Nghiên cứu và mô phỏng bài toán về tĩnh điện của ADN trong dung dịch muối ion 2+

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN VĂN THÙY

NGHIÊN CỨU VÀ MÔ PHỎNG BÀI TOÁN
VỀ TĨNH ĐIỆN CỦA PHÂN TỬ ADN TRONG DUNG DỊCH MUỐI
ION 2+.

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN VĂN THÙY

NGHIÊN CỨU VÀ MÔ PHỎNG BÀI TOÁN VỀ TĨNH ĐIỆN CỦA
PHÂN TỬ ADN TRONG DUNG DỊCH MUỐI ION 2+.

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẾ TOÀN

Hà Nội – 2015


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn “Nghiên cứu và mô phỏng bài toán về tĩnh điện của
phân tử ADN trong dung dịch muối ion 2+ ”, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
TS. Nguyễn Thế Toàn – Giảng viên Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên, ngƣời đã
tận tình hƣớng dẫn, trang bị những kiến thức cơ bản và động viên trong suốt quá
trình em thực hiện luận văn.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thày cô giáo trong bộ môn Vật lý
lý thuyết – Khoa Vật lý – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên đã trang bị những
kiến thức chuyên môn cần thiết và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ
nhiệm khoa Vật Lí, phòng Sau Đại học trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn quỹ Nafosted đề tài số 103.02-2012.75
đã tài trợ kinh phí để giúp em hoàn thành nghiên cứu này.
Cuối cùng em xin gửi những lời cảm ơn tới gia đình, cơ quan và các bạn bè
đã luôn sát cánh, giúp đỡ và động viên trong suốt quá trình em học tập và hoàn
thành luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Học viên thực hiện

Nguyễn Văn Thùy


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU............................................................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1- MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CỦA PHÂN TỬ ADN, VIRUS VÀ BÀI TOÁN
PHÓNG ADN RA KHỎI VIRUS ........................................................ Error! Bookmark not defined.
1.1. Tổng quan về ADN ....................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.1. Cấu trúc hóa học của phân tử ADN ................................ Error! Bookmark not defined.
1.1.2. Cấu trúc không gian của phân tử ADN ........................... Error! Bookmark not defined.
1.2.Tổng quan về virus ......................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.2.1.Cấu trúc cơ bản của virus ................................................. Error! Bookmark not defined.
1.2.2.Chu kì sống của virus ....................................................... Error! Bookmark not defined.
1.3. Bài toán phóng ADN ra khỏi virus ............................................... Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG 2-CÁC LÝ THUYẾT TĨNH ĐIỆN CHO DUNG DỊCH ... Error! Bookmark not defined.

2.1. Phƣơng trình trƣờng trung bình Poisson-Boltzmann và lý thuyết tĩnh điện Debye-Huckel.Error! Bookmark n
2.1.1. Phƣơng trình Poisson-Boltzmann ................................... Error! Bookmark not defined.
2.1.3. Tuyến tính hóa phƣơng trình Poison – Boltzmann (PB) – Phƣơng trình Debye – Huckel
(DH).…………………………………………………………………………………………..E
rror! Bookmark not defined.

2.1.4. Áp dụng phƣơng trình Debyle-Huckel để tính thế năng quanh một hình trụ tích điện.Error! Bookmar

2.2. Lý thuyết tĩnh điện tƣơng quan mạnh và sự đảo dấu điện tích bởi các phản ion đa hóa trịError! Bookmark no
CHƢƠNG 3-PHƢƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO ........ Error! Bookmark not defined.
3.1. Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo và thuật toán Metropolis ... Error! Bookmark not defined.
3.1.1. Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo ............................. Error! Bookmark not defined.
3.1.2. Điều kiện cân bằng chi tiết .............................................. Error! Bookmark not defined.
3.1.3. Thuật toán Metropolis ..................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2. Lý thuyết mô phỏng Monte Carlo hệ vĩ chính tắc......................... Error! Bookmark not defined.

