NỘI DUNG 1 lý THUYẾT

PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
A. TỌA ĐỘ ĐIỂM – VÉCTƠ
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :

y

 x'Ox : trục hoành

j

 y'Oy : trục tung
 O

i

x'

x

O

: gốc toạ độ

 i, j : véc tơ đơn vị ( i  j  1 vaø i  j )

y'

Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy
được gọi là mặt phẳng Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Định nghĩa 1: Cho M  mp(Oxy ) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy
nhất theo
i, j

y
Q
j
x'

M

i
O

x
P

bởi hệ thức có dạng : OM  xi  y j vôùi x,y  .

Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )

y'

M ( x; y)

 Ý nghĩa hình học:

ñ/n

OM  xi  y j



y

Q

M

y
x'

x

O

x
P

y'

x  OP

vaø y=OQ

2. Định nghĩa 2: Cho a  mp(Oxy) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất

theo i, j bởi hệ thức có dạng : a  a1i  a2 j vôùi a1,a2  .
Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


a

y

e2

SP Toán K35 - ĐH Cần
Thơ

e
x'

1

x


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
Ký hiệu:

a  (a1; a2 )

a=(a1;a2 )

 Ý nghĩa hình học:

a  a1 i  a2 j

y
K

B2

B

A

A2
x'

ñ/n



H

x
O

A1

a1  A1B1

B1

vaø a2 =A 2 B2

y'

III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
 Định lý 1:

Nếu A( x A ; y A ) vaø B(x B; yB ) thì
AB  ( xB  x A ; yB  y A )

B( x B ; y B )
A( x A ; y A )

 Định lý 2:

Nếu a  (a1; a2 ) vaø b  (b1; b2 ) thì


a

a  b

* ab   1 1
a2  b2


b

* a  b  (a1  b1; a2  b2 )
* a  b  (a1  b1; a2  b2 )
* k.a  (ka1; ka2 )

(k  )

IV. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
 Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc
nằm trên hai đường thẳng song song .
 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
 Định lý 3 :

a

a cuøng phöông b


b


a

Cho hai véc tơ a vaø b vôùi b  0


b

 !k 

sao cho a  k.b

Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:
k > 0 khi a cùng hướng b
k < 0 khi a ngược hướng b

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


a


b

2
5
C
a  b , b- a
SP
Cần
Thơ
5 Toán K35
2 - ĐH
B


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
k 



Định lý 4 :

a
b

A, B, C thaúng haøng  AB cuøng phöông AC

(Điều kiện 3 điểm thẳng hàng )
 Định lý 5: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ) vaø b  (b1; b2 ) ta có :
a cuøng phöông b

 a1.b2  a2 .b1  0

(Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ)
V. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:

b


b
O


a

y

2



a


b

a.b  a . b .cos(a, b)

B

A

a a
ab

2

x'


a

O

x

 a.b  0

y'

 Định lý 6: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ) vaø b  (b1; b2 ) ta có :
a.b  a1b1  a2 b2

(Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ)

 Định lý 7: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ) ta có :
a  a12  a22

(Công thức tính độ dài véc tơ )

 Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) vaø B(x B; yB ) thì
AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2

(Công thức tính khoảng cách 2 điểm)

 Định lý 9: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ) vaø b  (b1; b2 ) ta có
ab

 a1b1  a2 b2  0

(Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ)

 Định lý 10: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ) vaø b  (b1; b2 ) ta có
cos(a, b) 

a.b

a.b



a1b1  a2 b2
a12  a22 . b12  b22

(Công thức tính góc của 2 véc tơ)

VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  1 ) nếu
như : MA  k.MB

A

M


NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

B




SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
 Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ) , B(x B; yB ) và MA  k.MB ( k  1 ) thì
x A  k .x B

 x M  1  k

 y  y A  k .yB
 M
1 k

Đặc biệt :

x A  xB

 x M 
2
M là trung điểm của AB  
 y  y A  yB
 M
2

VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác :
A

x A  x B  xC

x

G


3
1. G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0  
 y  y A  y B  yC
 G
3
A
 AH  BC
 AH .BC  0

2. H là trực tâm tam giác ABC  
 BH  AC

3.

 AA'  BC
A là chân đường cao kẻ từ A  
 BA' cùng phương BC

C

B

H

 BH . AC  0

'

G

A

C

A'

B

C

B

A

IA=IB

4. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  
IA=IC

I
C

B

5. D là chân đường phân giác trong của góc A của ABC  DB  

AB
.DC
AC

6.

AB '
D là chân đường phân giác ngoài của góc A của ABC  D B 
.D C
AC

7.

