Một số nguyên lý cơ học

CHƯƠNG 4. MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ HỌC
♣ Các khái niệm cơ bản (số bậc tự do của cơ hệ, lực suy rộng,...)
♣ Nguyên lý công ảo
♣ Nguyên lý d’Alembert-Lagrange

♣ Nguyên lý d’Alembert
♣ Phương trình Lagrange loại 2

Người trình bày: Phạm Thành Chung
Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

1 / 91


Nơi lấy bài giảng và hỏi đáp trực tuyến

/>hoặc
/>
Email liên hệ:

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

2 / 91


Nội dung
1

Các khái niệm cơ bản

2

Nguyên lý công ảo

3

Nguyên lý d’Alembert

4

Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5

Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

3 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

Nội dung
1

Các khái niệm cơ bản
Liên kết và phân loại liên kết. Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do
Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ
Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

2

Nguyên lý công ảo

3

Nguyên lý d’Alembert

4

Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5

Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

3 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Nội dung
1

Các khái niệm cơ bản
Liên kết và phân loại liên kết. Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do
Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ
Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

2

Nguyên lý công ảo

3

Nguyên lý d’Alembert

4

Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5

Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

3 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Định nghĩa về liên kết
Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển động của các chất điểm và các
vật rắn thuộc hệ.
Các điều kiện ràng buộc này:
thường được biểu diễn dưới dạng các phương trình hoặc các bất
phương trình.
độc lập với các lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của
chuyển động.
Tiếp theo: Ba thí dụ về liên kết

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

4 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 1 về liên kết
O

α

A

Tời kéo vật nặng

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

5 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 1 về liên kết
O
v

ω
α

A

Tời kéo vật nặng
v = rω

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

=⇒

f (s, ϕ) = s − r ϕ = 0

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

(1)

Học kỳ 20132

5 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 2 về liên kết

Bánh xe lăn không trượt

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

6 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 2 về liên kết

C

*

Bánh xe lăn không trượt

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

6 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 2 về liên kết

C

*

Bánh xe lăn không trượt
vC = r ω

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

=⇒

f (xC , ϕ) = xC − r ϕ = 0

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

(2)

6 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 3 về liên kết
y

x

Cơ cấu 4 khâu bản lề

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

7 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 3 về liên kết
y

r
l2

ϕ2
r
l1

r
l3

ϕ1

r
l0

ϕ3
x

Cơ cấu 4 khâu bản lề
(3)

l1 + l2 = l0 + l3
=⇒

f1 (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) = l1 cos ϕ1 + l2 cos ϕ2 − l3 cos ϕ3 − l0 = 0

f2 (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) = l1 sin ϕ1 + l2 sin ϕ2 − l3 sin ϕ3
=0

(4)

Dạng thường gặp của phương trình liên kết

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

7 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Dạng thường gặp của phương trình liên kết
fk (q1 , q2 , . . . , qm ) = 0 ,

(k = 1, 2, . . . , r )

(5)

Khi các liên kết được biểu diễn dưới dạng1 phương trình (5) thì chúng
được gọi là liên kết hình học, giữ và dừng.
Tổng quát:

fs (qk , q˙ k , t) ≥ 0

(6)

Phân loại liên kết

1

phương trình ràng buộc các toạ độ suy rộng của hệ

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

8 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Phân loại liên kết
Liên kết giữ và liên kết không giữ
fs (qk , q˙ k , t) > 0 : liên kết không giữ
fs (qk , q˙ k , t) = 0 : liên kết giữ
Liên kết hôlônôm2 (liên kết hình học) và liên kết không hôlônôm
fs (qk , q˙ k , t) = 0 : liên kết không hôlônôm
fs (qk , t) = 0 : liên kết hôlônôm

Liên kết dừng và liên kết không dừng3
fs (qk , t) = 0 : liên kết không dừng
fs (qk ) = 0 : liên kết dừng
Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do
2
3

/> />
Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

9 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do
Cơ hệ tự do là cơ hệ mà vị trí và vận tốc của các chất điểm và các vật
rắn thuộc hệ có thể nhận các giá trị tuỳ ý.
Cơ hệ không tự do (cơ hệ chịu liên kết): (ngược lại...).
Hệ hôlônôm: một cơ hệ không tự do mà chỉ chịu các liên kết hôlônôm.
Hệ không hôlônôm: (ngược lại) nếu trong cơ hệ tồn tại ít nhất một liên
kết không hôlônôm.
Trong kỹ thuật ta thường hay gặp các cơ hệ chịu các liên kết hôlônôm
(liên kết hình học), giữ và dừng.

