Đề thi CK Đại số tuyến tính

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN. CA 2
√
√
2 +6 i
3 + 2 i) z +
= 3 iz + ( 3 + i) ( 2 − i) . Tính 10 z.
1 +i




1 1 1
−2 1 2



0 1 
Câu 2 : Cho hai ma trận A =  1 2 1  và B =  3
 .
1 1 2
1
4 2
Tìm ma trận X thỏa 3 B + AX = I, trong đó I là ma trận đơn vò cấp 3.
Câu 1 : Cho z thỏa phương trình (

Câu 3 : Trong IR3 , cho tích vô hướng
( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = 4 x1 y1 + 5 x2 y2 + 2 x2 y3 + 2 x3 y2 + 2 x3 y3 .

Tìm khoảng cách giữa hai vécto u = ( 1 , 2 , −1 ) và v = ( 2 , 1 , 3 ) .
Câu 4 : 
Tìm cơ
x1



 2 x
1

7
x

1


5 x1

sở
+
+
+
+

và số
x2
x2
4 x2
3 x2

chiều của không gian
− x3 − 2 x4 =
− 3 x3 − 5 x4 =
− 8 x3 − 1 3 x4 =
− 7 x3 − 1 2 x4 =

nghiệm của hệ
0
0
0
0

Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
 t ma trận củ
 a f trong cơ sở
1 −1 2
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) } là A = 
3
5 
 2
.
3
7
8
Tìm ma trận của f trong cơ sơ E1 = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } .

Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân của f sinh ra bởi hai vécto ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 )
và f ( 1 , 1 , 0 ) = ( −1 , −1 , 0 ) . Tìm tất cả các trò riêng và vécto riêng của ánh xạ f .

Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x21 + 8 x22 + 2 x23 − 2 x1 x2 + 4 x1 x3 + 6 x2 x3 về dạng chính

tắc bằng biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp). Nêu rõ phép đổi biến.
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X1 , X2 ∈ IR2 là hai vécto cột, độc lập tuyến tính. Biết
A · X1 = X2 , A · X2 = X1 . Tìm tất cả trò riêng và vécto riêng của A100 .
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN


ðáp án ðề ñại số tuyến tính 2011 – Ca 2.
Thang ñiểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 ñiểm, các câu còn lại 1 ñiểm.
Nếu cách làm ñúng, ñáp án sai, thì vẫn cho ñiểm tùy theo mức ñộ.
3 − 3i 3 2 
 π 
 π 
=
 cos  −  + i sin  −  
2 
3 −i
 12 
 12  

 π

 π

− + k 2π 
− + k 2π  



3 2
12

⇒ 10 z = 10
 cos  12
 + i sin 
,k
2 
10
10



 






 7 −3 −6 
3


−
1
Câu 2: AX = I − 3B =  −9 1 −3  ⇒ X = A . ( I − 3B ) =  −1

 −3 −12 −5 
 −1




Câu 1: z =

= 0,1,..., 9

−1 −1 7 −3 −6   33 2 −10 

 

1 0  −9 1 −3  =  −16 4
3 
 −3 −12 −5   −10 −9 1 
0 1 
 


Câu 3: v − u = (1, −1, 4 ) ⇒|| ( v − u ) ||= v − u, v − u = 25 = 5
1

Câu 4: Viết ở dạng ma trận:  2
7

5

1 −1 −2 0   1 1 −1 −2 0    x1 = − x4
 
 
1 −3 −5 0   0 −1 −1 −1 0    x2 = x4
→
⇒

4 −8 −13 0   0 0 2 4 0    x3 = −2 x4
 

3 −7 −12 0   0 0 0 0 0    x4 ∈ R

Câu 5: Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E1. Tìm P ta giải hệ:
1 1 1 1 1 1
 2 2 1




1 1 0 2 1 1 suy ra P =  0 −1 0  suy ra ma trận của f trong cơ sở E1 là:
1 0 1 1 2 1
 −1 0 0 

2
B = P −1 AP =  1
 −6
Câu 6: Ta có: f

−3
−1 −2
3 11 
(1,1, 2 ) = 0, f (1, 2,1) = 0 suy ra (1,1,2)T và (1,2,1)T là 2 VTR ứng với TR λ = 0
1

f (1,1, 0 ) = − (1,1, 0 ) nên (1,1,0)T là VTR ứng với TR λ = −1
T

T

T

Vì 3 vecto (1,1,2) , (1,2,1) , (1,1,0) có hạng bằng 3 nên:

 E = (1,1, 2 )T , (1, 2,1)T
 λ =0

T
 Eλ =−1 = (1,1, 0 )


(không còn trị riêng khác nữa)
2

Câu 7:

2

x
8  32

 15 
f = 2  x1 − 2 + x3  +  x2 + x3  − x3
2
2
15  15



1
19

 x1 = y1 + 2 y 2 − 15 y 3

15
32 2
Phép biến ñổi:  x = y − 8 y
Dạng chính tắc: f = 2 y12 + y22 −
y3
 2
2
3
2
15
15

 x3 = y 3


x2

 y1 = x1 − 2 + x3

8

y2 = x2 +
x3

Hoặc phép biến ñổi 

15
 y 3 = x3



Câu 8: ta có: A2 X 1 = X 1, A2 X 2 = X 2 nên X1,X2 là 2 vecto riêng ứng với TR λ=1 của A2, do ñó X1,X2
cũng là 2 vecto riêng ứng với TR λ=1 của ma trận A100.
Vì X1,X2 ñltt nên A100 không còn TR nào khác. Vây: Eλ =1 ( A100 ) = X 1 , X 2