AB
J là tâm đường tròn nội tiếp ABC  JA  
.JD
BD

'

A

'

A
C
B

D

J
C

B

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

D

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
B. ĐƯỜNG THẲNG
I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng:
đn  a  0

a là VTCP của đường thẳng (  )  
a có giá song song hoặc trùng với ( )
đn  n  0

n là VTPT của đường thẳng (  )  
 n có giá vuông góc với ()

a


a


n

()

* Chú ý:

( )

 Nếu đường thẳng (  ) có VTCP a  (a1; a2 ) thì có VTPT là n  (a2 ; a1 )
 Nếu đường thẳng (  ) có VTPT n  ( A; B) thì có VTCP là a  (B; A)
II. Phương trình đường thẳng :
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :
a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (  ) qua M0(x0;y0) và nhận
a  (a1; a2 )

làm VTCP sẽ có :
 x  x0  t.a1

y

 Phương trình tham số là: () : 


 y  y0  t.a2


a

(t  )

M ( x; y )

x

O

M 0 ( x0 ; y0 )

 Phương trình chính tắc là : () :

x  x 0 y  y0

a1
a2

 a1 , a2  0 

2. Phương trình tổng qt của đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n  ( A; B) là:
y


n
M ( x; y )
x

O

M 0 ( x0 ; y0 )

() : A( x  x0 )  B( y  y0 )  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

( A2  B 2  0 )

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Định lý: Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (  ) có dạng :

y n  ( A; B )

M 0 ( x0 ; y0 )

Ax + By + C = 0

x

O

với A 2  B 2  0


a  ( B; A)

a  ( B; A)

Chú ý:
Từ phương trình (  ):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của (  ) là n  ( A; B)
2. VTCP của (  ) là a  (B; A) hay a  (B;  A)
3. M0 ( x0 ; y0 )  ()  Ax0  By0  C  0
Mệnh đề (3) được hiểu là : Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường
thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .
3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) :

( AB) :

x  xA
y  yA

x B  x A yB  y A

( AB) : x  x A

y
M ( x; y )
O

( AB) : y  y A

y
B( x B ; y B )

yA
xA

x
A( x A ; y A )

yB

A( x A ; y A )
xB

y

A( x A ; y A )

B( x B ; y B )

yA yB

x

x

B( x B ; y B )

b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng (  ) cắt trục hoành tại điểm
A(a;0) và trục tung tại điểm B(0;b) với a, b  0 có dạng:

x y
 1
a b

c. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k:
Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng  . Gọi   (Ox ,  ) thì k  tg được
gọi là hệ số góc của đường thẳng 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP ta trong mt phng

FB: />
nh lý 1: Phng trỡnh ng thng qua M0 ( x0 ; y0 ) cú h s gúc k l :
y

y
M ( x; y )

y0

x

x0

O

y - y 0 = k(x - x 0 )

(1)
O

x

Chỳ ý 1: Phng trỡnh (1) khụng cú cha phng trỡnh ca ng thng i qua M 0
v vuụng gúc Ox nờn khi s dng ta cn ý xột thờm ng thng i qua M0 v
vuụng gúc Ox l x = x0
Chỳ ý 2: Nu ng thng cú phng trỡnh y ax b thỡ h s gúc ca ng
thng l k a
nh lý 2: Gi k1, k2 ln lt l h s gúc ca hai ng thng 1 , 2 ta cú :
1 // 2



k1 k 2

1 2



k1.k2 1

c. Phng trỡnh t i qua mt im v song song hoc vuụng gúc vi mt t cho
trc:
i. Phửụng trinh ủửụứng thaỳng (1 ) //(): Ax+By+C=0 coự daùng: Ax+By+m1 =0
ii. Phửụng trinh ủửụứng thaỳng (1 ) (): Ax+By+C=0 coự daùng: Bx-Ay+m 2 =0
Chỳ ý: m1; m2 c xỏc nh bi mt im cú ta ó bit nm trờn 1; 2
y

1 : Ax By m1 0

y

: Ax By C1 0
M1

O

x0

1 : Bx Ay m 2 0

x
M1

O

x0

x

: Ax By C1 0

NGUYN VN LC 0933.168.309

SP Toỏn K35 - H Cn Th


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
y
2

1

O

y

y

1

1

x

x

O

2

2

1 cắt  2

 1 //  2

x

O

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :

1   2

(1 ) : A1x  B1y  C1  0
(2 ) : A2 x  B2 y  C2  0

Vị trí tương đối của (1 ) và ( 2 ) phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :
 A1x  B1y  C1  0

