Tổng hợp bài tập giải tích lớp 12 có lời giải chi tiết

TỔNG HỢP BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 12 CÓ LỜI GIẢI
CHI TIẾT
BÀI BIỂU DIỄN CUNG TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Câu 1:

2sin 2 x + sinx.cosx + 3
D=
3 + 4cos 2 x

Câu 2: Hãy tìm số đo

α

của góc lượng giác

cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
Câu 3: Hãy tìm số đo

a0

của góc lượng giác

( OA, OM ) , 0 ≤ α < 2π
29π −2003π
;
;18,5
4
6

( OA, OM ) , 0 ≤ α < 3600

có cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:

Câu 4: Cho các góc lượng giác
6π 9π −11π 31π −14π
; ;
;
;
5 5
5
5
5

( OA, OM )

, biết một góc lượng giác có

, biết một góc lượng giác

3950 ; −10520 ;(20π )0

có số đo

π
5

. Hỏi trong các số

, những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia

cuối với góc đã cho?
Câu 5: Trên đường tròn lượng giác hãy tìm các điểm xác định bởi số:

a)

π
π
+ k , (k ∈ Z )
4
2

k

π
, (k ∈ Z )
3

k

2π
, (k ∈ Z )
5

b)

c)


Câu 6: Trong các cặp góc lượng giác

( OA, OM ) ;(OA ', OM ')

có số đo như sau: cặp nào xác

AOM ; A ' OM '

định cặp góc hình học

a)

b)

c)

13π
6

và

−11π
6

11π
6

và

2003π
8

bằng nhau?

và

13π
6

−1211π
8

ĐÁP ÁN
Câu 1:
Chia cả tử và mẫu cho

cos 2 x

ta có

2 tan x + tan x + 3(tan x + 1) =
D=
3(tan 2 x + 1) + 4
2

2

5 tan 2 x + tan x + 3
25
3tan 2 x + 7
=
19

Câu 2:
29π 5π
=
+ 3.2π
4
4

α=

vậy

−2003π π
= − 167.2π
6
6

α=

vậy

18.5 = 5.93363 + 2.2π

Câu 3:

5π
4

vậy

π
6

α = 5.93363


3950 = 350 + 1.360 0

vậy

−10520 = 280 − 3.3600

α = 350

vậy

α = 280

α = (20π )0

(OA, OM )

Câu 4: Các góc lượng giác

có số đo là

Kiểm tra ta thấy trong các số đo chỉ có số

Vậy:

31π
5

π
π
+ k 2π = (10k + 1) , k ∈ Z .(1)
5
5

31π
π
π
= 31. = (10.3 + 1)
5
5
5

đúng với dạng (1).

thỏa yêu câu bài toán.

Câu 5:
π
π
+ k , (k ∈ Z )
4
2

a) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi số
là bốn điểm của hình

vuông nội tiếp đường tròn đó, có hai cạnh song song với OA (O là tâm, A là điểm gốc).
k = 1, 2,3, 4

Chỉ cần lấy
trong 4 điểm đó.

vì lấy

k

bằng những giá trị khác thì cũng được những điểm trùng với 1

k

π
, (k ∈ Z )
3

b) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi số
là các đỉnh của lục giác
đều nội tiếp đường tròn đó, trong đó có một đỉnh là gốc A của đường tròn lượng giác.
k = 0,1, 2,3, 4,5

Chỉ cần lấy
với 1 trong 6 điểm đó.

vì lấy

k

bằng những giá trị khác thì cũng được những điểm trùng

k

2π
, (k ∈ Z )
5

c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi số
là đỉnh của ngũ giác đều
nội tiếp đường tròn đó, trong đó có một đỉnh là gốc A của đường tròn lượng giác.


k = 0,1, 2,3, 4

Chỉ cần lấy
vì lấy
với 1 trong 5 điểm đó.

k

bằng những giá trị khác thì cũng được những điểm trùng

Câu 6:
Với
Và

α = α 0 + k 2π ( k ∈ Z ), −π ≤ α 0 ≤ π
β = β 0 + k 2π (k ∈ Z ), −π ≤ β ≤ β

α0

Với

β0

là số đo của

,

là số đo của

.

