ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016

Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016

ThS: Đỗ Viết Tuân

Vấn đề 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức
Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x  a, x  b, y  f(x), y  g(x) với
b

a  b là S   f ( x)  g ( x) dx
a

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  3x , y  2 x  1
Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) y  x2  2 x  4, y  4  x

b) y  2 x3  x 2  8x  1, y  6

c) y  x2  2 x  2, y   x 2  x  3

d) y 

e) y  ln x, y  0 và x  e

f) y  4 

1
e

2 x

, y  e x , x  1

x2
4

y

x2
4 2

g) Parabol y   x 2  6 x  8, tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung.
h) y  x3  3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x  
i) y  x sin x, y  0, x  0, x 

1
2

2
4

1
k) y  ln x , y  0, x  , x  e
e

l) y  (e 1) x, y  (ex  1) x
Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

y  2x  2 , y   x2  2 x  2

Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) y 

5
1 2
x  2 x  2 và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M ( ;-1)
2
2

b) y  x 2  4 x  3 ,

y  x3

c) y  x 2 , y  x  2
e) y  x 2 , y 

x2
27
,y
8
x

d) y  x2 , y  2  x, y  0
f) y  5x2 , y  0, x  0, y  3  x

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số y  x 2  1 luôn cắt đường thẳng
y  mx  2 tại hai điểm phân biệt. Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường

trên là nhỏ nhất

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400

Page 1


Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016
ThS: Đỗ Viết Tuân
2
Bài 4: Xét hàm số y  x trên đoạn  0;1 . Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc  0;1 . Gọi S1 là
diện tích giới hạn bởi các đường x  0 , y  m2 và y  x 2 , S2 là diện tích giới hạn bởi các đường

y  x 2 , y  m2 và x  1 . CMR với mọi giá trị của m  0;1 ta đều có

1
2
 S1  S2  .
4
3

II. Thể tích tròn xoay
Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox
Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x  a, x  b, y  0, y  f(x) với a  b.
Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là
b

V     f ( x)  dx .
2

a

Ví dụ 3: Tính thể tích khối trong xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox

x2  ( y  2)2  1.
Ví dụ 4: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:
y  1  2 x  x2 và y  1

Bài 5: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x
b) y  x sin x , y  0, x  0, x 

a) y  x ln x , y  0, x  1, x  e
c) y  sin 4 x  cos 4 x , y  0, x 




2

, x 



e) y  x ln 1  x3 , x  1, y  0


2

d) x2  y 2  8, y 2  2 x
f) y  x2  4 x  6; y   x 2  2 x  6 .

Bài 6: Cho parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H)

là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)
khi quay quanh trục Ox.

Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy
Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với

a  b. Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích
b

là V     g ( y )  dy
2

a

Bài 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường y  e x ; y  0  0  x    Khi quay quanh
a) 0x
b) 0y
Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0y
a) y  x 2 ; x  y 2 ;

b) y  x ; y  2  x; y  0 ;

c) y  2 x  x 2 ; y  0 .

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400

Page 2