Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

Cán bộ hướng dẫn: PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh, người đã dành nhiều thời
gian, công sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Nhân đây em xin được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô
giáo, các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa
Toán - Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp
đỡ em trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong chuyên ngành Toán ứng
dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quý báu đối với bản
thân trong thời gian qua. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình,
người thân luôn là chỗ dựa về tinh thần và vật chất trong cuộc sống và
trong học tập.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015.
Học viên

Phạm Kim Quý

1


DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
• AC([0, ∞), Cn): Không gian các hàm liên tục tuyệt đối từ [0, ∞) vào
Cn .
• C: Tập các số phức.
k
• Cpw

(I, Cn): Không gian các hàm khả vi liên tục từng khúc cấp k từ I
vào Cn .

• diag(σ1, σ2): Ma trận đường chéo với các phần tử chéo σ1 , σ2.
• K: K = R hoặc K = C.
• PTVP: Phương trình vi phân.
• PTVP ĐS: Phương trình vi phân đại số.
• R: Tập các số thực.
• rank A: Hạng của ma trận A.

2


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1 Một số khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Ma trận Metzler, ma trận dương. Nghịch đảo Drazin

6

1.1.2

Khai triển kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Phổ và chỉ số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . . . . 13
2 Một số kết quả về bán kính ổn định

16

2.1 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số . . . . 16
2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân thường có chậm 27
2.2.1

Bán kính ổn định của PTVP thường có chậm . . . . 28

2.2.2

Hệ dương có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có
chậm

33

3.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân đại số có chậm . 39
3.3 Tính ổn định mũ vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo

58

3


Mở đầu
Bài toán bán kính ổn định của PTVP ĐS có chậm (Delay Differential
Algebraic Equations) là bài toán nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững
và xây dựng công thức tính toán bán kính ổn định thực/phức cho PTVP
ĐS có chậm, dạng:

E x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − τ ),
ở đó E, A, D ∈ Cn×n, x : I → Cn , I = [0, ∞), τ > 0 là độ trễ thời gian,

det E = 0.
Trong tài liệu này, một tính chất P của hệ được gọi là vững nếu tính
chất đó được bảo toàn khi một nhiễu tùy ý ε (đủ nhỏ) tác động lên hệ.
Ngoài việc quan tâm tới tính vững của một tính chất, người ta còn quan
tâm tới độ vững của tính chất đó mà đại lượng quan trọng để đánh giá khái
niệm này là bán kính của thuộc tính (được đo bởi mê-tric tương thích).
Trong khuôn khổ luận văn, tính chất P được xét là tính ổn định, và hệ
được xét là hệ PTVP ĐS có chậm tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, chịu
tác động của nhiễu có cấu trúc.
PTVP ĐS có chậm là trường hợp tổng quát hơn của PTVP ĐS (Differential Algebraic Equations) và PTVP thường có chậm (Delay Ordinary
Differential Equations). Trong khi PTVP ĐS là mô hình toán học cơ bản
cho nhiều hệ động lực trong nhiều lĩnh vực ứng dụng chẳng hạn như mô
phỏng mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóa
học, ... thì PTVP ĐS có chậm là cần thiết để mô hình hóa những tác động
không tức thời (có chậm). Không giống như trường hợp PTVP thường có
chậm và PTVP ĐS, việc nghiên cứu tính ổn định của PTVP ĐS có chậm
gặp nhiều khó khăn do nó bao gồm cả phần ràng buộc đại số và độ trễ thời
4


gian, thậm chí lý thuyết tồn tại và duy nhất nghiệm cũng mới thu được
ít nhiều kết quả. Khó khăn còn rõ rệt hơn khi phân tích tính ổn định của
nó. Hầu hết các kết quả đã biết về tính ổn định của PTVP ĐS có chậm
chỉ là đối với trường hợp chính quy có hệ số hằng hoặc một vài trường hợp
có dạng đặc biệt. Nhiều kết quả đã biết trong PTVP thường có chậm và
PTVP ĐS không thể chuyển sang PTVP ĐS có chậm.
Bài báo [5] là cơ sở thực hiện luận văn. Trong tài liệu này, các tác giả
đã nghiên cứu tính ổn định của hệ thông qua mối quan hệ của tập phổ với
tập C− cùng với một số điều kiện kèm theo. Và để thu được công thức tính
toán bán kính ổn định của PTVP ĐS có chậm, thì việc phân tích phức

tạp hơn cùng với việc sử dụng hàm truyền G(λ)(transf erf unctions).
Trong luận văn, tác giả đề cập đến các dạng PTVP tuyến tính thuần
nhất hệ số hằng. Luận văn gồm 56 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương:

