martingale. Ta kí hiệu Ả ị =
nhất
mộtminh
quá đẳng
trình thức
tăng,thứ
tự hai
nhiên
Aị sao
cho
f(B
E B Jvà
( Bvới
).
sao cho với mọi t > 0, x t : оE->
làt )T\ t?- 3đ)o =được
w £
íì,
x (M
t _ 3mỗi
n quá trình Meyer của martingale ( M ị ) .
(M ) ràngX”
ị và gọi làơ(£)-đo
( M ) là đặc
trưng
hay
RÕ
được
và X
-» x t ( w ) khin -> oo với mọi í > 0 v ầ w E Do đó X là
t
ánh xạ - Jlí,J
( / f.dM.y =
+ 2i Ỷ 3 thì B"£
( x )2 = X ị , f ( x ) -= M
X ịH
X fj với
ị và B ị B ị /,Л(М,,
là martingale
+ với
1 i- Ỷ j M , NLấy
€ fM
tục hợp
phải.với
Khi
đósuy
qtnn
ơ { QGiả
) - âsử
о được,
tức
là và
V сcùng
ơ { Qliên
)d . Kết
trên
ra V = ơ { Q ) .
2. Cho
< )s là< liên
t j=1
. Nếu
h : R
X R R là 0
t X ị 0( w
tục trái.
Đặt
2
t
s
7
+ N) =E , (/Дh+{ r /, 2B.( )Md r,\ Nĩ . )) =t =/ B ị^(d(i M
V + IEg t
r
r
t —) s )
(M-N
t
V = ơ ị x ^ i B ) : В E B ( R ) , X e l),
□
“h ĩ i J B u ) d u .
000
được
gọi
là
đặc
trưng
hỗ
haytaquá
trình
Meyer củađỉa
M và
N.
1.3.2
Tích
phân
ngẫu
nhiên
theo
martingale
phương
Tính toán tương tự như tương
phần trước,
được
3. Cho
< s < t . Nếu / : R d - ì R và h : R X R d R là bị chặn và đo được thì
trong0 đó
tduy
Kílýhiệu
L0 Giả
tập tất
đơn
giản
f t tại
có
dạng
Định
1.1.8.
sử cả
M
€^ M
ỵ -các
B qtnn
)c lo=
{(t
, wđó
) Gtồn
M+
X fì
: xnhất
£ Bquá
} . trình tăng, liên tục
c . Khi
t { w ) một
2
Ex
Ụ
(
B
)
exp
(
J
( r , B T )dr^j 0
t ) |^ )) h
E(
h
)
=
£e(/?E((M
M
=
tj+1
ti
tj
2
t là martingale
t—
s chovới
Có tthể
V ữj=i
là
trên (M + Xđịa
í l , phương.
B ( R + ) ®Ta
T )cũng
sao
(^4
)t>0hiểu
với A
= ст-đại
0j=ivà Msố
Aị nhất
kí hiệumọi
A t = ( M lẽL,
)t.
t -bé
= e x p ( J f th (( w
r , )B =
h(s + u, Bu)duj^.
r ) d r j E B s ị f ( B t _ s ) exp ^ J
/j(«0Wi](t)>
ánh xạ X : (R+ X Ç } , V ) -» (R, #(K)) là 0đo
được.
3 =1 0
= e (/ f * d ( M ) s ) ,
Đinh
X
h ả được.
b á o nếu ánh xạ X : (R_|_ X íì,p) 4 (R,
trong
đó
0 < 1.3.1.
t 0 < ...Qtnn
< t nEvà
ff jk ((x
là
bnn Tlàị k-đo
E (7nghĩa
( f i=
Mt (w))
2) = 2
t i + 1 - M t j ) E ( M t k + l - M t k \ F t k )) = 0.
0< j < k < n — l
đo được. động Brown
1.2Ổ(K)) làChuyển
□
Định nghĩa 1.2.1. Một chuyển động Brown xuất phát từ 0 là quá trình B ị , t < 0, lấy
giá trị trong M và thỏa mãn các tính chất sau:
1920
18
2
Đểnghĩa
xây dựng
dấutất
tích
/ tổngkhả
quát
vàĐịnh
1.3.2.được
với tích
mỗi phân
M € ngẫu
M 2 ^ c cnhiên
, đặt Lcho
là tập
cảphân
các qtnn
báo /
l o hàm
c ( M )dưới
e ( / ( / ; - f s ) 2 d ( M ) s ) < 2 -" .
2
hơn,
M ’°,
xác điểm
định dừng
độ đo (ơ„)
V M trên
M + oo
X ũ
, V)
thỏa với
mãnmỗi
tồnMtạiemột
dãytathời
tăng( tới
hcc
và bỗi
Theo định nghĩa tích phân ngẫuV nhiên,
( A ) = ta
e ( có
J với
I A ( t mọi
, w ) dt( eM [0,
) t ) .T ] ,
VT > 0, n e N.
M
(1.3)
E(/«(/“) - / t (/)| 2 )
0, khin
00.
Chú ý 1.3.1. Ta có thể chọn dãy (ơ„) trong Định nghĩa Ịĩir^ sao cho
với mọi n € N,
Áp dụng Bổ đề 1.3.1 ta thấy L 0 là không gian con trù mật trong L 2 ( V M ) . Hơn nữa,
qtnn :=/tí-T
MtAơ7")
thuộc
M 2 và phương trình (|l.3| được thỏa mãn.
Dễ
và
ápthấy
dụng Mệnh
đề 1.3.1 ta có:
hựnf - fư:fd(M)s
J
o
2
lý 1.3.1. sử
Ánh
x ạ lđịnh
: L0 lí hội tụ
L bị
( Qchặn,
, F , p)
bâi đẳng thức ÍL2ỹ là đẵng cự
làĐịnh
martingale.
dụng
ta xác
có I tđịnh
( f ) và
tuyến tính. Tức là, với mọi f , g £ h 0 v à a , l 3 e R , t a c ó
h ự ) 2 - [ (f s ) 2 d ( M ) s J ữ
I ( o í f + ị 3 g 2) = a l { f ) + ị 3 I { g ) , h c c ,
là các martingale. Vậy ự t ( f ) ) t >0 G M với quá trình Meyer
va
E
2
(l 7 (/ )|W
) )=> *
/ \=f { ít , wf )s\ d2 u(MM
( d)t ds w
. ).
xn
J
o
Bây giờ ta chỉ còn phải chứng tỏ I ị ( f ) có quĩ đạo liên tục. Áp dụng bất đẳng2 thức Doob
2 ) với
Địnhđónghĩa
Qtnn duy
I t ( f )nhất
đượcthành
gọi là một
tích ánh
phânxạngẫu
của / tính
€ L lt oừc {LM
Do
I có 1.3.3.
thác triển
đẵngnhiên
cự tuyến
(vM)
n
cho martingale
Iị(f 0 ta được
2
kí vẫn
hiệukí hiệu thác triển đó bởi
lMê ne M
L 2 (t fữc ., Ta
T , cũng
P). Ta
p( su p
\ I t ( f n ) - I t ( f )I > n- 1 ) < Kní2 )E(=|/ T/(/") - 7 T ( /)| 2 )
0
0
2
= J ỉsdMs.
T
2
= n l( [ ( f : - f s ) d ( M ) s < n 2 2-".
•*0
Bây giờ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên là một quá trình ngẫu nhiên xác định
Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli, ta có
bỏi
Itư) = ị fsdM3 = J fsIm(s)dMs.
Định nghĩa 1.4.1. Qtnn
d-chiều sup
(X t)t|/,(D-/,(/)!
>0 được gọi
là semi-martỉngale
liên tục nếu
p(n“„u“„(
>»-'))
=0.
1.4
công thức vi phân Itô
0<í
Định lý 1.3.2. Qtnn ự t { f ) ) t >
0
là martingale thuộc M 2 , c với quá trình Meyer
Xt = X0 + Mt + Au
( I ( f ) ) t =địaf *phương
f ĩ d { Mliên
) Ẻ tục và A 1 , . . . , A d là các quá
trong đó M 1 , . . . , M d là các martingale
J
trình liên tục có biến phân hữu hạn.
Do đó
o
Chứng
minh.
Ta chỉ
cầncông
chứng
địnhItô
lí cho
t <đưa
T ra
vớimột
T >số0 kí
cố hiệu
định.sau.
GiảGọi
sử
Trước
khi phát
biểu
vin phân
ta cần
supthức
\ I minh
t ( f ) — I t ( f ) \ —> 0, hcc.
0
(^")
là họ
dãycác
quá
trình
giảncấp
khảhai
báotừthỏa
mãnR. Với mỗi ánh xạ F G C 2 ( R d ) , ta
C2(Rnd>!
) là
hàm
khảđơn
vi đến
R d vào
n
Lại có I t ( f ) liên tục nên I t ( f ) cũng liên tục hcc.
□
kí hiệu đạo hàm riêng của F với biến thứ i là d ị F . Tương tự ta kí hiệu a d2 J bỏi
l/n < IU
Tiếp theo ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho M G M
2 ,c
lo
c'
22
21
Mặt
Địnhkhác
lý 1.4.1 (Công thức vi phân Itô). Giả sử X là semi-martỉngale liên tục d- chiều
ĩl 2 d
71
n
). М
Khi
đó
2
2vàF
Ц =EYữ, (M
Р"Ш
M
)
+
2
5
^
F
"
{
^
)
{
M
M
.
_
)
(
A
.
А
_
)
+
F
"
(
t
i
)
(
A
и
ti l
U
t
1
t
и г
u - Аи_у
d
Ịt
ị
^
/*
ị
J
d
F ( X t ) = F ( X o) + E / d i F ( X s ) d M2 Í= 1 + J 2 d i F { X s ) d A i a + - Y , / d ự ( X s ) d ( M \ M’), i = 1
0
i= 1
Ị*
<= 1
(1.4)
0
2=1
ị
ij= i
0
Chứng minh. Để đơn giản, ta xét trường hợp d = 1. Đặt
Do liên tục và có biến phân hữu hạn và M là liên tục nên I% 2 -» 0 và 7£з ->• 0 hcc. Đặt
к
0
Khi đó
E( 0C ) 2 ) =
E
n
i nf{t
E
nếu|X0| > n,
Vkn = ỵế(Mti-Mti_1)2, к = 1,... ,n. i= 1
: \M t \ > n hoặc V a r ( A ị ) > n hoặc (M ) ị > n } nếu |x 0| < n ,
(MU -
M
U - , Y + 2 £ е( е(( М«, -
với V a r ( A ) ị гlà
đọan [0, t ]. Rõ ràng T„ t oo hcc. Ta
= 1biến phân toàn phần của
l < î
n
<4X 2^E(M ti-M ti_1)2 + 2
53
i=l
E(((M)tj-(M> tj_1)(M ti-Mti_1)2)
l< i< j< n
chỉ cần chứng minh đẳng thức1 <(L4
với t được thay bỏi t A T„, sau đó cho n -»
г<п
00
.
Vì vậy, ta có thể
giả sử rằng |Ao|, \ M ị \ , V a r ( A ) ị và ( M ) t là các quá trình bị chặn bỏi
2
<
(4К
+ 2K)E{V”)
một hằng số K và F € ơg (K). ở đây C Q (M d) là tập các hàm khả vi đến cấp hai và có
< { ị K
2
+
giá compact trong R d .
2 K ) ^ [ { V : Y ) .
Do đóĐặt t ị — i t / n với i — 0,1,... Khi đó áp dụng công thức khai triển Taylor,
Kille)2) < (4К 2 + 2К ) 2 .
Đặt
F ( X t ) - F ( X o) = Ê((F(X tJ - F i X ^ ) ) i = 1
n
n
n
n
2
=
X
^
)
+
ị
~
ỵ
- X
^ ) 2) t i l ) 2 .
jF"(Zi)(Xti /g" = 5^ F'^Xt^Mb - M ti l ) ,
12 =Y,
(M
i= 1
i= 1
i= 1
i= 1
=
TU I jn
—
1
1 T
1
2 >
với & nằm giữa X t i _ 1 và x ti .
