cac dang toan thi vao 10

môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng I:

rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai

I/ Biểu thức số học
Phơng pháp:

Dùng các phơng pháp biến đổi căn thức(đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng;
rút gọn phân số) để rút gọn biểu thức.
Bài tập:
Thực hiện phép tính:

1) 2 5 125 80 + 605 ;
2)

10 + 2 10
5+ 2

+

8
1 5

;

3) 15 216 + 33 12 6 ;

2 8 12
5 + 27

4)
;
18 48
30 + 162
2 3
2+ 3
+
;
2+ 3
2 3

5)

(

8)

11) 3 5 + 3 + 5 ;
II/ Biểu thức đại số:

2 + 2+ 3
6+4 2

2 + 6+4 2

)

1

+

2 2 3

;

64 2

+

2 64 2

;

2

5 + 2 8 5
2 5 4

;

17) 14 8 3 24 12 3 ;
18)

10 + 2

10) 2 3 ( 5 + 2 ) ;

1

14)

16) (

)

9) 8 3 2 25 12 + 4

13) ( 5 + 2 6 ) ( 49 20 6 ) 5 2 6 ;

15)

16
1
4
3
6
6) 2
;
3
27
75
4 3
7) 2 27 6 + 75 ;
3 5
3 5. 3+ 5

12) 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 ;

192 ;

19)
20)

(

4
1
6
+
+
;
3 +1
32
3 3

) (

)

3

2 +1
3

1

2 1

+

3 +1 1+

3

3
3 +1

.

Phơng pháp:

-

Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức;
giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị
nhỏ nhất ,lớn nhấtDo vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại
bài.

1

môn toán

ôn thi vào lớp 10

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
1
a +1
+
:
Cho biểu thức: P =
a 1 a 2 a + 1
a a
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải: a/ Rút gọn P:

1
1
a +1
P=
+
- Phân tích:
:
a 1 ( a 1) 2
a ( a 1)
a > 0;
- ĐKXĐ:
a 1 0 a 1
1+ a

( a 1) 2
.
- Quy đồng: P =
a ( a 1)
a +1
ví dụ:

P=

a 1

.
a
b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
1
- Chia tử cho mẫu ta đợc: P = 1
.
a
1
1(ktm)
- Lý luận: P nguyên
nguyên a là ớc của 1 là 1 . a =
a
1 a = 1
Vậy với a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.
- Rút gọn:

Bài tập:

x

1
A =

2 2 x

Bài 1: Cho biểu thức

x x x + x
ữ
ữ x + 1 x 1 ữ
ữ



a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 2: Cho biểu thức

x
2
1
10 x
B =
+
+
ữữ: x 2 +
ữ
x +2
x +2
x 4 2 x

a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.

C=

Bài 3: Cho biểu thức

1
3
1

+
x 1 x x +1 x x +1

a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 4: Rút gọn biểu thức :

D=

x + 2 + x2 4
x +2 x 4
2

+

x + 2 x2 4
x + 2 + x2 4
2

môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài5: Cho các biểu thức:

2x 3 x 2
và Q =
P=
x 2

x 3 x + 2x 2
x +2

a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 6: Cho biểu thức:

P=

2x + 2 x x 1 x x + 1
+

x
x x
x+ x

a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

8
chỉ nhận đúng một giá trị
P

nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức:

3x + 9x 3
1
1 1
P =
+
+
ữ
ữ: x 1
x
+
x

2
x

1
x
+
2

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
1
b) Tìm các số tự nhiên x để
là số tự nhiên;
P
c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .
Bài 8: Cho biểu thức :


x +2
x +3
x +2
x
P =


:
2

ữ
ữ
x 3ữ
x +1ữ
x 5 x +6 2 x



a) Rút gọn biểu thức P;
Tìm x để

1
5

P
2

Bài 9: Cho biểu thức :
1 a a
1 + a a

+ a .
a
P =
1 a
1+ a

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P< 7 4 3
Bài 10: Cho biểu thức:
2 x
x
3x + 3 2 x 2
:
+

1
P =
x 3 x 9 x 3
x +3

a) Rút gọn P
1
b) Tìm x để P <
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

3


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 11: Cho biểu thức :
x3 x
9 x
x 3
1 :


