Đường tròn và mặt phẳng không gian oxyz

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

www.laisac.page.tl 

Đ 
ĐƯ 
ƯỜ 
ỜN 
NG T 
TH 
HẲ 
ẲN 
NG V 
VÀ M 
MẶ 
ẶT P 
PH 
HẲ 
ẲN 
NG 
T 
TR 
RO 
ON 
NG K 
KH 
HÔ 
ÔN 
NG G 
GI 
IA 

AN O 
OX 
XY 
YZ 

co

m

TS.Trần Phương

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

c.

I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:

1. Hai véctơ u = ( a1 , a 2 , a3 ) ; v = ( b1 ; b2 ; b3 ) là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP)
của mặt phẳng (α) ⇔ u , v ≠ 0 ; không cùng phương và các giá của chúng

oc
uo

song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α)

2. Véctơ n = ( a; b; c ) là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α)
⇔ (α) ⊥ giá của n

3. Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp
tuyến đồng thời n // [ u , v ] .

gb

u = ( a1 , a 2 , a 3 )

Nếu 
là một cặp VTCP của mp(α) thì VTPT là:
v = ( b1 ; b2 ; b3 )

a3
a
; 3
b3
b3

a1
a
; 1
b1
b1

a2 

b2 

kh

on

 a

n = [u , v ] =  2
 b2

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG

2. Phương trình tổng quát:

2.1. Phương trình chính tắc: Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0 .

Nếu D = 0 thì Ax + By + Cz = 0 ⇔ (α) đi qua gốc tọa độ.
Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): By + Cz + D = 0 sẽ song song hoặc chứa với trục x’Ox.
Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): Ax + Cz + D = 0 sẽ song song hoặc chứa với trục y’Oy.
Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): Ax + By + D = 0 sẽ song song hoặc chứa với trục z’Oz.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

2.2. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP

a2
b2

a3
b3

( x − x0 ) +

a3
b3

a1
b1

( y − y0 ) +

a1
b1

a3
a
; 3
b3
b3
a2
b2

a1
a
; 1
b1
b1

a2 
 là:
b2 

( z − z0 ) = 0

2.3. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua 3 điểm

 y − y1
n =  AB, AC  =  2
 y 3 − y1

z 2 − z1
z − z1
, 2
z 3 − z1
z 3 − z1

x 2 − x1
x − x1
, 2
x 3 − x1
x 3 − x1

y 2 − y1 z 2 − z1
y3 − y1 z3 − z1

( x − x1 ) +

z 2 − z1 x2 − x1
z3 − z1 x3 − x1

( y − y1 ) +

y 2 − y1 

y 3 − y1 

c.

nên phương trình là:

co

A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ; C ( x 3 , y 3 , z 3 ) không thẳng hàng có VTPT là:

m

u = ( a1 , a 2 , a 3 )
 a

hay VTPT n = [u , v ] =  2

 b2
v = ( b1 ; b2 ; b3 )

x2 − x1
x3 − x1

y 2 − y1
y3 − y1

( z − z1 ) = 0

oc
uo

Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) là:

x + y + z = 1 ( abc ≠ 0 )
a b c

3. Phương trình chùm mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng cắt nhau

( α 1 ) : a1 x + b1 y + c1 z + d 1 = 0 ; ( α 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0
( ∆ ) = ( α1 ) ∩ ( α 2 ) .

với

gb

Mặt phẳng (α) chứa (∆) là p ( a1 x + b1 y + c1 z + d 1 ) + q ( a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 ) = 0
với p 2 + q 2 > 0

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG

on

Cho 2 mặt phẳng (α1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 có VTPT n1 = ( A1 , B1 , C1 )

và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có VTPT n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 ) .
Nếu n1 , n 2 không cùng phương thì (α1) cắt (α2).

kh

Nếu n1 , n 2 cùng phương và (α1 ), (α2) không có điểm chung thì (α1) // (α2)

Nếu n1 , n 2 cùng phương và (α1 ), (α2) có điểm chung thì (α1) ≡ (α2)

IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Góc giữa 2 mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2):
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:
cos ϕ =

n1 .n2
n1 n2

=

A1 A2 + B1 B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C 22

với n1 , n 2 là 2 VTPT của (α1), (α2).


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
V. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d ( M , α) =

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B 2 + C 2

d ( α; β ) = d ( M ; α ) ∀M ∈ ( β )
VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

m

2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: d ( α; β ) = d ( M ; β ) ∀M ∈ ( α )

Bài 1. Lập phương trình tổng quát của mp(α) đi qua A(2; 1; −1) và vuông góc

co

với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1).

Mp(α) đi qua A nhận BC = (1; −2;3) làm VTPT nên phương trình mp(α) là:
1 ( x − 2 ) − 2 ( y − 1) + 3 ( z + 1) = 0 ⇔ x − 2 y + 3 z + 3 = 0

c.

