Phép nhúng tập hút toàn cục vào không gian hữu hạn chiều

B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠĨ HỌC s ư PH Ạ M HẰ NỘ I 2

N G U Y Ễ N THỊ TH A N H NG A

P H É P N H Ú N G TẬP H Ú T TO À N c ụ c
VÀO K H Ô N G G IA N H Ữ U H Ạ N CHIÊU

L U Ậ N V Ă N TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC
C h u yên ngành: T oán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
P G S .T S . C u n g T h ế A n h

H À N Ộ I, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h và sâu sắc đến PG S.TS. Cung
Thế Anh, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn th àn h luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng
nghiệp đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn th àn h luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

N guyễn T hị T hanh N ga

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PG S.TS. Cung Thế
Anh, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tầi:“P h é p n h ú n g t ậ p
h ú t t o à n c ụ c v à o k h ô n g g i a n h ữ u h ạ n c h i ề u ” được hoàn th àn h bởi
sự nhận thức và tìm hiểu của bản th ân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừ a
những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

N guyễn T hị T hanh N ga


2

M ục lục

M ở đầu

3

1

M ộ t số kiến th ứ c chuẩn bị

5

1.1

Tập hút toàn cục

5

1.2

Định nghĩa tập khối (cellular set)

.............................................

7

1.3

Định nghĩa số chiều A s s o u a d .......................................................

7

P h é p n h ú n g tậ p h ú t to à n cục vào k h ôn g gian hữu hạn ch iều

9

2.1

P h á t biểu kết

quả c h ín h ...............................................................

9

2.2

Tập khối là tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân .

11

2.3

Tập hút hữu hạn chiều chính là tập hút của hệ hữu hạn chiều 17

2.4

Phép nhúng động lực trên Ả vào không gian E u c lid ..............

18

2.5

Chứng minh Định

22

2

K ế t lu ận
Tài liệu th a m khảo

............................................................................

lí 2 .1 .1 ............................................................

25
26


3

M ở đầu
1. Lí do chọn đ ề tà i
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian ra vô cùng của
các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến hoặc các phương trình vi phân hàm là m ột bài toán quan trọng và
có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Một trong những cách tiếp cận bài toán này
đối với các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và
các tính chất của tập hút toàn cục, xem cuốn chuyên khảo [1]. Đó là một
tập com pact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin
về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét. Cụ thể ta có thể xấp xỉ dáng điệu
tiệm cận nghiệm của m ột quỹ đạo bất kì của hệ đang xét bằng các quỹ
đạo nằm trên tập hút toàn cục.
Bởi định lí Hôlder-M ané cải biên, ta biết rằng nếu m ột tập hút toàn
cục có số chiều fractal hữu hạn thì, về nguyên tắc, ta có thể chuyển việc
nghiên cứu hệ động lực trên tập hút về nghiên cứu hệ động lực trong không
gian hữu hạn chiều. Tuy nhiên, việc xây dựng hệ động lực hữu hạn chiều
này như thế nào và mối quan hệ thực sự giữa hai hệ động lực này (tức là,
giữa hệ gốc và hệ rú t gọn) như thế nào vẫn còn rấ t ít kết quả [2]. Vì vậy,
chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn.


4

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Nghiên cứu phép nhúng tập hút toàn cục của m ột hệ động lực tiêu hao
vô hạn chiều vào m ột không gian hữu hạn chiều.

3. N h iệ m v ụ n gh iên cứu
• Trình bày phép nhúng tập hút toàn cục của hệ động lực vô hạn chiều
vào không gian hữu hạn chiều.
• Cách xây dựng hệ động lực rút gọn trên không gian hữu hạn chiều.

4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm v i n gh iên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô
hạn chiều.
• Phạm vi nghiên cứu: Phép nhúng tập hút toàn cục vào không gian
hữu hạn chiều.

5. P h ư ơ n g p h áp n gh iên cứu
Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều.

6. K ế t quả trìn h bày củ a luận văn
Luận văn đã trình bày được phép nhúng tập hút toàn cục của hệ động
lực vô hạn chiều vào không gian hữu hạn chiều và cách xây dựng hệ động
lực rú t gọn trên không gian hữu hạn chiều đó.


5

Chương 1
M ột số kiến thứ c chuẩn bị

Chương này trình bày m ột số khái niệm cơ bản về tập hút toàn cục, sự
tồn tại tập hút toàn cục đối với hệ động lực vô hạn chiều, định nghĩa tập
khối, số chiều Assouad.

1.1

Tập hút to à n cục

Mục này được viết dựa trên các tài liệu [1], [2].
K h á i n iệ m n ử a n h ó m liê n tụ c
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. Giả sử H là m ột không gian Hilbert. Một họ các ánh
xạ liên tục
S{t ) : H — ►H , t > 0,
gọi là m ột nửa nhóm liên tục trên H nếu nó thỏa m ãn các điều kiện sau:
1. 5 (0 ) = Id2. S ( t + s) = S ( t ) S ( s ) , với mọi t , s > 0;
3. Với mỗi Xo e H , ánh xạ 1 1— > S ( t ) x 0 e ơ °((0 ; + o o ), H );
4. V ới m ỗ i

t > 0, á n h x ạ Xo

s ( t)Xo liê n

t ụ c tr ê n

H.


