Phép nhúng tập hút toàn cục vào không gian hữu hạn chiều (LV01844)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THANH NGA

PHÉP NHÚNG TẬP HÚT TOÀN CỤC
VÀO KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Cung Thế Anh

HÀ NỘI, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS. Cung
Thế Anh, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng
nghiệp đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Nga

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế
Anh, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:“Phép nhúng tập
hút toàn cục vào không gian hữu hạn chiều ” được hoàn thành bởi
sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Nga


2

Mục lục

Mở đầu

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Định nghĩa tập khối (cellular set)

. . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Định nghĩa số chiều Assouad . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Phép nhúng tập hút toàn cục vào không gian hữu hạn chiều

9

2.1

Phát biểu kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Tập khối là tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân . 11

2.3

Tập hút hữu hạn chiều chính là tập hút của hệ hữu hạn chiều 17

2.4

Phép nhúng động lực trên A vào không gian Euclid . . . . . 18

2.5

Chứng minh Định lí 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Kết luận
Tài liệu tham khảo

9

25
26


3

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian ra vô cùng của
các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến hoặc các phương trình vi phân hàm là một bài toán quan trọng và
có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Một trong những cách tiếp cận bài toán này
đối với các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và
các tính chất của tập hút toàn cục, xem cuốn chuyên khảo [1]. Đó là một

tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin
về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét. Cụ thể ta có thể xấp xỉ dáng điệu
tiệm cận nghiệm của một quỹ đạo bất kì của hệ đang xét bằng các quỹ
đạo nằm trên tập hút toàn cục.
Bởi định lí H¨older-Mané cải biên, ta biết rằng nếu một tập hút toàn
cục có số chiều fractal hữu hạn thì, về nguyên tắc, ta có thể chuyển việc
nghiên cứu hệ động lực trên tập hút về nghiên cứu hệ động lực trong không
gian hữu hạn chiều. Tuy nhiên, việc xây dựng hệ động lực hữu hạn chiều
này như thế nào và mối quan hệ thực sự giữa hai hệ động lực này (tức là,
giữa hệ gốc và hệ rút gọn) như thế nào vẫn còn rất ít kết quả [2]. Vì vậy,
chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn.


4

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phép nhúng tập hút toàn cục của một hệ động lực tiêu hao
vô hạn chiều vào một không gian hữu hạn chiều.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Trình bày phép nhúng tập hút toàn cục của hệ động lực vô hạn chiều
vào không gian hữu hạn chiều.

• Cách xây dựng hệ động lực rút gọn trên không gian hữu hạn chiều.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô
hạn chiều.

• Phạm vi nghiên cứu: Phép nhúng tập hút toàn cục vào không gian

hữu hạn chiều.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều.

6. Kết quả trình bày của luận văn
Luận văn đã trình bày được phép nhúng tập hút toàn cục của hệ động
lực vô hạn chiều vào không gian hữu hạn chiều và cách xây dựng hệ động
lực rút gọn trên không gian hữu hạn chiều đó.


5

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về tập hút toàn cục, sự
tồn tại tập hút toàn cục đối với hệ động lực vô hạn chiều, định nghĩa tập
khối, số chiều Assouad.

1.1

Tập hút toàn cục

Mục này được viết dựa trên các tài liệu [1],[2].

Khái niệm nửa nhóm liên tục
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử H là một không gian Hilbert. Một họ các ánh
xạ liên tục

S(t) : H −→ H , t ≥ 0,
gọi là một nửa nhóm liên tục trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. S(0) = Id;
2. S(t + s) = S(t)S(s), với mọi t, s ≥ 0;
3. Với mỗi x0 ∈ H , ánh xạ t −→ S(t)x0 ∈ C 0 ((0; +∞), H);
4. Với mỗi t ≥ 0, ánh xạ x0 −→ S (t) x0 liên tục trên H .


6

Khái niệm tập hút toàn cục
Định nghĩa 1.1.2. Tập con khác rỗng A ⊂ H gọi là tập hút toàn cục của
nửa nhóm S(t) nếu:
1. A là compact;
2. A là bất biến đối với nửa nhóm S(t) , tức là

S(t)A = A, với mọi t ≥ 0;
3. A hút mọi tập bị chặn B ⊂ H , tức là với mọi ε > 0, tồn tại T =

T (ε, B) sao cho
S (t) B ⊂ N (A, ε) , với mọi t ≥ T (ε, B) ,
ở đây N (A, ε) là ε-lân cận của tập A trong H .
Tính chất hút 3. tương đương với điều kiện sau đây: Với mọi tập bị chặn

B ⊂ H,
dist (S (t) B, A) → 0 khi t → +∞,
ở đó dist(X,Y) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập X, Y ⊂ H , xác
định bởi

dist (X, Y ) := sup inf x − y .

x∈X y∈Y

Từ định nghĩa suy ra tập hút toàn cục A của nửa nhóm S (t), nếu tồn
tại, là duy nhất.