Khi n —>• oo,
Ta có
lĩ = it
-
M t i _J +
Ề
-
A^)
->
2
2
2
( E ( | / g " - 7F"|
\ X))s ) d<Ả Es ( m ax | F "( & ) - F "( X t i _ 1 )| )E ( ( \ C ) )
i=1 Í=1 0 0
và
/*
F'(Xs)dMs
+
0,
(1.5)
( 1.6 )
7? -> [ F " ( X s ) d ( M ) s , h c c .
( 1. 7)
f
23
34
35
32
33
31
29
24
30
25
27
28
Mặt
khác
2.2.4.
NeÁp
usử
gtích
bị
cphân
hặn
thì
Va
tthì
hỏa
mãn
(Ị2.4Ị
Ị.Chứng
Chứng
minh.
dụng
công
cho
Di
từ
H2.1.5Ị
Ị, vếR
thu
được
thấy
rằng
theo
Ị chỉ
thể
xảy
radphải
khi
/ liên
tục.
đây,
Neu
là
bị chặn
thì
thấy
rằng
i,là
ijPs,
hoặc
t,cóta
cócủa
Nếu
u/lý,2.1.2.
thỏa
mãn
ị2.2\
a l
Sthức
vì
định
nghĩa
ngẫu
ĩở* M
d>M0 a .
ỉĐịnh
được:
minh.
Ta
chứng
trong
đó
Г(а)
= thì
Jphần
svới
e trước
dvới
s là
hàm
gamma
thông
thường.
Nếu
taphải
định
nghĩa
Bổ
đềdTa
Giả
rằng
mỗi
Xnhiên,
e—GH2.4Ị
khoảng
mở
và
một
vài
điểm
ha0minh
2
M
2 e ( i - /;i ) = e(E
- «thể>*.
- M svới
)c 1 ' 2đều,
□
Do
là khả
gJ —
—( |Au,
vì0
hJ\ếỊd(27Ts)
phương
u G tích
trừ
d
d 2 trình trong
x
ta
có:\ Uị
—yt\g\
l và
^ -»
Alà
-----------l
ytrong
\(Ị2.3Ị
!2sgM
(It không
—
s ,thế
y ) dđịnh
y dxảy
s lýra
D
p
x
,
y
)
f
{
)
y
<
oo
liên
tục
,
vì
được
chứng
minh
ami
t nh.
Chứng
Neu
<
M
thì
í
0
u ( t - s , lB
- u(
u í,( tx), B=M0l)ti m
=
i ms )l i m
l
i
m
Ea./(
B
)
t
= lim
u(t - s, B s) = it(0, B t) =
ÌXQ 0
—>0 X — ¥ X o
khi g (lýt , 1.4.4.
Xí—>0
) lXà -Mọi
liên martingale
tục. Hơn
U i lào một
nghiệm
trìnhphân
với / =
và g
t í địanếu
i =( ltstnữa,
Định
phương
tục=khả
báo
biến
bị / ochặn
u
,
x
)
E
Mị : =Goliên
E->•M
vs (của
xMphương
)hàm
>
(
t
,
x
)
\
<
dG
t.nvà 1có
x ỊX I g (0 t t— xs , Bt 3 ) \ ^
s
^
^
^
nE
( a ) u ( x ) — E„/„(x) ở đ ó f n v=àl i m
dnhò
Ị=
n
/
d
x
R) ,=n
zt
/đo
2
một
số
kết
quả
sau.
lim
E
o
f
(
x
+
B
(
B
)
=
t
N
.
n
t
n
t
ữ
u ( ut -2 rlà
, B rmột
) d X ° T + J 2 u của
( t -t r—,ìphương
B0 xr )=
d—»
XX(-Íx Ị,+
0.
{với
d0t{.X
) ,=
r )) d
—E
- sg,0 Bthì
)]. U i + u 2 cũng là một
ytrình
) ị■'о
=/ xuJ[(x
PtỂt-(r-x ,,/By=
=
và\ X gMị.
vì 0Mvà
khảtrình
tích nghiệm
đều,
hội—^Gtụ
theo
trung
bình
đến
Do sđó,
E x M a ->• Ex M t khi
đều
là
quả
hằng.nên M
s là
s h
i =1 0
I < i < j 00 0
□
( b ) fnghiệm
( x *t. +Mà
h e(M
i ) )- là
f nmartingale
{ trình
x * ) =với
J y^{x*
+ gM
9 e=ị ) gd 06. với\h\ < h ữ vàn £ z
của
phương
/nên
= /o E
và
sn ->•
=
E
M
với
mọi
s
<
t
.
Do
đó,
E
M
=
E
xMt
s
X
S
x
t
X
0
đó
N< làMphân
phối chuẩn tắc
với trung bình là 0, phương sai là 1, vì thế, nếu t n ->•
/ ỗ đề
Nếu
g>
\2.1.1.
thì
Thôi
cư
trú
Bổ
Lấy
, s,< m
) với
l à0ơX Ỷ- không
gian có độ đo hữu hạn và д : s !-> R là □
đo
Khi
d\ gian
3,
thì
G ( x(S
, -)•
y)
oo
у
và
Tiếp
sẽ
tỏd rằng
nếu
V là đủ trơn thì nó sẽ là nghiệm của phương trình.
Đầu
ta
một
martingale
địa
phương.
Vì
dx?
—
dvta
r( tvà
d) .X
i0. =hội
B
i bị
nên
tức
utiên
( ->•
t , =xtheo
) , =tìm
, định
xchứng
□
0
và
X
X
theo
lý
tụ
chặn,
ta
có
( c ) Uđược.
ị ( x ) =Giả
E n |^(x rằng
) l à liên
t ụmỗi
c t ạ iXx *ooG G ỉà khoảng mở của K d và1 một
sử
với
vài
điểm
hũ
>
0
ta
2
1 / 2 ý rằng
Cuối
cùng định
để
V—
là inghiệm
phải
’ .MChú
giả không
thiết g
Định
lýkhẳng
1.4.5.
Giảchỉ
sử\ra
rf8)(thì
cầu
EB
= \ta
Ị<được
Gchứng
(Ex X, ymở
y-tâm
) dBVyị €
E*
(D
)Xg((J0t ,-và
,Blà
Bt )ata
)hình
M
\) Xf (i tỏ
I. 0=с bán
C
skính
. r trong
X với
i - B(ỊTTẽ]|
Kết
hợp
trên
(Ịl.ỵỊ
lýuđã
ra0 )dạng
của
nghiệm,
bước
tiếp
theo
ta
cần
tìm
điều
kiện
đểu(t
V
ucó:
( tBây
—
s , Bđịnh
) —
uthỏa
( tchỉ
, Bmãn
=
—
Ị
(
t
—
r
)
B
d
r
+
\/u(t
—
r,
B
)dB
-ị—
/
aNếu
r
r
r
Định
lý giờ,
2.2.1.
(Ị2.3Ị
I
thì
í
2
v { tV0
x nс)1 ’=2 .ETa
f ( x phải
J Nthiết
) f ( xthêm
).
n ,£
n + t giả
liên
không Khi
đủ để
là g liên tục Hôlder địa
giantục
d chiều.
đó đảm bảo
Do
có + e e i )
/ F"(X
)d(M)
là
s dr — r,b )dr.
d o= <ul(ooot oĩ-. S!->
( nghiệm.
dđó,
)) tatheo
£„
I uGiả
M
,()Btm
Ị<)oo
tsxNếu
—ódr к
, BI“
s (
S )( +
( alý
( xt )sử
=minh
f slà
,XJyta
g—giả
( và
d) I
vr€)à=với
d’2 K
/
: đổi
G Xtọa
s 1độ
->(Ị2.3Ị
кcực Ị
phương
tức
IК
g(2.2),
(Ex
tx, chặn
))1D
gy(Bị)dt
,liên
ylấy
cg=ở(\ vôi
tthì
N.
Định
2.2.3.
glà
bị
C1B{
nó
mãn
Để hoàn
thiệnbiến
chứng
sử
f■'0
1đD —
với>yVD
0,
□
2J 0
0 0 1 2r đ 1 J 0 2 đ
2sử dụng định lý Fubini ta có
l à h à Xđầu
mRđdo. tiên
đ ưỊợđểc Gchỉ
v( ôJ0 ,ira
Bước
V ye =
c
’
là
giả
sử
g bị
chặn
và
trong
(0,00)
y
)
d
Ị
s
~
C
đ
S
~
d
s
=
—
r
<
oo
Dlà
o kết
đ ólý
dmartingale
u /với
d x Giả
ị(1.5
t ồ ta
nđịa
t ạbị
i tchặn,
ạđiều
i X *phải
v à bchứng
ằ n£í).
gU
í thì
( x *nó
) . thỏa mãn ỊỊ2.1Ị I
1,2
một
phương
trên
[0,
Lại
hợp
được
minh.
□
Định
2.1.3.
minh.
Nếu
/ị là
hàm
raVrằng
Bước
cuối
ta
kiện
đểcđịnh
nếu
thì
liên
( b )Chứng
K
( x *cùng,
+ h tesử
,DỊycần
) - tìm
K (không
xđiều
* , nếu
y )âm
=0V/ thì
§fỵ(x*
+Vlýdlà
eFubini
inghiệm
, y ) d echỉvới\h\
< htục.
0 vày G s
Thấy
rằng
d
X
°
=
d
r
v
ầ
x
°
có
biến
phân
bị
chặn,
trong
khi
x
ị
với
1
<
i
=
j
<
d
‘ định
Chứng
minh.
Sử dụng
tính
chất
Markov,
có:
d 00
sđịnh
00
00
E mở
/bị
( B tchặn
)/dtích
t0 —
j ETta
Binf{t
) dta
t hạn
=
j chế.
je PG}.
t {1Thầy
x/ 2,Neu
y ) f (rằng
yf) dEy dc
t2 và
f không
bịCho
chặn.
Giả
xác
với
/ không
xác
x Ịrằng
x f (là
trất
Chứng
minh.
ÁpGdụng
công
thức
phân
Itô,
có:
Định
lý
1.4.2.
là
tập
và
=
:
Bị
A/
=
0
< oo.
—chất
E x I (Markov,
X i - B1,Xi2) gФ
- sta
, Báp
) dụng
I < 2Ctính
Để
mỏ
rộng
cuối
0,
Chứng
minh.
tính
có:
r()t là
nếu
1 sthỏa
<
= M
j t(12.1)
< chất
d . Markov tại thời điểm
Định
lý 2.1.5.
Nếu
/Jbị
chặn
thì
do
đó
mãn
Сс)
U
ị ( xkết
) Theo
=0luận
, ycùng,
) g (Vy )elấy
mc ( d và
yta
liên
tụci tạỉx*
s |^(x
0
0
*s )oo
) Tvới
=EXBmọi
định, ít và
nhất,
cần0tục
E a,(trên
\ f { (BX
t ) \\ X
trongG
f làtaliên
thì
£ (xG
B
) .S).
) \ 3<
=với
f( t([.ta
BTừ
s-f(x
) r), )B==Ttừ
-(và
S ,Tsử
B
gt có
{-t đó
)vE
d( rxt0fsO
x f ( B tG,
m
E- uE(cho
dừngu (từ
động
Brown
phát
phép rđối
xứng
trái
t -Bs (, 0B ,3 ) |x|),
t , B chuyển
{ - U ị +0 -nếu
A u )xuất
( t - lại.
r, Br) + ị
\ / u ( dụng
t , Br)dBr.