P =
x9
x+ x 6 2 x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1

x 2

x + 3

Bài 12: Cho biểu thức :
15 x 11 3 x 2 2 x + 3
P=
+

x + 2 x 3 1 x
x +3
a) Rút gọn P
1
b) Tìm các giá trị của x để P=
2
2
c) Chứng minh P
3
Bài 13: Cho biểu thức:
2 x
x
m2
P=
+

với m > 0
2
x +m
x m 4 x 4m
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x >1
Bài 14: Cho biểu thức :

a2 + a
2a + a
P=

+1
a a +1
a
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?
Bài 15: Cho biểu thức
a +1
a +1

ab + a
ab + a
+
1 :

+ 1
P =
ab 1
ab 1
ab + 1
ab + 1

a) Rút gọn P
3 1
1+ 3
a+ b=4

b) Tính giá trị của P nếu a = 2 3 và b =
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu

Bài 16: Cho biểu thức :
a a 1 a a +1
1 a + 1
a 1


+ a
+

P=
a a
a+ a
a a 1
a + 1

4


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì P > 6
Bài 17: Cho biểu thức:

2

a
1 a 1
a +1


P =


a +1

2
2
a
a

1



a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P < 0
c) Tìm các giá trị của a để P = -2
Bài 18: Cho biểu thức:

(

)

2

a b + 4 ab a b b a
.
a+ b
ab
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3
Bài 19: Cho biểu thức :
x+2
x
1 x 1
:
+
+
P =

2
x
x

1
x
+
x
+
1
1

x


a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0 x 1
Bài 20: Cho biểu thức :
2 x + x
1
x +2
: 1


P =
x + x +1
x
x

1
x

1



a) Rút gọn P
b) Tính P khi x = 5 + 2 3
Bài 21: Cho biểu thức:
3x

1

2
1
2

:
1
:
+

P=
2+ x 4 x 42 x 42 x




a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
Bài 22: Cho biểu thức :
2
3
3
x y
x

y
x

y

+ xy
:
+
P =
x y
y x
x+ y

a) Rút gọn P
b) Chứng minh P 0
Bài 23: Cho biểu thức :

1
3 ab
1
3 ab
a b
.
:
+

P =



a + b a a + b b a b a a b b a + ab + b
P=

(

)

5


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) Rút gọn P
b) Tính P khi a =16 và b = 4
Bài 24: Cho biểu thức:
2a + a 1 2a a a + a a a
.

P =1 +
2 a 1
1

a
1

a
a


a) Rút gọn P
6
b) Cho P =
tìm giá trị của a

1+ 6
2
c) Chứng minh rằng P >
3
Bài 25: Cho biểu thức:
x5 x

25 x
x +3
x 5

1 :

+
P =
x +5
x 3
x 25
x + 2 x 15
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1
Bài 26: Cho biểu thức:

( a 1). a b
3 a
3a
1
:

+

P =
a b 2a + 2 ab + 2b
a + ab + b a a b b
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức:
1 a +1
a + 2
1



:
P =
a a 2
a 1
a 1
a) Rút gọn P
1
b) Tìm giá trị của a để P >
6
Bài 28: Cho biểu thức:
1
x3 + y x + x y + y 3
1
2
1 1

+
.

+ + :
P =
y x + y x y
x 3 y + xy 3
x
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 29: Cho biểu thức :
x3
2x
1 x

.
P=
xy 2 y x + x 2 xy 2 y 1 x
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Bài 30: Cho biểu thức:
x+2
x +1
x +1
.
+

P =1 :

x

1
x

x

1
x
+
x
+
1



(

)

6


ôn thi vào lớp 10

môn toán

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3

Dạng ii:

' 2
'
đồ thị y = ax + b(a 0) & y = a x (a 0) và tơng quan giữa chúng

I/.iểm thuc ng ng i qua im.
im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x)
yA = f(xA).
Vớ d 1: Tỡm h s a ca hm s: y = ax2 bit th hm s ca nú i qua im A(2;4)
Gii:
Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.22
a=1
Vớ d 2: Trong mt phng ta cho A(-2;2) v ng thng (d) cú phng trỡnh:
y = -2(x + 1). ng thng (d) cú i qua A khụng?
Gii:
Ta thy -2.(-2 + 1) = 2 nờn im A thuc v o ng thng (d)
II.Cỏch tỡm giao im ca hai ng y = f(x) v y = g(x).
Bc 1: Honh giao im l nghim ca phng trỡnh f(x) = g(x) (*)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = f(x) hoc y = g(x) tỡm tung
giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (*) l s giao iểm ca hai ng trờn.
III.Quan h gia hai ng thng.
Xột hai ng thng :
(d1) : y = a1x + b1.
và
(d2) : y = a2x + b2.
a) (d1) ct (d2)
a1 a2.
b) d1) // (d2)
c) d1)