6

K h á i n iệ m tậ p h ú t to à n c ụ c

Đ ịn h n gh ĩa 1 .1 .2 . Tập con khác rỗng A c H gọi là tập hút toàn cục của
nửa nhóm (S'(í) nếu:
1. A là compact;
2. A là bất biến đối với nửa nhóm S ( t ) , tức là
S ( t ) A = A , với mọi t > 0;
3. A hút mọi tập bị chặn B c H , tức là với mọi £ > 0, tồn tại T —
T (e, B ) sao cho
S (t) B c N (.4, e ) , với mọi t > T ( s , B ) ,
ở đây J\í (A , è) là e-lân cận của tập A trong H.
T ính chất hút 3. tương đương với điều kiện sau đây: Với mọi tập bị chặn
B CH,
dist (s (t) B , A ) —>■0 khi t —> + 00,
ở đó dist(X,Y) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập X , Y c H , xác
định bởi
dist (X , Y ) := sup inf IIa: — y II .
xex y^Y
T ừ định nghĩa suy ra tập hút toàn cục A của nửa nhóm

s (í), nếu tồn

tại, là duy nhất.
K h á i n iệ m tậ p h ấ p th ụ
Đ ịn h n gh ĩa 1.1.3. Tập bị chặn B ữ c H gọi là m ột tập hấp thụ của nửa
nhóm

s (t ) nếu với b ất kì tập bị chặn B

c H , tồn tại thời điểm T = T (B)

sao cho S (t) B c B 0 với mọi t > T (B).

7

K h á i n iệ m tậ p cư-giới h ạ n
Đ ịn h n gh ĩa 1.1 .4 . Giả sử A c H . Tập oơ-giới hạn của Ả được định nghĩa
bởi
Lú

w = ns>0 Li>u S ( t ) A

H

Ồ đó S ( t ) A = {v = S ( t ) u : u G A } và [X]H là bao đóng của X trong H.
Đ ịn h lí v ề sự tồ n tạ i tậ p h ú t to à n cụ c

s (t ) trong H liên tục và có m ộ t tập hấp
B q. Khi đó nửa nhóm s (t ) có m ộ t tập hút toàn cục A và
tập Lú-giới hạn của B ữ. Hơn nữa, A là tập liên thông.

Đ ịn h lí 1.1.1. Giả sử nửa nhóm
thụ compact

A = Lủ ( B ữ),
1.2

Đ ịn h n gh ĩa tậ p k hối (cellu lar set)

Định nghĩa tập khối được tham khảo từ tài liệu [12].

c gọi là m-khối (m-cell) nếu tồn tại m ột phép đồng phôi từ
lên c, trong đó -5Rm (l) là hình cầu đơn vị đóng tâm tại gốc tọa

Một tập
-BRm (l)

độ của ]Rm.
Một tập con X c R m là tập khối trong R m nếu tồn tại m ột dãy các
khối đối với X , đó là dãy

c Mm gồm các m -khối là lân cận của X

n Cị = X . Tức là, X là tập khối nếu cho trước
lân cận u b ất kỳ của X, tồn tại m -khối c c u là lân cận của X.

trong

sao cho

một

ieN

1.3

Đ ịn h n gh ĩa số ch iều A sso u a d

Định nghĩa số chiều Assouad được tham khảo từ tài liệu [12].
Không gian m etric ( X , d) được gọi là thuần nhất (M , s) (hay đơn giản
là th u ần nhất) nếu mọi hình cầu bán kính r có thể được phủ bởi nhiều

nhất M ( r / p Ỵ hình cầu nhỏ hơn có bán kính p , với M > 1 và s > 0.


8

Số chiều Assouad của X , d i m ^ x ) là cận dưới đúng của s sao cho
(X , d) là thuần nhất (M, s ), với M > 1 (nếu X không phải là thuần nhất
(M , s ) với mọi M và s thì ta xác định d im ^ ( x ) = oo).


9

Chương 2
P h ép nhúng tập hút toàn cục vào
không gian hữu hạn chiều
Chương này trình bày nội dung và cách chứng m inh m ột định lí quan
trọng về phép nhúng tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều vào m ột không gian hữu hạn chiều. Chương này được viết dựa trên
tài liệu [12].

2.1

P h á t b iểu kết q u ả chính

Đ ịn h lí 2 .1 .1 . Cho H là không gian Hilbert và

s(t) là nửa nhóm

liên tục

xác định trên H . Giả sử S ( t ) có tập hút toàn cục A sao cho
d := d im ^ .A — A ) < oo,

(2.1)

trong đó dim ^ là số chiều Assouad. Giả sử rằng

được sinh bởi

phương trình vi phân
ủ = Ợ(u),

( 2 . 2)

u € A,

với Q là log-Lipschitz với số mũ a < 1/2,
IIG{u) - Q{v) II < Cg\\u - t»|| ( log

R

u,v e A,

\u — v\

với R > 3( sup ||ií — VII). Và s là một số lớn hơn d. Khi đó, với mọi
U ,V €Ả

m > m ax

2{1 + s ( l — cc)}
1 - 2a

,5

+

1

(2.3)