3.3. Cách tính áp suất và năng lƣợng tự do bằng phƣơng pháp tập hợp thống kê mở rộngError! Bookmark not de
CHƢƠNG 4- KẾT QUẢ TÍNH TOÁN LÝ THUYẾT VÀ MÔ PHỎNG HỆ ADNError! Bookmark not defined.

4.1. Lý thuyết đảo dấu điện tích áp dụng cho bài toán phóng ADN ra khỏi virusError! Bookmark not defined.
4.1.1. Lý thuyết tính toán số lƣợng ADN phóng ra khỏi virus.. Error! Bookmark not defined.
4.1.2.Kết quả việc khớp lý thuyết với số liệu thực nghiệm của việc phóng ADN ra khỏi
virus..……...Error! Bookmark not defined.
4.2. Mô phỏng hệ ADN ........................................................................ Error! Bookmark not defined.


4.2.1 Mô hình hệ ADN.............................................................. Error! Bookmark not defined.
4.2.2 Kết quả mô phỏng ........................................................... Error! Bookmark not defined.
4.2.2.1.Sự đảo dấu điện tích ADN bởi các phản ion đa hóa trị . Error! Bookmark not defined.
4.2.2.2. Tƣơng tác hiệu dụng giữa ADN và ADN khi có mặt phản ion ở dung dịch và năng
lƣợng tự do của quá trình gói ADN vào trong virus. ............... Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN .......................................................................................... Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................................... 3
PHỤ LỤC............................................................................................. Error! Bookmark not defined.


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Cấu trúc 4 loại base của phân tử ADN
Hình 1.2. Cấu trúc hóa học của phân tử ADN
Hình 1.3. Cấu trúc xoắn kép của ADN
Hình 1.4. Một số cấu trúc dạng xoắn của ADN
Hình 1.5. Cấu trúc cơ bản của virus
Hình 1.6. Đối xứng icosahedron của vỏ virus CCMV
Hình 1.7. Cấu trúc đối xứng của virus
Hình 1.8. Chu kì sống điển hình của virus
Hình 1.9. Phần trăm số lƣợng ADN phóng ra khỏi virus phụ thuộc nồng độ P.E.G
Hình 1.10. Đồ thị biểu diễn phần trăm số lƣợng ADN phóng ra khỏi virus phụ
thuộc áp suất thẩm thấu (tỉ lệ với nồng độ P.E.G)
Hình 1.11. Đồ thị biểu diễn phần trăm số lƣợng ADN phóng ra khỏi virus phụ

thuộc nồng độ muối Na+ tại áp suất thẩm thấu 3.5 atm.
Hình 1.12. Đồ thị biểu diễn phần trăm số lƣợng ADN phóng ra khỏi virus phụ
thuộc nồng độ muối ion đa trị.
Hình 3.1. Giản đồ phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo
Hình 4.1. Mô hình phân tử ADN bên trong vỏ virus
Hình 4.2. Mô hình cấu trúc mạng ADN
Hình 4.3. Đồ thị biểu diễn áp suất thẩm thấu phụ thuộc khoảng cách giữa các ADN
với các nồng độ muối 2+ khác nhau.


Hình 4.4. Đồ thị biểu diễn áp suất thẩm thấu phụ thuộc khoảng cách giữa các ADN
với các nồng độ muối ion 2+ khác nhau.
Hình 4.5. Đồ thị biểu diễn năng lƣợng đóng gói ADN phụ thuộc nồng độ muối ion
2+ .
Bảng 1. Thế hóa của hệ muối 2+ và 1+