⋄ Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng
tôi tóm tắt một số kiến thức sử dụng trong luận văn, chủ yếu là các
kiến thức mở rộng về ma trận, véc-tơ và chuẩn.
⋄ Chương 2. Một số kết quả về bán kính ổn định. Nội dung của
chương là giới thiệu một số kết quả và công thức bán kính ổn định của
PTVP ĐS và PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số hằng như là
những trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân đại số có chậm.
⋄ Chương 3. Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại
số có chậm. Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong đó,
chúng tôi sẽ phân tích và chứng minh các kết quả về bán kính ổn định
phức của PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng. Và kết quả là
đưa ra một công thức tính toán bán kính ổn định.
Quá trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề sẽ không tránh khỏi sai sót, hạn
chế. Do đó, em rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô để luận
văn được hoàn chỉnh.

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cần
dùng cho các phân tích, chứng minh trong luận văn và một vài ví dụ minh
họa. Cụ thể là một số kiến thức mở rộng về ma trận, chuẩn và một vài
kiến thức cơ bản về PTVP.

1.1

Một số khái niệm về ma trận

1.1.1

Ma trận Metzler, ma trận dương. Nghịch đảo Drazin

Định nghĩa 1.1. Cho ma trận A = [aij ] ∈ Rn×n, 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó:
1. A được gọi là một ma trận Metzler nếu tất cả các phần tử, ngoại
trừ những phần tử trên đường chéo chính, là không âm, tức là aij ≥

0, ∀i = j .

2. A được gọi là ma trận không âm (nonnegative matrix) và viết là A ≥ 0
nếu aij ≥ 0, ∀i, j = 1, 2, ..., n.

3. A được gọi là ma trận dương (positive matrix) nếu tất cả các phần tử
của A là dương, tức là aij > 0, ∀i, j = 1, 2, ..., n, kí hiệu A > 0.
Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã biết đến khái niệm ma trận nghịch
đảo của một ma trận vuông khả nghịch. Mở rộng khái niệm này chúng ta
có các khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch
đảo Drazin, nghịch đảo suy rộng. Trong phần này chúng tôi trình bày về
khái niệm nghịch đảo Drazin và một vài kết quả liên quan.
6


Định nghĩa 1.2. Cho ma trận A ∈ Cn×n . Khi đó:
1. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của A và kí hiệu là ind(A) = k nếu

k là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn rank Ak = rank Ak+1.
2. Ma trận X ∈ Cn×n được gọi là nghịch đảo Drazin của A nếu X thỏa
mãn đồng thời các biểu thức

Ak XA = Ak ,
XAX = X,
AX = XA.
Trong đó, k = ind(A). Nghịch đảo Drazin của ma trận A kí hiệu là

AD .
Từ định nghĩa ta có ngay rằng, khái niệm nghịch đảo thông thường là
trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin, tức là nếu A là khả nghịch
theo nghĩa thông thường thì AD = A−1 . Ta có một số kết quả sau về
nghịch đảo Drazin.
Định lý 1.3. Trong định lý này ta chỉ xét các ma trận vuông. Khi đó ta
có các khẳng định sau:
(a) Nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn tồn tại và duy nhất,
(b) Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận không,
(c) Nếu P là ma trận chiếu, P 2 = P , có chỉ số ind P ≤ 1 thì P D = P ,
(d) (A∗ )D = (AD )∗ ,
(e) (AT )D = (AD )T .
Ví dụ sau chỉ ra ma trận nghịch đảo Drazin của một ma trận suy biến.
Ví dụ 1.1. Xét ma trận:

1 0 0
A= 0 0 1 .
0 0 0

7

Ta có rank A = 2, rank A2 = rank A3 = 1 nên ind(A) = 2.
Vì det A = 0, nên không tồn tại A−1 . Tuy nhiên ta có thể kiểm tra

1 0 0
X= 0 0 0
0 0 0
thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 1.2, tức là AD = X .