10

và mọi £ > 0; tồn tại hệ phương trình vi phân
X=

X)

(2.4)

trong Km và ánh xạ tuyến tính bị chặn L : H —»■R m sao cho
1. Phương trình vi phân (2.ị ) có nghiệm duy nhất,
2. Hạn chế L \a : A —> L A là phép nhúng sao cho ảnh L A bất biến qua
động lực của hệ (2.4),
3. Với mỗi nghiệm u ( t ) của (2.2) trên tập hút A tồn tại duy nhất nghiệm
x (t) của (2.4) sao cho
u{t) = L ~ l {x{t)),
4 . Phương trình vi phân (2 .4 ) có tập hút toàn cục X chứa L A và nằm
trong lân cận £ của L A , tức là d i s t j j { x , L A ) < £.

Trong đó, d i s t j j ( X , Y ) là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác
rỗng X , Y c H , xác định bởi
d i s t j j ( X , Y ) = m ay i(d ist(X ,Y ), d i s t ( Y , X )).

Chứng minh Định lí 2.1.1 là sự kết hợp giữa công cụ giải tích và kỹ
th u ậ t về tôpô và được chia ra th àn h các bước như sau:
1. Nếu X c Km là m ột tập khối th ì tồn tại m ột hệ phương trình vi phân
trong

m à X như là m ột tập hút toàn cục chứa toàn bộ các điểm

bất động.
2. Nếu tồn tại m ột phép nhúng tuyến tính L \ a : A —> Mm, thì Ư A là
m ột tập con khối của R m+1, trong đó L' = (L ,0 ).


11

3. Khi (2.1) thỏa m ãn, với mọi 7 > 1/2 tồn tại m ột phép nhúng tuyến
tính với nghịch đảo 7 -log-Lipschitz.
4. Giả thiết cả (2.1) và (2.3) thỏa m ãn, ta có thể xây dựng m ột hệ
phương trình vi phân trong Mm m à mô phỏng lại động lực của Ả
trong L A , sử dụng tính chính quy của (L Ị^ )-1 và của Q để đảm bảo
tính duy n h ất nghiệm.
5. Sự kết hợp thích hợp của hệ phương trình vi phân được xây dựng
trong hai bước trước để đưa ra hệ mới thỏa m ãn kết luận của Định lí
2 . 1. 1.
Bước 1 và Bước 2 dựa vào kỹ th u ậ t trên tôpô, lập luận nằm trong các
Mệnh đề 2.3.1 và Mệnh đề 2.2.1, trong khi Bổ đề 2.2.1 và Mệnh đề 2.2.2
cung cấp liên kết với phương trình vi phân. Bước 3 đã được đề cập trong

các tài liệu toán học và sẽ được gải quyết trong Mục 2.4, nơi m à ta giới
hạn việc nghiên cứu dựa trên số chiều Assouad và định lí phép nhúng m à
ta sẽ sử dụng. Bước thứ 4 là nội dung Mệnh đề 2.4.1. Cuối cùng, Mục 5
kết hợp các kết quả trước đó để chứng minh Định lí 2.1.1.

2.2

Tập khối là tậ p h ú t to à n cục củ a h ệ phương
trìn h v i phân

Ta sẽ chỉ ra nếu X là m ột tập con khối trong R m thì tồn tại hệ phương
trìn h vi phân (2.5) m à X là tập hút toàn cục. ở đây, ta chỉ xét các tập
com pact có hình dạng điểm và cũng đưa ra chứng minh đơn giản không
bao gồm tính tôpô tuyến tính từng đoạn.
B ổ đ ề 2 .2 .1 . Cho trước tập con khối X của
ánh xạ thuộc lớp

cr ệ

:

với m > 6, tồn tại một

—> [0 ,+ o o ), trong đó r được chọn lớn tùy ý


12

sao cho
X

= —V ộ ( x )

(2.5)

có X là tập hút toàn cục. Hơn nữa, ánh xạ ộ có thể được chọn sao cho
thỏa mãn:
1. ậ{x) = 0 ^ ĩ G

X ,

2. ộ là thực sự; tức là, 0 _1([s,í]) là compact với mọi K í G l .
Nếu Bổ đề 2.2.1 thỏa m ãn khi đó V 0 (z ) = 0

X

€ X vì không điểm

của V 0 (x ) chính là điểm cân bằng của (2.5), không có không điểm nào
nằm bên ngoài X . Ngược lại, nếu ộ : ]Rm+1 —> [0, oo) là m ột ánh xạ thuộc
lớp

cr sao cho V 0 (x )

= 0 ü I Ẽ 1 và 4>{x) = 0 ^ i G l , th ì theo định

lí Lyapunov, X là tập hút toàn cục của phương trìn h

X

= —X ộ ( x ) . Do

đó, ta chỉ cần xây dựng ậ, trước hết là trên R m\ x và sau đó mở rộng lên
R m.
Việc chứng minh bổ đề có m ột chút phức tạp vì tính khối là m ột khái
niệm thuần tôpô nhưng ta cần m ột ánh xạ khả vi giống như m ột tác động.
Do đó, ta sẽ bắt đầu với kết quả về tôpô sau đây và mở rộng nó th àn h m ột
ánh xạ khả vi trong Mệnh đề 2.2.2. Tập §m_1 là hình cầu đơn vị trong
Km, tức là s™ -1 = { x e l ffl: ||x|| = 1}.
M ệ n h đ ề 2 .2 .1 . Cho X là một tập con khối của Km. Khi đó, tồn tại một
đồng cấu h :

M
.m\x

hội tụ dần về 0 khi

—> sm
_1 X ( 0 , + o o ) sao cho tọa độ thứ hai của h(x)
X

—> X

.