BẢNG DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

STT

Viết tắt

Cụm từ viết tắt

1

ADN

Axit deoxyribonucleic

2

ARN

Axit ribonucleic

3

CCMV

Cowpea Chlorotic Mottle Virus

4

DH

Debye-Huckel

5

DMC

Dynamic Monte Carlo

6

DSMC

Direct simulation Monte Carlo

7

IF

Impact factor

8

KMC

Kinietec Monte Carlo

9

MC

Monte Carlo

10

PB

Poisson-Boltzmann

11

P.E.G

Poly ethylene glycol

12

QMC

Quantum Monte Carlo


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
ADN đƣợc biết đến là một phân tử axit nucleic mang thông tin di truyền mã
hóa cho mọi hoạt động sinh trƣởng và phát triển của các dạng sống bao gồm cả
virus. Trong các cơ thể sống ADN có thể đƣợc tìm thấy trong nhân tế bào hoặc
trong tế bào chất. Tại đó, ADN tham gia vào các quá trình tổng hợp, điều tiết số
lƣợng protein, sinh trƣởng phát triển và hoạt động di truyền qua các thế hệ. Chính vì
vậy, ADN (axit deoxyribonucleic ) đóng vai trò quan trọng trong mọi hoạt động của
các cơ thể sống và một trong những lĩnh vực quan trọng của nghiên cứu ADN hiện
nay là di truyền học và y học.
Với việc khám phá ra những đặc tính của ADN sẽ giúp chúng ta có khả năng
phát hiện những gene hỏng giúp chuẩn đoán, điều trị bệnh sớm hơn và có thể tìm ra
đƣợc những phƣơng pháp điều trị mới hiệu quả hơn bằng cách thay thế hoặc sửa
chữa những gene hỏng đó. Lĩnh vực trị liệu gene này đang phát triển với một tốc độ
nhanh chóng đòi hỏi nghiên cứu khoa học từ nhiều khía cạnh: sinh học, vật lý, hóa
học và toán tin học. Một trong những phƣơng pháp đang đƣợc quan tâm đó là việc
đƣa gene vào tế bào bằng cách sử dụng các virus chứa ADN. Trong phƣơng pháp
này ngƣời ta có thể đƣa phân tử ADN chứa gene vào trong vỏ virus rồi sử dụng các
cơ chế thâm nhập của virus để đƣa gene vào tế bào cần thay đổi gene.
Trong môi trƣờng nƣớc, ADN là 1 phân tử tích điện âm mạnh. Do đó các
tƣơng tác tĩnh điện đóng vai trò quan trọng trong các cấu trúc, chức năng của ADN.
Tƣơng tác tĩnh điện cũng là một trong các yếu tố ảnh hƣởng đến quá trình phóng

ADN ra khỏi virus và xâm nhập vào tế bào. Cụ thể là khi thay đổi nồng độ của muối
ion đa trị có trong môi trƣờng dung dịch, có một nồng độ phản ion 2+ tối ƣu có thể
hạn chế tối đa việc phóng ADN ra khỏi virus. Các nồng độ phản ion 2+ cao hơn
hoặc thấp hơn nồng độ tối ƣu thì phân tử ADN muốn đƣợc giải phóng ra khỏi virus
nhiều hơn. Thực tế là các phản ion 2+ có ảnh hƣởng mạnh nhƣ vậy tới quá trình