Khái niệm tập hấp thụ
Định nghĩa 1.1.3. Tập bị chặn B0 ⊂ H gọi là một tập hấp thụ của nửa
nhóm S (t) nếu với bất kì tập bị chặn B ⊂ H , tồn tại thời điểm T = T (B)
sao cho S (t) B ⊂ B0 với mọi t ≥ T (B).


7

Khái niệm tập ω-giới hạn
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A ⊂ H . Tập ω -giới hạn của A được định nghĩa
bởi

ω(A) =

,

S(t)A
s≥0

t≥s

H

ở đó S(t)A = {v = S(t)u : u ∈ A} và [X]H là bao đóng của X trong H.

Định lí về sự tồn tại tập hút toàn cục
Định lí 1.1.1. Giả sử nửa nhóm S (t) trong H liên tục và có một tập hấp
thụ compact B0 . Khi đó nửa nhóm S (t) có một tập hút toàn cục A và

A = ω (B0 ), tập ω -giới hạn của B0 . Hơn nữa, A là tập liên thông.

1.2

Định nghĩa tập khối (cellular set)

Định nghĩa tập khối được tham khảo từ tài liệu [12].
Một tập C gọi là m-khối (m-cell) nếu tồn tại một phép đồng phôi từ

BRm (1) lên C , trong đó BRm (1) là hình cầu đơn vị đóng tâm tại gốc tọa
độ của Rm .
Một tập con X ⊆ Rm là tập khối trong Rm nếu tồn tại một dãy các
khối đối với X , đó là dãy (Ci )i∈N ⊆ Rm gồm các m-khối là lân cận của X
trong Rm sao cho

Ci = X . Tức là, X là tập khối nếu cho trước một
i∈N

lân cận U bất kỳ của X , tồn tại m-khối C ⊆ U là lân cận của X.

1.3

Định nghĩa số chiều Assouad

Định nghĩa số chiều Assouad được tham khảo từ tài liệu [12].
Không gian metric (X, d) được gọi là thuần nhất (M, s) (hay đơn giản

là thuần nhất) nếu mọi hình cầu bán kính r có thể được phủ bởi nhiều
nhất M (r/ρ)s hình cầu nhỏ hơn có bán kính ρ, với M ≥ 1 và s ≥ 0.


8

Số chiều Assouad của X , dimA (X) là cận dưới đúng của s sao cho

(X, d) là thuần nhất (M, s), với M ≥ 1 (nếu X không phải là thuần nhất
(M, s) với mọi M và s thì ta xác định dimA (X) = ∞).


9

Chương 2
Phép nhúng tập hút toàn cục vào
không gian hữu hạn chiều
Chương này trình bày nội dung và cách chứng minh một định lí quan
trọng về phép nhúng tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều vào một không gian hữu hạn chiều. Chương này được viết dựa trên
tài liệu [12].

2.1

Phát biểu kết quả chính

Định lí 2.1.1. Cho H là không gian Hilbert và S(t) là nửa nhóm liên tục
xác định trên H . Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A sao cho

d := dimA (A − A) < ∞,

(2.1)

trong đó dimA là số chiều Assouad. Giả sử rằng S(t)|A được sinh bởi
phương trình vi phân

u˙ = G(u),

u ∈ A,

(2.2)

với G là log -Lipschitz với số mũ α < 1/2,

G(u) − G(v) ≤ CG u − v

R
log
u−v

α

,

u, v ∈ A,

với R ≥ 3( sup u − v ). Và s là một số lớn hơn d. Khi đó, với mọi
u,v∈A

m > max

2{1 + s(1 − α)}
,5 + 1
1 − 2α

(2.3)


10

và mọi ε > 0, tồn tại hệ phương trình vi phân

x˙ = F(x)

(2.4)

trong Rm và ánh xạ tuyến tính bị chặn L : H → Rm sao cho
1. Phương trình vi phân (2.4) có nghiệm duy nhất,
2. Hạn chế L|A : A → LA là phép nhúng sao cho ảnh LA bất biến qua
động lực của hệ (2.4),
3. Với mỗi nghiệm u(t) của (2.2) trên tập hút A tồn tại duy nhất nghiệm

x(t) của (2.4) sao cho
u(t) = L−1 (x(t)),
4. Phương trình vi phân (2.4) có tập hút toàn cục X chứa LA và nằm
trong lân cận ε của LA, tức là distH (X , LA) ≤ ε.
Trong đó, distH (X, Y ) là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác
rỗng X, Y ⊂ H , xác định bởi
distH (X, Y ) = max(dist(X, Y ), dist(Y, X)).