Chứng minh. Cho Q là hình cầu trong R m có tâm tại gốc tọa độ và đủ lớn
sao cho X nằm hoàn toàn bên trong Q. Theo Định lí 1 trong [3] thì tồn
tại m ột ánh xạ liên tục c : Q —> Q là song ánh, vừa là đơn ánh trên Q \ x ,
co X th àn h m ột điểm p bên trong Q, vừa là ánh xạ đồng nhất biên của

13

Q. Ta dễ dàng xây dựng đồng cấu từ Q lên chính nó và lấy p th àn h 0 và
đồng nhất biên của nó, nên ta có thể giả sử p = 0.
T ừ tính chất của c suy ra
khi

X

c |q \ x

—> X th ì c ( x ) —> 0. Mở rộng

: Q \ x —> <3\{0} là m ột đồng cấu và
c |q \ x

vào M.m\ x bằng cách cho nó là

ánh xạ đồng nhất bên ngoài Q. Cuối cùng,

□

là hàm có tính chất m à ta yêu cầu.

Để h khả vi ta cần m ột vài tiêu chuẩn về tính trơn đối với đa tạp, đúng
hơn là với ánh xạ. Chú ý rằng m ột đa tạp khả vi là m ột đa tạp tôpô được
tran g bị m ột cấu trúc khả vi, tức là m ột phần lớn tọa độ đồ th ị m à biến
đổi tọa độ là c°°. Ánh xạ giữa các đa tạp trơn là c°° nếu biểu diễn địa
phương của nó trong tọa độ là c°° và là m ột vi đồng cấu nếu nó khả nghịch

với ánh xạ ngược của nó cũng là c ° ° .
M ệ n h đ ề 2 .2 .2 . Cho X là một tập con khối của R m với m > 6. Khi đó
tồn tại ánh xạ ĩỊ) :

\ X

1. Vip (x) Ỷ 0 với mọi
2. ĩp(x) —> 0 khi

X

X

(0, + oo) thuộc lớp c°° sao cho
G Rm \ X ,

—> X ,

3. ĩp là thực sự.
Chứng minh. Xét ánh xạ h thu được trong Mệnh đề 2.2.1. Ta sẽ đưa í¡)
th àn h tọa độ thứ hai của h nhưng cách chọn này nói chung là không
khả vi. Vì thế, đầu tiên ta có h trơn. Cho

là cấu trúc khả vi mà

R m \ X như là m ột tập con mở trong R m, và biến đổi theo h thu được
cấu trúc mới khả vi h

lên §m_1 X (0, + oo); rõ ràng bằng cách xây dựng

h : (Mm \ X ) s —> (sm
_1 X (0, +oo))/j£ là m ột vi đồng cấu. Theo [9, t r .31]


14

tồn tại m ột vi đồng cấu g : (§m_1

X

(0,T oo))hx; —> (§m-1)CT X (0 ,+ o o ),

trong đó cr là m ột cấu trúc khả vi phù hợp trên

sm_1 (ta

cần giả thiết

m > 6 để làm việc với định lí này). Theo Chú ý 1 trong [9, tr.31], chúng ta
có thể đưa ra yêu cầu đó là dist(y, g ( y )) < 1 với mọi y G §m_1
trong đó dist là khoảng cách lớn nhất giữa

X

(0, + oo),

sm_1 và (0, Too).

Phép chiếu lên th àn h phần thứ hai p r 2 : (§7n_1)ơ X (0, + oo) —> (0, Too)
hiển nhiên là m ột ánh xạ thuộc lớp c°° (theo định nghĩa tích cấu trúc khả

vi) và đạo hàm nó không bao giờ bằng 0. Khi đó, xác định ĩp : = p r 2 O g O h
và tạo ra biểu đồ sau đây giao hoán:

(n r \X)S ----- *---- . (S™-1 X (0 ,+co))fc£

(S“ - 1),

X

(0, + 0 0 )

(0, Too)
Rõ ràng ìp là c°° vì nó là hợp của các ánh xạ c ° ° . Bây giờ ta sẽ kiểm
tra xem ý thỏa m ãn các tính chất trong phát biểu của m ệnh đề không.
1. Dễ thấy ’V ĩp(x) ^ 0 vì g và h là các vi đồng phôi (đạo hàm của chúng
khả nghịch) và p r 2 thỏa m ãn V p r 2{x) ^ 0.
3. Cho s < t, lấy dãy (a;¿)ieN Ç ^ -1 ([s,í]) và ký hiệu (gi,

Zị)

:= goh(xị).

