CAO TUẤN tổng hợp chuyên đề hàm số PHẦN 1 gửi tặng HS 99

Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”

Cao Văn Tuấn – 0975306275

ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ
Biên soạn: CAO

VĂN TUẤN

SĐT: 0975306275

/>
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Để xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  , ta tiến hành theo các bước sau:
 Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
 Bước 2: Tính đạo hàm y ' của hàm số.
 Bước 3: Tìm các điểm tới hạn của hàm số, tức là:
- Tìm x  TXĐ để y  0 .
-

Tìm x sao cho hàm số y  f  x  không xác định.

 Bước 4: Tính các giới hạn.
 Bước 5: Lập bảng biến thiên (hoặc bảng xét dấu của y  ). Dựa vào bảng biến thiên suy ra kết
luận.
2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên
- Hàm số f đồng biến trên khoảng  a, b   f   x   0 với mọi x   a, b  và dấu bằng chỉ xảy ra
tại một số hữu hạn điểm.

- Hàm số f nghịch biến trên khoảng  a, b   f   x   0 với mọi x   a, b  và dấu bằng chỉ xảy ra
tại một số hữu hạn điểm.
Chú ý: Trong bài toán này còn sử dụng: Hệ quả của “định lí về dấu tam thức bậc hai”.
Cho tam thức bậc hai: ax2  bx  c  0 với a  0 .
  0
 f  x   0 với x   
.
a  0


-

f  x   0 với x 

  0

.
a  0

Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên (a ; b)
(trong đó ít nhất a hoặc b hữa hạn)
Bước 1: Đặt điều kiện: Hàm số y  f  x  có tập xác định D.
 Hàm số f đồng biến trên khoảng  a, b   f   x   0 với mọi x   a, b  và dấu bằng chỉ
xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
 Hàm số f nghịch biến trên khoảng  a, b   f   x   0 với mọi x   a, b  và dấu bằng
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

/>
1

Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Lưu ý: Trong nội dung chương trình thì điều kiện dấu bằng xảy ra tại một số hữu hạn điểm luôn
đúng nên bản chất bài toán chủ yếu là xử lí điều kiện “ f   x   0 với mọi x   a, b  ” hoặc
“ f '  x   0 với mọi x   a, b  ”
-

-

-

Bước 2: Biến đổi bất phương trình f   x   0 (hoặc f   x   0 ) về bất phương trình mới mà một
vế chỉ chứa ẩn (giả sử là vế trái) và một vế chỉ chứa tham số (giả sử là vế phải). (nói ngắn gọn là
“cô lập tham số”)
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái (vế chứa ẩn) với điều kiện ẩn đang xét. Lưu ý:
Tính hết tất cả đầu và cuối của các mũi tên bằng cách tính trực tiếp hay thông qua các giới hạn
cơ bản.
Bước 4: Sử dụng định lí sau để suy ra yêu cầu của bài toán: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là max f  x  , min f  x 
xD



f  x   g  m  với x  D  min f  x   g  m  .



f  x   g  m  với x  D  max f  x   g  m  .

xD

xD

xD

Chú ý: Ngoài việc sử dụng cách làm trên thì trong một số bài ta phải sử dụng định lí về dấu tam thức
bậc hai (khi không cô lập được tham số)
Bài toán 3: Xác định các giá trị của tham số để hàm số y  f  x  đơn điệu
trên một khoảng có độ dài K cho trƣớc
Loại bài toán này thường xảy ra đối với hàm số bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d

1

Ta có: y '  3ax2  2bx  c
- Hàm số 1 đồng biến trên khoảng  x1 ; x2  có độ dài bằng K
 y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và y '  0 trên khoảng  x1 ; x2  (hoặc y '  0 trên đoạn

a  0
a  0


   0
 x1; x2  ) và x2  x1  K    0
x x K

2
2
 2 1
 x1  x2   4 x1 x2  K

-

Hàm số 1 nghịch biến trên khoảng  x1 ; x2  có độ dài bằng K

 y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và y '  0 trên khoảng  x1 ; x2  (hoặc y '  0 trên đoạn

a  0
a  0


   0
 x1; x2  ) và x2  x1  K    0
x x K

2
2
 2 1
 x1  x2   4 x1 x2  K

3. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Cách 1 (thường dùng cho BĐT 1 biến):
 Bước 1: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f  x   0 ,   0,... với x  D .
 Bước 2: Lập bảng biến thiên của f  x  với x  D . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: (thường dùng cho BĐT 2 biến):
 Bước 1: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f  a   f  b 
 Bước 2:
Nếu a  b thì ta chứng minh hàm số đồng biến trên  a; b .