1.1.2

Khai triển kì dị

Khai triển kì dị (Singular Value Decomposition) là một công cụ đại số
tuyến tính rất mạnh và hữu dụng, được sử dụng trong nhiều bài toán liên
quan đến ma trận mà khi áp dụng các phương pháp như khử Gauss hay
phân tích LU sẽ cho kết quả với sai số lớn. Phân tích SVD dựa trên định
lý sau, xem [6].
Định lý 1.4. Cho A ∈ Cm×n . Khi đó luôn tồn tại các ma trận trực giao

U ∈ Cm×m, V ∈ Cn×n và ma trận đường chéo D := diag(σ1, . . . , σr ) trong
đó σi, 0 ≤ i ≤ r, là các căn bậc hai dương (kể cả bội) của các giá trị riêng
của ma trận A∗ A thỏa mãn
D 0
A = U 0 0 V ∗.
D 0
Ta thường ký hiệu Σ := 0 0 ∈ Rm×n và khai triển
A = U ΣV ∗
được gọi là khai triển kỳ dị của ma trận A.

Các véc-tơ cột của ma trận U được gọi là các véc-tơ kỳ dị trái, và các
véc-tơ cột của ma trận V được gọi là các véc-tơ kỳ dị phải, còn σi được
gọi là các giá trị kỳ dị của ma trận A.
Để tìm khai triển kì dị của một ma trận A ta đi tìm các véc-tơ riêng
của các ma trận A∗ A và AA∗ . Cụ thể các véc-tơ riêng đơn vị của A∗ A là
các véc-tơ cột của V , còn các véc-tơ riêng đơn vị của AA∗ là các véc-tơ
cột của U , các giá trị kỳ dị của A là các căn bậc hai của các giá trị riêng
8


Tài liệu tham khảo
[1] Ascher U.M., Petzold L.R. (1998): Computer methods for Ordinary
Differential equations and differential-algebraic equations, SIAM.
[2] Byers R., Nichols N.K. (1993): "On the stability radius of a generalized
state-space system", Linear Algebra and its Applications, Vol 188–189,
113–134.
[3] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh (2005): "Implicit-system approach to
the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems",
Systems and Control Letters, Vol 54, 33–41.
[4] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh, Mehrmann V. (2013), "Robust
Stability of Differential-Algebraic Equations", Surveys in DifferentialAlgebraic Equations I, 63-95, Springer.
[5] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh, Mehrmann V., Đỗ Đức Thuận
(2013): "Stability and robust stability of linear time-invariant delay
differential-algebraic equations", SIAM Journal on Matrix Analysis
and Applications, Vol 34, 1-32.
[6] Golub G.H., Van Loan C.F. (1996): Matrix Computations, 3rd edn.
The Johns Hopkins University Press, Baltimore P.
[7] Ha P., Mehrmann (2012): "Analysis and reformulation of linear delay
differential-algebraic equations", Electronic Journal of Linear Algebra,
Vol 23, 703-730.

[8] Hale J.K. (1977): Theory of functional-differential equations, SpringerVelag, Newyork-Heidelberg-Berlin.
58


[9] Kunkel and V. Mehrmann (2006): Differential-algebraic equations.
Analysis and numerical solution, EMS Publishing House, Z¨
urich,
Switzerland.
[10] Vũ Hoàng Linh, Đỗ Đức Thuận (2015), "Spectrum-Based Robust Stability Analysis of Linear Delay Differential-Algebraic Equations", Numerical Algebra, Matrix Theory, Differential-Algebraic Equations and
Control Theory, Springer International Publishing Switzerland, 533557.
[11] Michiels W. (2011): Spectrum-based stability analysis and stabilisation of systems described by delay differential algebraic equations, IET
Control theory Appl. 5.
[12] Qiu L., Bernhardsson B., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle
J.C. (1995): "A formula for computation of the real stability radius",
Automatica, Vol 31, 879–890.
[13] Nguyễn Khoa Sơn, Đỗ Đức Thuận (2011): "On the radius of surjectivity for rectan-gular matrices and its application to measuring stabilizability of linear systems under structured perturbations", Journal
of Nonlinear and Convex Analysis, Vol 12 , 441–453.

59