Hai góc hình học bằng nhau khi và chỉ khi:
α = β 0
α 0 = β0 ⇔  0
α 0 = − β 0
 β − α = k 2π
⇔
 β + α = k 2π

Áp dụng:

a) Bằng nhau vì

b) Bằng nhau vì

13π 11π
+

= 4π
6
6

13π  −11π 
−
÷ = 4π
6  6 

c) Không bằng nhau vì

2003 + 1211 3214
=
8
8

không nguyên và

2003 − 1211 792
=
= 99
8
8

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
cos α = −

Câu 1: Cho

4

5

và

π
<α <π
2

α

α

. Tính A = 2tan2 + tan +3sin

α

không chẵn.


tanα = − 2

Câu 2: Cho

A=

. Tính giá trị

1
1
cos a = ;cos b =

3
4

Câu 3: Cho

3 π
sin x = , < x < π
5 2

Câu 4: Cho
Câu 5: Tính

. Tính

. Tính

sin α + cos α
cos3 α

T = cos ( a + b ) .cos ( a − b )
π

tan  x + ÷
3


cos 0o + cos1o + cos 2o + ... + cos180o

Câu 6: Rút gọn:
 11π


a) sin 
+ x÷
 2


 9π

b) cos 
+ x÷
 2


Câu 7: Đơn giản biểu thức:
π

a ) A = cos  α − ÷+ sin ( α − π )
2

π

π

π

π

b) B = cos  − α ÷+ sin  − α ÷− cos  + α ÷− sin  + α ÷
2


2

2

2

π

 3π

c) C = cos  − α ÷+ cos ( π − α ) + cos 
− α ÷+ cos ( 2π − α )
2

 2


Câu 8: Tính:
A = cos 200 + cos 400 + cos 600 + .... + cos1800

Câu 9: Tính:
B = tan100.tan 200.tan 300.....tan1800

ĐÁP ÁN
Câu 1:
cos α = −

Do

4

5

và

π
<α <π
2

nên

sinα < 0

sin α = 1 − cos 2 α =

, do đó

3
5


tan α = −

Suy ra
A = 2.

Vậy

4
3

16 4 9 181
− + =
9 3 5 45

Câu 2:
A=

sin α + cos α
3

cos α

=

sin α
1
1
.
+
= tan α (1 + tan 2 α ) + 1 + tan 2 α
2
cos α cos α cos 2 α

= 1 + tan α + tan2 α + tan3 α = −5

Câu 3:
T = ( cosa.cosb + sinasinb ) ( cosa.cosb − sinasinb )
= cos 2a.cos 2b− sin 2asin 2b

= cos 2a.cos 2b − ( 1 − cos 2a ) ( 1 − cos 2 b )

1 1 8 15
119
= . − . =−
9 16 9 16
144

Câu 4:

Do

3 π
sin x = , < x < π
5 2

tan x =

Suy ra

nên

cosx < 0

cosx = − 1 − sin 2 x =

, do đó

3
4

π

3
+ 3 3+4 3
π

3
4
tan  x + ÷=
=
=
3  1 − tan x .tan π 1 − 3 . 3 4 − 3 3

3
4
tan x + tan

Câu 5:

4
5


cos 0o + cos1o + ... + cos180o

= ( cos 0o + cos180o ) + ( cos1o + cos179o ) + ... + ( cos89o + cos 91o ) + cos 90o
=0

Câu 6:

π
 11π




a) sin 
+ x ÷ = sin  6π − + x ÷
2
 2



 π

π

= sin  − + x ÷ = − sin  − x ÷
 2

2

= − cos x

π
 9π



π

b) cos 
+ x ÷ = cos  4π + + x ÷ = cos  + x ÷ = − sin x

2
 2



2


Câu 7:
π

π

a ) A = cos  α − ÷+ sin ( α − π ) = cos  − α ÷− sin ( π − α )
2

2

= sin α − sin α = 0
π

π

π

π

b) B = cos  − α ÷+ sin  − α ÷− cos  + α ÷− sin  + α ÷
2


2

2

2

= sin α + cos α − ( − sin α ) − cos α
= 2sin α
π

 3π

c) C = cos  − α ÷+ cos ( π − α ) + cos 
− α ÷+ cos ( 2π − α )
2

 2

π

= sin α − cos α + cos  + α ÷+ cos α
2

= sin α − sin α = 0

Câu 8:
Ta có:
Suy ra:

cos1600 = cos(1800 − 200 ) = − cos 20 0

cos 200 + cos1600 = 0


Tương tự:
cos 400 + cos1400 = 0

cos 600 + cos1200 = 0
cos800 + cos1000 = 0

Vậy:
A = cos1800 = −1

Câu 9:
Ta có:
tan 800 = (tan 900 − 100 ) = cot100
⇒ tan100.tan 800 = tan100.cot100 = 1

