Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THU HÀ

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . . . .
1.1.1 Không gian véctơ . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian véctơ tôpô . . . . . . .

1.1.4 Không gian metric . . . . . . . . .
1.1.5 Không gian véctơ định chuẩn . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . . . .
1.2.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . .
1.2.3 Một số định lý về sự tương giao và
ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . .

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
về điểm
. . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
bất động của

. . . . . . . .

2 Bài toán quan hệ biến phân
2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ . . . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân . .
2.2.1 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao của các tập
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên định lý điểm bất động . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
compact
. . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 16

.
.
.

.
.

3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không có
tính lồi
3.1 Nguyên lý giải được hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ánh xạ tương giao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Bài toán cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Bài toán cân bằng chiến lược trội . . . . . . . . . . . . . . .

1

6
6
6
7
9
10
11
12
12
15

17
17
21
21

22
28

32
32
33
34
34
35
35
36


4 Bài
4.1
4.2
4.3

toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM
Quan hệ KKM tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM . . . . . .
Ứng dụng vào một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Bài toán bao hàm thức biến phân . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Bất đẳng thức Ky Fan minimax tổng quát với hàm C tựa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Bất đẳng thức véctơ minimax Ky Fan véctơ tổng quát với
C - P - tựa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Trò chơi đa mục tiêu tổng quát và trò chơi n - người không
hợp tác tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.

38
38
41
45
45

. 48
. 49
.
.
.
.

51
52
53
54


Mở đầu
Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp

của định lý điểm bất động Brower (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster,
Kuratowski, Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác
rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả
này sau gọi là bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không
gian vô hạn chiều, kết quả này được gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM. Vào năm
2008, GS. Đinh Thế Lục đã sử dụng quan hệ KKM vào một bài toán mới, bài
toán "Quan hệ biến phân", nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu tuyến tính, bài toán
tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm
thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán bất đẳng thức
biến phân có thể biến đổi được về bài toán này.
Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau:
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là
các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần tử
a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y. Hãy tìm một điểm a ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b).
Mục đích của luận văn là trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến
phân trong trường hợp bài toán có hoặc không có tính chất KKM và tính lồi
dựa theo các bài báo [3] , [4] , [5] .
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm bốn chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho ba
chương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số khái
niệm và tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Chương 2. Bài toán quan hệ biến phân. Mục đích chính của chương này
là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính
chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động.
3

Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không
có tính lồi. Mục đích chính của chương này là trình bày sự tồn tại nghiệm của
bài toán quan hệ biến phân không có tính lồi.
Chương 4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không
có tính chất KKM. Mục đích chính của chương này là trình bày sự tồn tại
nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM.
Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh
chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân được đề cập
trong các bài báo [3] , [4] , [5] .

4


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc gia Hà Nội. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.
TS. Tạ Duy Phượng - Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam,
người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành công việc nghiên cứu này này.
Tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia
giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất.
Xin được cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên rất nhiều giúp
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2015
Tác giả luận văn
Nguyễn Thu Hà

5

Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,...(theo [1] và [2]) cần thiết
cho việc trình bày các nội dung ở chương sau.

1.1
1.1.1

Kiến thức tôpô và giải tích hàm
Không gian véctơ

Định nghĩa 1.1.1. (Xem [1], trang 181) Ký hiệu R là tập số thực. Các phần
tử của R được gọi là số (hay đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V trên
trường R là một tập hợp V không rỗng mà trên đó xác định hai phép cộng véctơ
và phép nhân với một số được định nghĩa sao cho các tiên đề sau đây được thỏa
mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:
Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α ∈ R, v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;

6


6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng các số:
Với mọi α, β ∈ R, v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân các số phân phối với phép nhân véctơ: Với mọi α, β ∈ R; v ∈ V :
α.(β.v) = (α.β)v;

8. Phần tử đơn vị của R có tính chất: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1 = v.
Định nghĩa 1.1.2. (Xem [1], trang 256) Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X
được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C
(nói cách khác, C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.3. (Xem [1], trang 262) Cho X là không gian véctơ, x1 , x2 , ..., xk ∈
k

X và các số λ1 , λ2 , ..., λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k và

λj = 1. Khi đó,
j=1

k

λj xj , được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x1 , x2 , ..., xk ∈ X.

x=
j=1

Định nghĩa 1.1.4. (Xem [1], trang 262) Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu
là convS là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm của S.