Bài 2. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của mp(α) đi qua
A ( 2; −1; 4 ) , B ( 3; 2; −1) và vuông góc với ( β ) : x + y + 2 z − 3 = 0

oc
uo

HD: AB = (1; 3; −5 ) , nβ = (1;1; 2 ) . Do mp(α) đi qua A, B và ( α ) ⊥ ( β ) nên (α)
nhận AB, n b làm cặp VTCP. Suy ra VTPT của (α) là:

 3 −5 −5 1 1 3 
n =
;
;
 = (11; −7; −2 ) . Mặt khác (α) đi qua A ( 2; −1; 4 ) nên
2 1 1 1 
 1 2

phương trình mp(α): 11 ( x − 2 ) − 7 ( y + 1) − 2 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 11x − 7 y − 2 z − 21 = 0 .
Bài 3. Lập phương trình mp(α) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2x − y + z − 17 = 0 .
Lập phương trình mp(β) đi qua 3 điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)

gb

và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 mp(α) và (β).

HD: mp(α) // (γ): 2 x − y + z − 17 = 0 có n = ( 2; −1;1) ⇒ (α): 2 x − y + z + c = 0
(α) đi qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 ⋅ 1 − 0 + 5 + c = 0 ⇔ c = −7 ⇒ PT (α): 2 x − y + z − 7 = 0

kh

on

mp(β) nhận 2 véc tơ BC = ( 0; 2; −1) , BD = ( −1;3; −1) làm cặp VTCP nên có

0 2 
 2 −1 −1 0
VTPT là: nβ = 
;
;
 = (1;1; 2 ) .
 3 −1 −1 −1 −1 3 

Vậy phương trình mp(β): x + ( y − 1) + 2 z = 0 ⇔ x + y + 2 z − 1 = 0
cos ϕ = cos ( n , nβ ) =

2 ⋅1 − 1⋅1 + 1 ⋅ 2

= 3 = 1 ⇒ ϕ = π = 60°
6 2
3
2 +1+1 1+1+ 2
2

2

 x − 2 z = 0
Bài 4. Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆): 
3 x − 2 y + z − 3 = 0

và vuông góc với mặt phẳng (P): x − 2 y + z + 5 = 0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là:
m ( x − 2 z ) + n ( 3 x − 2 y + z − 3) = 0 ( m, n ∈ » ; m 2 + n 2 > 0 )

⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( n − 2m ) z − 3n = 0
⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT u = ( m + 3n; −2n; n − 2m )
Mặt phẳng (P) có VPPT v = (1; −2;1) nên để (α) ⊥ (P) thì u ⋅ v = 0

Cho n = 1 suy ra m = 8 , khi đó phương trình mp(α) là: 11x − 2 y − 15 z − 3 = 0

co

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và lập với mặt phẳng (α):

m

⇔ 1 ⋅ ( m + 3n ) − 2 ⋅ ( −2n ) + 1 ⋅ ( n − 2m ) = 0 ⇔ 8n − m = 0 .

2 x + y − 5 z = 0 một góc 60°.

HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz ⇒ (P) có dạng: mx + ny = 0 ( m 2 + n 2 > 0 )

2.m + 1.n − 0. 5
m2 + n2

2
= 1 ⇔ ( 2 2m + n ) = 10 ( m 2 + n 2 )
2 2 + 12 + 5 2

oc
uo

cos ( u , v ) = cos 60° ⇔

c.

⇒ VTPT u = ( m; n; 0 ) . Mặt phẳng (α) có VTPT v = ( 2;1; − 5 ) suy ra

⇔ 4 ( 4m 2 + 4mn + n 2 ) = 10 ( m 2 + n 2 ) ⇔ 2 ( 3m 2 + 8mn − 3n 2 ) = 0

Cho n = 1 ⇒ 3m 2 + 8m − 3 = 0 ⇔ m = −3 ∨ m = 1 .
3
Vậy ( P ) : 3 x − y = 0 hoặc ( P ) : x + 3 y = 0

Bài 6. Viết phương trình tổng quát của mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo
với (Oxy) một góc 60°.

gb

HD: (α): Ax + By + Cz + D = 0 qua M, N suy ra: C + D = 0; 3 A + D = 0
⇒ C = 3 A; D = −3 A . Mặt phẳng (Oxy) có VTPT là ( 0; 0;1) suy ra
C
2

2

A +B +C

2

= cos 60° ⇔

3A

= 1 ⇔ 36 A 2 = 10 A 2 + B 2
2
10 A + B
2

2

on

⇔ 26 A 2 = B 2 ⇔ B = ± 26 A . Do A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ⇒ A ≠ 0 .

