Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán 2011

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011
MÔN: TOÁN (Vòng 2)
Câu I. 1) Điều kiện 0  x  1 , phương trình tương đương với 

3
x3  x

( 1  x  1)  1

 3( 1  x  1)  x  x  3

Nếu 0  x  1  3





1  x  1  3 đồng thời

x

x3 

1

4 3

Suy ra VT  VP. (loại).

Thử lại ta thấy x  1 là nghiệm.
2) x  y  0 là nghiệm. Xét x  0, y  0 hệ phương trình tương đương với
1
1
1
1


2

 2 (1)
2
2
2
x
x
y
y2







1
1
1
 
 1  1  2  2   8 (2)

1   4

 x y 
 x y 
xy 
 xy 


1 1
x  y  2
1 1

Thay (1) vào (2) ta thu được     8  
 x  y 1
x y
 1 1
 xy
3

Câu II.

1 1
1 1
  K 1
K  3 n 
  , do n  1  K  1. Ta có K  3 n 
27 3
27 3 

1

1
2
K 1
1
4
8
 ( K  )3  n 
 ( K  )3  K 3  K 2  
 n
 K 3  2K 2  K 
3
27
3
3 27
27
3
27

1)

Ký

 K3 

hiệu

K
4
1
 n  K 2  K 3  3K 2  K   K 3  n  K 2  ( K  1)3

3
3
3
2


1 1
Suy ra n  K  n   3 n    không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số
27 3 

2

nguyên dương.


TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

2) Ta có
6  x 2  5  6  y 2  5  z 2  5  6  x  y  x  z   6  y  z  y  x  


 z  x  z  y 

3 x  y   2  x  z  3 x  y   2  y  z   z  x    z  y  9x  9 y  6z 3

  3x  3 y  2 z 


2

2
2
2
2
3x  3 y  2 z

2
 . Đẳng thức xảy ra  x  y  1, z  2.
6( x 2  5)  6( y 2  5)  z 2  5 3

Suy ra P 
2
3

Vậy Pmin  .
Câu III.
1) Tứ giác BPIM nội tiếp và AD BC  MAD  BPM  BIM  tứ giác AMID nội tiếp.
Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp. Vậy năm điểm A, M , I , N , D thuộc một đường tròn  K 
2) Do các tứ giác BPIM và CPIN

P

B

nội tiếp nên ta có QMI  BPI  CNI

M

C

I

N

 tứ giác MINQ nội tiếp.

Mà M , I , N   K   Tứ giác MINQ nội tiếp đường tròn  K  .

D

A
K

Vậy Q thuộc đường tròn  K  (đpcm)
3) Khi P, I , Q thẳng hàng, kết hợp với
Q thuộc đường tròn  K  ta có
Q

AIQ  PIC (đối đỉnh)
P

B

PIC  PNC (do tứ giác NIPC nội tiếp)
PNC  QND (đối đỉnh)

C

M
I

N

QND  QID (do tứ giác INDQ nội tiếp )
 AIQ  QID
 IQ là phân giác DIA nên IP là phân giác góc BIC.

Do đó

A

D

K

PB IB ID IB  ID BD
PB BD






(đpcm)
PC IC IA IC  IA AC
PC CA

Q

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

Câu IV. Giả sử A có n số, chúng ta xếp chúng theo thứ tự 1  x1  x2  x2 
Suy ra với mỗi k 1,2,3,

, n 1 ta có xk 1  xi  x j  xk  xk  2xk  2 với 1  i, j  k.

Áp dụng kết quả  2  ta thu được x2  1  1  2, x3  2  2  4, x4  8, x5  16,
x6  32, x7  64. Suy ra tập A phải có ít nhất 8 phần tử.

+) Giả sứ n  8  x8  100 .
Vì x6  x7  32  64  96  x8  2x7  x7  50.
Vì x5  x6  16  32  48  x7  2x6  x6  25.
Vì x4  x5  8  16  24  25  x6  2 x5  x5 

25
(mâu thuẫn).
2

+) n  9 ta có tập 1,2,3,5,10,20,25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Đáp số: n  9

 xn  100. 1