0) = ị
Áp minh.
dụng kết
phép
lấy
đạo
hàm
dưới
dấu
tích
phân
của
bổ
đề
(Ị2.1.1)
,
ta
xTừ quả
в е trong
Chứng
định
nghĩa,
J
2
J
Q
(d) phân
fs
§ĩ(
* +này^ ta
у )Esẽ
я-ả{l№)l
у 1) =
d 9xQtâm
m
y ) phương
< 00 . trình:
2 Tiề
2s( d
quay,
ta x,
thu
được
Biến
bậc
hai
Trong
phần
quan
đến
/
1 2
ở
đó
Ps(
y)
—
(
2
Ĩ
Ĩ
S
)
!‘
e
l
/
.
, - \ x - y \ /2í
vế trái
là một
martingale
vì
cũng
là
một
v ( tthế
,=
xtồn
) / vế
=9tại,
(B
) tục
f+ (có
y B) apdạng
t( (martingale.
y)s.\ - dra.
oo
oo
{Ephải
t x f- liên
r ,t B
) dỊrvà
E
/x g,\(fyđã
too() d-y chỉ
uy,Nếu
B
- u ) d uV) £ c ’ , lặp lại
T=
suy
các
đạo
hàm
riêng
DịV
□
2 ta có vế phải của phương trình trên là
Dodụng
urathỏa
mãn
(Ị2.H
—
ị sẽ
+=|Au
0.
Do
Jgnên
1 £)(
BU
)ds
Eo Ị= (27
1tỏ
£)(B
< Eo
J martingale
1 £ > ( B s ) d sbình
.
sta
s/ )dsđối
T ,rằng
t BỴ đó
Áp
công
thức
vi
phân
Itô
chứng
với
phương khả
Đặt
=
í
(
t
r
,
B
)
d
r
+
v
(
t
S
)
.
r X * v à b ằ n g US ị { x * ) .
D
o
đ
ó
d
u
/
d
x
ị
t
ồ
n
t
ạ
i
t
ạ
i
tính utoán
chứng
minh
định
lý00112.1.Ị)
, ta có
d
€ c 1như
’ta2 và
u-Uị
-Au
trong
)M
X
(2.1) □
oo R =
t = +
một
martingale
địa
phương,
vì=(0,
vậy
(,biểu
tTnên
-) gliê
s {,thức
martingale
Thay
vào
cóGiả
-g
ỏdlà
martingale
Jо|Au
Định
lý
2.2.7.
sử
rằng
là
bị
và
n, Tscó
tục
Hốlder
địa
n t.
Vт
(=
x0,о
trg)xuất
I Meyer
Iphát
Z và
(csxhặn
, hai
t ;uỆ
£B
))với
Ệ vế
dmột
T phảilà
. phối
Do
Bị
là
chuyển
động
Brown
tại
X
Bị
phân
chuẩn
Jđịa
i { xphương.
,địa
y )trê
, hai.
tức
tích,
quá
trình
sẽ
đồng
nhất
quá
trình
biếnphương
phân
bậc
1
điều
kiện
bảo
đảm
rằng
/
bị
chặn
địa
phương
là
T
D
J
J
Chứng
minh.
Từ
định
nghĩa
của
и
trong
(a)
và
do
(b)
và
định
lý
Fubini
đã
thỏa
mãn
1
2
v ( t - s ,trái
B s ) là
—martingale,
v ( t , B 0 ) = / vì
( - thế
V ị vế
-ị—
A v ) (cũng
t - r ,làB rmartingale.
) dd r + martingale
Do
phải
Nếu V địa
E cphương.
’ , lặp lại(2.2)
tính
□□
phương.
Thì vế
uđạo
là độ
hàm
hàm
liên
riê
ng
D
tại
ị j Vmọi
=
dc 2điểm
v/ dx trên
miền
liê {0}
n tục
X Rvàvà Ii(0,x) = f ( x ) .
hàm
mật
của
Bịtục
là sẽ
i dx j 2là
dta
(*)
2 J
0 minh định
Bước
tiếp
theo
chứng
lý
về
tính
duy
nhất.
P
t
(
x
,
y
)
d
t
f
(
y
)
d
y
.
Lấy
T
=
0
,
D
=
R
Định
lý
1.4.3.
G
i
ả
s
ử
M
e
M
ị
’
.
G
i
ả
s
ử
(t")o
à
d
ã
thỏa
mãn
0
=
tổ
<
tĩ
<
.
.
.
<
t
*
t
với \h\0 < hũ bồi (d), ta có
toán như chứng minh trên,Dta
-2
ị| jx|
Vcó
=l og
J Ị+ D
x ,>y• ) 0,
g (xt —
- s>, y0 )0.d y d s .
|0/ (x
i j p)|s (—
Bước
tiếp martingale
theo ta chứng
minh
duy
nhất.
vế
là một
nên
tích tính
phân
ỏ vế
phải cũng là một martingale. Tuy nhiên,
= Đặt
t vtrái
à
d/2
|æ
y|2/2í
Phương
trình
trên
được
gọi
là
phương
trình
truyền
tếyd)rằng
đơn
x *(27rí)
+phương
h e ị ) e- utrình
( x * )là
Ị ( K-ỊỊ2.2Ị
( x *cho
+ Ị chuyền
hcó
e ị , nghiệm
y ) - động
к ( nhiệt
x *bịBrown.
, ychặn
) từ
) g (thực
y thì
)Khi
m ( dnghiệm
0=H2.lt
đó
ỏĐịnh
đó Plýt {2.1.2.
x , yu)(Nếu
=
mật
độ
> 3, nếu
đổi phải
biến
v
(
t
s
,
B
s) - v(t, Bữ) + Ị g(t — r, BT)dr
Thay
định
lý hội
tụvà
bị có
chặn
vào
Ịphải
không
khó0.khăn
chỉAra
tích thế
phân
là liên
tục
phân
nên
nó
bằng
vì Vđể
t và
u fl2.3Ị
là liên
d
Z(Ị2.1.4Ị
( sxnghiệm
, t bị
] tồn
Ệ chặn
, IT và
) u=((Ị2.1.5Ị
T ( x,0
lý —
2.2.2.
sử
gphù
bị biến
chặn,
nếu
trình
|-,
vị
chọn
hợp
tpmột
,t _X
)nghiệm
chính
làcủa
nhiệt
độDtại
X € R
■'0
Chứng
mi nh.
Giả
sử
đơn
giảnthì
rằng
ỉ — tại
j. Áp
dụng
ỊỊ2.1.5Ị
Ị phương
cho
ị i P sđiểm
, vế phải
thu
có=đo
dạng
tĐịnh
\ xlường
yđược
\ 2 Giả
/2s
ta
được
=
/
{
v
t + ]-Av + g ) ( t - r , B T ) d r J
Viết
ị =- Vdị / +
d x|Au
ị và =D t0.=Bồi
d / dnếu
t , tanóđược
rằng:
tục D
nên
khác 0 tại
mộtX điểm
(t , mọi
X ) nào
đó thì
nó
sẽ khácđó0
2 ,dyvới
H2.4Ị
thỏas =tmãn
nghiệm
ở
điểm
nhiệt
độ ỗ bị
thời
0=được
x ) .mTa
sẽ) oo
phương
được
=chặn
(E
x[0,T]
+cho
(Td y<
dtrình
6 .thì bày
i ] . ) gf({ y
v (điểm
t , xtrên
)—
{ B6 teM
)bằng
đổi
tkhi
- Tđiều
, y = kiện
a* [ f
K và
h ithời
đ óịbiến
00 00
n
J J thể
Ơ X ịchắc chắn rằng tích phân không bằng 0, mâu
v (x v)it=
tại
lân
cận
mỏ
của
điểm
đó,
do
đó,
có
Ị
'
'
í
J
ĩ
ầ
t
d
t
2 (*) l-(|2l2]
phương.
2thỏa
phảilýlà
Định
2.1.6.
Nếu
f là liên
tục
và1 thỏa
mãn
thì) tV/.địa
mãn
(Ị2.1ỊBước
Ị -d2.2ĩ
l ■tiên là ta
pháp
xây
dựng
phương
6 bước.
đầu
í nghiệm
lim
y'(M
. strình
-/pM+
. martingale
J(Ị2.11
) = (M
( ỉx/ 2, y ) = ^ ~ t —(27T
( xt , yt )y / 2 x
0 0 D i P _t
d
Tl—ÌOQ
v
(
t
,
x
)
=
E
(
g
(
t
s
,
B
. tục
Định
lý
2.2.5.
Ne
u
g
là
hàm
bị
chặn
thì
v(t,
X
)
là
liên
00) X M đặc
. biệt. □
x
s
ở
đây
ta
sẽ
kí
hiệu
u
là
nghiệm
tổng
quát
của
phương
là
nghiệm
/ Jlý
(27rs)
(—--------------y
ậ -------e ~ \ ~ v \ / g ()ttrình
- s , ytrê
)và
d ynVd s(0,
thuẫn.
Vậy
định
được
chứng
minh.
0
Chia
bồi
h
và
cho
h
->•
0
ta
thu
được
điều
phải
chứng
minh
từ
(c).
□
đi tìm một martingale địa phương.
^0
0 martingale địa phương vì vậy tích phân vế phải cũng là martin- gale
vế trái là một
DuP
i ( x , y thức
) = ——^----------------------------pF ((xx, )y ) = X , ta được
Chứng
minh.
ÁpDưới
dụng
công
vi
phân
2 định trong
Chứng
mi nh.
Sử
dụng
định
lýquả
tụgchặn
bị
chặn.
□
Chứng
minh.
các
giả
giả
thiết
thiết
uhội
của
bị
vхcó
ầItô
ubiến
thì
,cho
M
<í, Lấy
tđã
làđịa
xác
martingale
fl2.2.ỊỊ
Ịcác
là
s ,đạo
Jlà
7Г
—
у \M
's 0, s0
Sau
đây,
taNếu
cần
chỉ
ra
kết
với
tổng
s phương.
= ' z với Áp
ẵbị=chặn.
tất cảTheo
địa
phương.
Do
tíchta
phân
là
liên
tục
và\ các
phân
dụng
kiến
n
Chương 2
n
n
Q
n
ứng dụng giải tích ngẫu nhiên
nghiên
Ị
x
ho
cứu phương trình Parabolic
h
2.1Phương trình truyền nhỉệt
f
— ho
0
J
h
Q
Xi
jt
j
1
2.2 Định
Phương
trình
không
= J E { ( thuần
~ ° nhất
~ )g(t - s , B ) } d s .
lý định
2.1.1.
u martingale,
thỏa
mãnx )ỊỊ2.1Ị
I thì
martingale
hệ quả
địa
lýNếu
hội
phương
tụ
và ii(0,
ta
= có
0 vì
vậy M = u ( t — s, B ) ỉà một martỉngale địa
t
{Xi
B
)2
2
s
s
Định
lý 2.2.6.
s—
ao
chobổ
nếu
Dlà
i j Pđếm
t (phân
xsố
, được
y )с=phải
----------------------------—
,là
y ) đo
j thì
khoảng
của s Cho
và
/ihằng
trong
đề \д\
d2.1.lỊ
đặt
g =được
1 và
f n (đạo
x ) =hàm
K ( xriêng
,n).
thức
chuẩn
tara
có
tích
đồng
nhất
bằng
0.{|,x H2.2Ị
Dễ
dàngbị,
đưa
điều
kiện bao
hàm
để
u
thỏa
mãn
I.
Để
trình bày đơn giản, □
0
2
Pt x
y
DtPt(x, y) =
1 / 2 (—+ ^2~ í ^ )00 ( ’ ì phương
trên
[0,t).
DịV
dv/dxị
c ó \ (a)
D ị v \và
< (c)
CMt
là yđề
liên
tục và
ợc cho
bởirằng tích phân tồn tại, vì
Chú =ý rằng
trong
của |хbổ
(Ị2.1.1Ị
Ị tađưngầm
hiểu
Trong
phần
này, hợp
ta sẽMị
xét=/ phương
trình
phần
khi ta thêm hàm g ( t , X )
lim
M sJtồn
hầu
chắc
chắn
đầu tiên
ta xét
trường
khi
bị -chặn.