Cho A = 1 suy ra mp(α): x − 26 y + 3 z − 3 = 0 hoặc x + 26 y + 3 z − 3 = 0

kh

Bài 7. Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là 3 số dương thay đổi
luôn luôn thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O
đến mặt phẳng (ABC) đạt Max.
HD:

y
1
(ABC): x + + z − 1 = 0 . Suy ra
= 12 + 12 + 12
a b c
d ( O; ABC )
a
b
c

⇒ 12 = 12 + 12 + 12 ⇒ = 1  12 + 12 + 12  ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ⋅ 9 = 3
3 a
3
d
a
b
c
b
c 
⇒ d 2 ≤ 1 ⇒ d ≤ 1 . Với a = b = c = 1 thì Max d = 1

3
3
3

Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( Pm ) : 2 x + y + z + 1 + m ( x + y + z + 1) = 0 .
Chứng minh rằng: (P m) luôn đi qua (d) cố định ∀m
Tính khoảng cách từ O đến (d). Tìm m để (Pm) ⊥ ( P0 ) : 2 x + y + z + 1 = 0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

HD:

 2 x + y + z + 1 = 0
Với mọi m, (Pm) luôn đi qua đường thẳng cố định (d): 
 x + y + z + 1 = 0

Mặt phẳng 2 x + y + z + 1 = 0 có VTPT: u = ( 2;1;1) và x + y + z + 1 = 0 có
VTPT v = (1;1;1) suy ra (d) có VTCP là: a = [u ; v ] = ( 0; −1;1) .

a

=

12 + 0 + 0

= 1
2
0 +1+1
2

m

[OM ⋅ a ]

Mặt khác (d) đi qua M ( 0; 0; −1) ⇒ d ( O, ( d ) ) =

co

( Pm ) : ( m + 2) x + ( m + 1) y + ( m + 1) z + m + 1 = 0 có VTPT n1 = ( m + 2; m + 1; m + 1) ;
Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( P0 ) có VTPT n 2 = ( 2;1;1) .

Để (Pm) ⊥ (P0) thì n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ 2 ( m + 2) + 1( m + 1) + 1( m + 1) = 0 ⇔ 4m + 6 = 0 ⇔ m = −3
2
Bài 9. Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1). Viết phương trình mặt

c.

phẳng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là một hình chữ nhật.

Cho S(9; 0; 0). Tính thể tích chóp S.OABC. Viết phương trình mặt
phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS.
AB = ( 2; 2; −1) , AC = ( 2;1; −3) ⇒ VTPT n =  AB, AC  = ( −5; 4; −2 )

oc
uo

HD:

Do (ABC) đi qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

−5 ( x − 0 ) + 4 ( y − 1) − 2 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 5 x − 4 y + 2 z = 0

O(0; 0; 0) và 5.0 − 4.0 + 2.0 = 0 nên O ∈ (ABC).
Ta có: OA = ( 0;1; 2 ) , OC = ( 2; 2; −1) ⇒ OC = AB

OA ⋅ OC = 0.2 + 1.2 − 2.1 = 0 suy ra OABC là hình chữ nhật.

gb

Gọi H là hình chiều của S lên (OABC) suy ra

V = 1 S OABC ⋅ SH = 2 ⋅ 1 S ABC ⋅ SH = 2.V SABC = 2 ⋅ 1  AB, AC  ⋅ AS
3
3
6

Ta có: AS = ( 9; −1; −2 ) và  AB, AC  = ( −5; 4; −2 )

on

⇒ V = 1 9 ( −5 ) − 1 ⋅ 4 − 2 ( −2 ) = 1 −45 = 15
3
3

(

)

(

Trung điểm của OS là M 9 ; 0; 0 ⇒ AM = 9 ; −1; −2
2
2

)
(

)

kh

⇒ Mặt phẳng chứa AB và đi qua M có VTPT là: n = [ AB. AM ] = −5; − 1 ; −11
2
⇒ Phương trình mặt phẳng: 10 x + y + 22 z − 45 = 0 .
Bài 10. Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo bởi hai mặt

phẳng ( P ) : x − 3 y + 7 z + 36 = 0; ( Q ) :2 x + y − z − 15 = 0 nếu biết khoảng cách từ
gốc tọa độ O đến α bằng 3.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêmGiải
các tài liệu học tập khác
Mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo bởi (P) và (Q) nên có phương trình dạng:
m ( x − 3 y + 7 z + 36 ) + n ( 2 x + y − z − 15 ) = 0 ( m 2 + n 2 > 0 )
⇔ ( m + 2n ) x + ( n − 3m ) y + ( 7 m − n ) z + 36m − 15n = 0 . Ta có

36m − 15n
2

( m + 2n ) + ( n − 3m ) 2 + ( 7 m − n ) 2

=3

⇔ 12m − 5n = 59m 2 − 16mn + 6n 2 ⇔ 19n 2 − 104mn + 85m 2 = 0

+ Cho n = m = 1 thì nhận được ( α 1 ) : 3x − 2 y + 6 z + 21 = 0
+ Cho m = 19, n = 85 ta có ( α 2 ) : 189 x + 28 y + 48 z − 591 = 0 .

co

⇔ ( n − m ) (19n − 85m ) = 0 ⇔ n = m ∨ 19n = 85m

m

d ( O, ( α ) ) = 3 ⇔

(

c.