Nếu a  b thì ta chứng minh hàm số nghịch biến trên  a; b .

/>
2


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Chú ý 1: Khi ta chứng minh BĐT có dạng f  x   k với x   a; b :
 Nếu k  f  a  thì ta chứng minh hàm f đồng biến trên  a; b  .
 Nếu k  f  b  thì ta chứng minh hàm f nghịch biến trên  a; b  .
Chú ý 2: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f xác định trên K được
gọi là:
 Đồng biến trên K nếu với mọi x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .
 Nghịch biến trên K nếu với mọi x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cách 1 (Sử dụng quy tắc 1):
 Bước 1: Tìm tập xác định D.
 Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (tìm các nghiệm của phương trình f   x   0 và các điểm

x0  D mà tại đó hàm f liên tục nhưng f   x0  không tồn tại.
 Bước 3: Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra kết luận.
Cách 2 (Sử dụng quy tắc 2 – thường dùng đối với hàm lượng giác):
Sử dụng kết quả sau:
 f   x0   0
 Nếu 
thì hàm số f  x  đạt cực đại tại x0 .
 f   x0   0

 f   x0   0
 Nếu 
thì hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x0 .
 f   x0   0
Chú ý:
 Hàm số f  x  phải liên tục tại x0 mới có thể đạt cực trị tại x0 .
 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó
hàm số không có đạo hàm.
 f   x0   0
Trong cách 2 nếu 
thì quay trở lại làm theo cách 1 chứ không được tùy tiện kết luận có
 f   x0   0
hay không có cực trị. Do đó, trước khi định làm theo cách 2 học sinh nên thử xem có xảy ra
f   x0   0 hay không?
/>
3


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
2. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI x0

Cao Văn Tuấn – 0975306275

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f  x  đạt cực trị tại điểm x0 :
 Bước 1: Điều kiện cần
Giả sử hàm số đạt cực trị tại x0  f   x0   0

 *

Giải phương trình * tìm được các giá trị của tham số m.

 Bước 2: Điều kiện đủ
Với từng giá trị tham số m vừa tìm được ở bước 1 thử lại xem x0 có đúng là điểm cực trị thỏa
mãn yêu cầu bài toán không?
 Bước 3: Kết luận.
Chú ý: Không dùng trực tiếp kết quả sau để giải bài toán này mà chỉ dùng để thử lại (tức là dùng
trong bước 2).

 f   x0   0
 Hàm số f đạt cực đại tại điểm x0  
.

f
x

0



0


 f   x0   0
 Hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0  
.

 f   x0   0
Ví dụ: Hàm số y  x 4 đạt cực tiểu tại x  0 nhưng f   0   0 chứ không phải là f   0   0 .
Từ chú ý và ví dụ trên, ta nhân thấy rằng:
 Chúng ta chỉ sử dụng được kết quả trên khi chúng ta chứng minh được rằng f   x0   0 .
 Ngoài việc không dùng kết quả trên để giải thì ta còn không dùng quy tắc 2 để thử lại ở bước

2 trong trường hợp f   x0   0 .
3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC
Loại 1: Cực trị của hàm đa thức bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d

 a  0

Đạo hàm: y  3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  A  a  0 
Hàm số đa thức bậc ba chỉ xảy ra 2 trường hợp là hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị.
 Hàm số có cực trị (hay có 2 cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)
 y  0 có hai nghiệm phân biệt và y  đổi dấu qua 2 nghiệm đó
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt
A  a  0
  y '  0 (nếu hệ số A có tham số thì ĐK là 
).
 y '  0
B
2b

x

x




1
2

A
3a

Khi đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình y  0  
.
C
c
 x .x  
 1 2 A 3a
 Hàm số không có cực trị  y không đổi dấu với x   y  b2  3ac  0 .
2

2

Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trƣớc
 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn một hệ thức cho trước.
 Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
 Bước 2: Phân tích hệ thức đề cho để áp dụng định lí Vi – ét.
 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
 Hàm số có 2 cực trị trái dấu
 phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu  A.C  3ac  0
/>
4


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

Cao Văn Tuấn – 0975306275


 y  0


B

 phương trình y '  0 có hai nghiệm dương phân biệt  S  x1  x2    0
A

C

P  x1.x2  A  0
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 y '  0

B

 phương trình y '  0 có hai nghiệm dương phân biệt  S  x1  x2    0
A

C

P  x1.x2  A  0
 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn:
x1  x2  

x1    x2

  x1  x2

 Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị x1 , x2 .