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian véctơ.
1. Một tập C ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.
2. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(i) λC ∈ C với mọi λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
1.1.2

Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.6. (Xem [1], trang 372)(Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một
họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính
chất sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Một tập X cùng với một tôpô τ trên X , được gọi là không gian tôpô (X, τ ) .
Định nghĩa 1.1.7. (Xem [1], trang 373) Cho hai tôpô τ1 và τ2 . Ta nói τ1 yếu
hơn τ2 (hay τ2 mạnh hơn τ1 ) nếu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều
là tập mở trong τ2 .
7


Định nghĩa 1.1.8. (Xem [1], trang 376) Cho (X, τ ) là không gian tôpô.
• Tập G ⊂ X được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F ⊂ X được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.9. (Xem [1], trang 375) Lân cận của một điểm x trong không
gian tôpô X là bất cứ tập nào bao hàm một tập mở chứa x. Nói cách khác V là
lân cận của x nếu có một tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V.

Định nghĩa 1.1.10. Một họ V = V : V là lân cận của điểm x ∈ X được gọi
là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận
V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U.
Định nghĩa 1.1.11. (Xem [1], trang 376) Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một
tập con bất kì của X. Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.
(ii) x là điểm biên của A nếu mọi lân cận của x đều chứa ít nhất một điểm
trong của A và một điểm không thuộc A.
Định nghĩa 1.1.12. (Xem [1], trang 377) Giả sử A là tập con bất kì của không
gian tôpô (X, τ ). Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm
trong A.
o
Phần trong của A là tập mở lớn nhất nằm trong A. Nó được ký hiệu bởi A
hoặc intA.
Định nghĩa 1.1.13. (Xem [1], trang 377) Giả sử A là tập con bất kì của không
gian tôpô (X, τ ). Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A.
Bao đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Nó được ký hiệu bởi A¯ hoặc
clA.

Định nghĩa 1.1.14. (Xem [1], trang 383) Cho X là một không gian tôpô và
M ⊂ X. M là tập compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của M đều chứa một phủ
con hữu hạn.
Định nghĩa 1.1.15. (Xem [1], trang 377) Cho X , Y là hai không gian tôpô.
Một ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận
V của f (x0 ) tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.

8

Định nghĩa 1.1.16. (Xem [1], trang 382) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong
X đều tồn tại một lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.17. Tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nó xác
định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:
(i)) Với mọi α, β, γ ∈ I sao cho: α ≥ β, β ≥ γ thì α ≥ γ;
(ii) Nếu α ∈ I thì α ≥ α;
(iii) Với mọi α, β ∈ I thì tồn tại γ ∈ I sao cho: γ ≥ α, gamma ≥ β.
Khi đó ta nói tập I được định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và kí hiệu là (I, ≥) hoặc
viết tắt là I.
Định nghĩa 1.1.18. Cho I là tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ”. Khi đó ánh
xạ x xác định trên I và nhận giá trị trong tập X được gọi là lưới (hay dãy suy
rộng) trong X. Ta viết xi = x(i) và kí hiệu lưới là (xα )α∈I
Nếu miền giá trị của lưới là không gian tôpô X thì (xα )α∈I được gọi là lưới trong
không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.19. Cho I là một tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và X là
một không gian tôpô. Khi đó lưới (xα )α∈I được gọi là hội tụ trong không gian
tôpô đến điểm x đối với tôpô τ nếu với mọi lân cận U của x tồn tại α0 ∈ I sao
cho với mọi α ∈ I mà α ≥ α0 thì xα ∈ U. Kí hiệu: lim xα = x hay xα → x.
α→∞

1.1.3

Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.20. (Xem [1], trang 387) Ta nói một tôpô τ trên không gian
véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên
tục trong tôpô đó, tức là:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y. Cụ thể, với mọi lân cận V của
điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho

nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x. Cụ thể, với mọi lân cận V của αx
đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho α ∈ (α − ε, α + ε) thì
α x ∈ V.

Một không gian véctơ X, trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số
được gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
9


Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự
nhiên và Công nghệ.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] D. T. Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J. Optim.
Theory Appl. 138, 65 - 76.
[4] D. T. Luc, Ebrahim Sarabi, Antoine Soubeyran (2010), Existence of solutions in variational relation problems without convexity, J. Math. Anal.
Appl. 138, 544 - 555.
[5] Y.J. Pu, Z. Yang (2012), Variational relation problem without the KKM
property with applications, J. Math. Anal. Appl. 393, 256 - 264.

54