Bài 11. Lập phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua 2 điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1)

)

và khoảng cách từ điểm M 0; 0; 1 đến mặt phẳng ( α ) bằng 6 3 .
2

oc
uo

Giải

Gọi phương trình mặt phẳng ( α ) là: Ax + By + Cz + D = 0 ( A 2 + B 2 + C 2 > 0 )
Ta có A ∈ ( α ) ⇒ 2 A − B + D = 0 (1) ; B ∈ ( α ) ⇒ 5 A + B + C + D = 0 ( 2 )
Mặt khác: d ( M , ( α ) ) = 7 ⇔ 1 C + D = 7
2
6 3
6 3
2
2
2
2
⇔ 27 ( C + 2 D ) = 49 ( A + B + C ) ( 3) .

A2 + B 2 + C 2

Từ (1) và (2), ta có C = −3 A − 2 B, D = B − 2 A ( 4 )

2
Thế (4) vào (3), ta được: 27.49 A 2 = 49  A 2 + B 2 + ( 3 A + 2 B ) 

gb

5B 2 + 12 AB − 17 A 2 = 0 ⇔ B = A ∨ B = − 17 A
5

+ Chọn A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nhận được ( α 1 ) : x + y − 5 z − 1 = 0
+ Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( α 2 ) : 5 x − 17 y + 19 z − 27 = 0

kh

on

VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI

Bài 1. Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với

( P ) : x − y + z − 7 = 0 , ( Q ) : 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0

Bài 2. Viết PT mp(α) đi qua M(1; 2;1) và chứa giao tuyến của

( P ) : x + y + z − 1 = 0, ( Q ) : 2 x − y + 3 z = 0

 x − y + z − 3 = 0
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ∆ ) : 
3x + y + 2 z − 1 = 0

và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + 2 z − 3 = 0


Truy cập www.khongbocuoc.com
thêm0;các
tài liệu
tập khác
Bài 4. Cho A(5; 1; để
3), download
B(1; 6; 2), C(5;
4). Viết
PT học
mp(ABC).

Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC). Viết PT mặt phẳng:
a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): x − 2 y + 3z + 1 = 0 .
b. Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và chứa giao tuyến của (α), (ABC)
Bài 5. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 x + ny + 4 z + m = 0 thuộc
chùm mặt phẳng có phương trình:
α ( 3 x − 7 y + z − 3) + β ( x − 9 y − 2 z + 5 ) = 0

m

Bài 6. Cho 2 mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 , ( β ) : x + y − z + 5 = 0 và điểm
M(1; 0; 5). Tính khoảng cách từ M đến mp(α).

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến (d) của (α) và (β)

co

đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x − y + 1 = 0 .

Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2),
C(−1; 2; 3). Tính khoảng cách từ gốc O đến (P).

c.

Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.
Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung

oc
uo

điểm của OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho OP = 2 và

OC 3
2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau.
AQ
.
AB
Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > 0. Gọi A’, B’
là hình chiếu của O lên DA, DB. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2
đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD.

Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số

Tính d theo a để số đo góc A′OB ′ = 45° .

Bài 10. Tìm trên Oy các điểm cách đều 2 mặt phẳng

( α ) : x + y − z + 1 = 0, ( β ) : x − y + z − 5 = 0

gb

Bài 11. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua điểm I(2; 1; −3) biết
(P) chứa Oy và (Q) chứa Oz.
Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 12. Cho ∆OAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy.

on

kh

(

)

Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(Oxy). Cho điểm S 0; 0; a .
3
Xác định A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặt phẳng

(P) chứa SE và song song với Ox. Tính d ( O, P ) từ đó suy ra d ( Ox; SE )


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Véctơ a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của a

m

I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

2. Nhận xét: Nếu a là một VTCP của (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP của (∆)

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

co

tức là (∆) có vô số VTCP.

1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x 0, y 0, z0)

c.

 x = x 0 + a1t

và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :  y = y 0 + a 2 t ( t ∈ » )

 z = z 0 + a 3 t

oc
uo

2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0)
x − x0 y − y 0 z − z 0
và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :
=
=
a1
a2
a3

3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2
tuyến của hai mặt phẳng 
 A2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0

4. Phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2):

gb

x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1

5. Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc:

on

( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2 )
Cho (∆): 
( β ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
n1 = ( A1 , B1 , C1 )

⇒VTPT của hai mặt phẳng là 
⇒ VTCP a =  n1 , n 2 
n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 )

kh

Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
.
a1

a2
a3

Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

m

Cho (∆ 1) đi qua M1(x 1; y 1 , z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )

co

Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau.

Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 = 0 và a1 : a 2 : a 3 ≠ b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) cắt nhau.

thì (∆1), (∆2) song song nhau.

c.