1


phóng ADN là rất không tầm thƣờng. Thực nghiệm cho thấy các ion 2+ không thể
ngƣng tụ hoặc chỉ ngƣng tụ một phần các ADN. Nhƣng đối với ADN đóng gói
trong vỏ virus thì ion 2+ có ảnh hƣởng rất mạnh. Chính vì môi trƣờng rất cá biệt
ADN trong virus ở đó ADN đƣợc đƣa sẵn vào trong bởi một protein động cơ nên
muối ion 2+ mới có thể phát huy tối đa ảnh hƣởng của chúng.
Với mong muốn nghiên cứu sự ảnh hƣởng của một số hiệu ứng tĩnh điện lên
phân tử ADN và đƣa ra kết quả ảnh hƣởng của muối ion 2+ lên quá trình phóng
ADN ra khỏi virus phục vụ cho nghiên cứu y học và di truyền học là lý do tác giả
chọn đề tài “ Nghiên cứu và mô phỏng bài toán về tĩnh điện của phân tử ADN trong
dung dịch muối ion 2+ ”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong bài toán phóng ADN ra khỏi virus, chúng tôi sẽ tập trung xem xét ảnh
hƣởng của muối 2+ lên tƣơng tác hiệu dụng giữa giữa các phân tử ADN. Chúng tôi
sử dụng 2 phƣơng pháp khác nhau để nghiên cứu tƣơng tác hiệu dụng này. Đó là:
1. Phƣơng pháp giải tích dùng lý thuyết tĩnh điện tƣơng quan mạnh.
2. Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo cho hệ vĩ chính tắc
3. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mục lục và mở đầu, nội dung chính của luận văn gồm:
Chương 1.Một số tính chất vật lý của phân tử ADN, Virus và bài toán
phóng ADN ra khỏi virus
Nội dung của chƣơng 1 luận văn trình bày trình bày cấu trúc hóa học của

ADN, cấu trúc cơ bản của virus và giới thiệu về bài toán phóng ADN ra khỏi virus.
Chương 2. Các lý thuyết tĩnh điện cho dung dịch
Trong chƣơng 2, chúng tôi giới thiệu về lý thuyết tĩnh điện của dung dịch và
PE, thiết lập phƣơng trình trƣờng trung bình tự hợp (phƣơng trình Poisson –
Boltzmann) và giải phƣơng trình Debye – Huckel cho trƣờng hợp dây ADN đƣợc

2


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Adams, D. J., (1974), Mol. Phys. 28, 1241.
2. Baker, T.S., Olson, N.H., Fuller, S.D., (1999), “Adding the third
dimension to virus life cycle: three-dimensional reconstruction of
icosahedral viruses from cryo-electron micrographs”, Microbiol. Mol.
Biol. Rev. 63, 862.
3. Besteman, K., Eijk, K.V., Lemay, S.G. , (2007), “Charge inversion
accompanies DNA condensation by multivalent ion”, Nat. Phys. 3, 641.
4. Black, L.W., (1989), “DNA packaging in dsDNA bacteriophages”, Annu.
Rev. Mirobiol. 43, 267.
5. Bruinsma, R., (1998), “Electostatics of DNA-Cationic lipid complexes :
isoelectric instability”, Eur. Phys. J. B 4, 75.
6. Castelnovo, M., Bowles, R.K., Reiss, H., Gelbart, W.M., (2003),
“Osmotic force resisting chain insertion in a colloidal suspension”, Eur.
Phys. J. E 10 , 191.
7. Chapman.D.L., (1913), Philos. Mag., 25, 475.
8. Debye P.W., H¨uckel E., (1923), Z. Phys. 24, 185
9. Evilevitch, P.K., Castelnovo, M., Knobler, C.M., Gelbart, W.M., (2004),
“Measuring the force ejecting DNA from phage”, J. Phys. Chem. B 108,
6838.
10. Evilevitch, P.K., A., Fang, L.T., Yoffe, A.M., Castelnovo, M., Rau, D.C,

Parsegian, V.A, Gelbart, W.M., Knobler, C.M., (2008), “Effects of salt
concentration ADN bending energy on the extent of ejection of phage
geneomes”, Biophys. J. 94, 1110.