(d2)

d) (d1)

(d2)

a1 a2 = -1

IV.Tỡm iu kin 3 ng thng ng qui.
Bc 1: Gii h phng trỡnh gm hai ng thng khụng cha tham s tỡm (x;y).
Bc 2: Thay (x;y) va tỡm c vo phng trỡnh cũn li tỡm ra tham s .
V.Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = ax2 (a 0).
1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
ax2 = ax + b (#) ax2- ax b = 0
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax 2 tỡm
tung giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (#) l s giao im ca (d) v (P).
2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (#) ta có: a ' x 2 ax b = 0 = (a ) 2 + 4a ' .b

7


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) (d) v (P) ct nhau

phng trỡnh (#) cú hai nghim phõn bit > 0

b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau

phng trỡnh (#) cú nghim kộp = 0

c) (d) v (P) khụng giao nhau
phng trỡnh (#) vụ nghim < 0
VI.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b :
1.Biết quan h v h s gúc(//hay vuông góc) v i qua im A(x0;y0)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc để tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x0;y0 vo cụng thc y = ax + b tỡm b.
2.Bit th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2).
Do th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2) nờn ta cú h phng trỡnh:

Gii h phng trỡnh tỡm a,b.
3.Bit th hm s i qua im A(x0;y0) v tip xỳc vi (P): y = ax2
+) Do ng thng i qua im A(x0;y0) nờn cú phng trỡnh :
y0 = ax0 + b
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = ax2 nờn:
Pt: ax2 = ax + b cú nghim kộp
y 0 = ax0 + b
= 0

+) Giải hệ

tỡm a,b.

VII.Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).
+) Gi s A(x0;y0) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x 0;y0 vo
phng trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x 0;y0 nghim ỳng vi
mi m.
+) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x0;y0.

VIII.Tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ A; B
Gọi x1; x2 lần lợt là hoành độ của A và B; y1,y2 lần lợt là tung độ của A và B

Khi đó khoảng cách AB đợc tính bởi định lý Pi Ta Go trong tam giác vuông ABC:
AB =

AC 2 + BC 2 = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2

IX. Mt s ng dng ca th hm s:
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
bài tập về hàm số.

8


ôn thi vào lớp 10

môn toán

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1 . cho parabol (p): y = 2x2.
1. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
2. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
3. Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2m +1.
1
2

2
Bài 2 : Cho (P) y = x và đờng thẳng (d): y = ax + b .

1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3 : Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
x2
Bài 4 : Cho (P) y = và (d): y = x + m
4

1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm
có tung độ bằng -4
4. Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và
(P)
Bài 5 : Cho hàm số (P): y = x 2 và hàm số(d): y = x + m
1. Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
3. Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2
Bài 6 : Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc ( d1 ) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P): y = a.x 2 đi qua A
3. Xác định phơng trình đờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 )
4. Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trục tung . Tìm
toạ độ của B và C . Tính chu vi tam giác ABC?
1
4

2

Bài 7 : Cho (P) y = x và đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ

lần lợt là
-2 và 4
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2.Viết phơng trình đờng thẳng (d)
3.Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x [ 2;4] sao cho tam giác MAB
có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x [ 2;4] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4; y B ) tính y A; ; y B
;SMAB có diện tích lớn nhất M là tiếp điểm của đờng thẳng (d1)với (P)và(d1)//(d).

9


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x2
Bài 8 : Cho (P): y =
và điểm M (1;-2)
4

1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
HD: Phơng trình có dạng: y = ax + b mà a = m. thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2. vậy
PT: y = mx m 2.
2. Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
3. Gọi x A ; xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ
nhất và tính giá trị đó?
Bài 9 : Cho hàm số (P): y = x 2

1. Vẽ (P)
2. Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết ph. trình đờng thẳng
AB
3. Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
1
4

2
Bài 10 : Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) y = x

y = mx 2m 1

và

đờng thẳng (d):

1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
3. Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
1
4

2
Bài 11 : Cho (P): y = x

và điểm I(0;-2). Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số

góc m.
1. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với m R
2.Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất

Bài 12 : Cho (P): y =

3
x2
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ;1 ) có hệ số góc là m
2
4

1. Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
3. Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Bài 13 : Cho (P): y =

x
x2
và đờng thẳng (d): y = + 2
2
4

1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
3. Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 14 : Cho (P): y = x 2
1.Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết ph. trình đờng
thẳng AB
2.Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 14 : Cho (P): y = 2x 2
1.Vẽ (P)

2.Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2 . Xác định các giá
trị của m và n để đờng thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) và song song với AB

10


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 15 : Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình

( d1 ) : x + y = m
cắt
(d 2 ) : mx + y = 1

nhau tại một điểm trên (P) y = 2x 2 .