 A2 x  B2 y  C2  0

hay

 A1 x  B1y  C1
(1)

A
x

B
y



C
 2
2
2

Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của
(1 ) và ( 2 )

Định lý 1:
i. Hệ (1) vô nghiệm

 (1 ) //( 2 )

ii. Hệ (1) có nghiệm duy nhất  (1 ) cắt ( 2 )
iii. Hệ (1) có vô số nghiệm

Định lý 2:

 (1 )  ( 2 )

Nếu A2 ; B2 ; C2 khác 0 thì


A1 B1

A 2 B2

ii. (1 ) // ( 2 )



A1 B1 C1


A 2 B2 C2

iii. (1 )  ( 2 )



i.

(1 ) cắt ( 2 )

A1 B1 C1


A 2 B2 C2

IV. Góc giữa hai đường thẳng
1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất
trong các số đo của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc
hợp bởi hai đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là

 a, b  . Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

00

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT
a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u v v thì

 

cos  a, b   cos u, v 

u.v
u.v

b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n v n ' thì





cos  a, b   cos n, n ' 

n.n '
n . n'

Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :

(1 ) : A1x  B1y  C1  0
(2 ) : A2 x  B2 y  C2  0

Gọi  ( 00    900 ) là góc giữa (1 ) vaø ( 2 ) ta có :
y

cos 

A1 A2  B1B2



1

A12  B12 . A22  B22

x

O

2

Hệ quả:
(1 )  ( 2 )  A1 A2  B1B2  0

V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng () : Ax  By  C  0 và điểm M0 ( x0 ; y0 )
Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) được tính bởi công thức:
M0

y
H

d ( M0 ; ) 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

Ax0  By0  C
A2  B 2

O

x

()

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
C. ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn:
1. Phương trình chính tắc:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán
kính R là :
y
b
O

I (a; b)

R
a

(C ) : ( x  a)2  ( y  b)2  R2

M ( x; y )
x

(1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn
Đặc biệt: Khi I  O thì (C) : x 2  y2  R2
2. Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình: x 2  y2  2ax  2by  c  0
a2  b2  c  0 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính

với

R  a2  b2  c

II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn
(C) : x 2  y2  2ax  2by  c  0 tại điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) là :
M 0 ( x0 ; y 0 )

() : x0 x  y0 y  a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  0

(C)

( )

I(a;b)

VI. Các vấn đề có liên quan:
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
(C )
(C )

(C )

I
R
H M

Định lý:

I

I

R

R H

M H

M

( ) (C )  


d(I;) > R
() tieáp xuùc (C)  d(I;) = R
() caét (C)
 d(I;) < R

Lưu ý: Cho đường tròn (C) : x 2  y2  2ax  2by  c  0 và đường thẳng
   : Ax  By  C  0 . Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và (  ) là nghiệm của hệ
 x 2  y 2  2ax  2by  c  0
phương trình: 
 Ax  By  C  0

(1)
(2)

(*)

Cách giải (*): Sử dụng phép thế
+ Rút x hoặc y từ (2) thay vào (1) để được phương trình 1 ẩn.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong mặt phẳng

FB: />
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn :
C1
I1

R1

R2

I2

C1

C1

C2

I1 R1

R2
I2

C1

C2

C2
I1

R1

R2

I1 I

2

I2

C2
(C1 ) và (C2 ) không cắt nhau

 I1I2 > R1  R2

(C1 ) và (C2 ) cắt nhau

 R1  R2 < I1I2 < R1  R2

(C1 ) và (C2 ) tiếp xúc ngoài nhau  I1I 2 = R1  R2
(C1 ) và (C2 ) tiếp xúc trong nhau

 I1I2 = R1  R2

Lưu ý: Cho đường tròn (C) : x 2  y2  2ax  2by  c  0
và đường tròn  C ' : x 2  y 2  2a ' x  2b ' y  c '  0 .
Tọa độ giao điểm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:
 x 2  y 2  2ax  2by  c  0

 2
2

 x  y  2a ' x  2b ' y  c '  0

(1)
(2)

(*)

Cách giải (*): Sử dụng phép cộng và phép thế.
+ Trừ vế với vế hai phương trình (1) và (2) để được phương trình 1 ẩn. Từ phương
trình 1 ẩn tìm được rút x hoặc y và thay vào (1) hoặc (2) để tiếp tục được phương
trình 1 ẩn. Giải phương trình nầy ta sẽ được kết quả cần tìm.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