Theo giả thiết ((yi, Zị))iefỊ ç §m X [s, í], là m ột tập com pact nên dãy
{{Viì zi))ieN phải có m ột dãy con hội tụ. Tiền ảnh của dãy con qua
đồng cấu g o h là m ột dãy con hội tụ (^j)jẽN- Điều này chứng tỏ
,0 -1 ([s,í]) là com pact và 1¡J là thực sự.
2. Cho (a;¿)¿eN là m ột dãy trong Mm+1 \ X hội tụ tới X . Đầu tiên ta sẽ
chỉ ra (ip(xi))i(zĩị hội tụ hoặc tới 0 hoặc tới + 00. Nếu không, nó có
m ột dãy con (^(íCj.^jgN nằni trong m ột khoảng com pact và Ip là thực
sự nên (a^j.)jỄN nằm trong m ột tập con com pact nào đó của

Điều này m âu thuẫn với sự hội tụ của (Xi) tới X .

\ X.


15

Ta chọn g sao cho d ist((7 o h(xị), h(xị)) < 1 và định nghĩa dist là
khoảng cách lớn nh ất giữa §m_1 và (0, + oo), dẫn đến
dist (ĩp(xi),pr2 o h(xi)) = d ist(p r2 o g o h ( x ị ) :p r 2 o h (x i)) < 1
được xác định. Vì iỊ){xì) hội tụ tới hoặc 0 hoặc + oo và p r 2oh (xị)

0

như trong phát biểu Mệnh đề 2.2.1 nên ta có Ip(xị) —> 0.

□
C h ứ n g m in h B ổ đề 2.2.1
Chứng minh. Ta sẽ xây dựng dãy các ánh xạ ĩpk bằng phương pháp quy

ck, sao

nạp, tpỊa thuộc lớp

cho ộ := ĩpk thỏa m ãn bổ đề với r = k. Như

là bước đầu tiên mở rộng ánh xạ ĩp cho trước theo Mệnh đề 2.2.2 vào R m
bằng cách giả sử giá trị của nó là 0 trên X , và gọi là ĩpo- Ánh xạ ĩpQ này
liên tục nhưng không khả vi xung quanh X , và bây giờ ta sử dụng khẳng
định trong [6] để biến ĩpo th àn h ĩpị.

Ý tưởng này là cho ĩpi := b o Ipữj trong đó b : [0, + oo) —> [0, + oo) là vi
đồng phôi nào đó thuộc lớp

gần 0 đủ nhỏ để đủ qua tính

0 xung quanh X . Thực tế, với

gấp khúc của

C/Xị
và khi

c1m à đạo hàm

X

G Km \ X ,

o ý Q)(x) = (ư o V>o)(aOy^(z)
'ìpXị

—»■X (và kéo theo t = 'ệữ(x) —> 0), ta cần ư(t) hội tụ tới 0 nhanh
ỡĩp
hơn tốc đô của --— (x). Bây giờ ta sẽ chỉ ra làm thế nào để tìm b.
X

ơXi

Với mỗi t e (0, T oo), cho Fị :=■ {:r G
M{t)

m ax
xeFịÁ

d ìp o

dxi

\ X : ĩ/jo(x) = t } và
d tp o

{x )

9 x m—i

(x)

ì

Vì mỗi tập Fị là com pact, vì Ipũ là thực sự nên M (t ) xác định tố t. Điều kiện
Ụtpữ(x) 7^ 0 với

X

G R \ X suy ra

M (t)

> 0 với mọi

t

> 0 và rõ ràng bằng


16

cách xây dựng M(iị)ữ(xỴ) >

dĩpọ
{x) với môi
dxi

X

ẽ

\ X và 1 <

Giả sử bây giờ ta cần tìm m ột vi đồng cấu 6 sao cho b'(t) <
t > 0. Khi đó, ta có với 1 <
à

, w X

,1

,,,

ỉ <

M (í)

ỉ <

m.

với mọi

m,

, X/ , d i Ị >0

fk (x )

d ìp o

= (6 ° ^ ){x)dĩ-Sx) - J m h d £ {x) - M x ) '

ử t {i
tiến đến 0 khi

—> X . Nên -01 := 0 0-00 thuộc lớp c 1 trên Mm, và gradient

X

của nó trên X bằng 0. Dễ thấy nó chính quy trên ]Rm \ X và tiến dần đến
0 khi

X

—> X nên ậ

ìpi thỏa m ãn bổ đề với r — 1.

Nếu t / M ( t ) liên tục, ta có thể lấy b(t) là nguyên hàm của t / M ( t ) với
6(0) = 0. Đầu tiên chỉ ra M ( t ) là nửa liên tục trên, tức là với mỗi s G E ,
tập { t E (0 ,+ o o ) : M ( t ) < 5} là mở.
Để kết thúc, ta cố định t 0 e 1R và s e M sao cho M ( t ữ) < s. Ta đã chứng
„

,

minh với t đủ gần ¿0; M ị t ) < s. Tại mỗi điếm

Tập

u :=

u

Ux là m ột

G Fị0, ta có

d ìp o

{x) < s
dxi
với mọi 1 < ỉ < m nên theo tính liên tục, tồn tại m ột lân cận Ux của