Chứng minh Định lí 2.1.1 là sự kết hợp giữa công cụ giải tích và kỹ
thuật về tôpô và được chia ra thành các bước như sau:
1. Nếu X ⊂ Rm là một tập khối thì tồn tại một hệ phương trình vi phân
trong Rm mà X như là một tập hút toàn cục chứa toàn bộ các điểm
bất động.
2. Nếu tồn tại một phép nhúng tuyến tính L|A : A → Rm , thì L A là
một tập con khối của Rm+1 , trong đó L = (L, 0).


11

3. Khi (2.1) thỏa mãn, với mọi γ > 1/2 tồn tại một phép nhúng tuyến
tính với nghịch đảo γ -log-Lipschitz.
4. Giả thiết cả (2.1) và (2.3) thỏa mãn, ta có thể xây dựng một hệ
phương trình vi phân trong Rm mà mô phỏng lại động lực của A
trong LA, sử dụng tính chính quy của (L|A )−1 và của G để đảm bảo
tính duy nhất nghiệm.
5. Sự kết hợp thích hợp của hệ phương trình vi phân được xây dựng
trong hai bước trước để đưa ra hệ mới thỏa mãn kết luận của Định lí
2.1.1.
Bước 1 và Bước 2 dựa vào kỹ thuật trên tôpô, lập luận nằm trong các
Mệnh đề 2.3.1 và Mệnh đề 2.2.1, trong khi Bổ đề 2.2.1 và Mệnh đề 2.2.2
cung cấp liên kết với phương trình vi phân. Bước 3 đã được đề cập trong
các tài liệu toán học và sẽ được gải quyết trong Mục 2.4, nơi mà ta giới
hạn việc nghiên cứu dựa trên số chiều Assouad và định lí phép nhúng mà
ta sẽ sử dụng. Bước thứ 4 là nội dung Mệnh đề 2.4.1. Cuối cùng, Mục 5
kết hợp các kết quả trước đó để chứng minh Định lí 2.1.1.

2.2

Tập khối là tập hút toàn cục của hệ phương
trình vi phân

Ta sẽ chỉ ra nếu X là một tập con khối trong Rm thì tồn tại hệ phương
trình vi phân (2.5) mà X là tập hút toàn cục. Ở đây, ta chỉ xét các tập
compact có hình dạng điểm và cũng đưa ra chứng minh đơn giản không
bao gồm tính tôpô tuyến tính từng đoạn.
Bổ đề 2.2.1. Cho trước tập con khối X của Rm , với m ≥ 6, tồn tại một
ánh xạ thuộc lớp C r φ : Rm → [0, +∞), trong đó r được chọn lớn tùy ý


12

sao cho

x˙ = −∇φ(x)

(2.5)

có X là tập hút toàn cục. Hơn nữa, ánh xạ φ có thể được chọn sao cho
thỏa mãn:
1. φ(x) = 0 ⇔ x ∈ X ,
2. φ là thực sự; tức là, φ−1 ([s, t]) là compact với mọi s < t ∈ R.
Nếu Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn khi đó ∇φ(x) = 0 ⇔ x ∈ X vì không điểm
của ∇φ(x) chính là điểm cân bằng của (2.5), không có không điểm nào
nằm bên ngoài X . Ngược lại, nếu φ : Rm+1 → [0, ∞) là một ánh xạ thuộc
lớp C r sao cho ∇φ(x) = 0 ⇔ x ∈ X và φ(x) = 0 ⇔ x ∈ X , thì theo định
lí Lyapunov, X là tập hút toàn cục của phương trình x˙ = −∇φ(x). Do
đó, ta chỉ cần xây dựng φ, trước hết là trên Rm \X và sau đó mở rộng lên
Rm .

Việc chứng minh bổ đề có một chút phức tạp vì tính khối là một khái
niệm thuần tôpô nhưng ta cần một ánh xạ khả vi giống như một tác động.
Do đó, ta sẽ bắt đầu với kết quả về tôpô sau đây và mở rộng nó thành một
ánh xạ khả vi trong Mệnh đề 2.2.2. Tập Sm−1 là hình cầu đơn vị trong
Rm , tức là Sm−1 = {x ∈ Rm : x = 1}.
Mệnh đề 2.2.1. Cho X là một tập con khối của Rm . Khi đó, tồn tại một
đồng cấu h : Rm \X → Sm−1 × (0, +∞) sao cho tọa độ thứ hai của h(x)
hội tụ dần về 0 khi x → X .
Chứng minh. Cho Q là hình cầu trong Rm có tâm tại gốc tọa độ và đủ lớn
sao cho X nằm hoàn toàn bên trong Q. Theo Định lí 1 trong [3] thì tồn
tại một ánh xạ liên tục c : Q → Q là song ánh, vừa là đơn ánh trên Q\X ,
co X thành một điểm p bên trong Q, vừa là ánh xạ đồng nhất biên của