B


S  x1  x2   A
Khi đó, áp dụng định lí Vi – ét ta có: 
 P  x .x  C
1 2

A
 Bước 2:
Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn

x1    x2   x1    x2     0  x1.x2    x1  x2    2  0

Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn:
 x1.x2    x1  x2    2  0

 x1    x2     0

x1  x2    



 x1  x2  2
 x1  x2  2
Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn:
 x .x    x1  x2    2  0

 x1    x2     0

x2  x1    
 1 2



 x1  x2  2
 x1  x2  2

Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu
nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy  hàm số có 2 cực trị cùng dấu
 y '  0
 phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu  
.
P  x1  x2  0
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy  hàm số có 2 cực trị trái dấu
 phương trình y '  0 có hai nghiệm trái dấu.
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox  phương trình y '  0 có hai
nghiệm phân biệt và ycđ . yct  0 (hoặc đồ thị cắt trục Ox tại 1 điểm).
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox  phương trình y '  0 có hai
 ycđ  yct  0
nghiệm phân biệt và 
.
 ycđ . yct  0
/>
5


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox  phương trình y '  0 có hai
nghiệm phân biệt và ycđ . yct  0 (hoặc đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt).
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox  phương trình y '  0 có hai

 ycđ  yct  0
nghiệm phân biệt và 
.
 ycđ . yct  0
Bài toán 3: Phƣơng trình đƣờng thẳng qua các điểm cực trị và ứng dụng
Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d
 Bước 1: Tìm TXĐ.
 Bước 2: Tính y '
 Bước 3 (Tìm điều kiện để đồ thì hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu):
Đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu
 Hàm số có cực đại, cực tiểu
a  0
 Phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt  
  0

 y '  x1   0
 Bước 4: Khi đó, hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2  
 y '  x2   0
 Bước 5:
Thực hiện phép chia y cho y ' (làm ra nháp và không trình bày vào bài giải).


 y  x1   y '  x1  .g  x1   h  x1   h  x1 
Ta có: y  y '.g  x   h  x  . Suy ra: 

 y  x2   y '  x2  .g  x2   h  x2   h  x2 
Hay các điểm cực đại, cực tiểu  x1 , y  x1   và  x2 , y  x2   cùng thuộc đường thẳng y  h  x  .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là: y  h  x  .

Bài toán 4: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị thỏa mãn tính chất hình học
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  m (m là tham số) có đồ thị là  Cm  . Tìm m để đồ thị  Cm  có hai
điểm cực đại, cực tiểu A, B sao cho AOB  1200 .
Ví dụ 2 [ĐH, khối B – 2012]: Cho hàm số y  x3  3mx2  3m3

1

với m là tham số thực. Tìm m để

đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Ví dụ 3: Cho hàm số y  x3  3x2  mx  2

1

. Xác định m để hàm số 1 có cực trị, đồng thời đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

Loại 2: Cực trị của hàm đa thức bậc bốn trùng phƣơng: y  ax 4  bx 2  c

 a  0

Bài toán 1: Tìm điều kiện về số cực trị của hàm số
Hàm số có một cực trị  y ' chỉ đổi dấu một lần
b
 phương trình y '  0 có 1 nghiệm  
0
2a
Hàm số có ba cực trị  y ' đổi dấu 3 lần

 phương trình y '  0 có ba nghiệm phân biệt  

/>
b
0
2a

6


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Bài toán 2: Các bài toán liên quan đến tính chất cực trị của hàm số y  ax 4  bx 2  c  a  0 
Trường hợp mà hàm số có ba cực trị
b
 0  *
2a

x  0

x  0

b
 Với điều kiện * ta có: y '  0   2
 x  
b
x  
2a

2a



b
x   
2a


 Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị: 





b
b
Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị: A  0; yA  ; B   ; yB  ; C    ; yC  .
2a
2a




4
2
Vì hàm số đã cho: y  ax  bx  c là hàm chẵn
nên với xB   xC thì yB  yC
Do đó, hai điểm B, C đối xứng với nhau qua Oy.
Mà A  Ox nên tam giác ABC luôn là tam giác
cân tại A.