í
s^-trên
2 tại ỏ
Tuy
nhiên
s fí
d tụ
2 tuyệt đối.
s
vậy, ỏ đây
trong
và thức
(c) tavigiả
định2Itô,
rằng
tổng
Chứng
minh.
Từ(a)
công
phân
u ( 2TT
x 0 , hội
x d/
) với
e~
J x° = t — s v k x ị = B ị , 1 <
2 ds
t
E
\
(
B
ị
)
s
\
=
s
E
\
(
BBị s))2 d-s .l \
x
X
i
0
1M ị = lim M s = / g ( t — ds ,mãn
Định lý 2.1.4. Nếu
(Ị2.2ỊỊ
1 2 f bị chặn và liên tục thìо V thỏa
(2.3)
u € c ’ và u t D=ị V- A
fp t( x , y (0,
0t )- X sM
= u Ị+J gDsịtrong
) gJ(00
, y)dydi 0
Bước tiếp theo ta sẽ tìm điều kiện-để1)V .thỏa
„ , 2 - mãn ỊỊ2.4Ị I. Ta sẽ bắt đầu bằng việc giả
d 2
2TTtrong
/
(2.4)
u là
liênđều
tụcbị
với
mọi điểm
{0} X M và Í X ( 0 , X ) = f { x ) .
sử tất cả các
hàm
chặn.
x
s
s
d
d
39
41
42
44
43
3840
37
d+1
A"
khip
2.é2.3.3.
thu
dGi
được
=ảcần
2,p
CÓchặn
s Nếu
s giá
Định
sử
ỉ2phương
là
bị
vcuối
à trơn
c là
liên
ục,nghiệm.
bị
hặn.trên,
Nế utaVcó
€ c 1 ’ 2 t hì nó
Lấy
Vấn
trị
bây
kỳ giờ
vọng
của
định
khi
trình
V đủ
cùng
thì
kết
nó tlà
hợp
vớicphía
thì
nếu
t t
36 < (1 - a) - 1 .
( hặn
/ g(5 s )ds)
Định
2.3.5.
Gi
tnhỏalýmãn
(Ị2.5Ị
y 9 xsupE*
yỊ dlà
y d rexp
( tPảt--Ị.srs(ử
,x ’Brằng
- bị
u ( tc,a
B Jo ) và liê n tụcH õlder. Nế u c bị c hặn và liê n
1 1 uoị
}s ) (exp(c‘)
X’ }
= 0
Cí d1 1,2
I r L ~ p ỉ o g r d r 0.
0
s
s mãn (Ị2.5Ị Ị.
tục Hõl der địa phương
trê n t thì /V €rc-*:
thỏa
Chứng
minh.
hệ
của
chất
h(r,
= c(t — r, x), ta
v ( t dụng
, tx(t) =
E xB
fquả
( TB)t )exp(c*)dr
+ tính
, Markov
B 3 ) v ()t - svà
, Mđặt
0 BX)
vì
vậy mi
3 ) } d-s r,
ỊÁp
—u
- r,
+- /skhông
exp(cị
u(t
T ).dB T
0E æ {c(ivà
Chứng
nh.= Dựa
vào
tính
chất
Markov
âm của
g ta có
d 2X
exp
9 T,y dyd
l Xviết
= Vị(t,
) + v 2 {t,
). 02
0 giải quyết
Áp
định
Fubini
ta
có thể
( ì kết
' quả của các trường
có dụngmi
Chứng
nh.lýĐể
trường hợp
( *^< này,
- B(“õ!ĩ~zr\~
ị )ta - cần
s sử) dụng
I
s
s
(*)
□
dsE,
=
oo.
Số trước.
hạng đầu
tiên rằng
của vế
phải,
V i ( t ,r x ) là c 1 ’ 2 do IỊ2.1.5) . số hạng thứ hai v 2 { t , x ) là một
hợp
Ta+thấy
2 Bexp
2
J u(t
—
+ - (c
—
)n ge(xBp|S (ll*)
E x (/
(■■•
( B r,
_ sB
)d srexp(c
t■
supEs
/ dr,
/r ) exp(c*)dc*
dJ
! )■E■B2(í
a (/
)c ị)) d r■.
(27T)
/^í)
(t —
r(c)(Ị)d +|3
)/ s2 ) = exp
' s*Au(t
su px)
/ v(r,
k t ( x —/■)
, x).
y ) \ h■Nếu
{-yg0){\ B
dta
y3 n )bắt
=. 0 đầu với những quan sát thông
dạng đã xét với0zg( r, X ) = l im
c( r,
-" <8 <í
- XS,B
3 ).
Ta có thể bỏ qua vấn đề nếuíịOgX Jlà0c<3l<
liên
Hốlder
vì thực
tế E x(x Ể — Bị) 2
= s
J =c (exp(c*)v(i
t — r , Btại
r)dĩ
\ = tục
thường
thì___________
nếuphân
с và /làđã
chặntrong
thì V («!,•••
cũng bị
trên [0, N ] X R d , áp dụng Ц2.2.6Ц
Từ
hàm lấy
tích
đốibịxứng
, s chặn
n ) ta có
ỏcho
đó phép ta viết
0
yt
vế
trái ta
là một martingale nên
phải
cũng
Nếu V E c 1 , 2 thì lặp lại
Từ
” d / 2 vế
^ —
L exp
( ~ là một martingale.
~
) ỡ (r, ị/)dị/dr
thấyđó,
rằng có
2(í- r) 2 V 2(í - r) ' v '
làtính
liên
tục và
có trong
biến
chặn
phương.
Itô,
£ cvế1 phải
thì của
2 s gх (ra
yB khi
2 s thức
Trong
phần
điều
gì
cu h
vào
/này,
■ ■phân
■ta/ sẽ
dsi
•d1Theo
■sta
■ nếu
kbịị minh
(xét
x , yxem
) ta
=địa
(2 ■
-tI nếu
Ĩ■S )sẽ
/ dxảy
e niI =công
\ j3 tl )<
dd,
. ■thêm
toán
như
chứng
có
<
í
n)
ZẺ ígJ { B Sdr
^Iv
0 < (S tl <
nv
< t ( t , y )I < C
d\ xr - y \ với
,Có
x” ')< S-nghĩa
2
2
phương trình truyền nhiệt.
là,
ta fsẽNtrái
nghiên
cứuí < N .
10v(t
lại
tJ nếu
_- Eada;
B t _ T \ 2 -gv(t,
( r , BBt _)r ) ) .
J E„ d j2^ — E Jx g ( r , Blt t _ r ) +
s, Bt s) —
exp(c*)
0
{2iĩ)
/
(th (tiệm
c ị ) -cận
h (
Bằng cách xét
đến
dáng
điệu
, y ) khi t -» 0 và \ x - y \ 2 / t ->• c , ta
0 cho
0 Vị, lấy= Bị
Ta lấy
ước
lượng
là
chuyển
động
Brown
xuất
phát
từ 00và thu được khi /
j(- Vị +sắp
cv + -Av)(
t -phải
r, Bthu
)dr
r ) exp(cị
Sử dụng dcị =1,2
c(t - r, B(.Xi
lại,
vế
r )dr- và
d t được
0S l(0,
dBị
s ) 2 d -s xếp
s
)
{g(t
S,B
)
g(
s,x)}
SX
u
€
c
và
Uị
—
-Au
+
cu
trong
00
)
M
(2.5)
~ỉ
i'”
n9(
B
)--g{B
)
Sn
có thểTrong
dự đoán dạng
martingale
địa phương.
phângiải
thứtích
hai,làta+ có
thể áp dụngE^dx
—
B t_r|2) = C ( t — r ) để loại bỏ
là liên tục tích
Hôlder
t
s
Si =0 Sn =0
Đặt
h ( x ) = e x utalàcóliên tục
-mỗi
1ịbiến
-u đổi
JH—
exp(-c*)c(í
- Xsr ),K
Bdỏ
) dvế
s*)
.tiên,
sđầu
trong
{0}
và
íi(0,x)
= f( x).
một
trong
những
t - =r:p(-cỊ)
vỊ ầ^với
làm
thứ
hai
chí tatingale
có(2.6)
thể
—
U
+= cđiểm
(t —
r , giống
B
exp(c
d r 0 nhưng
vế trái
là một
martingale
địa
phương,
nên
tích
phân
phải
cũng
làthậm
một marÁp dụng tính
liên
tục
Hốlder
của
g
có
thể
chỉ
ra
rằng
công
thức trên là < Cs~ l + a / 2 , vì
\ v i ( t , x ) - V i ( t , y ) \ = |Ef ( x + Ẽ t ) - f ( y + Ỗ t ) \
0
i ( Ị 3{B,)d,Ỵ.
lấy
địa phương. Từ tích phân
tục và có biến phân bị chặn thì nó phải đồng nhất
X \ x là
— yliên
\
phương
trình
này
nhiệt
lượng.
u ( tmãn.
, X ) là
vậy
tích
phân
từ
st mô
= 0 tả
tớidòng
t hội
tụ tuyệt
đối, Nghĩa
định lýlà,
thỏa
□
Ẽu(
) t - - f(y
Ẽ t ) \
í+exp(c*)
+ Jv <)exp(cị)
r,
B+ rnếu
).dB
bằng
0.
Tức
(
V
ị
+
C
V
+
|A
(
t
r
,
B
)
=
0,
nó
khác
0
ồ
một
vài
điểm
ta
có
ỏ đóđộ ỏ điểm X e Kd tại thời điểm rt , khi
d r đó, nhiệt lượng ỏ điểm X tại thời điểm t tiêu
nhiệt
0 r lý
Định
lý 2.2.8.
Lấylượng
g như
đị
Ị2.2.7)
hì
dv
diliên
tại
và địa phương trên□í.
Đây
là
công
thức
mà
ta nh
mong
- ( dta
-tmuốn.
2{)thấy
nếud>3
-----=ip[r
00.
Kếtchính
hợp
ước
cuối
cùng
V t(г,
X))Ịlà—
Hồlder
điều
mâuhai
thuẫn.
□
Nhân với — exp(c*) ta được
t — r
hao với vận tốc — c ( t , x ) .
Định
lý
được
chứng
minh
khi
-u
+
cu
+
|Au
=
0
và
số
hạng
thứ
hai
là
một
martingale
0 0 d c(r,
g rt nếu
= 2 rX)
nếu
= 1. tục Hôlder địa phương trên t,
Từ с và и là bị chặn và ta đã giảlot sử
rằng
làdliên
Từg kết
quả
cuối
cùng,
nó
sẽ
giải
thích
sao martingale
giảđược
thiếtchứng
h địa
e K minh.
là hợp lý trong hoàn □
dphương.
Với
Bước
đầu
là liên
tiên,
tục
như
Hõlder
thường
địa
lệ,
phương
ta
sẽ
đi
tại
tìm
ttại
, định
một
lý
d
v
địa
phương.
□
exp(Cị)
—
1
=
I
c
(
t
—
s
,
B
)
exp(cj
—
c
ị
)
d
s
.
s
dựa vào bất đẳng thức tam giác có g(r, X ) là liên
tục Hôlder địa phương, sử dụng định
t bảo đảm rằng
cảnh này. Điều kiệndđó
g không
chặn. Ị,Đểchúng
g không bị chặn
ta sẽ hạn chế điều kiện hàm g
1 2
0 Xđược
Định
lý 2.3.1.
