Chinh phục bài toán hình học không gian thi THPT QG

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

MỘT SỐ KẾT QUẢ, BÀI TOÁN HÌNH
KHÔNG GIAN KINH ĐIỂN
Đỗ Trần Nguyên Huy
Toán PTNK 1417

I – Các kết quả, bài toán kinh điển về vuông góc, góc giữa các đối
tượng
1. Vuông góc
a) Nguyên lí chứng minh :
• Định lí Pythagore: Nếu a, b không cùng phương, lần lượt chứa các đoạn thẳng AB, AC
•
•



•
•
b)
•
•


•
c)
•
•

thì tại A khi và chỉ khi .
Tiêu chuẩn vectơ: Gọi u, v lần lượt là các vectơ chỉ phương của a, b. Chỉ ra .

Tính chất bắc cầu:
.
, mp(P) chứa b.
.
Định lí 3 đường vuông góc: Xét mặt phẳng (P) chứa a mà không chứa b. Gọi b’ là hình
chiếu của b trên a. Khi đó nếu thì .
Hệ quả (bổ đề tam giác): Xét tam giác ABC với BC thuộc đường thẳng b. Nếu chứng
minh được thì .
Nguyên lí chứng minh :
Định nghĩa: Xác định cắt nhau và cùng thuộc (P). Khi đó, nếu a vuông góc với cả b, c
thì .
Tính chất bắc cầu:
.
.
Định lí về hai mặt phẳng vuông góc: theo giao tuyến d, a thuộc mp(Q), .
Nguyên lí chứng minh :
Định nghĩa: mp(P) chứa a, .
Khái niệm trục đa giác: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng chứa đa giác tại tâm đa giác,
là tập hợp các điểm trong không gian cách đều các đỉnh đa giác.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VD: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,
với S thỏa thì SO là trục của tam giác ABC,
tức . Có

BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện ABCD đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Lấy I, J lần lượt thuộc
các đường thẳng BC, AD sao cho . Chứng minh:

a) là đoạn vuông góc chung của AB, CD.
b) MN vuông góc với IK.

PHÂN TÍCH:
a) Có trung điểm (giả thiết) và các tam giác đều (tứ diện đều), nghĩ tới chứng minh vuông

góc bằng cách tạo tam giác cân).
b) Dùng bổ đề tam giác nhờ dựng thêm trung điểm tạo tam giác mới có hai cạnh song song
AB, CD
GIẢI.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) ABCD là tứ diện đều (giả thiết) nên

ABC, ACD, ABD, BCD là các tam giác
đều bằng nhau, suy ra các đường trung
tuyến bằng nhau, tức . Thế thì tam giác
MCD cân tại M nên trung tuyến MN
đồng thới là đường cao, tức . Tương tự .

b) Lấy K thuộc AC nên . Theo định lí Thales đảo lần lượt cho tam giác ACB () và tam

giác ACD () suy ra IK và JK lần lượt song song với AB và CD nên chúng cùng vuông
góc với MN. Vậy nên .
Mở rộng: Cho tam giác cân ABC, ABD chung đáy AB nhưng không đồng phẳng. Dựng đoạn
vuông góc chung của AB, CD.

GIẢI

•
•

Lấy M là trung điểm AB. Tam giác ABC cân, có đáy AB nên tam giác này cân tại C, tức
trung tuyến CM cũng là đường cao Tương tự,
Trong tam giác CDM, hạ đường cao MH. Có thuộc mp(CDM) và (chứng minh trên) .
Mà lại có nên MH là đoạn cần dựng.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có , và . Gọi M là trung điểm CC’. Chứng minh .
PHÂN TÍCH: Có yếu tố độ dài, góc thì định lý Pythagore là phương án khả dĩ. Để ý lăng trụ đã cho

là lăng trụ đứng nên các mặt bên là các hình chữ nhật.
GIẢI.