ớ-00
X trong R m \ X sao cho —^—(2/) < s với mọi y Ễ Ux và 1 < ỉ < m .
X

ỠXị

lân cận của Fịữ trong

\

X. Rõ

ràng Fịữ =

x e F t0

n F [to_£ĩtữ+e], trong đó F [tữ_SỊto+s] := {y e Rm\x

: ỷ ữ(y) G [t0- £ , t 0+£]}.

e> 0

Cũng vì

ĩp ữ

là thực sự nên mỗi Fịto_sto+£j là com pact, tồn tại £ > 0 sao

cho F[ío_eío+e] c u . Nhưng khi đó với t E

[to

— £,¿0 + £] ta có M ( í0) < s

như yêu cầu.
Bây giờ ta có thể tìm 6. Vì M ( t ) là nửa liên tục trên nên M ( t ) / t cũng
vậy, dẫn đến t / M ( t ) là nửa liên tục dưới. Theo [5, Định lí 4, tr.222] suy
ra tồn tại m ột ánh xạ liên tục 0 < c(t) < t / M ( t ) . Lấy b(t) là nguyên hàm
của c(t) với 6(0) = 0, và ta đã xong.
Khẳng định này có thể phù hợp ngay lập tức để đưa ra bước lặp trong
cách xây dựng ipk+ 1 từ ĩpk- Ta lại đặt ìpk+ 1 := 6 o ìpỊ. với m ột vi đồng phôi


17

phù hợp

ck+1 là b : [0,+ o o )

—> [0, + oo), nhưng bây giờ có các điều kiện

được thay đổi trên tỉ lệ với b ^ ( t ) —> 0 khi t —> 0 với mọi 0 < ỉ < k + 1.
T h ật vậy, với mọi đa chỉ số OL thỏa m ãn ỊaỊ = k + 1 ta có

trên ~Km\ X , trong đó p là đa thức trong đạo hàm riêng của ĩpk với bậc
< k và đạo hàm của b có bậc l < k + 1. Nên ta cần chọn 6 với điều kiện

X

—> X . Với việc chọn 6 đầu tiên ta dễ dàng thực hiện được còn sau đó,

ta đọc lại chứng minh từ việc b ắt đầu đặt

□
Kết hợp các kết quả này lại, ta thu được m ột đặc trưng của những tập
m à có thể là tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân trong không
gian hữu hạn chiều.

2.3

Tập h ú t hữu hạn ch iều ch ín h là tậ p hút củ a hệ
hữu hạn ch iều

Trong mục này, ta sẽ chứng minh nếu A là tập hút hữu hạn chiều trong
không gian Hilbert H , thì tồn tại m ột phép nhúng tuyến tính L' : H
]Rm+1 (với mọi m ) sao cho L ' A là m ột tập con khối trong R m+1; từ đó suy
ra L ' A có thể được tạo th àn h từ tập hút của hệ phương trình vi phân hữu
hạn chiều.
M ệ n h đ ề 2.3 .1 . Cho A là tập hút toàn cục trong H và L : H —»■R m là
một phép nhúng tuyến tính. Khi đó, ánh xạ L' : H

Mm+1 được xác định


18

bởi ư u = (Lu, 0) là một phép nhúng tuyến tính mà ảnh Ư A là khối trong
R m+1, với m > 3.
Chứng minh. Theo Định lí 3.6 trong [8], tập A có hình dạng giống như
H. Đây là tiêu chuẩn để kết luận H có kiểu đồng phôi điểm vì ánh xạ

H

X

[0,1] 3 (u, t) —> (1 — t) ■u E H đưa ra m ột đồng luân giữa ánh xạ

đồng nhất id : H -3 H và ánh xạ hằng 0 : H —> H . Do đó, H có hình
dạng điểm và A cũng vậy. Vì hình dạng là b ất biến qua đồng cấu nên L A
cũng có dạng điểm. Vì thế, theo [4], tập L A
m > 3. Nhưng L A

2.4

X

X

{0} là khối trong IRm+1 với

{0} lại chính là Ư A .

□

P h é p n h ú n g đ ộ n g lực trên
E u clid

A vào k h ôn g gian

Bây giờ ta xét bài toán nhúng A vào R m sao cho (2.4) có thể mô phỏng
lại động lực trên A . Do đó, ta yêu cầu vế phải f ( x ) của phương trình (2.4)

có tính chất m ột quan hệ gần với Q trên ảnh L A của A: điểm cốt yếu nó
cần là L Q L ~ l . Để đảm bảo tính duy nhất nghiệm của phương trìn h (2.4),
m ột vài tính chính quy được cho là cần thiết cho L Q L ~l , m ột tiêu chuẩn
đó là liên tục Lipschitz, nhưng điều kiện này có thể yếu hơn th àn h liên tục
l-log-Lipschitz. Vì Q đã được giả thiết là liên tục a-log-Lipschitz, nên chỉ
có L và L ” 1 cần phải xem xét cẩn thận.
R ất nhiều các kết quả gần đây về phép nhúng đưa ra ánh xạ tuyến tính
L :H