Một số trƣờng hợp hay gặp trong giải toán
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân (hoặc
vuông).
 Vì tam giác ABC luôn cân tại A nên tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại A.
Do đó, tam giác ABC vuông cân   ABC vuông cân tại A  AB.AC  0 1




b
b
 Ta có: AB    ; yB  yA  và AC     ; yC  yA 
2a
2a




b 
b 
Khi đó: 1  
  
   yB  yA  yC  yA   0
2a 
2a 
b

  yB  yA  yB  yA   0 (vì yB  yC )
2a
b

2

  yB  yA   0  m  ...
2a
Với m tìm được đối chiếu với điều kiện * để suy ra giá trị của m cần tìm.

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
 Vì tam giác ABC luôn cân tại A nên tam giác ABC đều
 AB  BC  AB2  BC2  2 



b
b 
 Ta có: AB    ; yB  yA  và BC   2  ;0 
2a
2a 



2

2



b 
b 
2
2

Khi đó:  2    
   yB  yA    2 
  0
2a 
2a 


/>
7


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
b
4b
b
2b
2
2
    yB  yA   
    yB  yA     m  ...
2a
2a
2a
a
Với m tìm được đối chiếu với điều kiện * để suy ra giá trị của m cần tìm.
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng
1200
 Vì tam giác ABC luôn cân tại A nên tam giác ABC có một góc bằng 1200  BAC  1200
 Gọi H là trung điểm của BC  H  0; yB  và HAB  300 .

AH
AH
 cos 600 
 AB  2AH  AB2  4AH 2
AB
AB

b
 ; yB  yA  và AH   0; yB  yA 
2a


 3

Ta có: cos HAB 

Với AB  


2

2



b 
b 
2
2
2

Do đó:  3   
   yB  yA   4  yB  yA    
  3  yB  yA   m  ...
2a 
2a 


Với m tìm được đối chiếu với điều kiện * để suy ra giá trị của m cần tìm.
 Gọi H là trung điểm của BC  H  0; yB  và HAB  300 .

AH
AH
 cos 600 
 AB  2AH  AB2  4AH 2
AB
AB

b
 ; yB  yA  và AH   0; yB  yA 
2a


 3

Ta có: cos HAB 

Với AB  


2

2



b 
b 
2
2
2
Do đó:  3   
   yB  yA   4  yB  yA    
  3  yB  yA   m  ...
2a 
2a 


Với m tìm được đối chiếu với điều kiện * để suy ra giá trị của m cần tìm.
Loại 3: Cực trị hàm y 

ax 2  bx  c
mx  n

 n
\  
 m
amx 2  2anx  bn  cm Ax 2  2Bx  C
Đạo hàm: y 

2

2
 mx  n 
 mx  n 

 a, m  0 

TXĐ: D 

( A  0 vì a, m  0 )

Phương trình y  0  g  x   Ax 2  2Bx  C  0
Điều kiện để tồn tại cực trị
Hàm số có cực trị (hay hàm số có cực đại, cực tiểu)
 phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt

 phương trình g  x   Ax 2  2Bx  C  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 

n
m

 g  0

  n
g   m   0

 
Công thức tính nhanh cực trị. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
 f '  x   0
u  x
u  x0  u '  x0 


Bổ đề: “Nếu f  x  
có 
thì f  x0  
”
v  x
v  x0  v '  x0 
v  x   0
/>
8


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Áp dụng: Cho hàm số y 

Cao Văn Tuấn – 0975306275

ax  bx  c
. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực
mx  n
2

tiểu của đồ thị hàm số.
Giải:
 Bước 1: Tìm TXĐ: D
 Bước 2: Tính y ' , thiết lập phương trình y '  0 .


 y '  x1   0
 Bước 3: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2  


 y '  x2   0
2ax1  b

 y  x1   m
Áp dụng kết quả của bổ đề trên, ta có: 
 y  x   2ax2  b
2

m
2ax  b
Suy ra đường thẳng đi qua các điểm cực trị  x1 , y  x1   và  x2 , y  x2   là: y 
m

VẤN ĐỀ 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHẢO SÁT TRỰC TIẾP
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  trên D, ta làm như sau:
 Bước 1: Tính y  và tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc D (tức là tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn
mà tại đó y  0 hoặc hàm số không có đạo hàm).
 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra GTLN, GTNN.
2. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên  a, b thì:
max f  x   max  f  a  , f  b 
 a ,b 

 a ,b 

và

min f  x   min  f  a  , f  b 

 a ,b 

 a ,b 

Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên  a, b và có đạo hàm trong khoảng  a, b  thì luôn có GTLN,
GTNN trên đoạn  a, b và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau:

 Bước 1: Hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  a, b .
 Bước 2: Tính y  và tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc  a, b  (tức là tìm các điểm
x1 , x2 ,..., xn mà tại đó y  0 hoặc hàm số không có đạo hàm.