Dạng III:
Phơng trình và Hệ phơng trình
------------------------

A/ Phơng trình bâc nhất một ẩn giảI và biện luận:
+ Phơng trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0(a 0)

+ Giải và biện luận:
- Nếu a = 0; b = 0 thì phơng trình vô số nghiệm.
- Nếu a = 0; b 0 thì phơng trình vô nghiệm.
b
a

2
4m ( x 1) = x 4m + 1
ví dụ: Giải và bịên luận phơng trình sau:
2
2
2
Giải: 4m ( x 1) = x 4m + 1 4m x 4m x = 4m + 1 (4m 2 1) x = 4m 2 4m + 1
(2m + 1)(2m 1).x = (2m 1) 2
1
2m 1
Biện luận: + Nếu m thì phơng trình có một nghiệm: x =
2
2m + 1
1
+ Nếu m = thì phơng trình có dạng: 0.x = 0 nên phơng trình vô số nghiệm.
2
1
1
+ Nếu m = thì phơng trình có dạng: 0.x = 2.( ) 0 nên phơng trình vô
2
2

- Nếu a 0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất x =

nghiệm.
Bài tập: Giải và biện luận các phơng trình sau:

Bài 1 .
Bài 2 .
=0

m( x 1) m + x

=2
2
3
x + a 2 x a x + 2a
+
+
= 0( a 1) HD: Quy đồng- thu gọn- đa về dạng ax + b
a 1
a +1 1 a2

a+b x a+c x b+c x
4x
+
+
= 1
(a; b; c; 0; a + b + c 0) .
c
b
a
a+b+c
a+b x
a+cx
b+cx
4x
+1+
+1+
+1 = 3 +1

HD:
c
b
a
a+b+c
a+b x
a+cx
b+cx
4x

+1+
+1+
+1 = 4
c
b
a
a+b+c
a + b + c 4(a + b + c x)
1 1 1 4(a + b + c x )
(a + b + c x) + + =
(a + b + c x).

=0
a+b+c
abc
a+b+c
c b a

Bài 3 .

(a + b + c) 2 4abc
4
a+b+c

(a + b + c x)

= 0 (a + b + c x)
=0
a+b+c
abc
abc (a + b + c)

11


ôn thi vào lớp 10

môn toán

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nếu [...] 0 ( a + b + c x) = 0 x = a + b + c
Nếu [...] = 0 thì phơng trình vô số nghiệm.
b. hệ phơng trình bậc nhất có hai ẩn số:
ax + b = 0

+ Dạng tổng quát:

'
'
a x + b = 0

+ Cách giải:
- Phơng pháp thế.
- Phơng pháp cộng đại số.
+ Số nghiệm số:
- Nếu a a ' Thì hệ phơng trình có một nghiệm .
- Nếu a = a ' ; b = b ' ; c c ' Thì hệ phơng trình có vô nghiệm .
- Nếu a = a ' ; b = b ' ; c = c ' Thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm của mỗi phơng trình biểu diễn trênmặt phẳng toạđộ là đồ thị hàm số dạng:
y = ax + b

Ví dụ:

Giải các HPT sau:

2 x y = 3
Bài1:
3 x + y = 7
Giải:
2 x y = 3
+ Dùng PP thế:

3 x + y = 7

y = 2x 3
y = 2x 3 x = 2
x = 2

3x + 2 x 3 = 7
5 x = 10
y = 2.2 3 y = 1
x = 2
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
y =1
2 x y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2



+ Dùng PP cộng:
3 x + y = 7
3 x + y = 7
3.2 + y = 7
y =1
x = 2
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
y =1

2 x + 3 y = 2
Bài2:
Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
5 x + 2 y = 6
2 x + 3 y = 2
10 x + 15 y = 10
11 y = 22
y = 2

x = 2





5 x + 2 y = 6
10 x + 4 y = 12
5 x + 2 y = 6
5 x + 2.(2 = 6)
y = 2
x = 2
Vaọy HPT có nghiệm là
y = 2

12


m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
 2
 x + 1 + y = −1

Bµi 3:

 2 + 5 = −1
 x + 1 y

*§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thĨ sư dơng hai c¸ch gi¶i sau ®©y:
+ C¸ch 1: Sư dơng PP céng.
3
 2
 x + 1 + y = −1


 2 + 5 = −1
 x + 1 y

§K: x ≠ −1, y ≠ 0 .