Lấy
fl2.2.7Ị
| vàbịh02.2.8]
ta
có
G сcông
. 1nhận,
Vílýdụ
2.1. Lấy
( z ) =làk (một
\ z \ ) kết
ỗ đó
k ( độc
rv)2 {t,
=tđáo.
r p) nếu
r’ <
và k ( r ) = 0 nếu r > 1. Ta sẽ chỉ □
Bước
tiếp
theo,
quả
là hàm thuần nhất theo thời gian,
tức
gs( tB
, sX)\) =
h ( x ) ->
. Ta
cầnđịnh nghĩa của c \ và C* ta có
/ \h(
ds^j
0với
Kết
hợp
minh. Lấy đạo hàm supE^
theo biến
raChứng
rằng
t t , ta viết lại V là
= jđảm
c(tat rằng
—
r, VBtổng
с không
chặn.
ỏ phần
có thể
kết quả
trên đểtiên,
с không
Bước
tiếpbịtheo
là Như
điều kiện
đểc\
bảo
thỏa
mãn 02.61
1. Trước
ta bắtbị
T )dr.quát
Etrước,
x J \0h ( B a ) \ d s < oo.
t
exp
^
/
c(t
—
r
,
B
)ì
=
1
+
/
c(t
—
s
,
B
)
exp
f
I
c(t
—
r
,
B
)
d
r
\
d
s
.
T
r là bị c hặn.
Định
lý2.2.9.
2.3.2.ta
Giả
s ửnếup
rằng
Nế
u làsnhất
nghiệm
c ủa (|2.5) -(Ị2.6) t hì nó bị
0đều
chặnlý
nhưng
đãKgì
hạn
chếsupE
điều
kiện
là
thuần
theo
Định
h
G
<
đầu
xét
xem
điều
xảy
rac2.khi
tấtJ/ |/i(ổ
cả
bị
chặn.
->■
d sẽ
x exp(
s )|ds)
•*0
00 hàm
3 thời gian nên c ( t , X ) = h ( x ) .
j
= Ị í
3
J
2.3
n
Công thức Feynman-Kac
J
/
II
t
3
/
X
J
X
J
cTừ
hặn
[0,mãn
T] X
R d với
T ỉbất
kì
oo,0như
nótrị
phải
là nên
Ne
ucông
utrtên
hỏa
thì
thức
(*)
ồH2.5)
trên,
V
được
thị
thể
định định
thíchlýhợp
là с G
Nhân
với
{ Bbiểu
ị ) ,
kìtích,
vọng
và giả
sử dụng
Fubini
ta Kcód .
và,
do
đó
Định
lý
2.3.4.
Nế
u
c bị chặn và Ị liê n t ục, bị
c
hặn
thìphân
V thỏa mãn (Ị2.6Ị Ị.
d
Chứng
mi nh. Nếu a Lấy
< 1 gthì> đổi
tọa
độtrong
cực và
chú
ý tích
là lớn nhất khi X = 0 ta
Bổi đề iKhasminskiỉ.
0
là
hàm
R
với
v(t,x) = E f(B ) + J E ịc(t-s,B )exp(J c(t r,B )dr} f(B )}ds.
x
t
x
3
t
-
T
t
t , xM) t = E x { f ( Bí t ) e x p Mt
(c t)}.
1 mãn
s v (M
nếu
muốn
(Ị2.4Ị
Ị|c|
thỏa
cần
biết
nếu
tvì
0theo
và
-»khi
X thì
=
s, B<
n ịexp
n1
cóVà
s)
Chứng
minh.
Nếu
M được
thì ta
e s hai
exp(c*)
e hàm
( c ịx)cận
í ->•
Cho
\ \ f \ \ othu
o =
Đạo
hàm
vế phải
theo
t
hạng.
Đạo
trên
của0.tích
phân
S
a
=
supE^
J
g(
B
)ds
j
<
1
0
s 3 ) e 3^, sử dụng tích chất Markov ta có
Điều
kiện
trên
3^,
chú
ý
c(í
—
s
,
B
Chứng
mi
nh.
Dựa
vàohàm
giả lấy
thiếttích
củaphân
ta vềvàc áp
và dụng
u, M scông
, 0 < thức
s < t trong
là mộtỊỊ2.1.5Ị
martingale
bị
sup^
\f(
được
g ( tx)\
, X ).được
Đạo
hàm
Ị ta thu
tn
exp(c*)
là
một
marti
ngale
địa
phương
trê
n
[0,
t).
Với
haivàkết
này trong
tay,
chúng
ta có thể M
tiến hành
phát triển lý thuyết này hơn
chặn
Mịquả
= liiĩig^t
Ms =
f( B
E Xn I h (Từ
B s ) d ss là
->•khả
0. tích đều ta có
t) exp(c*).
được
Chứng mi
Áp
dụng
công
thức
Itô
với
x°
—
t - s, xi
|Enh.
exp(cỊ)/(5
)
E
f
{B
)\
<
11/llooE*
|exp(cỊ)
- l|=0.Bị với 1 < ỉ < d và
xp
t
x 2) t
nữa
đã làm
số0 bị
chặn.
Nếu như
ta thay
/c(r)trong
bỏi r trường
Y d n p ( hợp
r ) h ồhệ
i r (d
, với
d , Ỷ 2 thì ta được
x ) liên
= E Xtục
M 0 =tại
E xmỗi
M t =điểm
v ( t , xthuộc
) . Nếu
Giả sử rằng (í, X ) -> Ex f(Bu t()it ,là
{0} X Md và ta thu được kết
(c(ítrị
- stuyệt
, B s ) exp
J c (trong
t - r , tích
B ar ) d rphân
J f ( B và
t)ịĩs^J = c(t - s, Bs)v(t - s, Bs).
Nếu ta đặt :giá
đối ^vào
đưa kết quả cuối cùng là hội tụ đều
s
quả
mong muốn.
□
V đủ trơn dthì nó chính là nghiệm.
□
với
X € R thì ta được định nghĩa của Kato (1973). Hàm h được nói đến là K d
0
4*
2.4
45
5251
46
47
Gỉải số phương trình Parabolic bằng phương
độnglý3.1.2.
BrownGi
trên
thời
gian(Ị3.3Ị
B(s )I =■ (íNế
- s,
B s ) cho tới
thời d3?0
điểm-(Ị3.2Ị
T — inf{s
B( s)
Định
ả skhôngửG thỏa
mãn
u phương
trình
I c ó :một
d
ậ (0, 00) bị
XM
}. Tất
T =đó
t. phải là:
nghiệm
c hặn
t hìnhiên,
nghiệm
pháp Monte Carlo
3.1Sau đâyBài
chúngtoán
ta xét Dirichlet
phương trình
v {x) = E x f(B T ).
Chứngm inh. Nếu u bị chặn và thỏa mãn H3.11ị-(|3^2]ị thì M , 0 < s <
là một
Chương
3
—
ị Au
c utoán
trênDirichlet.
tập (0, 00) X Mlà ta sẽ đi nghiên cứu:
Trong địa
phần
này, tabịuđichặn.
xem
xét+03.31
bài
martingale
phương
Từ
1 và ỊỊ3.2ỊI taTức
có
s
T,
2
t
2 = f {x)
u«(0,x)
e c và
Au = 0 trong G
(3.1)
M T = lim M s = f(B T)
T
stTại
mỗi điểm của dG, u liên tục và u — f.
(3.2)
trong đó c(t,x ) = —t ln4 và f( x) — (1 + |xi |)(1 + sin(7rx 2)). Áp dụng công thức
u(x) = E X M 0 = E X M T = E x [ u(B T )] = E x [f(B T )] = v( x).
Chú ý rằng nếu
h(t, X)
u(x), thì
h thỏa
Feynman-Kac,
ta cócho
nghiệm
của=phương
trình
trênmãn
là phương trình truyền nhiệt sau:
Ưng dụng giải tích ngâu nhiên
nghiên cứu phương
trình Elliptic
u(t,x) = E
d h 1 —— =
—Ah. dt 2
□
\0
là không
nhấtcân
thiết
cho khi
việcnhiệt
tồn tại
để giảm
Ị
VìĐiều
vậy,kiện
u là(Ị3.3Ị
một Ịphân
bố nhiệt
bằng
độnghiệm,
trên bênnhưng
d G được
giữỊỊ3.3Ị
cố định
tabằng/.
cần
thay
đổigiá
định
nghĩa
đểx)cótại
thể
quyết
hợp
= oo.
Hình
xấp
xỉ rvới
N với
=Đặt
100 < i,j <
Ta
sẽ
xác
định
trị của
u(t,
t giải
= 12.1:
và
XNghiệm
=trường
10bằng
Tiếp theo của phần 3 trong chương này, ta chỉ ra cách sử dụng chuyển động Brown
Tương
như các phương
trình trước, bước đầu tiên để giải (|3.1l Ị-(|3^2Ì là ta sẽ đi
phương
pháp tự
Monte-Carlo
như sau:
để xây dựng
lớp các nghiệm của các
v ( x )phương
= E x ( f ( Btrình
endfunction
T ) l { T
cif О ;địa phương ứng với
tìm martingale
phương trình này.
1. Ta sinh fplot3d(x,у,ptFK,alpha=30,theta=31)
ra trên máy tính N bản sao 0độc
lậpAu
của2 B l f gọi là với k =
=—
2
Định lý 3.1.3. Cho G là tập mở bất kỳ và
1 giả sử Ị bị c hặn. Nế u V E c , thì nó
function
ù
=ptFK(x,y)
11 , 2= — Au + g 2
t hỏa mãn fl3.lỊ|.
1 Neuu thỏa mãn H3.1Ị), t hì Mị — u{B ) là
Định lý 3.1.1.tong
Đặt=T 0;
—for
inf{í
> 0 : 1Bị =
ị G}.
t
1= 1:100000
—Au
+ cu
2
2. Xấp xỉ
một mati
ngale
trê
n suy
[0, r).
Chứng
mi nh.
Từ địa
tính
chất
ra trên
xl =phương
rand(l,
"normal");
yl ={r > s} : 1
'IMarkov
~ 1,
(JV)M
+ liên tục vằu = f.
trong tập mồ G với điềuMkiện
biên:
tại\ mỗi điểm của dG,u là hàm
u{l, x) «
=---------------—2^
1, •'normal");
a = Ito• ta có,
Chứng mi nh. Áprand(l,
dụng công
thức)lvi phân
Ex(/(-5
I F s )hợp,
= v(B
(r
Ta sẽ chỉ ra rằng với các
điều rkiện
thích
nghiệm
của các phương trình trên lần
k
=1
hamf(x+xl,y+yl);
tong =s ).dB
tongs ++ i í Au ( B s ) d s
( B ị ) - u ( B 0 íử»
lượt có dạng như dưới
đây: ) = í Vu(B
J qtrên [0, r), nên v( B
2 sJ) 0cũng vậy. Nếu V £ c 2 , thì
(JV)
vế
trái
là
một
martingale
địa
phương
u Kolmogorov, 1Í
Theo luật mạnh số lớn
(1, x) hội tụ hầu chắc
chắn đến u(l, x) khi N
a;
E
/(5
)
a
T
lặpoo.
lại các phép tính như trong các chứng minh trước, ta được: với s e [0, r),
—ì
2 r G_ và số hạng đầu tiên là một matingale địa phương trên [0,
với t < T . Doen.d
A u = 0 trong
v( Bđến
s ) - v( B o) = - / Av(B T )dr + một martingale địa phương.
Các hình vẽutừ= 2.1
là
đồ
thịT )của
E
Ụ( B
+ J^ g( B a )ds E x tại X — (^r, ^r)ứngvới N lần
0.5*tong/100000;
32.5Jminh.
ữX
r), nên có điều phải
chứng
□
lượt bằngendfunction
10% i = 1, • • • ,5.
vế trái
là một
địa Ụ(
phương
trên
[0,
nên tích phân ỏ bên vế phải cũng vậy.
Bước
thứmartingale
hai, ta đi chứng
minh
tính
duy
nhất.
B T )e xp
ị^Ị
c(Br),
a )ds^Trước tiên ta xét điều kiện
Dưới đây là chương trình viết bằng ngôn ngữ Scilab để mô phỏng thuật toán trên.