 Bước 3: Tính f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b  .
Khi đó:
max f  x   max  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b 
 a ,b 

min f  x   min  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b 
 a ,b 

3.

TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHẢO SÁT GIÁN TIẾP
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  trên D.
 Bước 1: Biến đổi hàm số đã cho về dạng y  F  u  x  

 Bước 2: Đặt t  u  x  . Khi đó, ta tìm được t  E với x  D .
 Bước 3: Việc tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  trên D quy về việc tìm GTLN, GTNN
của hàm số y  F  t  trên E.
/>
9

Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
4. SỬ DỤNG ĐƠN ĐIỆU VÀ GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Bài toán 1: Tìm m để f(x;m) = 0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D?
 Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f  x   A  m  .
 Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f  x  trên D.
 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  sao cho đường thẳng

y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  .
 Bước 4: Kết luận giá trị của A  m  để phương trình f  x   A  m  có nghiệm (hoặc có k nghiệm)
trên D.
Chú ý:
- Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình

f  x   A  m   min f  x   A  m   max f  x  .
xD

-

xD

Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào
bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số

y  f  x  tại k điểm phân biệt.
Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình F(x;m)  0 hoặc F(x;m)  0 có nghiệm trên miền D?
 Bước 1: Tách tham số m ra khỏi biến số x và đưa về dạng A  m   f  x  hoặc A  m   f  x  .

 Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f  x  trên D
 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số
nghiệm:
o A  m   f  x  có nghiệm trên D  A  m   max f  x  .

m để bất phương trình có

xD

o

A  m   f  x  có nghiệm trên D  A  m   min f  x  .
xD

Chú ý:
- Bất phương trình A  m   f  x  nghiệm đúng x  D  A  m   min f  x  .
xD

-

Bất phương trình A  m   f  x  nghiệm đúng x  D  A  m   max f  x  .

-

Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu không sẽ làm
thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm là hiển nhiên.

xD

VẤN ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
MỘT SỐ SAI LẦM HAY MẮC PHẢI
 Quên ghi tập xác định.
 Tính sai đạo hàm; giải sai phương trình đạo hàm; kết luận sai tính đồng biến và nghịch biến.
 Vẽ đồ thị bằng bút chì.
CÁC BƢỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f  x 
1. TXĐ
 D=
 D=

(đối với hàm bậc ba, trùng phương).
\  x0  (đối với hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất).

/>
10


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
2. Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn của hàm số tại vô cực: Đối với hàm bậc ba, trùng phương
Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận: Đối với hàm phân thức bậc
nhất/bậc nhất.
b) Bảng biến thiên
 Tính y  .
 Xét phương trình y  0 : Đối với hàm bậc ba, trùng phương.
ax  b
Riêng đối với hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất y 
thường đánh giá y  0 hoặc
cx  d

y  0 .
 Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các kết luận về tính đơn điệu và cực trị (đối với hàm bậc ba,
trùng phương).
3. Đồ thị
a) Điểm uốn: Đối với hàm bậc ba, trùng phương
b) Giao với các trục tọa độ (ta làm bước này nếu như tọa độ giao điểm đẹp).
Lấy thêm điểm nếu cần.
c) Kết luận
 Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
 Đồ thị hàm số trùng phương y  ax 4  bx 2  c nhận trục tung làm đối xứng.
ax  b
 Đồ thị các hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất y 
nhận giao điểm I của 2 đường
cx  d
tiệm cận làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thị của hàm bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d
y  3ax2  2bx  c
a0

a0
y

y  0 có 2 nghiệm phân biệt

   b – 3ac  0
2

y

I
0

x

0

I

x

y  0 có nghiệm kép
   b2 – 3ac  0

y

y  0 vô nghiệm
   b2 – 3ac  0

y
I

0

/>
I

x

0

x

11


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
4
Các dạng đồ thị của hàm trùng phƣơng: y  ax  bx 2  c

y  4ax3  2bx  2 x  2ax 2  b 

a0

a0

y  0 có 3 nghiệm phân biệt
 ab  0

y  0 có 1 nghiệm phân biệt
 ab  0

Các dạng đồ thị của hàm: y 

y 

ax  b
cx  d

ad  bc

 cx  d 

2

y

y

0

x

ad – bc > 0

0

x

ad – bc < 0

VẤN ĐỀ 5: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị  C  của hàm số tại điểm M  x0 , f  x0   .