13

Q. Ta dễ dàng xây dựng đồng cấu từ Q lên chính nó và lấy p thành 0 và
đồng nhất biên của nó, nên ta có thể giả sử p = 0.
Từ tính chất của c suy ra c|Q\X : Q\X → Q\{0} là một đồng cấu và
khi x → X thì c(x) → 0. Mở rộng c|Q\X vào Rm \X bằng cách cho nó là
ánh xạ đồng nhất bên ngoài Q. Cuối cùng,

h(x) :=

c(x)
, c(x)
c(x)

là hàm có tính chất mà ta yêu cầu.
Để h khả vi ta cần một vài tiêu chuẩn về tính trơn đối với đa tạp, đúng

hơn là với ánh xạ. Chú ý rằng một đa tạp khả vi là một đa tạp tôpô được
trang bị một cấu trúc khả vi, tức là một phần lớn tọa độ đồ thị mà biến
đổi tọa độ là C ∞ . Ánh xạ giữa các đa tạp trơn là C ∞ nếu biểu diễn địa
phương của nó trong tọa độ là C ∞ và là một vi đồng cấu nếu nó khả nghịch
với ánh xạ ngược của nó cũng là C ∞ .
Mệnh đề 2.2.2. Cho X là một tập con khối của Rm với m ≥ 6. Khi đó
tồn tại ánh xạ ψ : Rm \ X → (0, +∞) thuộc lớp C ∞ sao cho
1. ∇ψ(x) = 0 với mọi x ∈ Rm \ X ,
2. ψ(x) → 0 khi x → X ,
3. ψ là thực sự.
Chứng minh. Xét ánh xạ h thu được trong Mệnh đề 2.2.1. Ta sẽ đưa ψ
thành tọa độ thứ hai của h nhưng cách chọn này nói chung là không
khả vi. Vì thế, đầu tiên ta có h trơn. Cho

là cấu trúc khả vi mà

Rm \ X như là một tập con mở trong Rm , và biến đổi theo h thu được
cấu trúc mới khả vi h

lên Sm−1 × (0, +∞); rõ ràng bằng cách xây dựng

h : (Rm \ X)Σ → (Sm−1 × (0, +∞))hΣ là một vi đồng cấu. Theo [9, tr.31]


14

tồn tại một vi đồng cấu g : (Sm−1 × (0, +∞))h

→ (Sm−1 )σ × (0, +∞),

trong đó σ là một cấu trúc khả vi phù hợp trên Sm−1 (ta cần giả thiết

m > 6 để làm việc với định lí này). Theo Chú ý 1 trong [9, tr.31], chúng ta
có thể đưa ra yêu cầu đó là dist(y, g(y)) ≤ 1 với mọi y ∈ Sm−1 × (0, +∞),
trong đó dist là khoảng cách lớn nhất giữa Sm−1 và (0, +∞).
Phép chiếu lên thành phần thứ hai pr2 : (Sm−1 )σ × (0, +∞) → (0, +∞)
hiển nhiên là một ánh xạ thuộc lớp C ∞ (theo định nghĩa tích cấu trúc khả
vi) và đạo hàm nó không bao giờ bằng 0. Khi đó, xác định ψ := pr2 ◦ g ◦ h
và tạo ra biểu đồ sau đây giao hoán:

(Rm \ X)Σ

h
/

(Sm−1 × (0, +∞))hΣ

g
/

(Sm−1 )σ × (0, +∞)
pr2

ψ
,



(0, +∞)

Rõ ràng ψ là C ∞ vì nó là hợp của các ánh xạ C ∞ . Bây giờ ta sẽ kiểm
tra xem ψ thỏa mãn các tính chất trong phát biểu của mệnh đề không.
1. Dễ thấy ∇ψ(x) = 0 vì g và h là các vi đồng phôi (đạo hàm của chúng
khả nghịch) và pr2 thỏa mãn ∇pr2 (x) = 0.
3. Cho s < t, lấy dãy (xi )i∈N ⊆ ψ −1 ([s, t]) và ký hiệu (yi , zi ) := g ◦h(xi ).
Theo giả thiết ((yi , zi ))i∈N ⊆ Sm × [s, t], là một tập compact nên dãy

((yi , zi ))i∈N phải có một dãy con hội tụ. Tiền ảnh của dãy con qua
đồng cấu g ◦ h là một dãy con hội tụ (xi )i∈N . Điều này chứng tỏ

ψ −1 ([s, t]) là compact và ψ là thực sự.
2. Cho (xi )i∈N là một dãy trong Rm+1 \ X hội tụ tới X . Đầu tiên ta sẽ
chỉ ra (ψ(xi ))i∈N hội tụ hoặc tới 0 hoặc tới +∞. Nếu không, nó có
một dãy con (ψ(xij ))j∈N nằm trong một khoảng compact và ψ là thực
sự nên (xij )j∈N nằm trong một tập con compact nào đó của Rm \ X .
Điều này mâu thuẫn với sự hội tụ của (xi ) tới X .