3


11. Evilecitch, A., Lavelle, L., Knober, C.M., Raspaund, E., Gelbart, W.M.,
(2003), “Osmotic pressure inhibition of DNA ejection from phage”,
Proc.Natl. Acad. Sci. U. S. A. 100 , 9292.
12. Fuller, D.N., Rickgaer, J.P, jardine, P.J., Grimes, S., ADNerson, D.L.,
Smith, D.E., (2007), “Ionic effects on viral DNA packaging anf portal
motor function in bacteriophage phi29”, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A.
104, 11245.
13. Gelbarth, W.M., Bruinsma, R.F., Pincus, P.A., Parsegian, A.V., (2000),
“DNA-inspired electrostatics”. Phys. Today 53, 38.
14. Gronbech-Jensen, N., Mashl, R.J., Bruinsma, R.F., Gelbart, W.M., (1997),
“Counterion-induced attraction between rigid polyelectrolytes”, Phys.
Rev. Lett. 78, 24772480.
15. Grosberg A.Y., Nguyen, T.T., Shklovkii, B., (2002), “Low temperature
physics at room temperature in water: charge inversion in chemical ADN
biological system”, Rev. Mod. Phys. 74, 329.
16. GuldbrADN, L., Nilsson, L.G., Nordenskiold, L., (1986), “A Monte
Carlos simulation study of electrostatic forces between hexagonally
packed DNA double helices”, J. Chem. Phys. 85, 6686.
17. Ha B.-Y., Thirumalai D., (1995), Macromolecules,28, 577.
18. Hammersley, J. M., HADNscomb, D. C., (1964), “Monte Carlo Methods”,
(Methuen, London).
19. Hsiao, P.-Y., Luijten, E., (2006), “Salt-induced collapse ADN reexpansion
of highly charged flexible polyelec-trolytes”. Phys. Rev. Lett. 97, 148301.

20. Hsu H.-P., Paul W., Binder K., (2010), “StADNard Definitions of
Persistence Length Do Not Describe the Local Intrinsic Stiffness of Real
Polymer Chains”, Macromolecules, Vol.43, p. 3094-3102.
21. Hud, N.V., Downing, K.H., (2001), “Cryoelectron microscopy of λ phage
DNA condenstates in vitreous ice: the fine structural of DNA toroids”,
Pro. Natl. Acad.Sci. U. S. A. 98, 14925.

4


22. IUPAC Compendium of Chemical Terminology, (1997), - the Gold Book
,2nd edition.
23. Kadnue, M., Naij, A., Podgodnik, R., (2010), “Countrion-mediated weak
ADN strong coupling electrostatic interation between like-charged
cylindrical dielectrics”, J. Chem. Phys. 132, 224703.
24. Kindt, J., Tzlil, S., Ben-Shaul, A., Gelbart, W.M., (2001), “DNA
packaging ADN ejection forces in bacteriophages”. Proc. Nalt. Acad. Sci.
U. S. A. 98, 13671.
25. Knobler,C.M.,Gelbart, W.M., (2009), “Physical chemistry of DNA
viruses”, Annu.Rev. Phy. Chem. 60, 367.
26. Koltover, I., Wanger , K., Safinya, C.R., (2000), “DAN condensation in
two dimension”, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. 97, 14046.
27. Lee, S., Le, T.T., Nguyen, T.T., (2010), “Reentrant behavior of divalentcounterion-mediated DNA-DNA electrostatic interaction.
28. Lee, S., Tran, C.V., Nguyen, T.T., (2011), “Inhibition of DNA ejection
from bacteriophage by Mg+2 counterions”, J. Chem. Phys. 134, 125104
29. Letellier, L., Boulanger, P., Plancon, L., Jacquot, P., Santamaria, M.,
(2004), “Main features on tailed phage, host recognition ADN DNA
uptake”, Front. Biosci. 9, 1228.
30. Lyubartsev, A.P., Nordenskiold, L., (1995), “Monte Carlos simulation
study of ion distributionADN osmotic pressure in hexagonally oriented

DNA”. J. Phys. Chem. 99, 10373.
31. Lyubartsev, A.P., Tang, J.X., Janmey, P.A., Nordenskiold, L., (1998),
“Electrolstatically induced polyelectrolyte association of rodlike virus
particles”, Phys. Rev. Lett. 81, 5465.
32. Moreira, A.G., Netz, R.R. , (2002), “Simulation of counterion at charged
plates”, Eur. Phys. J. E 8,33.
33. Murialdo, H., (1991), “ Bacteriophage lambda DNA maturation ADN
packaging” . Annu. Rev. Biochem. 60, 125.