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  x0 , f  x0   là:

y  f   x0  x  x0   f  x0 
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0 .

1. VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM (TIẾP TUYẾN TẠI MỘT
ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  f  x  tại điểm M  x0 , f  x0   là:

y  f   x0  x  x0   f  x0 
Chú ý:
- Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm) x0 thì tìm y0  f  x0  .
-

Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm) y0 thì tìm x0 bằng cách giải phương trình f  x0   y0 .

/>
12


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
2. TIẾP TUYẾN KHI BIẾT PHƢƠNG
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  với hệ số góc k cho
trước.
- Bước 1: Gọi M  x0 ; f  x0   là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị  C  .
-

Bước 2: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có hệ số góc của tiếp tuyến k  f   x0 

-

Bước 3: Giải phương trình k  f   x0  suy ra nghiệm x0  f  x0   ...
Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần lập có phương trình là: y  f   x0  x  x0   f  x0 

Chú ý 1: Hệ số góc k có thể được cho dưới dạng một số trường hợp sau:
- Tiếp tuyến của  C  tại M  x0 ; f  x0   vuông góc với đường thẳng  d  : y  ax  b  a  0 

 f   x0  .a  1

-

Tiếp tuyến của  C  tại M  x0 ; f  x0   song song với đường thẳng  d  : y  ax  b  a  0 

 f   x0   a
Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị trùng với
đường thẳng  d  hay không? Nếu trùng thì phải loại đi kết quả đó.
-

Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc 
 hệ số góc của tiếp tuyến k  f   x0   tan 
Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc   hệ số góc của tiếp tuyến k  f   x0   tan 

Chú ý 2: Cho hai đường thẳng  d  : y  ax  b

 d ' : y  ax  b





Ta có: cos  d , d    cos n d  , n d  

n d  .n d 
n d  n d 

 a  0  có 1 VTPT là n d    a; 1
 a '  0 có 1 VTPT là n d '   a; 1


a.a  1
a 2  1 a2  1

3. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƢỚC
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  , biết tiếp tuyến đi
qua điểm A  xA ; yA  .
-

Cách 1
Bước 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x0  y  f '  x0  x  x0   f  x0 

-

Bước 2: Tiếp tuyến đi qua điểm A  xA ; yA   yA  f '  x0  xA  x0   f  x0 

-

Bước 3: Giải phương trình  2   x0 .

-

Bước 4: Từ x0 tìm được bước 3 thay vào 1  phương trình tiếp tuyến.

1
 2

Chú ý 1: Thông thường số nghiệm của phương trình  2  chính là số tiếp tuyến kẻ được từ A tới đồ
thị  C  . Từ đó giải quyết bài toán “Tìm điều kiện để qua điểm A có thể kể được tới  C  n tiếp
tuyến”.

-

Cách 2
Bước 1: Phương trình đường thẳng  d  có hệ số góc k và đi qua điểm A  xA ; yA  có dạng:

 d  : y  k  x  xA   yA
 *
Bước 2: Đường thẳng  d  là tiếp tuyến của đồ thị  C 

 f  x   k  x  xA   yA  3
có nghiệm
 hệ 
f
'
x

k
4







/>
13


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
- Bước 3: Thế  4  vào  3 được phương trình f  x   f '  x  x  xA   yA **  x  ...
-

Bước 4: Với x tìm được ở bước 3 thay vào  4  để suy ra k  phương trình của tiếp tuyến

 d  (bằng cách thay k vào * ).
Chú ý 2: Thông thường số nghiệm của phương trình ** chính là số tiếp tuyến kẻ được từ A tới đồ
thị  C  .

VẤN ĐỀ 6: SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
1. DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH
Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình F  x, m   0 theo m.
 Bước 1: Biến đổi phương trình F  x, m   0 về dạng f  x   g  m 

 *

 Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị  C  của hàm số y  f  x  .
 Bước 3: Lập luận:
- Đồ thị  C  của hàm số y  f  x  vữa vẽ ở trên.
-

Đồ thị hàm số y  g  m  là đường thẳng d cùng phương với trục hoành (song song
hoặc cắt trục hoành) và cắt trục tung tại điểm có tung độ g  m  .