Hơn nữa, tích phân này liên tục
và có =biến
phân
bị chặn địa phương,
vì К
vậy, nó phải
ÖV
P x ( Ta
t < oo)
1 với
mọithấy
X . sự tương
(3.3)
ở đó, T = inf {í > 0 : Bị Ệ G}.
có thể
nhận
, JW tự giữa các nghiệm ỏ đây
đồng nhất với 0. Lại có Aí7 liên tục trong G nên Aí7 = 0 trong
G vì nếu Av ^ 0 tại một
*è^các
với các nghiệm của phương trình ỏ phần trước bằng,*#»
cách xét
chuyển
л
điểm
nào
thìcủa
sẽy)xuất
hiệnđộng
mâuBrown
thuẫn. ta cóựự^
□
f unc
t iotính
n f =đó
h amf
( x,
Từ
chất
chuyển
nếu G là bị chặn thì điều kiện (Ị3.3Ịị được
f = ( 1+abs
y=x(x);
thoả
mãn.
) * ( l +si nO /o pi +y) ) ;
53
Đến lúc này ta có thể lặp lại các lập luận như ỏ tiết trước, tuy nhiên khi ta xét
điều kiện ^2 thì G phải thoả mãn thêm điều kiện chính sau.
Định nghĩa 3.1.1. Một điểm y e dG được gọi là c hính quy nếu Pj,(t = 0) = 1.
Bổ đề 3.1.1. Nế u t > 0, t hì ánh xạ X !->• p æ(r < t) nử a liê n tục dư ới, nghĩa là, nếu
x n —> X , thì
lim inf Р Ж п (r ^ í) ^ P x (r ^ t ) .
n—>oo
Chứng mi nh. Bỏi tính chất Markov, với mỗi 0 < 6 < t, ta có
p æ (5 s ị G , s G (e, í] nào đó) = J p e ( x , y ) F y ( r ^ t - è ) d y .
Do ánh xạ y !-»• Pj,(t ^ t — e) là bị chặn và đo được và
— dI®—У
P Á x , y ) = (2тге)
1
2 e - 2«
^
)
áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có
I4f X ( B S ẹ Ẻ G,s € (e, t] nào đó)
liên tục với mọi e > 0. Cho e ị 0, ta có: ĩ и Pj(r ^ i) là giới hạn của một dãy tăng các
hàm liên tục và do đó nó là nửa liên tục dưới.
□
Định lý 3.1.4. Cho G là một tập mở bất kỳ. Gi ả sử Ị bị chặn v à liên t ục, y là
đi ểm c hính củadG. Ne u x n Ễ G -> ÿ, thìv (x n)
f(y ).
Chứng mi nh. Nếu y là chính đối với G và í > 0, thì p y(r ^ í) = 1, vì vậy, theo Bổ
đề 3.1.1 nếu x n -» y, thì
lim inf рж (т ^ t) ^ 1 với mọi t > 0.
n ---- > ОС
sử dụng nhận xét này ta có thể dễ dàng hoàn thành
được chứng minh. Thật vậy, do /
bị chặn và liên tục, ta chỉ cần chứng tỏ rằng: nếu D( y,õ) = {x : \x — y\ < ổ}, thì:
55
56
5457
Mênhde3.1.3.
ửG
=
: g(x
0},
ở
là
Nếu
đặt
=có
inf
оchí
:B
ị đối
G}
và
inf{t
> 0yg,: tBị
t {x
BổĐiểm
đề 3.1.2.
uGỉ
y{íảs
là>tại
nh
v ớiơ) G<—và
x n đó
-»
hì
kỳ тdịNế
tồn
hay
không?
1
lớp
thuộc
ịvới
(-1,hàm
l)d}, ỗthì
mọi
> 0, с với Vg(y) Ỷ 0
00
v ới mọi у e dG. Khi đó mọi điểm t huộc
đều
1 ỠG
P 0 (t <
ơ ) ^c hính quy.
po(T„ < 00) <
Điều kiện đủ để một điểm p*„(r
là chính
là
gì?
< oo, B r e D ( y , ỗ ))
1.
1
Làm việc với điều kiện biên tới đây làn=kết
thúc. Giờ ta đi xác định khi nào thì
V
Để trả
hỏip đầu
2 lời
„ Vìcâu
vậy,
(r < tiên,
ơ) ^ ta
pOđưa
(T = ra
ơ) hai
^ - ví
và dụ
0 làsau.
điểm kỳ dị.
trơn.
Chứng
minh. Cho 0e > 0, chọn t đủ nhỏ để:
□
Ví dụ 3.1.1.
Đĩa thủng. Cho d ^ 2, và cho G = £)\{0}, ỏ đó, D = {x : \x\ < 1}.
Định lý 3.1.5. Cho G là tập mở bất kỳ. Ne u f bị c hặn, thì V G c° °, và do đó thỏa
0 ( sup \ B S \ > ^) < €.
Nếu đặt T 0 = inf{í > 0 : B t = p0},
thì P 0(T0 = 00) = 1 nên 0 không là điểm chính
Hai
ví dụ
trên chỉ ra rằng, nếu G c đủ nhỏ
ỗ gần y thì y có thể là điểm kỳ dị. Kết quả
mãn
(Ị3.1Ị
Ị.
Do p x (r ^ í) ->• 1 khi x n ->• y , và do việc chọn ồ trên, ta có:
trên dD.
sau đây lại chỉ ra rằng: Nếu G° không quá nhỏ ỏ gần y thì y sẽ là điểm chính quy.
Chứng
michiều
nh. Cho
G, xét
chọn
0 Bsao
Ta =đặt
Khi số
d ^Xlim
3,e ta
G <ỗ=o>oD\
K,
ỗcho
đó,
: Xị
x 2 = 0}. Trong ưưòng
inf
y , D(
ỗ ))кx,=ố){xс G.
n (r
r e D
Điều kiện hình nón. Nếu
tồnP Xtại
hình ,nón
V (có
đỉnh là y và r > 0 sao
cho V n D( y, г) С
hợp
chiều
d
=
3,
nó
sẽ
là
hình
cầu
bỏ
đi
đường
thẳng
qua
tâm.
Mọi điểm trên к
G c , thì y là điểm chính quy.
ơ = inf{t : Bị Ệ Z)
đều không chính quy.
Chứng minh. Ta định nghĩa
mộtinfP
hình
nón với đỉnh y, theo hướng V, với độ mỏ а như
^ lim
x „ Ị T ^ t , sup \ B S - x n \ ^ (a;,ổ)}, thì từ tính chất Markov mạnh suy ra:
Ví dụ 3.1.2. Gai Lebesgue Cho d ^ 3, và cho:
sau:
^ lim inf P X n (r ^ t ) - p 0 1 sup \ B S \ >
d-1
l , l =) dу- £+W6 0(0v{ [+2 -z n), 2ồ- nđ+ó1 ]в XE [ (0,
— ao no), ,az_L
, à | z| < a}.
n]
V ( y , v , a ) =G { =X (:- X
ì; ,} v
> 1 - e.
(3.4)
ỏ đó, khi n = oo số hạng tương ứng ồ trên bằng 0. Khi đó, nếu a n ị 0 đủ nhanh, thì
Phân phối chuẩn có tính chất đối xứng cầu nên
ỏ đó, 7Г là độ đo bề mặt trên D(x, ỗ) được chuẩn hóa thành một độ đo xác suất. Đẳng
không
điểmđịnh
chính
củađúng
ÕG.với mọi e > 0 nên Bổ đề 3.1.2 được chứng minh xong
Do là
khẳng
trên
thức trên được gọi là "tính chất
bình" của các hàm điều hòa. Ta sẽ chỉ ra ũG c°°
py ( Btrung
t £ V ( y , v , a ) ) = e0 > 0
□
Chứng
mi
nh.
Vì
p
o{(
BỊ,
Bị
)
=
(0,0),
với
t
>
0
nào
đó
)
=
0,
nên
với
xác
suất
1,
bằng phương pháp giải tích như sau.
ỏ đó, e a là hằng số chỉ phụ thuộc vào độ mỏ a. Cho r > 0 sao cho V(y,v, a) n D(y, r ) С
Và do
đó Định
lỹ|3.1.4|cũng
chứng minh xong.
□
một
chuyển
động
Brownian Bđược
t bắt đầu từ 0 sẽ không chạm vào
Bổ
ề 3.1.3.
G là
và h là
một
hàm bị c hặn có tí nh c hất tr ung
G c .đDo
tính Cho
liên tục
củatập
quỹmở
đạohất
củakỳchuyển
động
Brown:
n
n + 1 d G đều là chính quy, thì u(x) sẽ
/„ rằng:
= {ж :Nếu
Xị Gmỗi
[2~điểm
,2~ của
],x 2 = x 3 = ... = x d = 0}.
bìĐịnh
nh: lý 3.1.4 chỉ ra
(sup IB s — y \ > r ) = 0.
thỏa mãn điều kiện biên 03.211lim
vớiP ÿmọi
/ liên tục, bị chặn.
*
—
< tkhoảng cách giữa {B s : 0
Do Bị là nhất thời khi số chiều d ^ 3s nên
^ s
<
Mệnh đề sau suy ra từ luật loga lặp cho chuyển động Brown một chiều.
Kếtxhợp
hai
oo} và
khi
£ Gvới
v àỗ
ổ x ,quả
Ởđó5
Thì h e c°° v àAh = 0 tr ongG.
x
Mệnh
đề 3.1.1.
G cđặt:
M là tập mở thì mọi điể m thuộc ÕG đề u chí nh quy.
I dương.
Từ Nế
đó,unếu
n
c
e 0 ^ liminfP v (5 t e G ) ^ limP v (r ^ t ) ^ P„(t = 0), t ịo
i ịo
Chứng minh. Giả
sử Ф là một hàm khả vi vô hạn không âm, triệt
tiêu trên [ỏ 2, oo)
d
Mệnh
đề
3.1.2.
Ne
uG
mô
tr
ongR
vói
d
^
2,
và
choy
E
dG
thỏam
ãnFy
(T = 0) <
và từ luật 0-1 Blumenthal
P„(
T
= 0) = 1. + 1 ] X [ - a n , a „ ] d - 1 } >
□
T nbằng
=tai ncó:
f0.
{ t Ta
: Bcó
t e [2-",2-"
nhưng không đồng nhất
1. Cho / ỉà hàm liê n t ục v ới f(y ) = 1, và f(z) < 1 v ới mọi z ^ y. Khỉ đó tồn
Điều kiện hình nón thưòng là đã đủ mạnh để áp dụng được trong phần lổn các
và chọn a n đủ nhỏ, thì p 0(T„ < 00) ^ 3 _".
2
tại một dãy điểm x nд (—х )> =y / sфao
>00 v ( x n ) < 1.
( \ уcho
- x \ lim
) h (inf„
y ) d y E c°°
trường hợp.
Ta có:
D (x,5)
oo
E3'"
Từ những thảo luận trên, ta thấy rằng V thỏa mãn 3.2 nó là đủ (gần như cần thiết)
để mọi điểm thuộc d G đều chính quy. Ta cần giải quyết hai câu hỏi sau:
58
Bằng phép đổi biến, xét trong tọa độ cực, và sử dụng tính chất trung bình, ta có:
g(x) = /
'ệ(\z\2)h(x + z)dz
JD(0, á)
— c í '0(r 2)r d_1dr ( í h{x + 2:)7r(dz)'ì
• 'o
dD (0, r)
/
= c Ụ r d ~ X ĩị){r 2 )dr ^ h{x).
Vì vậy, h bằng một hằng nhân với g, do đó thuộc c° °.