2
1
3
y =1
y =1


y =2



x +1 = −
x = −
⇔
⇔ 2
⇔
⇔
⇔

2
2
5
 2


 2 + 5 = 1  x + 1 + 1 = 1  x + 1 = −4
 y = 1
 y = 1
 x + 1 y
3

x = −
2
Vậy HPT cã nghiƯm lµ 
 y = 1
+ C¸ch 2: Sư dơng PP ®Ỉt Èn phơ.
§K: x ≠ −1, y ≠ 0 .
1
1
= b . HPT ®· cho trë thµnh:
=a ;
§Ỉt
y
x +1
 1
3

 x + 1 = −2
 2a + 3b = −1 2a + 5b = 1 2a + 5.1 = 1 a = −2

x = −
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
2 (TM§K)

1
 2a + 5b = 1
2b = 2
b = 1
b = 1
 =1
 y = 1
 y
3

x = −
2
Vậy HPT cã nghiƯm lµ 
 y = 1
Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bµi tËp vỊ hƯ ph¬ng tr×nh:
Bµi 1: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
x − y = 3
7 x − 3 y = 5
a) 
b) 

1.1:
3 x − 4 y = 2
4 x + y = 2
 x − 2 2 y = 5
a) 
 x 2 + y = 2
Bµi 2 : Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
1.2.

13


m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 x + y = 3
2.1. a ) 
2 x − y = 7
 x 2 − 3 y = 1
2.2. a ) 
 2 x + y 2 = −2
Bµi 3 :

4 x + 3 y = 6
b) 
2 x + y = 4

3x − 2 y = 10


c)  2
1
 x − 3 y = 3 3

5 x 3 + y = 2 2
b) 
 x 6 − y 2 = 2

x + 3y = 1
Giải hệ phương trình  2
trong mỗi trường hợp sau
(m + 1) x + 6 y = 2m
a) m = -1
b) m = 0
c) m = 1
2
x
+
by
=
4

Bµi 4 a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình bx − ay = −5 có nghiệm là (1; -2)

b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm

(

2 − 1; 2

)

 2 x + y = 2
 x + 3 y = −1

Bµi 5 : Giải hệ phương trình sau: 

n
 2m
+
 m + 1 n + 1 = 2
a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình 
 m + 3n = −1
 m + 1 n + 1
2 x − ay = b

Bµi 6 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh ax + by = 1


a) Gi¶i hƯ khi a =3 ; b =-2
b) T×m a;b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ (x;y) = ( 2 ; 3 )
Bµi 7 : Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau: (pp ®Ỉt Èn phơ)
2
 1
x + y − x − y = 2
3 x − 4 y = −8

7.1) 
7.2) 
2 x + y = 2

 5 − 4 =3
 x + y x − y
x;y ≥ 2 )

3 x − 2 − 4 y − 2 = 3
7.3) 
(®k
2 x − 2 + y − 2 = 1

3 x − 3 y = 3 − 2 3
( x + 1) + 2( y − 2) = 5
7.4) 
;
7.5) 
;
7.6)
3( x + 1) − ( y − 2) = 1
 2 x + 3 y = 6 + 2
( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)
.

( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4)
( x − 1)( y − 2) + ( x + 1)( y − 3) = 4
3( x + y ) + 5( x − y ) = 12
7.7) 
;
7.8)
;

( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 1

 −5( x + y ) + 2( x − y ) = 11

14


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 4
x + y = 5

7.9)
;
1 1 = 1
x y 5
;

2
1
x+ y x y = 2

7.10)
5 4 =3
x + y x y

; 7.11)

5
5

1
2 x 3 y + 3x + y = 8


3 5 =3
2 x 3 y 3 x + y
8


c.Phơng trình bậc hai - hệ thức vi - ét

1.Cách giải ph ơng trình bậc hai :

= b 2 4ac
ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

* Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
-b -
-b +
x1 =
; x2 =
2a
2a
* Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

-b
2a

* Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
Chú ý: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức nghiệm thu

gọn:
b =

1
b và ' = b ' 2 ac
2

* Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
-b' - '
-b' + '
x1 =
; x2 =
a
a
* Nếu ' = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
* Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm.