Suy ra phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng
d.
Do đó, số giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng d chính là số nghiệm của phương trình

 * .
 Bước 4: Dựa vào đồ thị suy ra kết luận.
ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán 1: Vẽ đồ thị  C  của hàm số y  f  x  . Từ đó vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x  .


 f  x  khi f  x   0
Ta có: y  f  x   
.

 f  x  khi f  x   0
Đồ thị  C  của hàm số y  f  x  là hợp của hai phần sau:
 Phần 1: Phần đồ thị  C  ở phía trên trục hoành (lấy cả các điểm thuộc trục hoành).
 Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị của  C  ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ:

/>
14


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”

Cao Văn Tuấn – 0975306275

Bài toán 2: Vẽ đồ thị  C  của hàm số y  f  x  . Từ đó vẽ đồ thị  C  hàm số y  f  x  .


 f  x  khi x  0
Ta có: y  f  x   
.
f

x
khi
f
x

0






Đồ thị  C  của hàm số y  f  x  là hợp của hai phần sau:
 Phần 1: Phần đồ thị  C  ở bên phải trục tung (lấy các điểm trên trục tung và bỏ phần bên trái trục
tung).
 Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung.
Ví dụ:

Bài toán 3: Vẽ đồ thị  C  của hàm số y 

f  x
f  x
. Từ đó vẽ đồ thị  C  hàm số y 
.

g  x
g  x

 f  x
khi g  x   0

f  x  g  x
Ta có: y 
.

g  x  f  x

khi g  x   0
 g  x

f  x
Đồ thị  C  của hàm số y 
là hợp của hai phần sau:
g  x
 Phần 1: Phần đồ thị  C  trên miền g  x   0 .
 Phần 2: Lấy đối xứng phần còn lại của  C  qua trục hoành (trừ những điểm làm cho g  x   0 )
2. SỬ DỤNG PHƢƠNG TRÌNH ĐỂ BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho hai đồ thị:  C1  : y  f  x  và  C2  : y  g  x  .
Phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  là: f  x   g  x 

 * .

Do đó, số nghiệm của phương trình * chính là số giao điểm của  C1  và  C2  .

VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 Khoảng cách giữ hai điểm A  xA , yA  và B  xB , yB  là:

AB 

 xB  xA    yB  yA 
2

2

.

 Khoảng cách từ điểm M  xM , yM  đến đường thẳng  : Ax  By  C  0 là:

d  M,   
/>
AxM  ByM  C
A 2  B2
15


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN
ax  b
ĐỒ THỊ  C  CỦA HÀM SỐ y 
cx  d
a
a
Đồ thị  C  có tiệm cận ngang là đường thẳng y   y   0 và tiệm cận đứng là đường thẳng

c
c
d
d
x    y   0.
c
c
 ax  b 
Lấy điểm M  x0 ; 0

 cx0  d 
 Khoảng cách từ M đến trục Ox là: d1  yM 

ax0  b
.
cx0  d

 Khoảng cách từ M đến trục Oy là: d2  xM  x0 .
 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d3  x0 

d
c

 Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là: d 4  y0 

ax  b a
a
 0
 
c

cx0  d c

k

d
c
Bài toán 1: Tìm điểm M thuộc  C  để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất

Tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là: d  d3  d 4  x0 

Khi đó: d min

d
 2 k , xảy ra x0  
c

d

c

k
d
x0 
c

Cauchy

 2 x0 

d

.
c

k
d
x0 
c

2

d
d

  x0    k  x0  
d
c
c

x0 
c
k

x0 

k  x0 

2 k

d


c

k

 ax  b 
Thay x0 tìm được vào M  x0 ; 0
 để suy ra tọa độ điểm M.
 cx0  d 
Bài toán 2: Tìm điểm M thuộc  C  để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất
Ta có tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là: d  d1  d 2 

ax0  b
 x0
cx0  d

Tìm điểm A  a; 0  là giao điểm của đồ thị  C  với trục Ox (hoặc tìm giao điểm của  C  với Oy).
 Xét trường hợp x0  a  d  a  0 .
 Xét trường hợp x0  a và

ax0  b
 a để suy ra d  k .
cx0  d

 x0  a

man
Do đó, để tìm GTNN của d, ta chỉ cần xét  ax0  b

a
 cx  d

 0

Với m  a  n thì phá dấu giá trị tuyệt đối các biểu thức có trong d. Sau đó, ta biến đổi d và áp
dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương suy ra GTNN của d.
Bài toán 3: Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của  C  để khoảng cách giữa chúng là ngắn nhất

d
 m (m là hằng số).
c
Phần đồ thị nằm bên phải tiệm cận đứng được gọi là nhánh phải của đồ thị, phần đồ thị nằm bên trái tiệm
cận đứng được gọi là nhánh trái của đồ thị.
Tiệm cận đứng của đồ thị  C  là đường thẳng x  