( ∆ 1 )
[u , v ] ⋅ M M = 0
1

2


Nếu 
và hệ phương trình của 
vô nghiệm
 a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3
( ∆ 2 )

oc
uo

( ∆ 1 )
[u , v ] ⋅ M M = 0
1
2


Nếu 
và hệ phương trình của 
có nghiệm
( ∆ 2 )
 a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3

thì (∆1), (∆2) trùng nhau.

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):

gb

Ax + By + Cz + D = 0 với VTPT n = ( A, B, C )

Nếu n ⋅ u ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0 thì (∆) cắt (α).

kh

on

Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C thì (∆) ⊥ (α).
 n ⋅ u = 0
 Aa + Bb + Cc = 0
Nếu 
⇔ 
thì (∆) // (α).
 M 0 ∉ ( α )
 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0
 n ⋅ u = 0
 Aa + Bb + Cc = 0
Nếu 
⇔ 
thì (∆) ⊂ (α).
 M 0 ∈ ( α )
 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa 2 đường thẳng:
Cho

(∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,

(( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác định bởi:

cos ϕ =

u ⋅v
=
u ⋅v

a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
a 12 + a 22 + a 32

b12 + b 22 + b 32

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

co

Góc giữa

m

(∆2) đi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )

Ax + By + Cz + D = 0 với VTPT n = ( A, B, C )

Góc giữa ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác định bởi:
u ⋅n
=
u ⋅ n

aA + bB + cC

oc
uo

sin ϕ =

c.

Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):

2

2

a + b + c2

A2 + B 2 + C 2

3. Góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa 2 mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2):
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:
cos ϕ =

n1 .n2
n1 n2

=

A1 A2 + B1 B2 + C1C2

A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

gb

V. KHOẢNG CÁCH

với n1 , n 2 là 2 VTPT của (α1), (α2).

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:
Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) . Khoảng cách từ điểm

kh

on

M1(x1; y 1, z1) đến đường thẳng (∆) là: d ( M 1 , ( ∆ ) ) =

u ⋅ M 0 M 1 
u

2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Cho (∆ 1) đi qua M1(x 1; y 1 , z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,

(∆2) đi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )
Giả sử ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau, khi đó d ( (∆ 1 ),(∆ 2 ) ) =

[ u , v ] ⋅ M 1M 2
[u , v ]


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là:
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B 2 + C 2

VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng

( ∆ )
hoặc sử dụng dấu hiệu nhận

( α )

co

( ∆ 1 )

Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi 

;
( ∆ 2 )

biết qua hệ thức của các véctơ

 2 x + 3 y = 0

 x − 2 y + z + 3 = 0

;

oc
uo

x − 2 y + 3 = 0

( ∆ 1 ) : 

2 x − 3 y − 3z − 9 = 0

( ∆ 2 ) : 

c.

Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau:
 x = 9t

( ∆ 1 ) :  y = 5t

 z = −3 + t

 y + 2z − 8 = 0

( ∆ 2 ) : 

 x + z − 8 = 0

 x = 1 + 2t

Bài 2. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) :  y = 1 − t ( t ∈ » ) với mặt

 z = 1 + t

gb

phẳng ( α ) : 2 x + y − z − 2 = 0

 x + y + z − 2 = 0
Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) : 
với mặt
 x + 2 y − z − 1 = 0

on

phẳng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0

Bài 4. Cho 3 đường thẳng:
 x = 3t
y+2


( ∆ 1 ) :  y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1− 1 = 4 = z −3 2 ,
z = 5 + t


kh

m

d ( M , α) =

 x − y + 3z − 3 = 0

( ∆ 3 ) : 

 2 x − y + z + 1 = 0

a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) và (∆ 3)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (α
α)
Phương pháp:
Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α)

m

Giao điểm H của (∆ ) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (α)

Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − 3 z + 5 = 0

3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (α
α)

co

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (α ).

Giả sử M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (α) là
M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 )

x + y – 3z + 5 = 0

c.

Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α):

4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng (∆
∆)

oc
uo

Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M và (α ) ⊥ (∆ ).

Giao điểm H của (∆) và (α ) là hình chiếu vuông góc của M lên (∆)
Phương pháp 2: Viết PT tham số của (∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t.
MH ⊥ u là véctơ chỉ phương của (∆). GPT MH ⋅ u = 0 ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H

Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆):

{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = −3 − 3t}

5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆
∆)

gb

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (∆ )

Giả sử M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (∆) là
M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 )

kh

on

Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆):

{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = 3 − 3t}

6. Dạng 6:

Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (∆
∆ ) lên mặt phẳng (α
α)

Phương pháp:

TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆ ) lên (α ) là điểm H≡ (∆) ∩ (α )


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆ ) lên (α ) là đường thẳng (∆)
TH3: (∆ ) không vuông góc với (α), (∆ ) ⊄ (α ):
C1:

Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆ ) và (β ) ⊥ (α ).