•

M là trung điểm CC’ (giả thiết) mà lại có (các mặt bên là hình bình hành) nên:

•

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC:

Chú ý ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
•

Áp dụng định lý Pythagore lần lượt cho tam giác BCM vuông tại C, tam giác A’BA

vuông tại A, tam giác A’MC’ vuông tại C’:

•

Thế thì Tam giác A’MB vuông tại M, tức .

Bài 3: Cho tứ diện có , tam giác BCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC.
a) Chứng minh tất cả các mặt của tứ diện đều là tam giác vuông và .
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên AD. Chứng minh .


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

PHÂN TÍCH:
a) Giả thiết cho ta các tam giác ABD, ABC là các tam giác vuông. Điều kiện tam giác BCD

vuông tại C và định lí 3 đường vuông góc cho ta kết quả.
b) Xuất hiện K là hình chiếu vuông góc của B lên AD nên HK là hình chiếu của BK trên
mp(ACD). Định lí ba đường vuông góc hoàn tất chứng minh.
GIẢI

a) Các bước chứng minh của chúng ta như sau:
 Chứng minh tất cả các mặt của tứ diện đều là các tam giác vuông:
• Theo giả thiết, cho , nên ABC, ABD là các tam giác vuông. Theo đề bài, ta còn có tam

giác BCD vuông tại C.
• Lại do nên . Vậy ta cũng có tam giác ACD vuông tại C. Suy ra tất cả các mặt của tứ diện
đều là các tam giác vuông.
 Chứng minh tam giác BHD vuông tại H:
•

() và (giả thiết) nên . Lại có nên hay tam giác BHD vuông tại H.
b)
(điều phải chứng minh)

Bài 4: Cho hình chóp có . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, SBC.
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
PHÂN TÍCH:


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) Để ý HK là đoạn nối trực tâm của hai mặt nên khó khai thác, tức nên tập trung khai thác

tính vuông góc của BH, BK dựa vào giả thiết trực tâm, lại có BK vuông góc SC nên cần
chỉ ra BH cũng vuông góc với SC. Kết hợp với SA vuông góc với mặt đáy thì điều trên
khá rõ ràng theo bổ đề tam giác.
b) Để ý HK, SC lại xuất hiện nên việc áp dụng câu a/ là khá rõ.
GIẢI

a) K là trực tâm của tam giác SBC (giả thiết). (

(do BH thuộc mp(ABC))
Lại có H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết). Vậy nên . Kết hợp với (), rút ra , chứng minh
hoàn tất.
b) Ta sẽ chứng minh AH, BC, SK đồng quy. Lấy .

(giả thiết). ()
Để ý nên (AR, AH cùng thuộc mp(ABC)) (HK thuộc mp(SAR)).
Kết hợp với (), suy ra , chứng minh hoàn tất.

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bài 5: Cho hình hộp thoi cạnh a (hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau) và . Tìm điều kiện x,
y, z để A’B’CD là hình vuông.
PHÂN TÍCH: Để ý A’B’CD là hình bình hành nên để thỏa đề bài, cần thêm hai cạnh kề bằng nhau

và một góc vuông trong các 4 góc ở đỉnh. Việc khai thác giả thiết góc vuông không dễ dẫn tới
đáp án, mà biểu diễn giả thiết góc vuông ấy thành một hệ thức vectơ chính là lời giải.

GIẢI

Các mặt hình hộp đã cho là hình thoi (giả thiết)
và
là hình bình hành.
Để thỏa đề, ta cần thêm và .
Áp dụng định lí hàm cos cho tam giác B’BC:

Vậy ta cần:
tức (z là góc trong tam giác)
Khi đó đã có A’B’CD là hình thoi, vậy để nó là hình vuông, ta cần thêm:
trong tam giác). Kiểm tra lại, ta thấy thì yêu cầu đề bài thỏa.