là m ột phép nhúng sao cho ánh xạ là Lipschitz, nên vấn đề

chính ở đây là tính chính quy của L ~ l . Giả sử hiện tại L ~ l cũng yêu cầu
Lipschitz hạn chế trên L A , sao cho L là song Lipschitz. Khi đó, sẽ tồn tại
hằng số

c>
1

Ỡ

0 sao cho

u

— V II

< IL(ù) — L(v)\ < c\\u

— V

với u , v ẽ

A,


19

trong đó Ị.Ị kí hiệu cho chuẩn nào đó trong ]Rm. Số chiều Assouad dim ^
là bất biến dưới ánh xạ song Lipschitz và hữu hạn với tập con của không
gian Euclid. Do đó, nếu A được nhúng vào IRm theo cách song Lipschitz,
ta sẽ có dim J4(vẨ) < 00.
Định lí sau đây đã chỉ ra, nếu dim J4(v4. —.Ẩ) < 00, thì tồn tại m ột phép
nhúng song Lipschitz logarithm từ A vào không gian Euclid.
Đ ịn h lí 2 .4 .1 . ([12, Định lí ị . l , tr. 3506])
Cho A là một tập con compact của không gian Hilbert thực H sao cho
d im ^ .A — A ) < s < m . Nếu
2+ m

( 2 . 6)

7 > 2(m — s) ’

thì tồn tại một tập phổ biến (prevalent set) các ánh xạ tuyến tính L : H
Km là đơn ánh trên A và 7 -hầu hết song Lipschitz, tức là tồn tại ỏI > 0,
C l > 0 sao cho
1

\\u — u||

C L ( - l o g \\u - v||)Tf

< IL i u ) — L(v ) I < C l \\u — 1?||,

với mọi u , v G A mà ||ư — i;|| < ỏL.
Chú ý rằng với mọi 7 > 1/2, ta có thể chọn m đủ lớn để thu được m ột
phép nhúng 7 -hầu hết song Lipschitz lên R m.
Tiếp theo, ta sử dụng Định lí 2.4.1 ở trên để xây dựng hệ phương trình
vi phân với nghiệm duy nhất m à mô phỏng động lực trên A dưới giả thiết
của Định lí 2.1.1.
M ệ n h đ ề 2 .4 .1 . Dưới giả thiết của Định lí 2.1.1 và các ký hiệu như vậy,
với mọi
m>

2{1 + s ( l — a )}
1

-

2a

5

(2.7)


20

tồn tại hệ phương trình vi phân trong ]Rm
X

= g{x),

(2.8)

và ánh xạ tuyến tính bị chặn L : H -rì R m sao cho:
1. Hàm số g :

là bị chặn và Lipschitz ngoại trừ hiệu chỉnh

logarithm,
2. Phương trình vi phân (2.8) có nghiệm duy nhất,
3. Hạn chế L \a : A —> L A là một phép nhúng mà ảnh của nó là bất
biến với hệ động lực của (2.8),
ị . Với mỗi nghiệm u{t)

của phương trình (2.2) trên tậphút

Atồn

tại

duy nhất nghiệm x (t) của phương trình (2.8) sao cho
u ( t ) = L ~ 1(x(t)).
Chứng minh. Từ Định lí 2.4.1 suy ra tồn tại m ột ánh xạ tuyến tính bị chặn
L từ H vào

m à là đơn ánh trên A và có chiều ngược liên tục Lipschitz

trên L A ngoại trừ th àn h phần hiệu chỉnh logarithm với số mũ logarithm
7Nếu x ị t ) = L u ị t ) với u(t) e A , thì trường véctơ nhúng trên L A được

cho bởi

X

= gi(x) := L Q L ~ l {x) với

X

€ L A . Hàm số #1 : L A -rì R m bị

chặn và liên tục vì L A com pact nên nó cũng log-Lipschitz.
T h ật vậy, cho trước u , v ẽ H , định nghĩa L u =

X

và L v = y. T ừ Định

lí 2.4.1 suy ra
I

_

I

1
IIL-1^ - L - ^ l l
5
~ CL (—lo g (||L -1a; — L ~ 1y\\))'y

21

trong đó, ta tăng C l nếu cần thiết để C l > 4 m ax \x — y\. Do vậy, vì
x,y£LA
IL u — L v I < C l \\u — m||, với mọi X, y € L A , nên
\L l x — L 1y\\ < C L ( - \ o g ( \ \ L l x — L

y \ \ ) y \ x - y\

< C L ( ỉ o g ( T^ ) Ỵ \ x - y \ .
\x - y\j J
Vì ta giả thiết Q là liên tục Qí-log-Lipschitz, nên suy ra

Ì 9 i ( x ) - £i(y)| < ||LỊ|opC gơL |a: -

(

y\ Ị^log

M_ JY +J = : U){\x -

y\)

với M — m ax(Ơ £, R ). Nên gi là liên tục (o; + 7 )-log-Lipschitz. M ôđun của
tín h liên tục Lú của gi là hàm lồi liên tục; ta có thể mở rộng định lí theo
McShane (xem [11]) để mở rộng hàm gi th àn h hàm g : Mm —>

m à có

m ôđun liên tục giống nhau,

ls(z) - g ( y )I < C ív(\x — y|),
với

c > 0. T ừ

(2.9) suy ra tồn tại T > 0 sao cho bài toán giá trị ban đầu
dx
— = g(x),

CÓ

(2.9)

z ( 0) = x 0

(

2 . 10)