C2:

Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc (∆ ).
Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên (α ) là H1, H2.

C3:

co

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆ ’) ≡ H1 H2

m

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ).

Nếu (∆ ) cắt (α ): Xác định A ≡ (∆ ) ∩ (α ). Lấy M bất kì ∉ (∆) và M ≠ A.
Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α).
Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là (∆ ’) ≡ AH

oc
uo

lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0

c.

5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0
Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của (∆): 
 x + 2 z − 2 = 0

7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng (∆
∆ 1) lên (α
α)
theo phương (∆
∆ 2) cắt (α
α)
Phương pháp:

TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song của (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là
điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α )

TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song:

Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) và // (∆2 )

gb

Hình chiếu song song của (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α)

7 x + y − z − 1 = 0
Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt (∆1): 
lên (α):
x
+
2
y
+
z
+
1
=
0


on

y +1 z + 2
x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phương (∆ 2): x − 1 =
=
2
1
3

8. Dạng 8: VPT đường thẳng (∆
∆ ) qua M và cắt (∆
∆ 1), (∆
∆2) với (∆
∆ 1), (∆
∆ 2) chéo

nhau và không đi qua M

kh

Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1)

Nếu cho (∆1) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình (α) dưới dạng chùm

Nếu (∆1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ (∆1 )


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

⇒ Phương trình (α ) qua 3 điểm A, B, M.
Nếu (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α) cắt (∆2 ) thì tìm N = (∆ 2) ∩ (α )
Nếu MN // (∆ 1) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆1 ) suy ra đường thẳng
Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1),
mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 )

m

cần tìm là (∆) ≡ MN.

co

Xét (∆) = (α ) ∩ (β ). Nếu (∆) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường
thẳng cần tìm. Nếu (∆ ) // (∆1 ) hoặc (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm.

c.

 y − 2 = 0
Bài 1. VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) cắt (∆1): 
,
 2 x − z − 5 = 0
(∆2): { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t}

9. Dạng 9: VPT đường thẳng (∆
∆ ) cắt (∆
∆ 1), (∆
∆ 2) và song song với (∆
∆ 3)

oc
uo

Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆3 ),
mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) và // (∆3 )

Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β).
Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm.
Nếu (∆ ) // (∆ 1) hoặc (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm.

Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của (∆1 ) theo t1, của (∆ 2) theo t2.
Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t1, t2. ⇒ MN theo t1, t2.
Xác định t1, t2 sao cho MN // (∆ 3) ⇒ Đường thẳng (∆ ) cắt (∆1 ), (∆ 2) và song

gb

song với (∆3 ) là (∆ ) ≡ MN

Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) là giao điểm của (∆) và (∆ 1).
(∆) nhận VTCP của (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của (∆) theo x0, y0, z0.

kh

on

( ∆ )
(∆ ) cắt (∆ 2) suy ra hệ 
có nghiệm ⇒ x 0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆ )
( ∆ 2 )
 y − 2 = 0
Bài 1. VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1): 
, (∆2):
 2 x − z − 5 = 0

{ x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t}

và // với trục Oz.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

y + 2 z −1
y −3 z −9
=
=
Bài 2. VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − 2 =
, (∆2): x − 7 =
3

4
1
1
2
1
y+3 z−2
và // (∆3): x + 1 =
=
3
−2
1

m

10. Dạng 10: VPT đường thẳng (∆
∆ ) qua M và vuông góc (∆
∆ 1), cắt (∆
∆ 2) trong
∆ 1), (∆
∆ 2)
đó M ∉ (∆
(β ) qua M chứa (∆ 2)

co

Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), mặt phẳng
Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β).
Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường thẳng cần tìm.

c.

Nếu (∆ ) // (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm.

y +1 z + 2
=
Bài 1. VPT đường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 =
,
2
2
1

oc
uo

7 x + y − z − 1 = 0
cắt (∆ 2): 
 x + 2 y + z + 1 = 0

11. Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng (∆
∆ 1), (∆
∆ 2)
chéo nhau

a. TH đặc biệt: (∆ 1) ⊥ (∆2):

Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 )

Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆1 )

gb

⇒ MH là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆2)

b. Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dưới dạng tham số
Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa độ M, N theo t1 , t 2 ⇒ MN theo t1 , t 2 .

on

MN là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆ 2)

⇒ MN ⊥ ( ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ MN.
c. Phương pháp 2: Gọi a1 , a 2 là VTCP của (∆1 ) và (∆ 2)

kh

⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2 

Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 )

và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β).


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA.
Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của


x − 2 y − 2z + 9 = 0

và ( ∆ 2 ) : 
y − z +1= 0

m

x + y + z − 3 = 0

( ∆1 ) :  y + z − 1 = 0

Bài 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của

co

 x = 1 + 2t1
x = 2 + t2

( ∆ 1 ) :  y = 2 + t1 và ( ∆ 2 ) :  y = −3 + 2t 2
 z = −3 + 3t
 z = 1 + 3t
1
2



c.