15

Ta chọn g sao cho dist(g ◦ h(xi ), h(xi )) < 1 và định nghĩa dist là
khoảng cách lớn nhất giữa Sm−1 và (0, +∞), dẫn đến
dist(ψ(xi ), pr2 ◦ h(xi )) = dist(pr2 ◦ g ◦ h(xi ), pr2 ◦ h(xi )) < 1
được xác định. Vì ψ(xi ) hội tụ tới hoặc 0 hoặc +∞ và pr2 ◦ h(xi ) → 0
như trong phát biểu Mệnh đề 2.2.1 nên ta có ψ(xi ) → 0.

Chứng minh Bổ đề 2.2.1
Chứng minh. Ta sẽ xây dựng dãy các ánh xạ ψk bằng phương pháp quy
nạp, ψk thuộc lớp C k , sao cho φ := ψk thỏa mãn bổ đề với r = k . Như
là bước đầu tiên mở rộng ánh xạ ψ cho trước theo Mệnh đề 2.2.2 vào Rm

bằng cách giả sử giá trị của nó là 0 trên X , và gọi là ψ0 . Ánh xạ ψ0 này
liên tục nhưng không khả vi xung quanh X , và bây giờ ta sử dụng khẳng
định trong [6] để biến ψ0 thành ψ1 .
Ý tưởng này là cho ψ1 := b ◦ ψ0 , trong đó b : [0, +∞) → [0, +∞) là vi
đồng phôi nào đó thuộc lớp C 1 mà đạo hàm gần 0 đủ nhỏ để đủ qua tính
gấp khúc của ψ0 xung quanh X . Thực tế, với x ∈ Rm \ X ,

∂
∂ψ0
(b ◦ ψ0 )(x) = (b ◦ ψ0 )(x)
(x)
∂xi
ψxi
và khi x → X (và kéo theo t = ψ0 (x) → 0), ta cần b (t) hội tụ tới 0 nhanh
∂ψ0
hơn tốc độ của
(x). Bây giờ ta sẽ chỉ ra làm thế nào để tìm b.
∂xi
Với mỗi t ∈ (0, +∞), cho Ft := {x ∈ Rm \ X : ψ0 (x) = t} và

M (t) := max
x∈Ft

∂ψ0
∂ψ0
(x) , . . . ,
(x)
∂x1
∂xm−1

.

Vì mỗi tập Ft là compact, vì ψ0 là thực sự nên M (t) xác định tốt. Điều kiện

∇ψ0 (x) = 0 với x ∈ R \ X suy ra M (t) > 0 với mọi t > 0 và rõ ràng bằng


16

∂ψ0
(x) với mỗi x ∈ Rm \ X và 1 ≤ i ≤ m.
∂xi
t
với mọi
Giả sử bây giờ ta cần tìm một vi đồng cấu b sao cho b (t) ≤
M (t)
t > 0. Khi đó, ta có với 1 ≤ i ≤ m,

cách xây dựng M (ψ0 (x)) ≥

∂ψ0
ψ0 (x) ∂ψ0
∂
(b ◦ ψ0 )(x) = (b ◦ ψ0 )(x)
(x) ≤
(x) ≤ ψ0 (x),
∂xi
∂xi
M (ψ0 (x)) ∂xi
tiến đến 0 khi x → X . Nên ψ1 := b ◦ ψ0 thuộc lớp C 1 trên Rm , và gradient

của nó trên X bằng 0. Dễ thấy nó chính quy trên Rm \ X và tiến dần đến

0 khi x → X nên φ := ψ1 thỏa mãn bổ đề với r = 1.
Nếu t/M (t) liên tục, ta có thể lấy b(t) là nguyên hàm của t/M (t) với

b(0) = 0. Đầu tiên chỉ ra M (t) là nửa liên tục trên, tức là với mỗi s ∈ R,
tập {t ∈ (0, +∞) : M (t) < s} là mở.
Để kết thúc, ta cố định t0 ∈ R và s ∈ R sao cho M (t0 ) < s. Ta đã chứng
∂ψ0
(x) < s
minh với t đủ gần t0 , M (t) < s. Tại mỗi điểm x ∈ Ft0 , ta có
∂xi
với mọi 1 ≤ i ≤ m nên theo tính liên tục, tồn tại một lân cận Ux của
∂ψ0
(y) < s với mọi y ∈ Ux và 1 ≤ i ≤ m.
x trong Rm \ X sao cho
∂xi
Tập U :=
Ux là một lân cận của Ft0 trong Rm \ X . Rõ ràng Ft0 =
x∈Ft0
ε>0

F[t0 −ε,t0 +ε] , trong đó F[t0 −ε,t0 +ε] := {y ∈ Rm \X : ψ0 (y) ∈ [t0 −ε, t0 +ε]}.