Để kết thúc, ta chỉ ra Ah = 0. sử dụng công thức khai triển Taylor cho hàm nhiều biến
ta có nếu \y - x\ ^ r thì:
h(y ) = h(x) + ỵ2( yi~ Xi) Di h(x) + ỵ 2(yi~ x i)( yj - Xj)Dijh(x) + e(y, x),
i ij
ỗ đó, \e(y, x)\ ^ c 3 r 3 . Tích phân trên D( x,r ) đối với độ đo dy/ |D(0,r)|, và sử dụng tính
chất trung bình, ta có:
h(x) = h(x) + 0 + C2Ah(x)r2 + 0(r3).
Giản ước h(x ) ỏ hai vế rồi chia cho r 2 , và cho r —> 0, ta được Ah( x) — 0.
Áp dụng Bổ đề 3.1.3 cho h —
V
ta suy ra
V
□
□
€ c °°.
Trường hựp miền G không bị chặn: Như trong ba phần trước, ta đã thảo luận
về vấn đề xảy ra trong trường hợp không bị chặn. Kết hợp các Định lý 3.1.2
3.1.4
và|3.1.5[ ta có:
Định lý 3.1.6. Gi ả sử, f bị chặn v à liên t ục, và mỗi điểm c ủa dG đề u chính quy.
Nế u với mọỉx € G, P X ( T <
00
) = 1, thìv là nghiệm bị c hặn duy nhất c ủa fl3.lỊ |.
Có thể có các nghiệm không bị chặn khác. Xét G = (0,oo),/(0) = 0,chúýrằng u{x)
— c x là nghiệm. Ngược lại, ta có:
Định lý 3.1.7. Gi ả sử f bị chặn v à liên t ục, và mỗi điểm c ủadG đều c hí nh qui.
Nế u với mọi
X
e G, P X ( T < oo) < 1, t hì nghiệm c ủa d3.1]Ị là không duy nhất.
59
Chứng minh. Do h{x) — px ( t = 00) có tính chất trung bình cho bồi Bổ đề
3.1.3
nó thuộc c°° ,Ah = 0 trong G. Do mỗi điểm của y € dG đều chính qui, từ Bổ đề
Ỉ3.1.llta có:
limsupP^T = oo) ^ limsupP x (r > 1) ^ Py(T > 1) = 0.
X ------> y
X ------> y
Do vậy, h là nghiệm của (Ị3.1ỊỊ với / = 0, ta có điều phải chứng minh.
□
Việc thêm aP x (r = 00) vào v( x) là cách duy nhất để sinh ra một nghiệm bị chặn mới.
Định lý 3.1.8. Giả sử, f bị c hặn v à liê n t ục, và mỗi điể m c ủa dG đề u c hí nh quy.
Nế u u bị chặn và thỏa mãn fl3.ỊỊỊ trong G, thì tồn tại một hằng số a sao c ho:
u ( x ) = E x ( f ( B T ) ] T < 00) + aP x (r = oo).
Ta xét khỏi động bằng việc định lý này trong trường hợp đặc biệt G — R d .
Định lý 3.1.9. Nếu u bị c hặn và điều hòa trongR d t hì u ỉà hằng.
Chứng mi nh. Do martingale địa phương u( Bị) là bị chặn nên u(B t ) là một martingale. Áp dụng định lý hội tụ martingale ta có: Khi t ->• oo,u(B t ) Uoo- Do Uoo là
đo
được đối với ơ-đại số đuôi, nên p x(a < ỉ/oo < ỏ) luôn bằng 1 hoặc 0 với mọi a < b .
Do đó tồn tại một hằng số c không phụ thuộc vào X để Pz(í/oc = c) = l . Lấy kỳ vọng ta
được: u{x) = ExUoo = c.
□
Chứng minh Định lý 3. 1.8 , Từ chứng minh của Định lý 3.1.9 ta thấy Tằngu( Bị ) là
martingale bị chặn địa phương trên [0, r) nên U T = lim ttr u(B t ). Trên tập {r < oo}, ta
có: Ư T = f(B r ),\ì vậy, ta cần chỉ ra rằng tồn tại một hằng số a không phụ thuộc vào
điểm bắt đầu B 0 ,dể ư T = a trên {r = oo}. Ta sẽ mỏ rộng u ra toàn bộ không gian qua
hai bước sau:
(a) Đặt h(x) = u( x) — E x (f( B T )] T < oo). Từ các Định lỷ|3.1.5| và 3.1.4 ta suy ra
rằng: h bị chặn và thỏa mãn fl3.ỊỊ Ị với hàm biên / = 0.
60
61
Sau đó, sử
tụ bị chặn ta thu được (iv). Định lý được chứng minh xong.
(b)Đặt
мdụng
= II hội
/г II
со và
ÜO(X)
3.2
1
nếu
X
=
h(x)
+ MP,(r = oo) nếu
X
£ G
□
G G°.
Phương trình Poỉsson
Bây giờ, để hoàn thành chứng minh ta sẽ chứng tỏ rằng 0J (x) = ߥ х(т = oo). Khi đó,
Trong mục này, chúng ta xem điều gì xảy ra khi thêm một hàm của X vào phương
ta sẽ có kết quả mong muốn ngay lập tức.
trình trong mục trước trước. Cụ thể, chúng ta sẽ nghiên cứu:
(i) Khi hạn chế trên G,LÚ thỏa mãn 3.1 với hàm biên / = 0. Thật vậy, từ chứng
2
minh của Địnhulý|3.1.9|
suy=ra-gMP
Kết
x (r <
e c vàta-Alt
trong
G,oo) thỏa mãn ЗЛ với hàm biên / = 0. (3.5)
2
hợp với (a), ta có kết quả mong muốn.
(ii) U) ^ 0.
Tại mỗi điểm của dG, u là liên tục và u = 0.
(3.6)
Thật vậy, sử dụng định lý dừng chọn cho martingale h{Bị) tại thời điểm T Л t,
Bước đầu tiên để giải (Ị3.5Ị |-(|3I6 ]Ị là tìm một martingale địa phương.
và chú ý rằng h(B T ) = 0, ta có
Định lý 3.2.1. Chor = inf{í
> 0 : Bị ị G}.Neuu thoảmãn H3.5Ị I thì
h( x) = Ex (h( B t )]T > t) ^ -MPj(r > t).
M t = u( B t ) + í g(B s )ds ■'ó
Cho t —>đị00a, ta
được h(trên
x) ^ [0,
-MPj(r
là martingale
phương
r). = oo).
(iii)u)(
B t ) là
một martingale
dưới.
Chứng
minh.
Áp dụng công
thức vi phân Ito ta được
Thật vậy, sử dụng tính chất Markov ta chỉ cần chứng tỏ rằng, với mọi X và t, thì
u({Bị).
B t ) - Vì
u(B
í Vu{B
s )dB s + ]~ í Au( B s )ds J 0
to(x) ^ Exu>
и 0^) 0= nếu
X ị G. Đe chứng2 minh
J 0 điều này cho X G G, từ (г)
suy ra w t — oj{B t ) là martingale địa phương bị chặn trên [0, r) và W T = 0 trên
với t < r. Từ đây suy ra (Ị3.2.1D vì - Alt = -g và số hạng đầu tiên ỏ vế phải là một
{r < oo}, sử dụng định lý dừng chọn, ta được:
martingale địa phương trên [0, r).
□
ш{х) = E X (W tM) = Ex ( u}(B t )-,T > t) ^ Ex (u}( B t )).
Tiếp theo ta chứng minh định lý về tính duy nhất.
(iv) Tồn tại hằng số ß sao cho Lú( x) = ßp x {r = 00).
Do tư là martingale dưới bị chặn nên khi cho t -¥ 00,0>(B t ) hội tụ tới một giới
Định lý 3.2.2. Giả sử rằngG v à g là bị chặn. Nếu có một nghiệm của
hạn w113.61
dụng
lập luận
Địnhlà:
lý 3.1.9 suy ra, tồn tại một hằng số ß để
x . Áp 1
(13.5)
bị chặn,
thìtrong
nó phải
=
ß) = I mọi X . Cho t ->• ỉ{x)
00, ta =
được
E* ị^Ị g{B t )dt S j .
u ( x ) = Ex { u { B t ) - , T > t ).
62
63
Chứng minh.
mi nh. Nếu
Chúng
ta bắt
đầu
bằng
cách
Chứng
u thỏa
mãn
H3.5Ị
I thì
Mịquan
địnhsát:
nghĩa trong (Ị3.2.1Ị Ị là một martingale eđịa
trên
r). 0.
Nếu G là bị chặn thì E X T < oo với mọi X £ G. Nếu u và g là
(i) Nếu
> 0phương
thì рж (r
> e)[0,—>
bị chặn thì với t < r:
(ii) Nếu G là bị chặn thì с = s u p x E x T < oo và do đó IMIoc < ƠỊIổIIoo < oo.
|-^í|
—
ll^lloc “t“ rlỊỡlloo.
Giả sử 6 > 0, sử dụng tính chất Markov ta có:
|w(x„)| < E*» (^
Vì vế phải là khả tích,
Ì 9( B s ) \ d s ^ + E X n ị \ g ( B a ) d s \ ; T > e j
M T = lim M ị = í g ( B t ) d t
<
<
t^T J )\]T > è)
ellslloo + E X n (\v{B
e
u( x) = E X M 0 = E X (M T ) = v( x).
0
e
llỡl|oo + IMIoo-Px„(r > б).
□
Cho n ->• oo và € -> 0, và sử dụng (i) và (ii) ta suy ra điều phải chứng minh. □
2
Định lý 3.2.3. Giả sử rằng G l à bị chặn và g là liên tục. Nế u V € c thì nó thỏa
Cuối cùng, chúng ta đến với những câu hỏi về độ trơn. Ta giả định rằng g được xác
mãn fl3.5Ị |. d
định trên R và có giá compact. Giả sử G là bị chặn và giá trị của g trên G° là không
liên quan với (|3.5l >(Ị3.el>.Chứng
Do vậy minh.
không mất
ta giả
Theotính
tínhtổng
chấtquát,
Markov
ta sử
có rằng
trên tập
9( Bt) dt\J^j = Ị g(B t )dt + v(B s ).
f g { x ) d x = 0. . Ta bắt đầu với trường hợp d > 3. Ta có
martingale địa phương trên [0, r) nên vế phải cũng vậy. Nếu
l o ( x ) = E X Ị \ g ( B ị ) \ d t < oo •'о
V
T
> s:
vế trái là một
e c2
và là một hàm bị chặn của X . Điều này có nghĩa là ta có thể định nghĩa:
khi đó lặp lại các phép tính như trong chứng minh của Định lý 3.2.1 ta thấy rằng
với s € [0, r):
ư { x ) = Ex í g ( B ị ) d t .
■'о
fs fs 1
v(B s ) - v( B 0 ) + / g( B T )dr — / (- A V + g)( B T )d r + martingale địa phương J 0
Sử dụng tính chất Markov mạnh ta có kết luận:
J0 2
vế trái là một martingale địa phương trên [0, r) vì vậy tích phân ỏ vế phải cũng vậy.
u)(x) = Exf g(Bt)dt + Exu(BT).
Tuy nhiên, tích phân này là liên tục và ■'о
có biến phân địa phương bị chặn vì
J
■
vậy nó phải đồng nhất bằng 0. vì -Av + g là liên tục trong G nên nó cũng phải đồng
Do đó
nhất bằng 0 trong G.
□
( x ) = ш { х ) - Ex u i { B T ) .
(3.7)
Định lý 3.2.4. Gi ả s ử G và g vlà
bị c hặn. Cho y là một đi ểm c hính của ÕG. Nế
u
x n E G vàx n 0 thìv (x n) —> 0.
67
64
65
66
70
68
69
lý
3.1.5
cho
biết
rằng
hạng
thứ
hai
là
c°°
G.
đó
để
chứng
không
là
khả
tích
địa
phương.