ít nhất m ột nghiệm trên [0,T].
Vì m ôđun của tính liên tục U}(r) của g là liên tục với r > 0, lồi và thỏa

m ãn
í 1 *
= r , - w
J ữ Lú[r)
J\nM

j , = M

đã đưa ra (a + 7 ) < 1, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn Osgood (xem [7]) để
chứng minh (2.10) có nhiều nhất m ột nghiệm trên mọi đoạn [0,T]. Vì g
liên tục và bị chặn từ

vào Mm, dẫn đến mọi nghiệm của bài toán giá

trị ban đầu (2.10) tồn tại trên mọi thời gian. Do đó, nghiệm của phương
trìn h (2.10) là Xq = L uq với Mo £ Ả có thể được cho duy nhất bởi
x ị t ) = Lu (t).


22

Cuối cùng, quan sát yêu cầu a + 7 < 1 cho ta điều kiện (2.7) trên việc sử
dụng (2.6).

2.5

□

C hứ ng m in h Đ ịn h lí 2.1.1

Trong các mục trước, ta đã nhúng A vào trong không gian hữu hạn
chiều R m theo ánh xạ tuyến tính L : H —»■ R m và đã chỉ ra rằng tồn tại
phương trìn h vi phân (2.8) trong ]Rm có duy nhất nghiệm và mô phỏng lại
động lực của A trên L A .
Trong mục cuối này, ta sẽ tập hợp lại các kết quả từ trước để thu được
hệ phương trình vi phân (2.4) m à mô phỏng lại trên L A động lực của A
và có tập hút toàn cục X gần giống với L A như yêu cầu.

C h ứ n g m in h Đ ịn h lí 2.1.1
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.3.1 để thay thế ánh xạ L thu được trong
Mệnh đề 2.4.1 bởi L' : H —»■Mm+1 với việc thêm m ột tính chất nữa là ảnh
của nó là khối. Để cho đơn giản ký hiệu, ta thay L' bởi L và m + 1 bởi m.
Sử dụng Bổ đề 2.2.1 thu được Cr ánh xạ 0 : R m —> [0,+ oo) sao cho
L A là tập hút toàn cục đối với X = —V 0. Vì ộ là ánh xạ thực sự nên tồn
tại ỏ > 0 sao cho p := { x E Km : ệ ( x ) < ổ} Ç B e( L A ) . Cuối cùng, cho
6 : R m —> [0,1] là hàm cắt thuộc lớp c°° sao cho 6 = 1 trên L A và 6 = 0
ngoài p . Lấy ánh xạ g thu được từ Mệnh đề 2.4.1 và nhân với 9 để tạo ra
giá trị 0 bên ngoài p . Ta định nghĩa / := 9g; rõ ràng X = f ( x ) vẫn mô
phỏng động lực của A trên L A .
Bây giờ, ta xét phương trình (2.5) và (2.11)
X = —V ệ ( x ) ,
X = f(x ) - Vộ(x).

(2.11)

Quan sát vế phải của (2.5) và (2.11) đồng thời với X ị p . Do đó, vì w n\ p


23

là b ất biến âm với (2.5), nên nó cũng là b ất biến âm với (2.11) và nó dẫn
đến p là b ất biến dương với (2.11).
Tập p ■[t, + oo) là com pact (tập con đóng của p ) và giảm khi t tăng.
Với tiêu chuẩn
X := f]P -[t,+ o o )
t>0
là bất biến và hút p , tức là, cho trước ỏ > 0, tồn tại Tị > 0 sao cho
p • [T(5, +

oo]

Ç B s { X ) (xem [10]). Theo cách xây dựng, X nằm trong

B e{LA).
(1) X là tập hút toàn cục. Cố định tập bị chặn B Ç

c := sup
ộ (x)
iẽ Â

và c :=

và cho

inf Ị|V 0 ||2.
xeB-P

Nhận thấy rằng c > 0 vì V</> chỉ bị triệt tiêu trên L A , trong đó p là một
lân cận. Do đó, tồn tại T > 0 đủ lớn sao cho

c — c T < ỗcố định.

Bây giờ ta đưa ra khẳng định X • [T, + oo) ç p với mọi X G B . Vì p là
bất biến dương nên rõ ràng chỉ cần chứng minh X -t G p với t G [0, T]. Ta
lập luận bằng phản chứng, nên giả sử X ■[0,T] Ç w n\ p . Theo định lí giá
trị trung bình
ệ ( x ■T ) = ộ{x) + ^ ộ ( x • s ) \a=iT,
với £ ẽ [0, X1]. Bây giờ

¿-<KXmS)\a=ç = (V0(a:-O,i(O> = -||Vự>(z - O il2 < -c,
trong đó ta sử dụng khẳng định i( £ ) = —V ộ { x ■£) vì x£ ị p theo giả
thiết và —\\'S/Ộ(x • £ )||2 < —c bằng cách lấy tương tự. Với phương trình
trên và khẳng định ộ (x) <

c vì X ẽ

ệ(x -T) <

p , ta có

c — cT

< ỗ,