() (x, y là các góc

2. Góc giữa đường thẳng a và mp(P):
a) Nguyên lí xác định:
• Định nghĩa:
 hoặc a thuộc mp(P)


 không vuông góc với mp(P): Lấy M thuộc a, dựng hình chiếu M’ của M trên mp(P) thì


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LƯU Ý:

Góc giữa đường thẳng a và mp(P) luôn là góc nhọn.
Liên hệ các điểm đặc biệt (chân đường cao tới mặt đáy, các hình chiếu vuông góc có sẵn) để
dựng ảnh của a lên mp(P). Chẳng hạn cần dựng hình chiếu A’ của A trên mp(P), điểm đặc biệt
đã cho là H:
 Nếu có mp(Q) chứa A mà mp(P) vuông góc với mp(Q) theo giao tuyến d thì A’ là hình

chiếu của A trên d.
 Tồn tại điểm R thuộc mp(P) sao cho RH qua A. Dựng hình chiếu H’ của H trên mp(P) thì
AA’ song song với HH’ và RH’ qua A’.


 Tổng quát hơn, dựng hình chiếu H’ của H trên mp(P). Dựng tia Ax song song với HH’.

Xác định đường thẳng d thuộc mp(P). Khi đó d cắt Ax (nếu có) tại A’.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

b)

Một số mô hình thường gặp để dựng hình chiếu điểm đặc biệt:

Mô hình 1: Cho trước mp(P) chứa AB, S nằm ngoài mp(P) và H là hình chiếu của S trên mp(P).
Dựng hình chiếu H’ của H trên mp(SAB):
•

Trường hợp tổng quát: Dựng R là hình chiếu của H trên AB thì H’ là hình chiếu của H
trên SR:


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

•

Trường hợp đặc biệt (tam giác SAB vuông tại A, trường hợp vuông tại B thì thực hiện
tương tự): H’ là hình chiếu của H trên SA:

B ÀI TẬP:
Dạng : Cho sẵn hình chiếu đường thẳng lên mp hoặc dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
Bài : Cho hình chóp có và đáy là tam giác vuông tại A, . Tính cos góc giữa SA và mp(ABC).
PHÂN TÍCH: Để ý SA cắt mp(ABC) tại A nên mấu chốt là xác định hình chiếu của S trên mp(ABC).

Lại do nên dựa theo khái niệm trục của tam giác, ta suy ra hình chiếu H của nó sẽ thỏa .
GIẢI. Gọi H là trung điểm BC.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

•
•

Tam giác ABC vuông tại A nên , tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo

khái niệm về trục của tam giác thì H là hình chiếu của S trên mp(ABC), suy ra .
Xét tam giác SAH vuông tại H, ta được

Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, . Tính góc giữa SC và mp(ABCD).
PHÂN TÍCH: Giả thiết SA vuông góc với mặt phẳng đáy cho ta hình chiếu CA lên mp(ABCD),

hướng giải quá rõ ràng.
GIẢI


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Theo giả thiết, SA vuông góc với mp(ABCD) nên góc tạo bởi SC với mp(ABCD) là .
AC là đường chéo trong hình vuông cạnh a nên .
Xét tam giác SAC vuông tại A:

Dạng 2: Dựng thêm đường phụ để xuất hiện hình chiếu.
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, . Góc giữa SA và mp(ABCD)
là . Tính sin góc giữa SA và mp(SCD).
PHÂN TÍCH: Mấu chốt vẫn là tìm ra hình chiếu của A trên mp(SCD). Để ý O là điểm đặc biệt (hình

chiếu của S lên mặt đáy), điểm C thuộc mp(SCD) thuộc đường thẳng OA nên ta tìm hình chiếu
của A thông qua hình chiếu của H trên mp(SCD).
GIẢI


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Để ý O là hình chiếu của S lên mặt đáy nên góc giữa SA và mặt phẳng đáy là góc .

