Toán cao cấp A1 Chuỗi số dương

II. CHUỖI SỐ DƯƠNG
∞

1.Định nghĩa:

∑ un

Chuỗi số dương là chuỗi

với

n =1

un > 0, ∀n

2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương
a) Tiêu chuẩn tích phân

f (x)

Cho hàm số

liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên

[ k ,+∞), k∈N ∗

∞

Khi đó

Chuỗi

f (n)
∑
n =1

hội tụ

⇔

+∞

∫
k

f ( x) dx

hội tụ


a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt)
∞

VD1: Xét chuỗi

1
∑ α
n =1 n

∗ Nếu

α<0

∗ Nếu

α=0

∗ Nếu

α >0

thì

un → ∞

nên chuỗi phân kỳ.

un =1

nên chuỗi phân kỳ.

khi đó xét hàm

f ( x) = 1α
x

thì


VD 1(tt)

Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên

+∞
Mà

∫
1







1 dx
α
x
∞

Vậy chuỗi

1
∑
α
n =1 n

hội tụ nếu

α >1

α ≤1

phân kỳ nếu







hội tụ nếu

phân kỳ nếu

α >1

α ≤1

[1,+∞)


∞

∑

VD2: Xét chuỗi

n=2

Xét hàm

f (x) =

1
n ln n

1
x . ln x

[2,+∞)

Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm

+∞
Mà

∫2

trên

dx =
x ln x

+∞

∫2

+∞

Vậy tích phân

∫
2

+∞
d (ln x)
= ln( ln x) | = + ∞
ln x
2

dx
x ln x

Theo tiêu chuẩn tích phân

phân kỳ.

∞

∑
n =2

1
n ln n

phân kỳ.


b) Tiêu chuẩn so sánh 1:
∞

∑ un

Cho hai chuỗi số dương

∞

∑ vn

và

n =1
thoả điều kiện ∃N:

n =1

0< u ≤ v ∀n ≥ N
n n,

Khi đó:

∞

Nếu chuỗi

∑ vn

n =1
Hoặc nếu chuỗi

∞

hội tụ thì chuỗi

∑u
n =1

∞

∑u
n =1

n

hội tụ

∞

n

phân kỳ thì chuỗi

∑v
n =1

n

phân kỳ.

b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
∞

VD1: Cho chuỗi số

n

2
∑ 5n + n
n =1
n

n

Ta có:

2
2

0 < n ≤  
5 + n  5
∞

Mà chuỗi

n

 2 
∑
n =1  5 

hội tụ

2
(q = <1)
5
∞

Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi

n

2
∑
n
n =1 5 + n

hội tụ


b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
∞

VD2: Cho chuỗi số

ln n
∑
n =2 n

ln

n
1
un =
>
> 0 ; ∀n ≥ 3
n
n

Ta có:

∞

Mà chuỗi

1
1
∑
2
n =2 n

phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn
tích phân)

∞

Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi

ln n
∑
n =2 n

phân kỳ.


c) Tiêu chuẩn so sánh 2:

∞

un , ∑ vn
∑
n =1
n =1

Cho hai chuỗi số dương

Giả sử tồn tại

∞

un
lim = k
n→∞ vn

• k = 0 nếu chuỗi

vn
∑
n =1

• k = +∝ nếu chuỗi

• 0 < k < +∝ hai chuỗi

∞

∞

un
∑
n =1

hội tụ thì chuỗi

∞

∞

un
∑
n =1 ∞
un
∑
n =1

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

hội tụ.

hội tụ thì chuỗi

∞

và

vn
∑
n =1

vn
∑
n =1

hội tụ.


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

2

n + n +1
∑
4
n
+1
n =1

VD1: Xét chuỗi số

2

Ta có:

n + n +1
1
~ 2
4
n +1
n

khi

n →∞

∞

Mà chuỗi

Nên
chuỗi

1
∑
2
n =1 n
∞

hội tụ.

2

n + n +1
∑
4
n
+1
n =1

có cùng tính chất là hội tụ.