Cũng vì ψ0 là thực sự nên mỗi F[t0 −ε,t0 +ε] là compact, tồn tại ε > 0 sao
cho F[t0 −ε,t0 +ε] ⊆ U . Nhưng khi đó với t ∈ [t0 − ε, t0 + ε] ta có M (t0 ) < s
như yêu cầu.
Bây giờ ta có thể tìm b. Vì M (t) là nửa liên tục trên nên M (t)/t cũng
vậy, dẫn đến t/M (t) là nửa liên tục dưới. Theo [5, Định lí 4, tr.222] suy
ra tồn tại một ánh xạ liên tục 0 < c(t) < t/M (t). Lấy b(t) là nguyên hàm

của c(t) với b(0) = 0, và ta đã xong.
Khẳng định này có thể phù hợp ngay lập tức để đưa ra bước lặp trong
cách xây dựng ψk+1 từ ψk . Ta lại đặt ψk+1 := b ◦ ψk với một vi đồng phôi


17

phù hợp C k+1 là b : [0, +∞) → [0, +∞), nhưng bây giờ có các điều kiện
được thay đổi trên tỉ lệ với b(l) (t) → 0 khi t → 0 với mọi 0 ≤ l ≤ k + 1.
Thật vậy, với mọi đa chỉ số α thỏa mãn |α| = k + 1 ta có

∂ α ψk+1
∂ α ψk
= b ◦ ψk
+P
∂xα
∂xα

∂ β ψk (l)
,b
∂xβ

trên Rm \X , trong đó P là đa thức trong đạo hàm riêng của ψk với bậc

≤ k và đạo hàm của b có bậc l ≤ k + 1. Nên ta cần chọn b với điều kiện
∂ α ψk
(l)
b (0) = 0 với mọi l ≤ k + 1 và b ◦ ψk (x) α (x) → 0 với |α| = k + 1 và
∂x
x → X . Với việc chọn b đầu tiên ta dễ dàng thực hiện được còn sau đó,

ta đọc lại chứng minh từ việc bắt đầu đặt

M (t) :=

max
x∈Ft ,|α|=k+1

∂ α ψk
(x)
∂xα

.

Kết hợp các kết quả này lại, ta thu được một đặc trưng của những tập
mà có thể là tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân trong không
gian hữu hạn chiều.

2.3

Tập hút hữu hạn chiều chính là tập hút của hệ
hữu hạn chiều

Trong mục này, ta sẽ chứng minh nếu A là tập hút hữu hạn chiều trong
không gian Hilbert H , thì tồn tại một phép nhúng tuyến tính L : H →
Rm+1 (với mọi m) sao cho L A là một tập con khối trong Rm+1 ; từ đó suy
ra L A có thể được tạo thành từ tập hút của hệ phương trình vi phân hữu
hạn chiều.
Mệnh đề 2.3.1. Cho A là tập hút toàn cục trong H và L : H → Rm là
một phép nhúng tuyến tính. Khi đó, ánh xạ L : H → Rm+1 được xác định

18

bởi L u = (Lu, 0) là một phép nhúng tuyến tính mà ảnh L A là khối trong
Rm+1 , với m ≥ 3.
Chứng minh. Theo Định lí 3.6 trong [8], tập A có hình dạng giống như

H . Đây là tiêu chuẩn để kết luận H có kiểu đồng phôi điểm vì ánh xạ
H × [0, 1]

(u, t) → (1 − t) · u ∈ H đưa ra một đồng luân giữa ánh xạ

đồng nhất id : H → H và ánh xạ hằng 0 : H → H . Do đó, H có hình
dạng điểm và A cũng vậy. Vì hình dạng là bất biến qua đồng cấu nên LA
cũng có dạng điểm. Vì thế, theo [4], tập LA × {0} là khối trong Rm+1 với

m ≥ 3. Nhưng LA × {0} lại chính là L A.

2.4

Phép nhúng động lực trên A vào không gian
Euclid

Bây giờ ta xét bài toán nhúng A vào Rm sao cho (2.4) có thể mô phỏng
lại động lực trên A. Do đó, ta yêu cầu vế phải f (x) của phương trình (2.4)
có tính chất một quan hệ gần với G trên ảnh LA của A: điểm cốt yếu nó
cần là LGL−1 . Để đảm bảo tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.4),
một vài tính chính quy được cho là cần thiết cho LGL−1 , một tiêu chuẩn
đó là liên tục Lipschitz, nhưng điều kiện này có thể yếu hơn thành liên tục

1-log-Lipschitz. Vì G đã được giả thiết là liên tục α-log-Lipschitz, nên chỉ
có L và L−1 cần phải xem xét cẩn thận.
Rất nhiều các kết quả gần đây về phép nhúng đưa ra ánh xạ tuyến tính

L : H → Rm là một phép nhúng sao cho ánh xạ là Lipschitz, nên vấn đề
chính ở đây là tính chính quy của L−1 . Giả sử hiện tại L−1 cũng yêu cầu
Lipschitz hạn chế trên LA, sao cho L là song Lipschitz. Khi đó, sẽ tồn tại
hằng số C > 0 sao cho