Bài 4. VPT đường vuông góc chung của
3 x − 2 y − 8 = 0
( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t}


oc
uo

x = 2 + t
x + 2z − 2 = 0

Bài 5. Cho ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t và ( ∆ 2 ) : 
.
y − 3 = 0
 z = 2t


Viết phương trình mặt phẳng cách đều (∆ 1) và (∆2).
12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách
12.1. Tính khoảng cách:

y +1 z −1
Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ∆ ) : x − 1 =
=
2
1
3

Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC.

gb

Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
x + y = 0

( ∆ 1 ) :  x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t}


Bài 4. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

kh

on

( ∆ 1 ) : x 1− 1 =

y −2 z −3
=
,
2
3

x + 2 y − z = 0

( ∆ 2 ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0


Bài 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
 x + 8 z + 23 = 0

 x − 2z − 3 = 0





( ∆ 1 ) :  y − 4 z + 10 = 0 , ( ∆ 2 ) :  y + 2 z + 2 = 0

Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (α): 2x + y + z – 1 = 0
và (β):2x + y + z + 10 = 0.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4).
Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC)
12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước:
Tìm M∈Oy sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 4.
Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho khoảng cách từ M đến
(α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 bằng MA.

co

Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0.

m

Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0.

2 x + y + z − 1 = 0
sao cho d ( M , ( α ) ) = 3 .
Tìm M∈(∆): 
x + y + 2z + 3 = 0

Tìm M∈Ox cách đều (α) và (β)

c.

Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0.
12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất:

oc
uo

a. Dạng 1: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 để (MA + MB) min.

Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng
cách tính các đại lượng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d
Nếu t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó
MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B.

gb

Nếu t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng A qua (P).
Gọi M0 ≡ (A1 B)∩ (P). Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0 B.
b. Dạng 2: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 để |MA – MB| max.

on

Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng

cách tính các đại lượng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d
Nếu t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó

kh

|MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B|.

Nếu t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P).

Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B|


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

b. Dạng 3: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min.
Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của

k=

M 0 A'
M 0B'

=−

AA '

. Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B

BB '

m

các điểm A, B lên (∆ ). Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số

 A1 A ' = AA '
A A′ M A′
⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B thẳng hàng

B1 B ′ M 0 B ′
 A1 A ' ⊥ ( ∆ )

co

Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆ ) và thỏa mãn

Bài 1. Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3).

c.

⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B

Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB| max.

oc
uo

Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).

Tìm M∈ mặt phẳng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max.

Bài 3. Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3).

Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + z − 4 = 0 để (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 4. Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4).

Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + 2 z − 9 = 0 để (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 5. Cho A(1; 2;−1), B ( 2 − 2; 2; −3) .

gb

x + y + z − 3 = 0
Tìm M∈ ( ∆ ) : 
sao cho (MA + MB) min.
y + z − 5 = 0

Bài 6. Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4).

kh

on

y −1 z + 2
=
sao cho (MA + MB) min.
Tìm M∈ ( ∆ ) : x + 1 =
1
−1
2

y−2 z −2

A(1;2; −1)
Bài 7. Cho 
Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 =
sao cho (MA + MB) min.
=
3
−2
2
B ( 7; −2;3)

Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) .
x + y + z − 2 = 0
sao cho (MA + MB) min.
Tìm M∈ ( ∆ ) : 
x − y + z − 2 = 0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

13. Dạng 13: Các bài toán về góc
Bài 1. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0
Bài 2. Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1).
Bài 3. Cho ( P1 ) : 3 x − y − z + 2 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y + z − 3 = 0 ,

( P3 ) : − x + 3 y − 2 z + 1 = 0 . Gọi (∆) là giao tuyến của (P1) và (P2).

m

Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).

co

Tính góc giữa (∆) với giao tuyến của (P1), (P3) và với mặt phẳng (P3).
x = 2 + t
3 x − y − 1 = 0

Bài 4. Cho ( ∆ 1 ) : 
và ( ∆ 2 ) :  y = −1 . Tìm m để:
−
−
=
z
y
3
5
0

 z = 1 + mt


b. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 60°.

c.

a. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 45°

Khi đó tính góc giữa (P) với (∆2) biết rằng (P) ⊥ (∆1).