O là tâm hình vuông ABCD nên O là trung điểm chung của AC, BD, tức . Thế thì nếu gọi I là
trung điểm của CD thì OI là đường trung bình trong tam giác DCB, rút ra OI vuông góc với CD
(OI song song với BC).
Lấy K là hình chiếu của O trên SI thì K cũng là hình chiếu của O trên mp(SCD).
Dựng tia Ax song song với OK, thế thì . Lấy CK cắt Ax tại H thì H là hình chiếu của A trên
mp(SCD).
Vậy góc cần xác định là góc , có (xét tam giác ASH vuông tại H)
Lại xét tam giác SOA vuông tại O thì:

Do AH là ảnh của KO qua phép vị tự tâm O nên Lại áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông cho tam giác SOI vuông tại O:

Vậy .
3. Góc giữa mp(P) và mp(Q):
a) Nguyên lí xác định và tính:


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

•
•

•
•

Định nghĩa: Tìm a, b lần lượt vuông góc với mp(P) và mp(Q) thì góc giữa a và b là góc
cần tìm.
Dựa vào mặt phẳng phụ: Nếu mp(P) cắt mp(Q) theo giao tuyến d thì xác định mp(R)
vuông góc với d, cắt mp(P) và mp(Q) lần lượt theo các giao tuyến m, n. Khi đó, góc giữa
m, n là góc cần tìm.

Bổ đề diện tích: Xét hình H thuộc mp(P). Dựng hình chiếu H’ của hình H lên mp(Q). Kí
hiệu [X] là diện tích của đối tượng X. Thế thì góc cần tìm có cos bằng .
Tổng quát định lí 2 mp vuông góc: Nếu mp(P) cắt mp(Q) theo giao tuyến d thì lấy M
thuộc mp(P), hạ MH vuông góc với d và gọi R là hình chiếu của M trên mp(Q). Khi đó
góc cần tìm là góc . Đây cũng là cách thường dùng để khai thác giả thiết góc giữa hai
mặt phẳng.
b) Các dạng thường gặp khi xét góc giữa mặt phẳng (ABC), (DBC) (giao tuyến
BC):

Dạng 1: ABC và DBC là các tam giác cân chung đáy BC:
•

Phương pháp: Gọi M là trung điểm BC. Khi đó góc cần tìm là góc giữa AM, DM.

•

Chứng minh:

Tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao⇒.
Tương tự, nên mp(ADM) vuông góc với mp(ABC) và mp(DBC).
.
Góc cần tìm là góc giữa AM, DM.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Dạng 2: ( làm tương tự):
•

Phương pháp: Kẻ thì là góc cần tìm.

•

Chứng minh:

BC vuông góc với AH, AD.
vuông góc với mp(ABC) và mp(DBC).
.
Góc cần tìm là góc nhọn).
B ÀI TẬP:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt đáy, . Biết tam giác BCD đều, cạnh . Tính góc
giữa mp(ABC) và mp(BCD).
PHÂN TÍCH: Có tam giác đều thì khai thác đường đặc biệt trong tam giác là ý tưởng dễ nghĩ tới.
GIẢI. Gọi M là trung điểm BC.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Theo giả thiết, tam giác DBC đều nên trung tuyến DM cũng là đường cao
BC thuộc mp(BCD), lại có (giả thiết) nên , suy ra , tức
Vậy góc cần tìm là góc . Xét tam giác ADM vuông tại D:

II – Các kết quả, bài toán kinh điển về khoảng cách và thể tích:
1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng: (xác định hình chiếu của điểm lên mặt

phẳng với quy tắc đã đề cập ở b).

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Nguyên lí xác định:
• Có mp(P) chứa đường thẳng b, a⊥mp(P) tại A: Lấy H là hình chiếu của A trên b thì AH

là khoảng cách cần xác định:


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

•

Có mp(P) chứa đường thẳng b, a cắt mp(P) tại A: Qua A kẻ b’ song song với b. Gọi
mp(Q) là mp chứa a và b’ thì khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì đến
mp(Q).