-b'
a

2.Định lý Vi ét: Nu x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = 0

(a 0)

thỡ
S = x 1 + x2 = -

b
a

c
a
o lại: Nu cú hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p thì hai số đó l nghiệm (nu có )
của phơng trình bậc 2:
x2 S x + p = 0
p = x1x2 =

3. Toán ứng dụng định lý Viét

I. Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

15


m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------•

NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 =

c
a

c
a
• NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ ∆ ≥ 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n
( hoÆc x1 = n , x2 = m)

•

NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = -

II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2
Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S = x1 + x2 = 5
vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
 P = x1 x2 = 6

Theo hệ thức VI-ÉT ta có 

x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0

Bài tập áp dụng:
1.
x1 = 8
2.
x1 = 3a
3.
x1 = 36

vµ
vµ
vµ

x2 = -3
x2 = a
x2 = -104

4.

x1 = 1 + 2 vµ
x2 = 1 − 2
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của
một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 +
y2 = x1 +

1
và
x1

1
x2

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 1
1
1
x +x
3 9
+ x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
2 2
 x1 x2 

1
1
1
1 9
P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 +
= 2 +1+1+ =
x1
x2
x1 x2
2 2

S = y1 + y2 = x2 +

Vậy phương trình cần lập có dạng:
hay

y 2 − Sy + P = 0
9
9
y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3 x 2 + 5 x − 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương
trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 = x1 +

1
1
và y2 = x2 +

x2
x1

16


m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5
6

1
2

2
(Đáp số: y + y − = 0 hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 )

2/ Cho phương trình : x 2 − 5 x − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn
y thoả mãn y1 = x14 và y2 = x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương
trình đã cho).
(Đáp số : y 2 − 727 y + 1 = 0 )
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 sao cho :
(Đáp số

a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3

b) y1 = 2 x1 − 1 và y2 = 2 x2 − 1

a) y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0

b) y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0

)

III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
(§iều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0 )
x 2 − Sx + P = 0
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4
Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3x − 4 = 0
giải phương trình trên ta được x = 1 và x2 = −4
Vậy nếu a = 1 thì b = − 4
nếu a = − 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3
và
P=2
−
2. S = 3 và
P=6
3. S = 9
và
P = 20
4. S = 2x và
P = x 2 − y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41

2. a − b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VIÉT thì cần tìm tích của a v à b.
1

T ừ a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab =
2

2

2

81 − ( a 2 + b 2 )
2

= 20
 x1 = 4
 x2 = 5

2
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x − 9 x + 20 = 0 ⇔ 

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36

17

môn toán

ôn thi vào lớp 10

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 = 4
x2 = 9

2
Suy ra a,c l nghim ca phng trỡnh : x 5 x 36 = 0

Do ú nu a = 4 thỡ c = 9 nờn b = 9
nu a = 9 thỡ c = 4 nờn b = 4
2
2
2
2
Cỏch 2: T ( a b ) = ( a + b ) 4ab ( a + b ) = ( a b ) + 4ab = 169

a + b = 13
2
( a + b ) = 132
a + b = 13
*) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh :
x = 4
x 2 + 13x + 36 = 0 1
x2 = 9
Vy a = 4 thỡ b = 9
*) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh :
x = 4
x 2 13 x + 36 = 0 1

x2 = 9

Vy a = 9 thỡ b = 4
3) ó bit ab = 30, do ú cn tỡm a + b:
a + b = 11
a + b = 11

T : a2 + b2 = 61 ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112
2

*) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh:
x = 5
x 2 + 11x + 30 = 0 1
x2 = 6
Vy nu a = 5 thỡ b = 6 ; nu a = 6 thỡ b = 5
*) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh :
x = 5
x 2 11x + 30 = 0 1
x2 = 6

Vy nu a = 5 thỡ b = 6 ; nu a = 6 thỡ b = 5.

IV. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1
cho trớc .Tìm nghiệm thứ 2

Cách giải:

Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm:
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 (hoặc / 0 )
(*)

- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta thay luôn x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình , mà phơng trình bậc hai này
có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.