/>
16


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Gọi A  m  a; f  m  a   và B  m  b; f  m  b   với a, b  0 thuộc hai nhánh của đồ thị.
Khi đó, khoảng cách giữ hai điểm A và B là:
2

k k
AB   a  b    f  m  b   f  m  a     a  b      
a b
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương, ta có:
2

2

2


k2 
 a  b  1  2 2 
 ab 
2

a  b  2 ab   a  b   4ab
2

2k
k2
k2
1  2 2  2 1. 2 2 
ab
ab
ab
2
2k
k 
2
Suy ra:  a  b  1  2 2   4ab.
 8 k  AB  8 k
ab
 ab 
a  b
a  b


2
k


a  b
ab
Do đó: AB nhỏ nhất bằng 8 k  1  2 2  a 2b 2  k 2  
ab

k
a
b




 a, b  0
a, b  0

k

VẤN ĐỀ 8: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
Bài toán: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  của hàm số y  f  x  thỏa mãn điều kiện * cho trước.
Phương pháp giải:
 Bước 1: Vì M thuộc đồ thị  C  : y  f  x  nên gọi M  m; f  m  

 Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện * để thiết lập phương trình: F  m   0  m  tọa độ điểm M.
Sơ đồ phương pháp giải

M  m; f  m  

ĐK *
 C : y  f  x  M m; f m 
M   C  
F  m   0  m  M
  
Một số bài toán tìm điểm đặc biệt thường gặp:
Bài toán 1: Tìm điểm trên đồ thị  C  : y 
 Phân tích y 

P  x
có toạ độ nguyên
Q  x

P  x
a
thành dạng y  A  x  
, với A  x  là đa thức, a là số nguyên.
Q  x
Q  x

x 
 Q  x  là ước số của a.
 Khi đó 
y
Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q  x  là ước số của a.
 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.
Bài toán 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị  C  : y  f  x  đối xứng qua đường thẳng d : y  ax  b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung
trực của đoạn AB
 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d : y  ax  b

1
có dạng:  : y   x  m .
a
 Phương trình hoành độ giao điểm của  và  C  là:

1
f  x   x  m
a

(C)

(d)

()

B
A

I

 *

/>
17


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
 Tìm điều kiện của m để  cắt  C  tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của *
 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.

 Lập luận: Vì AB vuông góc với d nên A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm được m  xA, xB 
yA, yB  A, B.
Chú ý:
 xA  xB
 A, B đối xứng nhau qua trục hoành  
.
 yA   yB
 xA   xB
 A, B đối xứng nhau qua trục tung  
.
 yA  yB

 xA  xB
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y  b  
.
 yA  yB  2b
 xA  xB  2a
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x  a  
.
 yA  yB
Bài toán 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị  C  : y  f  x  đối xứng qua điểm I  a; b 
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm
của AB.
 Phương trình đường thẳng d qua I  a; b  , có hệ số góc k có

I

dạng: y  k  x  a   b .

A

B

 Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d là:

f  x  k  x  a  b

 *

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của * .
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB.
 xA   xB
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O  
.
 yA   yB

B. MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP

ĐỀ ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - ĐỀ SỐ 1
Thời gian làm bài: 90 phút.
Biên soạn: Cao Văn Tuấn
Câu 1 (2,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số y   x 4  2 x 2 .
Câu 2 (2,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x    x  6  x 2  4 trên đoạn

0;3 .
Câu 3 (3,0 điểm).
a) Tìm các giá trị của tham số m để x  1 là điểm cực tiểu của hàm số y 

1 2
m  1 x3  x 2  2mx .


3

b) Tìm m để hàm số f  x   x3  3x 2  mx  1 đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 sao cho x12  x22  3 .
/>
18


Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số”



 

Cao Văn Tuấn – 0975306275



Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình:  2 x  1 2  4 x 2  4 x  4  3x 2  9 x 2  3  0 trên tập số thực.
3

x  2 y 1  0
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
với x, y 

 3  x  2  x  2 y 2 y  1  0

.

Câu 6 (1,0 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình mx  2  4 x  x 2 có hai nghiệm phân

biệt trên đoạn  0; 4 .

Biên soạn: CAO VĂN TUẤN
SĐT: 0975 306 275
Dạy luyện thi Toán – Lí.
Địa chỉ lớp học: Số nhà 93, ngõ 173 Hoàng Hoa Thám, Ba Đình, Hà Nội.

/>
19