•

a và b đều cắt mp(P) mà không nằm trên mp(P): Dựng hình chiếu b’ của b trên mp(P).
Lấy A là giao điểm của a và mp(P). Khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ A đến b’.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

B ÀI TẬP:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, . Dựng và tính khoảng cách giữa:
a) SB và CD.
b) SC và BD.
c) SC và AB.
PHÂN TÍCH:
a) Để ý CD thuộc mp(ABCD), SB cắt mp(ABCD) tại B nên khoảng cách cần tìm là khoảng

cách từ một điểm trên CD đến mặt phẳng gồm SB và đường thẳng qua B song song với
CD. Mặt phẳng này thực chất là mp(SAB).

b) Để ý SC thuộc mp(SCA) mà .
c) Phát hiện và SC cắt mp(SAD) tại S.
Giải


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) Tứ giác ABCD là hình vuông nên AB song song với CD, vậy khoảng cách cần tìm cũng

chính là khoảng cách giữa CD và mp(SAB). Từ giả thiết, ta đã có . Mặt khác BC thuộc
mp(ABCD), .Vậy khoảng cách cần tìm là
b) Gọi O là tâm hình vuông ABCD, thế thì O là trung điểm chung của AC, BD, tức
• BD thuộc mp(ABCD), . Lại để ý (ABCD là hình vuông) nên .
• BD cắt mp(SAC) tại O nên khoảng cách cần tìm cũng chính là khoảng cách OH từ O đến
SC.
• .
c) (ABCD là hình vuông), lại có (SA vuông góc với mặt đáy) nên , suy ra là hình chiếu
của SC lên mp(SCD). Vậy khoảng cách cần tìm là khoảng cách AK từ A đến SD. Áp
dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác SAD vuông tại A.:

3. Thể tích
•
•

Thể tích hình chóp: diện tích đáy nhân chiều cao.
Thể tích hình lăng trụ: diện tích đáy nhân chiều cao.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc , tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, H là trung điểm AB.
a)

b)
c)
d)

Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Tính tan góc giữa SD và mp(ABCD).
Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp S.ABG.
Tính khoảng cách giữa SD và AB.

PHÂN TÍCH:
a) Mấu chốt là tìm ra hình chiếu H của S trên mặt đáy, điều khá rõ ràng dựa vào giả thiết

mp(SAB) vuông góc với mặt đáy và định lí về hai mặt phẳng vuông góc.
b) Dựa vào câu a, suy ra hình chiếu của SD trên mp(ABCD), từ đó mọi thứ rõ ràng.
c) Mấu chốt là tìm ra khoảng cách từ G đến mp(SAB) có chứa điểm đặc biệt H. Theo tính

chất trọng tâm, tịnh tiến điểm G về trung điểm BC do 2 điểm này cùng thuộc đường
thẳng qua S thuộc mp(SAB), Lại để ý CD song song với AB nên khoảng cách cần tìm
chính là khoảng cách từ C đến mp(SAB).
d) AB thuộc mặt đáy, SC cắt mặt đáy tại C, đồng thời CD song song với AB nên khoảng
cách cần tìm chính là khoảng cách từ một điểm trên AB (ta chọn điểm đặc biệt H) đến
mp(SCD). Tinh ý nhận ra thêm tam giác SCD vuông tại C cho ta lời giải.
G IẢI


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của , kết hợp với , suy ra ABC, ADC, SAB là

các tam giác đều bằng nhau (cạnh a) nên cùng có đường cao , diện tích . Suy ra diện tích

hình thoi ABCD là .
• Gọi H là trung điểm AB thì do tam giác SAB đều nên trung tuyến SH cũng là đường cao.
Lại do mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) theo giao tuyến AB nên suy ra SH vuông
góc với mặt đáy.
• Thể tích khối chóp cần tìm:
b) H là hình chiếu của S lên mặt đáy (chứng minh trên)góc giữa SD và mp(ABCD) là góc .
• Áp dụng định lí cosin cho tam giác HAD:

• Xét tam giác SHD vuông tại H thì
c) Gọi E là trung điểm CD thì theo tính chất trọng tâm, SG qua E và (CE song song với

AB). Lại để ý (SH vuông góc với mặt đáy), (ABC là tam giác đều) nên , tức . Vậy .
d) AB thuộc mặt đáy, SD cắt mặt đáy tại D nên khoảng cách cần tìm cũng chính là khoảng
•

•

cách từ H trên AB đến mp(SCD).
AB song song CD do ABCD là hình thoi, suy ra HC cũng vuông góc với CD, lại có SH
vuông góc với CD (SH vuông góc với mặt đáy) nên CD vuông góc với mp(SHC) . Vậy
khoảng cách cần tìm là khoảng cách HK từ H đến SC.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác SHC vuông tại H:

Bài 4: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. ABC là tam giác cân
tại A có trung tuyến . SB tạo với mp(ABC) góc u và tạo với mp(SAD) góc v.


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chứng minh thể tích khối chóp S.ABC là:

PHÂN TÍCH: Đề bài cho SB cạnh có góc tạo với hai mặt phẳng khác nên nghĩ tới việc đặt để tính thể

tích với rồi biến đổi để có đẳng thức đề bài yêu cầu.
GIẢI. Đặt .

Theo đề bài:⇒⇒.
Tam giác ABC cân tại A có AD là trung tuyến ⇒. Lại có (do ) nên
Tam giác SAB vuông tại A
Tam giác SBD vuông tại D
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại D:
Thể tích khối chóp S.ABC:

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC và trên SA, SB, SC lần lượt lấy không trùng S. Chứng minh:


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

PHÂN TÍCH: Đề bài không cho biết đường cao của các khối chóp được liên hệ thể tích nên việc dựng

các đường cao ấy là hiển nhiên. So sánh hai đường cao theo Thales, so sánh diện tích mặt đáy
tam giác theo tỉ số cạnh khi chúng có góc ở đỉnh chung.
GIẢI

Do thẳng hàng nên hình chiếu của chúng trên mp(SBA) cùng thuộc đường thẳng qua S.
Gọi H, lần lượt là hình chiếu của trên mp(SBA) thì thẳng hàng. Áp dụng định lý Thales cho
tam giác SCH ( song song với CH):
•
•

Để ý , suy ra:

Vậy

Bài : Tính thể tích khối tứ diện ABCD có và .
PHÂN TÍCH:

Bài toán thiếu yếu tố đường cao, nhưng khi dựng đường cao thì rất khó liên kết với dữ kiện góc.
Ta nghĩ đến việc so sánh thể tích cần tính với thể tích một khối tứ diện dễ tính hơn và có liên hệ
trực tiếp với các góc đã cho. Công thức bài trở nên hữu dụng.
GIẢI. Trên các tia lần lượt lấy thỏa .


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Các tam giác là các tam giác cân tại A có một góc nên chúng là các tam giác đều là tứ diện đều
cạnh .
Gọi M là trung điểm , H là trọng tâm tam giác . Theo khái niệm trục đa giác, ta có H là hình
chiếu của A trên mp().
Tam giác đều nên trung tuyến BM đồng thời là đường cao. Lại do tam giác này cạnh nên độ dài
đường cao tương ứng:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AHB’ vuông tại H:
Thể tích tứ diện :
Theo đẳng thức bài :
Bài : Cho tứ diện ABCD có . Chứng minh.
PHÂN TÍCH: Việc tường minh hóa giả thiết là rõ ràng, nó không chỉ giúp xác định góc và khoảng

cách giữa AD, BC mà còn gợi ra ý tưởng xác định thể tích ABCD qua một khối trung gian. Lưu
ý diện tích tam giác có thể tính bằng nửa tích hai cạnh nhân sin góc giữa hai cạnh đó.
GIẢI

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Lấy E thỏa BCDE là hình bình hành. Thế thì và
Ta có: .


HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

MỤC LỤC