Phương pháp hiệu chỉnh browder tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại j đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ XUÂN QUỲNH

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ XUÂN QUỲNH

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. Nguyễn Bường

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS. TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ
thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt nam, người đã tận
tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo công tác tại trường
Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội đã truyền đạt kiến
thức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thông
tin, các bạn đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 10 năm 2015.
Học viên
Vũ Xuân Quỳnh

1


Mục lục
Mở đầu

3

1

5

Khái niệm cơ bản

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . .

8

1.2.2

Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . 10

1.3

Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . . . . . 12
1.3.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2

Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . 16

2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov

19

2.1

Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu

19

2.2

Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich . . . . . . . . 37

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

2


Mở đầu
Trong các lớp bài toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật và các nghành

kinh tế quốc dân tồn tại một lớp bài toán mà nghiệm không ổn định với dữ
kiện ban đầu. Khi dữ kiện ban đầu thay đổi đi một chút phương trình có
thể không có nghiệm hoặc nếu có thì nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệm
chính xác rất nhiều. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh và
đặt ra yêu cầu tìm những phương pháp giải ổn định các bài toán này.
Ta xét bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử

A(x) = f, f ∈ X,

(1)

trong đó A là toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y.
Khi đó bài toán này có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm
hàm làm trơn Tikhonov
h
Fδ,α
(x) = ||Ah (x) − fδ ||2 + αΩ(x),

ở đây x ∈ D(Ah ) = D(A), cùng với việc chọn tham số α = α(h, δ) thích
hợp, (Ah , fδ ) là xấp xỉ của (A, f ), α > 0 là tham số hiệu chỉnh, Ω(x) là
phiếm hàm ổn định. Tuy nhiên khi bài toán là phi tuyến thì việc tìm phần
tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn. Do đó để giải
quyết bài toán trong trường hợp phi tuyến, khi A : X → X ∗ là toán tử
đơn điệu, trong [7] Browder đã đề xuất một dạng mới của phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov bằng cách sử dụng một toán tử có tính chất h-liên
tục và đơn điệu mạnh. Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] đã sử dụng ánh xạ
đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh bài toán.
Để tìm nghiệm cho bài toán (1), chúng tôi xem xét phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov có dạng

A(x) + α(x − x+ ) = fδ ,
3

(2)


trong đó A : X → X là toán tử loại J-đơn điệu trong không gian Banach
X có tính chất xấp xỉ. Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là liên tục yếu
theo dãy và liên tục mạnh thì (2) có nghiệm duy nhất xδα hội tụ tới x0 là
nghiệm của (1). Ta cũng chỉ ra được sự hội tụ này khi J không có tính liên
tục yếu theo dãy nhưng được bổ sung thêm hai điều kiện

||A(x) − A(x0 ) − J ∗ A (x0 )∗ J(x − x0 )|| ≤ τ ||A(x) − A(x0 )||,

(3)

trong đó x ∈ X , τ > 0, J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗ , x0 là
nghiệm của (1) và tồn tại z ∈ X sao cho

A (x0 )z = x+ − x0 .

(4)

Cuối cùng, khi J không liên tục yếu theo dãy và không thỏa mãn hai điều
kiện (3), (4) thì nghiệm hiệu chỉnh của phương pháp này vẫn hội tụ tới
nghiệm của bài toán.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới
thiệu về bài toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn
điệu và một số khái niệm cơ bản dùng trong toàn bộ luận văn. Chương 2
trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình

phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu và phương pháp lặp
Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh trên.
Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong
nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành
cảm ơn!

4


Kết luận
Sau một thời gian làm việc dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường
luận văn đã được hoàn thành. Luận văn giới thiệu về bài toán đặt không
chỉnh và phương trình với toán tử loại J-đơn điệu. Trình bày phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại
J-đơn điệu khi J có tính liên tục yếu theo dãy và khi nó không có tính
chất này. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich. Trong luận văn các định lý đã được chứng minh chi
tiết. Các vấn đề đưa ra trong luận văn dựa trên kết quả nghiên cứu gần
đây của GS.TS Nguyễn Bường và đồng nghiệp.

44


Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB
ĐHQG Hà Nội.
[2] Alber Y. (1975), On solution by the method of regularization for operator equation of the first kind involving accretive mappings in Banach
spaces , Differential Equations SSSR, XI, 2242-2248.
[3] Alber Y. (1975), On solving nonlinear equations involving monotone
operator in Banach space, Sibirian Mathematics Journal, 26, 3-11.

[4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer.
[5] Bakushinskii A. (1976), Regularization Algorithm based on the NewtonKantorovich method for solving variational inequalities, Zh. Vychisl. Mat.
Fiz. SSSR, 16(6) 1397-1404.
[6] Bakushinskii, A. B., Smirnova, A. (2007), Iterative regularization and
genaralized discrepancy principle for monotone operator equations, Numer. Funct. Anal. and Optim. 28(1-2) 13-25.
[7] Browder F. E. (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 56(4) 1080-1086.
[8] Nguyen Buong (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear
ill-posed equations under accretive perturbations, Zh. Vychist. Mat. Mat.
Fiz, 44(3) 397-402.
[9] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2012) , Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in
Banach spaces, Applied Math. Sciences, 6(63) 3109-3117.
[10] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces,
Russian Math., 57(2) 58-64.
[11] Nguyen Buong, Nguyen Duong Nguyen, and Nguyen Thi Thu Thuy
(2015), Newton-Kantorovich iterative regularization and genaralized discrepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive

45


mappings, Russian Math., 59(5) 32-37.

[12] Konyagin C.V (1980), On approximative properties of closed sets in
Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl.
Akad. Nauk SSSR, 251(2) 276-280.
[13] Ryazantseva I. P. (2002), Regularization proximal point algorithm for
nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zhurn. Vychisl.
Matem. i Matem. Fiz., 42(9) 1295-1303.
[14] Wang J., Li J., Liu Z. (2008), Regularization methods for nonlinear
ill-posed problems with accretive operators, Acta Math. Scientia., 28b(1)
141-150.

46