(

)

oc
uo

Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 .
2

a. Tính góc giữa ((ABC); (ABD))
b. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC).
14. Bài mẫu. Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 =
−1

y+2 z
=
1
2

1. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho:
a) MA + MB nhỏ nhất;

b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất;

c) MA + MB nhỏ nhất

d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

gb

2. VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

3. VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.
4. VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.

on

5. Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương
trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất?
Giải

1. M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t )
2

kh

a. MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) . Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44

Do đó MA + MB nhỏ nhất khi t = 2 và lúc đó M ( −1; 0; 4 )


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

2

b. Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28
Vậy MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi t = 2 và khi đó M ( −1; 0; 4 )
c. Ta sẽ xác định hình chiếu A1 , B1 của hai điểm A, B lên đường thẳng (d)

)
(
− 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) với BB ⊥ ( d )

3
3 3 3
1

1

co

MB 2 = 2 ( 3t 2

m

MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 với AA1 ⊥ ( d )
3
3
3 3

AA1 = 1 210 ; BB1 = 1 30 . Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn A1 B1 theo tỉ
3
3
 −2 (1 + 2 7 )
10 − 14 7 
; − 1;
= − 7 nên tọa độ của M là 


3 3 (1 + 7 ) 
BB1
 3 (1 + 7 )

AA1

c.

số k = −

d. AM ( −t ; − 6 + t ; − 2 + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12)

oc
uo

2
2
2
S AMB = 1  AM ; AB  = 1 ( 6t − 16 ) + ( −2t + 4 ) + ( 4t − 12 ) = 1 56t 2 − 304t + 416
2
2
2
304
19
5
38
12
= , khi đó M − ; ;
Dễ thấy S AMB nhỏ nhất khi t =
.
112 7
7 7 7
 x + y + 1 = 0
2. PT tổng quát của (d) là 

. Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
 2 y − z + 4 = 0

(

)

(d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0
2.4 − 2 + 4

= 10 = 2 5
5
2 + ( −1)
• Nếu a ≠ 0 thì có thể giả sử a = 1 . Khi đó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .

gb

• Nếu a = 0 thì (P): 2 y − z + 4 = 0 . Khi đó d ( A; ( P ) ) =

Suy ra d ( A; ( P ) ) =

. Xét hàm số f ( b ) =

2

( 5b + 3) 2
.
5b 2 + 4b + 2

5b 2 + 4b + 2

2
Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24
= 0 ⇔ b = 4 ∨b = − 3
2
5
5
2
( 5b + 4b + 2 )
Do f 4 = 35 ; f − 3 = 0 ; lim f ( b ) = 5 nên d ( A; ( P ) ) lớn nhất bằng 2 35 .
b →∞
5
6
5
6

()

on

kh

2 5b + 3

2

( )

Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc đó
5
6

phương trình (P) có dạng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0
5
5
5
3. Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 .

Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

• Nếu a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi đó cos α = 1 .
5
• Nếu a ≠ 0 ta có thể giả sử a = 1 . Khi đó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .
b2
= cos 2 α .
5b + 4b + 2
2

5b 2 + 4b + 2
4b 2 + 4b
= 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1
Ta có g ′ ( b ) =
( 5b 2 + 4b + 2 ) 2
Do g ( 0 ) = 0; g ( −1) = 1 ; lim g ( b ) = 1 nên cos α lớn nhất bằng
3 b→∞
5

m

. Xét hàm số g ( b ) =

1 khi b = −1
3

co

b

Từ đó cos α =

Kết luận: So sánh hai trường hợp trên ta thấy cos α lớn nhất hay (Q) tạo với
mặt phẳng (xOy) góc nhỏ nhất khi b = −1 . Lúc đó (Q) x − y + z − 3 = 0

c.

4. PT (R): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 . Trục Oz có VTCP là v ( 0; 1; 0 )

oc
uo

Nếu a = 0 thì (R): 2 y − z + 4 = 0 thì β = ((Q), Oy) thỏa mãn sin β = 2 .
5
Nếu a ≠ 0 ta có thể giả sử a = 1 . Khi đó (R): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0
2
. Xét hàm số h ( b ) = 4b2 + 4b + 1 = sin 2 β .
5b + 4b + 2
5b 2 + 4b + 2
2

Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = 0 ⇔ b = 2 ∨ b = − 1 .
2
( 5b 2 + 4b + 2 )

1 + 2b

Khi đó sin β =

( )

Do h ( 2 ) = 5 ; h − 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β lớn nhất bằng 5 , khi b = 2 .
b →±∞
6
6
2
5
Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn nhất khi b = 2 . Khi đó mặt
phẳng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 .

gb

5. Giả sử d 2 là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt d tại M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) .
Khi đó d ( B; d 2 ) =

 AM ; AB 

AM

=

56t 2 − 304t + 416
6t 2 − 20t + 40

2
= 28t 2 − 152t + 208
3t − 10t + 20

on

2
16 (11t 2 − 8t − 60 )
= 0 ⇔ t = −2 ; t = 30 .
Xét u ( t ) = 28t 2 − 152t + 208 . Ta có u ′ ( t ) =
2
11
2
3t − 10t + 20
( 3t − 10t + 20 )

( )

kh

Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B đến d 2 lớn
11 35 b→∞
3
nhất bằng 48 khi t = −2 và nhỏ nhất bằng 4 khi t = 30 . Khi đó d 2 tương ứng
11
35
y

−
4
y−4 z−2
có phương trình là d 2 : x − 1 =
= z − 2 và d 2 : x − 1 =
=
1
−4
−3
15
18
−19