5


34. Naji, A., Armold, A., Holm, C., Netz, R.R., (2004), “Attraction ADN
unbinding of like-charged rods”, Eur. Phys. Lett. 67,130.
35. Nguyen, T.T., Rouzina, I., Shklovskii, B.I., (2000), “Reentrant
condensation of DNA induced by multivalent counterion”, J. Chem. Phys.
112, 2562.
36. Pelta, J., DurADN, D., Doucet, J., Livolant, F., (1996), “DNA mesophase
induced by spermidine: structural properties ADN biological implication”,
Biophys. J. 71, 48.
37. Perel, V.I,. Shklovkii, B.I., (1999), “Screening of macroion by multivalent
ion: a new boundary condition for the Poisson-Boltzmann equation ADN
charge inversion”, Physica A 274, 446.
38. Petrov, A.S., Harvey, S.C., (2008), “Packaging double-helical DNA into
viral capsids: structure, forces ADN energetic”, Biophys. J. 95, 497.
39. Petrove, A.S., Lim-Hing, K., Harvey, S.C., (2007), “Packaging of DNA
by bacteriophage epsilon15: structure, Forces, ADN thermodynamics”,
Structure 15, 807.
40. Purohit, P.K, Inamdar, M.M., Grayson, P.D., Squires, T.M., Kondev, J.,
Phillips, R., (2005), “Forces during bacteriophage DNA packaging ADN

ejection”, Biophys. J. 88, 851.
41. Rau, D.C., Pasergian, V.A., (1992), “Direct measurement of the
intermolecular forces between counterion-condensed DNA double helices.
Evidence for long range attractive hydration forces” Biophys. J. 61, 246.
42. Riemer, S.C., Bloomfile, V.A., (1978), “Packaging of DNA bacteriophage
heads: some consideration on energetic”. Biopolymers 17, 785.
43. Rasaiah, J. C., Card, D. N., ADN Valleau, J. P., (1972), J. Chem. Phys.
56, 248.
44. Saminathan, M., Antony, T., Shirahata, A, Sigal, L.H., Thomas, T.,
Thomas, T.J., (1999), “Ionic ADN structural specificity effects of natural
ADN synthetic polyamines on the aggregation of ADN resolubilization of

6


single-, double-, ADN triple-strADNed DNA”, Biochemistry 38,
38213380.
45. Shklokii, B.I., (1999), “Screening of a macroion by multivalent ion:
correlation-induced inversion of charge”, Phys. Rev. E 60, 5802.
46. Skinner, B., Shklovskii, B.I. (2009), “Non-monotonic swelling of a
macroion due to correlation-induced charge inversion”, Physica A 388, 1.
47. Skolnick J., Fixman M. (1977), Macromolecules, 10, 944.
48. Smith, D.E., (2011), “Single-molecule studies of virial DNA packaging”,
Cur. Opin. In Virol. 1, 134.
49. Smith, D.E., Trans, S.J.,Smith, S.B.,Grimes, S., ADNerson, D.L.,
Bustamante, C., (2001), “The bacteriophage straight phi29 portal motor
can package DNA against a large internal force” , Nature 413, 718.
50. Valleau, J.P., Colhen, L.K., (1980), “Primitive model electrolytes. I.
GrADN canonical Monte-Carlo computation”, J. Chem. Phys. 72, 5935.
51. Valleau, J. P., Whittington, S. G., (1977), “A Guide to Monte Carlo for

Statistical Mechanics. 1. Highways,” in Modern Theoretical Chemistry,
Vol. 5A: Statitical Mechanics: Techniques, edited by Berne, B., 137.
52. Winterhalter, M., Helfrich, W., (1988), “Effect of surface charge on the
curvature elasticity of membranes”, J. Phys. Chem. 92, 6865.

7