Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân
1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov
1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình
vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Một số ví dụ về phương pháp số mũ . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . .
1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . .
1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . .
1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . .
2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov-Bagdanov để
nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực
2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái
niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . .
2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tập ω - giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

5
6
6
9
10
11
16
18
18
21
22
23
25
25
26

28
30
32

34
35
35
35
36
38
38


2.2

Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov
2.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) . .
2.2.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

39
39
42
49
52

2


Mở đầu
Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta
thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến
hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trường

hợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực
tuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khó
khăn, phức tạp. Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khác
nhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1]).
Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới
việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết
định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov
hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên
cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.
Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính
- Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũ
Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov.
- Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc
trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov và tính ổn định của hệ động lực tổng
quát trong không gian mêtric.
Bố cục luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Bagdanov để nghiên
cứu tính ổn định của các hệ động lực.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi
trong việc hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,
3


trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều
tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục

học tập và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa
vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản
luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Hà Thị Ly

4


Chương 1

Sử dụng các phương pháp Lyapunov
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của các hệ phương trình vi phân.
Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một
trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Để
xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của
hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học
Nga A.M. Lyapunov. Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918
(xem [2]) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện
và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học
tự nhiên.
Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày
lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định
chuyển động của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4]) và
phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8]). Dựa vào các phương pháp cơ bản

này người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để áp
dụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10]). Một trong các
mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trong
bản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov
(xem [6], [11]). Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2.
Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trình
nghiên cứu gần đây là "bình luận" về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lại
trong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Trong khuôn khổ của một bản
luận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đề
này. Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ với
mục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này cho
bài toán nhiễu.
5


Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi xin đưa ra một số khái niệm về
tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân.

1.1

Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương
trình vi phân

1.1.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi
phân
dx(t)

= f (t, x(t)),
(1.1)
dt
trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → B với D là miền đơn liên trong

không gian Banach B. Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm
của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau:
Định nghĩa 1.1. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định trên I , khả vi liên
tục theo t ∈ I ) được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được
một đồng nhất thức trên I . Tức là
dx(t)
= f (t, x(t)), ∀t ∈ I.
dt

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:
t

x(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.

(1.2)

t0

Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng
nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.Sau đây ta ký hiệu:
S(ε,η) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η ,

với ε > 0, η > 0 là lân cận đóng của điểm (t0 , x0 ). Khi đó ta có định lý tồn tại
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau:
Định lý 1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x)
liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||,

(1.3)

M là một hằng số hữu hạn.

Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy
nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 .
6


Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ε > 0, η > 0 sao cho trong miền
|t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có:
||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )||
≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞.

Lấy δ = min ε, Mη1 và ký hiệu Cδ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t)
xác định trên |t − t0 | ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup ||x(t)||.
|t−t0 |≤δ

Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η}.
Xét toán tử:
t

(Sx)(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.
t0

Ta có:
t

f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))||

||(Sx)(t) − x0 || = ||

τ ∈[t0 ,t]

t0

≤ δM1 ≤ η.

Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη .
Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá:
t

||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ

||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤
t0

t

||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 |||.

≤M
t0

Mặt khác ta lại có:
t

|| S 2 x2 (t) − S 2 x1 (t) || ≤ M

|| (Sx2 ) (τ ) − (Sx1 ) (τ ) ||dτ
t0
t

≤ M 2 |||x2 − x1 |||

(τ − t0 ) dτ
t0

2

=

[M (t − t0 )]
|||x2 − x1 |||.
2!

Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:
[M (t − t0 )]n
|||x2 − x1 |||

n!
[δM ]n
n
n
||S x2 − S x1 || ≤
|||x2 − x1 |||.
n!

|| (S n x2 ) (t) − (S n x1 ) (t) || ≤

7


n

]
n
Do [δM
n! → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì S là toán tử co trong Bη . Do
đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta có thể suy ra rằng phương trình tích phân
t

f (τ, x(τ ))dτ.

x(t) = x0 +
t0

Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm duy nhất. Do đó tồn tại duy nhất nghiệm
x(t) ∈ Bη (x0 ).
Định lý 1.2. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy).

Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r

dr
→ ∞, khi r → ∞,
L (r)
r0

khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian
vô hạn t0 ≤ t < ∞.
Chứng minh. Vì
||

x(t2 ) − x(t1 )
||x(t2 )|| − ||x(t1 )||
|| ≥
t2 − t1
t2 − t1
⇒ ||

dx
d||x||
|| ≥
.
dt
dt

Mặt khác ta có
d (x)

= f (t, x (t)) ,
dt

và
f (t, x) ≤ L ( x ) ,

nên ta suy ra
L( x ) ≥

d x
dt

.

Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0 ) đến điểm x
theo chiều tăng của t ta được:
t

t

1
d x
·
dr
dt
L( x )

dr ≥
t0

t0
x

dr
.
L( x )

⇒ t − t0 ≥
x0

8


Kết luận
Bản luận văn này đã trình bày lại một cách hệ thống các nội dung sau đây :
Phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. Sau đó đã
trình bày cách phát triển các phương pháp đó thành phương pháp số đặc trưng
tổng quát Lyapunov - Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định của tập bất biến
cho hệ động lực tổng quát.
Đóng góp nhỏ của luận văn này là xây dựng được các ví dụ minh họa cho
khả năng ứng dụng của các phương pháp trên cho hệ động lực tổng quát.

52


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết
ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, (2000).
[2] A.M Lyapunov, Bài toán tổng quát về ổn định chuyển động Tuyển tập các
công trình V.6.T.2, (1956) (Bằng tiếng Nga).

[3] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial
Diffirential Equations, Springer - Verlag, Beclin - NewYork (1983).
[4] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka"
Moscow (Russian) (1967).
[5] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems
differential equations, Amer. Math.Soc (1999).
[6] L.A Chelusheva, Về lý thuyết số đặc trưng tổng quát của các phương trình
vi phân T.4 N9 trang 1610 - 1627 (Bằng tiếng Nga).
[7] J.D.Murray, Mathematical Biology Spatial Modeds and Biomedical Applications, Third Edition, Springer (2001).
[8] Ju. L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode
Island, (1974).
[9] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear
evolution Equations, Springer Verlog NewYork (2000).


Tài liệu tham khảo

54

[10] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trực tiếp của Lyapunov về lý
thuyết ổn định, Mosscow (1988) (Bằng tiếng Nga).
[11] U.X Bagdanov, Phương pháp định tính của lý thuyết dao động Tuyển tập
các công trình Kiev, (1970) (Bằng tiếng Nga).
[12] U.X Bagdanov, Về dấu hiệu biểu thị tính ổn định tiệm cận nhờ số vd−
bé, Tạp chí phương trình vi phân (Differential Equations), 1966, TII, N3
(Bằng tiếng Nga).