1
u − v ≤ |L(u) − L(v)| ≤ C u − v
C

với u, v ∈ A,


19

trong đó |.| kí hiệu cho chuẩn nào đó trong Rm . Số chiều Assouad dimA
là bất biến dưới ánh xạ song Lipschitz và hữu hạn với tập con của không
gian Euclid. Do đó, nếu A được nhúng vào Rm theo cách song Lipschitz,
ta sẽ có dimA (A) < ∞.
Định lí sau đây đã chỉ ra, nếu dimA (A − A) < ∞, thì tồn tại một phép
nhúng song Lipschitz logarithm từ A vào không gian Euclid.
Định lí 2.4.1. ([12, Định lí 4.1, tr. 3506])
Cho A là một tập con compact của không gian Hilbert thực H sao cho

dimA (A − A) < s < m. Nếu
γ>

2+m
,
2(m − s)

(2.6)

thì tồn tại một tập phổ biến (prevalent set) các ánh xạ tuyến tính L : H →
Rm là đơn ánh trên A và γ -hầu hết song Lipschitz, tức là tồn tại δL > 0,

CL > 0 sao cho
1
u−v
≤ |L(u) − L(v)| ≤ CL u − v ,
CL (− log u − v )γ
với mọi u, v ∈ A mà u − v ≤ δL .
Chú ý rằng với mọi γ > 1/2, ta có thể chọn m đủ lớn để thu được một
phép nhúng γ -hầu hết song Lipschitz lên Rm .
Tiếp theo, ta sử dụng Định lí 2.4.1 ở trên để xây dựng hệ phương trình
vi phân với nghiệm duy nhất mà mô phỏng động lực trên A dưới giả thiết
của Định lí 2.1.1.
Mệnh đề 2.4.1. Dưới giả thiết của Định lí 2.1.1 và các ký hiệu như vậy,
với mọi

m>

2{1 + s(1 − α)}
,
1 − 2α

(2.7)

20

tồn tại hệ phương trình vi phân trong Rm

x˙ = g(x),

(2.8)

và ánh xạ tuyến tính bị chặn L : H → Rm sao cho:
1. Hàm số g : Rm → Rm là bị chặn và Lipschitz ngoại trừ hiệu chỉnh
logarithm,
2. Phương trình vi phân (2.8) có nghiệm duy nhất,
3. Hạn chế L|A : A → LA là một phép nhúng mà ảnh của nó là bất
biến với hệ động lực của (2.8),
4. Với mỗi nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên tập hút A tồn tại
duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (2.8) sao cho

u(t) = L−1 (x(t)).
Chứng minh. Từ Định lí 2.4.1 suy ra tồn tại một ánh xạ tuyến tính bị chặn

L từ H vào Rm mà là đơn ánh trên A và có chiều ngược liên tục Lipschitz
trên LA ngoại trừ thành phần hiệu chỉnh logarithm với số mũ logarithm

γ.
Nếu x(t) = Lu(t) với u(t) ∈ A, thì trường véctơ nhúng trên LA được
cho bởi x˙ = g1 (x) := LGL−1 (x) với x ∈ LA. Hàm số g1 : LA → Rm bị
chặn và liên tục vì LA compact nên nó cũng log-Lipschitz.
Thật vậy, cho trước u, v ∈ H , định nghĩa Lu = x và Lv = y . Từ Định

lí 2.4.1 suy ra

1
L−1 x − L−1 y
,
|x − y| ≥
CL (− log( L−1 x − L−1 y ))γ


21

trong đó, ta tăng CL nếu cần thiết để CL > 4 max |x − y|. Do vậy, vì
x,y∈LA

|Lu − Lv| ≤ CL u − v , với mọi x, y ∈ LA, nên
L−1 x − L−1 y ≤ CL (− log( L−1 x − L−1 y ))γ |x − y|
γ
CL
≤ CL log
|x − y|.
|x − y|
Vì ta giả thiết G là liên tục α-log-Lipschitz, nên suy ra

M
|g1 (x) − g1 (y)| ≤ L op CG CL |x − y| log
|x − y|

α+γ

=: ω(|x − y|)

với M = max(CL , R). Nên g1 là liên tục (α + γ)-log-Lipschitz. Môđun của
tính liên tục ω của g1 là hàm lồi liên tục; ta có thể mở rộng định lí theo
McShane (xem [11]) để mở rộng hàm g1 thành hàm g : Rm → Rm mà có
môđun liên tục giống nhau,

|g(x) − g(y)| ≤ Cω(|x − y|),

(2.9)

với C > 0. Từ (2.9) suy ra tồn tại T > 0 sao cho bài toán giá trị ban đầu

dx
= g(x),
dt

x(0) = x0

(2.10)

có ít nhất một nghiệm trên [0, T ].
Vì môđun của tính liên tục ω(r) của g là liên tục với r ≥ 0, lồi và thỏa
mãn

1
0

dr
=
ω(r)

∞

s−(α+γ) ds = +∞,

ln M

đã đưa ra (α + γ) ≤ 1, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn Osgood (xem [7]) để
chứng minh (2.10) có nhiều nhất một nghiệm trên mọi đoạn [0, T ]. Vì g
liên tục và bị chặn từ Rm vào Rm , dẫn đến mọi nghiệm của bài toán giá
trị ban đầu (2.10) tồn tại trên mọi thời gian. Do đó, nghiệm của phương
trình (2.10) là x0 = Lu0 với u0 ∈ A có thể được cho duy nhất bởi

x(t) = Lu(t).