18


môn toán

ôn thi vào lớp 10

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Để tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm:
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách
2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc
nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ2
V. TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM
i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l các em phi bit bin i biu thc
nghim ó cho v biu thc cú cha tng nghim x1 + x2 v tớch nghim x1 x2 ỏp dng
h thc VI-ẫT ri tớnh giỏ tr ca biu thc
1.Phơng pháp: Bin i biu thc lm xut hin : ( x1 + x2 ) v x1 x2
Dạng 1. x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2
3
3

2
2
Dạng 2. x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) 3x1 x2
2

Dạng 3. x14 + x24 = ( x12 ) 2 + ( x22 ) 2 = ( x12 + x22 ) 2 x12 x22 = ( x1 + x2 )2 2 x1 x2 2 x12 x22
2

Dạng 4.

2

1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2

2
2
Dạng 5. x1 x2 = ? Ta bit ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) 4 x1 x2 x1 x2 =

(

Dạng 6. x12 x22 = ( x1 x2 ) ( x1 + x2 ) = ( x1 + x 2 ) 2 4 x1 x 2 .( x1 + x 2 )

)

( x1 + x2 )

2

4 x1 x2

2
2
Dạng 7. x13 x23 = ( x1 x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 x2 ) ( x1 + x2 ) x1 x2 =.
2

2
2
2
2
Dạng 8. x14 x24 = ( x1 + x2 ) ( x1 x2 ) =

2 3
2 3
2
2
4
2 2
4
Dạng 9. x16 + x26 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 x1 x2 + x2 ) = ..

[

]

Dạng 10. x16 x26 = ( x1 2 ) 3 ( x 2 2 ) 3 = ( x1 2 x 2 2 ) ( x1 2 ) 2 + x1 2 .x 2 2 + ( x 2 2 ) 2 = ...
Dạng 11. x15 + x25 = ( x13 + x 2 3 )( x1 2 + x 2 2 ) x1 2 .x 2 2 ( x1 + x 2 )
Dạng12: (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2

Dạng13

x1 + x 2 2a
1
1
S 2a
+
=
=
x1 a x 2 a ( x1 a )( x 2 a ) p aS + a 2

2. Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim
a) Cho phng trỡnh : x 2 8 x + 15 = 0 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh
1. x12 + x22
3.

x1 x2
+
x2 x1

1 1
+
x1 x2

(34)

2.

34
ữ

15

4. ( x1 + x2 )

8
ữ
15
2

(46)

b) Cho phng trỡnh : 8 x 2 72 x + 64 = 0 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:

19


môn toán

ôn thi vào lớp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1.

1 1
+
x1 x2

9
ữ
8

2
2
2. x1 + x2

(65)

c) Cho phng trỡnh : x 2 14 x + 29 = 0 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.

1 1
+
x1 x2

14
ữ
29

2
2
2. x1 + x2

(138)

d) Cho phng trỡnh : 2 x 2 3 x + 1 = 0 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1 1
+
x1 x2

(3)

2.

1 x1 1 x2
+
x1
x2

(1)

3. x12 + x22

(1)

4.

x1
x
+ 2
x2 + 1 x1 + 1

5
ữ
6

1.

5.

1
1

+
x1 1 x2 1

e) Cho phng trỡnh x 2 4 3 x + 8 = 0 cú 2 nghim x1 ; x2 , khụng gii phng trỡnh, tớnh
Q=

HD: Q =

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
5 x1 x23 + 5 x13 x2

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
6( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2
6.(4 3) 2 2.8
17
=
=
=
3
3
2
2
5 x1 x2 + 5 x1 x2
5 x1 x2 ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80



VI. TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI
NGHIM NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S

lm cỏc bi toỏn loi ny,các em lm ln lt theo cỏc bc sau:
1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2
(thng l a 0 v 0)
2- p dng h thc VI-ẫT:

x1 + x 2 =

b
c
; x1 .x 2 =
a
a

3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau ú
ng nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham s.Đó
chính là h thc liờn h gia cỏc nghim x1 v x2 không phụ thuộc vào tham số m.
2
Vớ d 1: Cho phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m 4 = 0 (1) cú 2 nghim x1 ; x2 . Lp h thc

liờn h

gia x1 ; x2 sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.

(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bớc 1)
Giải:
Bớc2: Theo h th c VI- ẫT ta cú :

20

m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2m
2


 x1 + x2 = m − 1
 x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⇔

m
−
4
 x .x =
 x .x = 1 − 3 (2)
 1 2 m − 1
 1 2
m −1

Bíc2: Rút m từ (1) ta có :
2
2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 =
m −1
x1 + x2 − 2

(3)

Rút m từ (2) ta có :
3
3
= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 =
m −1
1 − x1 x2

(4)

Bíc 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
2
3
=
⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2
2
Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minh

rằng biểu thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
2m

 x1 + x2 = m − 1

 x .x = m − 4
1 2
m −1


§K:( m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ) ;Thay vào A ta c ó:

A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3.