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

n
+
1
−
n
−
1
VD2:
Xét chuỗi số
3
∑
4
n
n =1
n + 1− n −1
2
2

u
=
=
~
Ta có
3
3
5
n
4
4
n
n ( n + 1 + n − 1) n 4
khi n → ∞
∞

Mà chuỗi

Nên
chuỗi

1
5
∑
4
n
n =1
∞

∑

n =1

hội tụ.

n + 1− n −1
3
n4

có cùng tính chất hội tụ


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

∑
n
n
n
n =1

VD3: Xét chuỗi số

Ta có

Lú
c này

1

1

1
.
un = n
vn =
n
n n Xét
un
lim = lim n1 = 1
n→∞ vn
n →∞ n
∞

Mà chuỗi

Nên
chuỗi

1
∑
n
n =1
∞

phân kỳ

1

∑
nn
n

n =1

cũng phân kỳ


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

1
n
+
1
⋅
ln(
)
VD4: Xét chuỗi số
∑
n −1
n =1 n
T
1
2
1
2
u
=
⋅
ln(
1
+

)
~
⋅
khi n → ∞
n
a có
n −1
n
n n −1
Xét
vn = 13
n2
∞
u
Lú
1
n = 2
lim
mà chuỗi
3
∑
c này
2 hội tụ
n→∞ vn
n
n =1
∞
Nên
1 ⋅ ln(n + 1) cũng hội tụ.
∑

chuỗi
n −1
n =1 n


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

∑
n =1

VD5: Xét chuỗi số

3

1
n . arctg 2
n
2

3 2 1
1
1
un = n . arctg 2 ~ n ⋅ 2 = 4
n
n n3
3

T
a có

Mà
chuỗi

Nên
chuỗi

2

∞

1
4
∑
n =1 n3
∞

∑
n =1

3

hội tụ

n . arctg 12
n
2

cũng hội tụ.

khi

n →∞


d) Tiêu chuẩn D’Alembert:
∞

un
∑
n =1

Cho chuỗi số
dương

Giả sử tồn tại giới hạn

∗ Nếu D<1 thì
∗ Nếu D>1 thì

∞

un
∑
n =1

un +1
lim
=
D

n →∞ u
n
hội tụ.

∞

un
∑
n =1

phân kỳ.

∗ Nếu D=1 thì chưa có kết luận.


d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)

un+1
>1 ∀n ≥ N
un

Tuy nhiên nếu ta chứng minh được

∞

thì lúc này ta kết luận

un
∑
n =1

∞

phân kỳ.

n

3
.
n
!
VD1: Xét chuỗi số
∑
n
n
n =1
un +1
3
3
Ta có
→
>1
=
n
e
u n ( 1 + 1n )
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi

∞

n

3 . n!
∑
n
n =1 n

phân kỳ.


d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
∞

n

2 + 5n
∑
n
!
+
ln
n
n =1

VD2: Xét chuỗi số

2 + 5n
un =
n!+ ln n
Vn +1 2
= →0

Vn n
n

Ta có

Mà

2

2

Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi

∞

chuỗi

un
∑
n =1

cũng hội tụ.

n

~

vn = 2
n!

khi

n →∞

∞

vn
∑
n =1

hội tụ nên


d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
∞

n

e
.
n
!
VD3: Xét chuỗi số
∑
n
n =1 n
un+1
e
=
→1

Ta có
n
un (1 + 1)
n

(

Tuy nhiên ta có

∞

Vậy chuỗi

)

n
1
1+ n < e

nên

n

e . n!
∑
n
n =1 n

phân kỳ.

un+1
>1
un


e) Tiêu chuẩn Cauchy:
∞

un
∑
n =1

Cho chuỗi số dương

giả sử tồn tại

lim n un = c

n→∞

∗ Nếu c < 1 thì
∗ Nếu c > 1 thì

∞

un
∑
n =1

hội tụ.

∞

un
∑
n =1

phân kỳ.

∗ Nếu c = 1 thì chưa có kết luận.


e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
n

Tuy nhiên nếu ta chứng minh được

un >1, ∀n ≥ N

thì ta kết luận chuỗi phân kỳ.

∞

VD1: Xét chuỗi số

Ta có:

n

n

3
∑
n
n =2 (ln n)

un = 3 → 0
ln n
∞

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy

n

3
∑
n
n =2 (ln n)

hội tụ.


e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)

Ta có:

n

n

n .2
∑
n2
n =1 ( n + 1)
∞

VD2: Xét chuỗi số

n2

un =

2 → 2 <1
1 n
e
(1+ n )
∞

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy

∑u
n =1

n

hội tụ.


e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)

 2n + 3 
 2n +1 
∑

n =1 
∞

VD3: Xét chuỗi số

Ta có:

n

Tuy nhiên

n

2n + 3
un =
→1
2n +1
2n + 3
>1
2n +1
∞

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy

∑u
n =1

n

phân kỳ.