22

Cuối cùng, quan sát yêu cầu α + γ ≤ 1 cho ta điều kiện (2.7) trên việc sử
dụng (2.6).

2.5

Chứng minh Định lí 2.1.1

Trong các mục trước, ta đã nhúng A vào trong không gian hữu hạn
chiều Rm theo ánh xạ tuyến tính L : H → Rm và đã chỉ ra rằng tồn tại
phương trình vi phân (2.8) trong Rm có duy nhất nghiệm và mô phỏng lại
động lực của A trên LA.
Trong mục cuối này, ta sẽ tập hợp lại các kết quả từ trước để thu được

hệ phương trình vi phân (2.4) mà mô phỏng lại trên LA động lực của A
và có tập hút toàn cục X gần giống với LA như yêu cầu.
Chứng minh Định lí 2.1.1
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.3.1 để thay thế ánh xạ L thu được trong
Mệnh đề 2.4.1 bởi L : H → Rm+1 với việc thêm một tính chất nữa là ảnh
của nó là khối. Để cho đơn giản ký hiệu, ta thay L bởi L và m + 1 bởi m.
Sử dụng Bổ đề 2.2.1 thu được C r ánh xạ φ : Rm → [0, +∞) sao cho

LA là tập hút toàn cục đối với x˙ = −∇φ. Vì φ là ánh xạ thực sự nên tồn
tại δ > 0 sao cho P := {x ∈ Rm : φ(x) ≤ δ} ⊆ Bε (LA). Cuối cùng, cho

θ : Rm → [0, 1] là hàm cắt thuộc lớp C ∞ sao cho θ ≡ 1 trên LA và θ ≡ 0
ngoài P . Lấy ánh xạ g thu được từ Mệnh đề 2.4.1 và nhân với θ để tạo ra
giá trị 0 bên ngoài P . Ta định nghĩa f := θg ; rõ ràng x˙ = f (x) vẫn mô
phỏng động lực của A trên LA.
Bây giờ, ta xét phương trình (2.5) và (2.11)

x˙ = −∇φ(x),
x˙ = f (x) − ∇φ(x).

(2.11)

Quan sát vế phải của (2.5) và (2.11) đồng thời với x ∈
/ P . Do đó, vì Rm \P


23

là bất biến âm với (2.5), nên nó cũng là bất biến âm với (2.11) và nó dẫn
đến P là bất biến dương với (2.11).

Tập P · [t, +∞) là compact (tập con đóng của P ) và giảm khi t tăng.
Với tiêu chuẩn

X :=

P · [t, +∞)
t≥0

là bất biến và hút P , tức là, cho trước δ > 0, tồn tại Tδ > 0 sao cho

P · [Tδ , +∞] ⊆ Bδ (X ) (xem [10]). Theo cách xây dựng, X nằm trong
Bε (LA).
(1) X là tập hút toàn cục. Cố định tập bị chặn B ⊆ Rm và cho

C := sup φ(x) và c := inf
x∈B

x∈B−P

∇φ 2 .

Nhận thấy rằng c > 0 vì ∇φ chỉ bị triệt tiêu trên LA, trong đó P là một
lân cận. Do đó, tồn tại T > 0 đủ lớn sao cho C − cT < δ cố định.
Bây giờ ta đưa ra khẳng định x · [T, +∞) ⊆ P với mọi x ∈ B . Vì P là
bất biến dương nên rõ ràng chỉ cần chứng minh x · t ∈ P với t ∈ [0, T ]. Ta
lập luận bằng phản chứng, nên giả sử x · [0, T ] ⊆ Rm \P . Theo định lí giá
trị trung bình

φ(x · T ) = φ(x) +

d
φ(x · s)
ds

s=ξ

T,

với ξ ∈ [0, T ]. Bây giờ

d
φ(x · s)
ds

s=ξ

= ∇φ(x · ξ), x(ξ)
˙
= − ∇φ(x · ξ)

2

≤ −c,

trong đó ta sử dụng khẳng định x(ξ)
˙
= −∇φ(x · ξ) vì xξ ∈
/ P theo giả
thiết và − ∇φ(x · ξ)

2

≤ −c bằng cách lấy tương tự. Với phương trình

trên và khẳng định φ(x) ≤ C vì x ∈ P , ta có

φ(x · T ) ≤ C − cT < δ,