Tương
tự
như
những
mục
gBrown
làkiện
liênminh
tục
Ta
thấy
nếu
U)(
x)ta
<
oobx
thì
ui(y)
với
y trong
D chuyển
(trước,
xta
, ỗDo
) .nếu
Nghiệm
đầuĐịnh
bằng
tổng
thiết
quát
lập
là
A
đồng
COS
nhất
thức
+ kéo
Bsốsin
ỏtheo
đóbx
nó
với
dừng
b<ỏ=oo
với
y/
27
mọi
. vậy
tevà
nếu
muốn
động
điều
bước
biên
3.3
Phương
trình
Schrödinger
2
2
V € c chúng
U) €một
c .lượng
Chứng\xminh
là đơn
Hốlder
a tathìchỉ
tacần
thể
bổminh
sunglàthêm
- y này
1“ để
thaygiản
đổi vì
kết quả.
được thỏa
u domãn
đó cấp
nó
ta dừng
phải
có:
khi
tcó=chứng
r(w):
Định
lý
3.3.2.
Cho
G
là
một
tập
mở
liên
thông.
Nếu
u
^
oo
thì:
Trong
bàichi
này,
chúng
xem nên
xét điều
xảynhận
ra khi
taquả.
thêm c u vào vế trái của bài
Chứng
minh
tiết
là dàitadòng
ta sẽ gì
thừa
kết
2
d
u
{
x
)
=
c
Ị
\
x
y
\
~
g
(
y
)
d
y
d
2
= A exp
cos Ụ
ac (+B s В) dsin
=b a1 + Jcứu
c(Bs)exp
c(BT)dr^j ds.
toán Dirichlet.
Cụ bthể,
ta sẽs ^nghiên
L J ( X ) <00, V x € G 2.
Định lý 3.2.6.
Nế
u
g
là
liên
tục
Hõl
der
thì
U)
làc
.
1 — A COS { — b a ) + В sin(— b a ) = A COS b a —
в sin b a .
đạo hàm đầu tiên là đơn giản.
12
„5.
1
Nhân
thêm
f {B
trịtập
kìuvọng
T ) và
u lấy
€làc giá
và —
A
+ c liên
uđược:
= 0,thông v ới độ đo Lebe sgue hữ u hạn,(3.8)
Định lý
3.3.3.
Cho
G
một
mở
\ G\
1
hợp
(Ị3.7Ị
Ị
và
Định
lý
(Ị3.2.6Ị
Ị
có:ccó
Suy ra Định
2 =Tổng
2 AlýCOS
òa
và
о
=
2
в
sin
b
a
.
Từ
đó
ta
luôn
в
=
ta có
3.2.5. Nế u g là bị c hặn và c ó tagiá
ompact,
thì 0U)vàlàchúng
c
và
tồnthể
tại một
là liên
(3.9)
v ( x ) =Tại
E x f (mỗi
B ) điểm
+ J Ecủa
( ^ dG,
c ( B s )u<
exp
ị ^ Ị ctục
( B T và
) d ru^ =
f { /.
BT)l[s
thể
tìm
được
Аthuộc
. T vào dx sao c ho:
2
hằng
số
c
chỉ
phụ
Định
lý
3.2.7.
Gi
ả
sử
rằngG
l
à
bị
chặn.
Nếu
g
là
liên
t
ục
Hõỉ
der
t
hìv
e
c
và
Bước
đầu
tiên
để
giải
fl3.8Ị
l-(Ị3ĩrt
là
tìm
một
martingale
địa
phương.
Neuu) ^ 00 thì:
Neu COSLuận
ba =văn
0thìtrình
không
tồn
tại
A.
các
Sử dụng
trên
T akết
và quả
tínhsau:
chất Markov, ta có thể viết biểu thức trên như sau:
mãn
d3.5]điều
Ị. kiệnbày
t
hỏa
supw(l)
< 00.
Neu COS Ь а Ф 0 thì u ( x ) = COS
Ь х / COS b a là
một nghiệm.
dy
\ D ị U { x ) \ < ữllỡlloo /--------------< oo.
Định
lý
3.3.1.
Chor
=
inf{í
>
0
:
Bị
ị
G},
Ne
uu
thoảm
ãn ỊỊ3.8Ị
I thì
2. Sơ lược về phép tính
vi
tích
phân
ngẫu
nhiên
đối
với
semi-martingale.
h
Ỷ
0
}
I®
y
I
9độ anhẵn
v
{x)
=
E
f(B
)
+
í
E
(c(B
)v(B
)]T
>
s)ds
x
T
x
a
Kếu
quả
cuối
cùng
giải
quyết
câu
hỏi
về
trong
d
>
3. •'o
Để
mởcủa
rộng
kết quả
Chúng ta cóvới
thểĐịnh
chứng
tỏ rằng ),nếu
ab < sẵn
7Г thì:
lí (Ị3.3.3Ị
ta đã
sàng để chứng minh tính duy
nhất
nghiệm.
= V iM
{x)=
+ vu(B
2( x ) .
xp(
Ị c(
Bparabolic
)ds) sauvà
tquả
t )elập
s thiết
dtrình
taxác
cần
tìm
một
thay
cho
(*).
Tacác
cho:
ĐểBiểu
đơn
giản
hóa
kếtthế
ta
sẽ
giả
cho
phần còn lại của mục
3.với
suất
của
nghiệm
các
phương
trình
elliptic.
•'0 b ata
v ( x )biểu
= COS
b x /COS
. cho bỏi vi phân dưới dấu tích phân là
Chứng minh. Dễ thấy rằng
thức
chúng
này.
là
một
martỉ
ngale
địa
phương
trêhạng
n phương
[0,thứ
r). hai
4.
Nghiên
tính
chất
của
nghiệm
trình
Số
hạng
thứ cứu
nhất
là ơ°°
bồi
(4.6).
số
là: parabolic và elliptic thông qua
hội tụ.
Tuy nhiên điều này chưa chắc đã đúng khi ab > 7t/2 vì v ( x ) > 0 trong khi vế phải có thể
biểutập
diễn
xác
suất.
(Al) Gcác
là một
mỗ
liên
thông
bị
chặn.
= f*
c(B=
Áps dụng
công
vi phân Ito ta được
s )ds.
v 2 {x)
Ụ
c(B
)v(B s )ds
^ thức
.
âm vớiChứng
một vàimi
giánh.
trị Cho
của XCị
.
khi đó G xác định bồi 2 d
2
2 x
ị \ x - y \ phương
~ = (-ỹ-)
“ ^')
Ì các biểu
( i diễn
- V i ) xác
5. Mô phỏngDnghiệm
trình parabolic thông
qua
suất và
Trước
tiên
ta
chứng
tỏ
rằng
nếu
(A2) / và c là bị chặn
và liên tục.
u
(
b
t) - u(B0) = / exp{cs)V(Bs).dBs + / u(Bs)exp(cs)dcs
Do đóphương
nếu ta cho
x) = c(x) v(x) thì ta có thể ứng dụng kết quả từ phần cuối cùng.
phápg(Monte-Carlo.
d =2
—phân
Eæ exp
c(B s )ds ^ Ф200 [*
Lấy
vi phân
dưới ùơ(x)
dấu tích
ta ựđược
Nếu
Định
lí (13.3.3). Nên ta có v 2 là c 1
(A3) cu và
^ 00/ .là bị chặn và UI ^ oo thì V là bị chặn bồi
-ị— I A u(Bs)exp(cs)ds
Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn
phương trình elliptic
3 XJnghiệm
X -lày mô
I phỏng
ị 0 d y= 1
vàthể
nó tính
có đạo
hàm
bịnhững
chặn.
Dịu{x)
=
c
{2
d
)
Ị
ị
~
*
g
(
thì ta có
toán
như
phần trước.
d
l y)dy.
thông
các biểu
xác suất của
và phương
Monte-Carlo.
Định qua
lý 3.3.4.
Nế udiễn
có nghiệm
( 6.1) làpháp
1 bị chặn thì nó phải là:
Khi
Vỵ e
°nghĩa
° và
Glà:
bịminh
chặnđịnh
thì Vlí là
và có
đạo
hàm bị chặn. Nếu c là liên tục
Bước
đầu
tacxét
bổchứng
đềlàsau:
G
vớiđược
t < tiên
T .định
Điều
này
vìI (/cdc
c( B
s )d
s , -Au + c u = 0 và số hạng đầu
v(x) =
E
( Bs r =) exp(c
T ))
Holder
thì trên
g( x)
c(x) là
v(x)
tục Holder.
nữa, chúng ta có thể sử dụng Định
Tích
phân
vế= phải
hộilàtụliên
vì
tiên
vế
phải
phương
trênH[0,Hơn
□
Bổ đề 3.3.1.
Cho
9 là
> một
0 v ôimartigale
mỗi ỊX > địa
0 s ao
cho nếu
làr).m ột tập mở vôi độ đo
2
Ta(Ị3.2.6)
xem xét
tính
duy
nhất.
Bước
tiếpvtheo
trong
bài
là
đơn
giản
nhờ
các
giả
lí
từđến
phần
cuối
cùng
để
kết
luận
e
c
và
do
đó:
2
y
dy
0ệ H} t hì: <
Le bes gueTa
|#| nhận
< /i VÙT
=/ inf
{t
H rằng
l| Xjhàm
_ > 0Ị :a Bị
9(y)\dy
thấy
< 00.
thiết @QQ
d
d— 1
y\
J{9*
0}
\
x
ứ - y
llỡlloo
[ tích
J phân
\x
-hội ytụ.
\ Vậy nếu / g d x — 0 ta thấy rằng:
trong đó a t được chọn
sao cho
supЕv ж{ (ехр(0Тя))
x ) = E x ( f ( B<
exp(cT)),
T ) 2.
Ket luận
□
không
là Ne
nghiệm
củathỏa
phương
Định
lýphải
3.3.5.
uvcó:
e bị
c 2chặn
thì nó
mãntrình
03.8)Schrödinger
tr ongG. như các phần trước. Thật
Nếu
i Ỷ j thì
ta
2
Địnhtalýxét
3.3.7.dụNế
u ngoài
(A1)- (A3), c là liê n tục Holder t hì V £ c v à hi ển
vậy,
sau.
Cho
c* = sup æ ví
|c(x)|. đơn
Bồi giản
Ц3.81
1
ta
có
thể
chọn
r
nhỏ
tùy
ý
để
nếu
T
—
inf
{t
:
\Bị
- B 0 \ > r}
0
r
2 d
x
d
Định
3.3.6.
mãn
tại
nh
ủa
Sử
dụng
biếnm0VDJãn
suy
ra (*)
utnày
\hỏa
- tay\
= (Ị2đúng,
- d ) (mỗi
- dvì) \vậy
xđiểm
- ybằng
\ ~chí
~ 2tính
( x i -ctoán
y ị ) (ÕG.
xgiải
j - ytích
ó ) . thông thường ta
nhi
ênlýthỏa
(Ị3.8Ị
Ị. ~(Ị3.9Ị
và r < rVÍ
) <=2 1,
với
X . a), c = 7 và / = 1, ta xét phương trình :
æ exp (с*Т
0 thì
dụE3.3.1.
Cho тd,
G mọi
= (-a,
sẽ chứng minh được wl ằ c 2 .
cùng
ta
Sử Cuối
dụng
ước
ỏđịnh
trên khi
dẫn nào
đến:V là đủ nhẵn để có một nghiệm, sử dụng các thủ thuật
Bổ đề 3.3.2.
Cho
25lượng
< rxác
0 , nế u D ( x , 2 Ỗ ) с G và y G D ( x , ỏ ) thì:
—u" + '■yit — 0
u(a ) = du(—a) = 1.
tương tự được sử \dụng
4.3 để rút gọn các trường hợp. Ta bắt
D i j \ x như
- y \ 2trong
~ d \ < bài
c\x-y\~
u{y) < 2 d + 2 ù ũ ( x ) .