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)
0
+ 2.
−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1

Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập áp dụng:
2
11. Cho phương trình : x − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao

cho x1 ; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn:
B1:

Dễ thấy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0 . Do đó phương trình
2

2

đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 m = x1 + x2 − 2(1)
 x1 + x2 = m + 2

⇔

x1 x2 + 1
 x1.x2 = 2m − 1
 m = 2 (2)

21


«n thi vµo líp 10

m«n to¸n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------B3:

Từ (1) và (2) ta có:
x1 + x2 − 2 =

2

x1 x2 + 1
⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0
2

2

Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho
luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 x1 + x2 = −(4m + 1)
4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)
⇔

 x1.x2 = 2(m − 4)
4m = 2 x1 x2 + 16(2)

Từ (1) và (2) ta có:
−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0

VII.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA
NGHIỆM ĐÃ CHO

Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham
số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
 m ≠ 0

m ≠ 0
m ≠ 0
 m ≠ 0
⇔
⇔
⇔

2
2
2
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
 m ≥ −1
∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0
 ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0
6(m − 1)

x
+
x
=
1
2

m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 
và từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:
9(
m
−
3)

x x =
 1 2
m
6(m − 1) 9(m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m

(thoả mãn điều kiện xác định )

22


m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1 + x2 = x1.x2
2
2
Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0
⇔ 4 m 2 + 4m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0
⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥

7
4
 x1 + x2 = 2m + 1

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 

2
 x1 x2 = m + 2

và từ giả thiết 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 .

Suy ra
3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0
⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0
 m = 2(TM )
⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ 
 m = 4 ( KTM )
3

2

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Bài tập áp dụng
2
1. Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0
2

2. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 1
2
3. Cho phương trình : 3 x − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1
và ví dụ 2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2
nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.

23


m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn
đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng
nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví
dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤

16
15

−( m − 4)


 x1 + x2 =
m
(1)
-Theo VI-ÉT: 
x x = m + 7
 1 2
m
 x1 + x2 = 3 x2
⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: 
 2( x1 + x2 ) = 3 x1

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m 2 + 127m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128
BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96
 x1 + x2 = 1 − m
(1)
 x1 x2 = 5m − 6

- Theo VI-ÉT: 

 x1 = 1 − 3( x1 + x2 )
⇒ x1 x2 = [ 1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]

- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1
(2)
2
⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 1
m = 0
(thoả mãn ĐKXĐ)

m = 1

- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ 

BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m nên
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m − 2

x
+
x
=
1
2

3
(1)
- -Theo VI-ÉT: 
−
(3
m
+
1)
x x =
 1 2
3
- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra:
8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6
⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] .[ 3( x1 + x2 ) − 6]


(2)
8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6
⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36
m = 0
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ 
32
m=−
15


(thoả mãn )

VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

24


m«n to¸n

«n thi vµo líp 10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho phương trình:

ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có

2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
S = x1 + x2
P = x1 x2
Dấu nghiệm

x1
x2
m
±
trái dấu
P<0
±
±
cùng dấu,
P>0
cùng dương,
+
+
S>0
P>0
−
−
cùng âm
S<0
P>0
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:

∆
∆≥0
∆≥0
∆≥0
∆≥0

Điều kiện chung
∆ ≥ 0 ; P < 0.

∆≥0 ;P>0
∆≥0 ;P>0;S>0
∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.

2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m 2 − m − 6) ≥ 0
∆ = (m − 7) 2 ≥ 0∀m
∆ ≥ 0

2
⇔
⇔
⇔ −2 < m < 3


m −m−6
<0
P < 0
 P = (m − 3)(m + 2) < 0
P =

2

Vậy với −2 < m < 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
2
1. mx − 2 ( m + 2 ) x + 3 ( m − 2 ) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu.
2

2. 3mx + 2 ( 2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm.
2
3. ( m − 1) x + 2 x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

IX. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
A+ m
C=
(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*)
k − B
Thì ta thấy : C ≥ m (v ì A ≥ 0 ) ⇒ min C = m ⇔ A = 0
C ≤ k (v ì B ≥ 0 )

⇒ max C = k ⇔ B = 0

2
Ví dụ 1: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = 0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
 x1 + x2 = −(2m − 1)
 x1 x2 = −m

Bài giải: Theo VI-ÉT: 

25