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

10 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Nội dung
1

Các khái niệm cơ bản
Liên kết và phân loại liên kết. Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do
Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ
Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

2

Nguyên lý công ảo

3

Nguyên lý d’Alembert

4

Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5

Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

10 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo
Di chuyển khả dĩ 4 của chất điểm là di chuyển vô cùng bé của chất điểm
từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết. Ký hiệu
d r.
Di chuyển ảo5 của chất điểm là di chuyển vô cùng bé tưởng tượng của
chất điểm từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết
tại thời điểm khảo sát. Ký hiệu δr .
Thí dụ

4

Nghĩa của từ “khả dĩ”: có khả năng, coi như, xem như, có thể chấp nhận
Nghĩa của từ “ảo”: không có thật, tưởng tượng, “ảo ảnh”, “thế giới ảo”, “máy tính
ảo”, “cái này ảo quá!”
5

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

11 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Thí dụ
Xét một chất điểm P di chuyển trên sàn của một thang máy đang chuyển
động lên phía trên với vận tốc u. Chất điểm chịu liên kết không dừng
(phương trình sàn thang máy). Di chuyển ảo δr nằm trên sàn thang máy.
Di chuyển thực của chất điểm P là αu (với α > 0). Di chuyển khả dĩ của
điểm P là dr = δr + αu và d r = δr − αu.
z

αu

r

P
r(t)

r
r
dr = d′r
r
δr
r
d′r

r
−α u

O

y

x
Một số chú ý
Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

12 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Chú ý
Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng bé phù hợp với liên kết, không
quan tâm đến lực tác dụng, còn di chuyển thực vô cùng bé vừa phù
hợp với liên kết vừa bị chi phối bởi lực tác dụng.
⇒ Di chuyển thực vô cùng bé là trường hợp riêng của di chuyển khả
dĩ.
Di chuyển ảo là di chuyển vô cùng bé tưởng tượng mà phù hợp với
liên kết tại thời điểm khảo sát
⇒ Trong phương trình liên kết, thời gian t xem là cố định, δt = 0.
Nếu liên kết dừng thì các di chuyển ảo sẽ trùng với các di chuyển khả
dĩ và khi đó di chuyển thực vô cùng bé là một trường hợp riêng của
di chuyển ảo.
Nếu liên kết là không dừng thì di chuyển ảo là di chuyển hoàn toàn
do tưởng tượng, không thể xảy ra trong thực tế. Khi đó di chuyển
thực vô cùng bé không nằm trong tập di chuyển ảo.
Phương trình ràng buộc các thành phần di chuyển ảo
Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

13 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Phương trình ràng buộc các thành phần di chuyển ảo
Một chất điểm P dịch chuyển trên một mặt Σ đang chuyển động. Phương
trình liên kết là phương trình của Σ di chuyển trong không gian ba chiều
Oxyz
f (x, y , z, t) = 0
(7)
∂f
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz +
dt = 0
(8)
⇒ df =
∂x
∂y
∂z
∂t
z

P

δr

r
P′

r
r

r
r′

r
k

y

r
i O

r
j

x
Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

14 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản

df =

∂f
∂x dx

+

∂f
∂y dy

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

+

∂f
∂z dz

+

∂f
∂t dt

=0

Trong đó các thành phần dx, dy, dz là tọa độ của di chuyển thực dr .
Tại thời điểm t, xét tập các vị trí của điểm P’ rất gần với P và phù hợp với
liên kết

(9)

r = xi + yj + zk
r = r + δr = (x + δx)i + (y + δy )j + (z + δz)k
z

P

(10)

δr

r
P′

r
r

r
r′

r
k

y

r
i O

r

j

x
Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

14 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Do toạ độ điểm P’ phải thoả mãn phương trình liên kết tại thời điểm t nên
f (x + δx, y + δy , z + δz, t) = 0
khai triển Taylor

⇒

(11)

f (x + δx, y + δy , z + δz, t) = f (x, y , z, t)+
∂f
δx +
+ ∂x

∂f

∂y δy

+

∂f
∂z δz

bỏ qua VCB bậc cao, sử dụng (7)

∂f
∂x δx

⇒

z

+ ··· = 0

P

+

∂f
∂y δy

+

∂f
∂z δz

=0

δr

r
P′

r
r

r
r′

r
k

y

r
i O

r
j

x
Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

14 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

∂f
∂x δx

+

∂f
∂y δy

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

+

∂f
∂z δz

=0

(12)

(12) là phương trình ràng buộc của di chuyển ảo δr .
Di chuyển ảo δr còn được gọi là biến phân của véctơ r .
Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

14 / 91


§1. Các khái niệm cơ bản

1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn
Di chuyển khả dĩ của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé của vật rắn
từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết. Ký hiệu
d rC , d ϕ, ...
Di chuyển ảo của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé tưởng tượng
của vật rắn từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên
kết tại thời điểm đang xét. Ký hiệu δrC , δ ϕ, ...
z
y

δϕ

δ yC
δϕ

yC

C

S

b)

a)

O

xC

⇒ Di chuyển ảo của cơ hệ6
6

ϕ
δ xC

x

Số bậc tự do của cơ hệ

Khi cơ hệ chỉ chịu các liên kết dừng thì di chuyển ảo sẽ trùng với di chuyển khả dĩ.

Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học

Học kỳ 20132

15 / 91