Tương tự:
tan 200.cot 700 = 1
tan 300.cot 600 = 1
tan 400.cot 500 = 1

Suy ra: B=1
CÔNG THỨC CỘNG
tan

Câu 1: Tính
Câu 2: Tính

13π
2

tan150

Câu 3: Chứng minh rằng:


sin( a + b) tan a + tan b
=
sin( a − b) tan a − tan b

Câu 4: Tính:
π

cos  α + ÷
3


sin α =

biết

1
π
và 0 < α <
2
3

Câu 5: Chứng minh:

tan 3a =

tan a(3 − tan 2 a)
1 − 3tan 2 a

ĐÁP ÁN
Câu 1:
tan

13π
12

=
π 

π

tan  + π ÷
 12


π π 
= tan  ÷ = tan  − ÷
 12 
3 4
π
π
tan − tan
3
4

=
π
π
1 + tan tan
3
4
3 −1
=
3 +1

Câu 2:
tan150 = (tan 450 − tan 300 )

tan 450 − tan 300
=
1 − tan 450 tan 300
3
3 = 3− 3
=
3 3+ 3
1+
3
1−

Câu 3:


sin(a + b) sin a cos b + cos a sin b
=
sin( a − b) sin a cos b − cos a sin b

sin a cos b − cos a sin b
cos a cos b
=
sin a cos b − cos a sin b
cos a cos b
tan a + tan b
=
tan a − tan b

Câu 4:
1 2
2
6
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − = ⇒ cosα = ±
=±
3 3
3
3
0<α <

Vì:

π
2

nên

cosα =

Do đó:

Vậy:
=

cosα > 0

6
3

π
π
π

cos  α + ÷ = cosα cos − sin α sin
3
3
3


61 1 3
6 1 1 1 6 
−
=
− = 
− 1÷
3 2
3 2 2 2 3
3 2


Câu 5:

tan 3a = tan(2a + a) =

tan 2a + tan a
1 − tan 2a tan a

2 tan a
+ tan a
2
3tan a − tan 3 a
1
−
tan
a
=
=
2 tan 2 a
1 − 3tan 2 a
1−
1 − tan 2 a
tan a(3 − tan 2 a )
=
3 − tan 2 a

CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI


Câu 1: Chứng minh đẳng thức:

Câu 2: Thu gọn biểu thức

1 + cos 2a
= cot a
sin 2a

sin 2 2 x − 4sin 2 x
A=
sin 2 2 x − 4cos 2 x
1 + sin 2a + cos 2a
= cot a
1 + sin 2a − cos 2a

Câu 3: Chứng minh đẳng thức

Câu 4: Thu gọn biểu thức sau:

1 + cos 4 x
cot x − tan x

Câu 5: Chứng minh đẳng thức

cos 4a = 8cos 4 a − 8cos 2 a + 1

ĐÁP ÁN
Câu 1:
1 + cos2a 1 + 2cos 2 a − 1
=
sin2a
2sin a cos a
2
2cos a

cos a
=
=
= cot a = VP
2sin a cos a sin a

VT =

Câu 2:
sin 2 2 x − 4sin 2 x
A=
sin 2 2 x − 4cos 2 x
4sin 2 x cos 2 x − 4sin 2 x
=
4sin 2 x cos 2 x − 4cos 2 x
4sin 2 x(cos 2 x − 1) 4sin 2 x .( − sin 2 x )
=
=
4cos 2 x(sin2 x − 1) 4cos 2 x( − cos 2 x )
sin 4 x
=
= tan 4 x
4
cos x

Câu 3:


VT =

1 + sin2a + cos2a
1 + sin2a − cos2a

=

1 + 2sinacosa + 2cos2 a − 1
1 + 2sinacosa − 1 + 2sin2 a

=

2sinacosa + 2cos2 a
2sinacosa + 2sin2 a

=

cosa(sina + cosa)
= cot a =VP
sina(cosa + sina


Câu 4:
1 + cos 4 x
1 + 2cos 2 2 x − 1
=
cos x sin x
cot x − tan x
−
sin x cos x
2cos 2 2 x
cos 2 2x .sin2 x

=
=
cos 2 x − sin 2 x cos 2 x − sin 2 x
sin x .cos x
cos 2 2 x .sin2 x
1
=
= cos2 x .sin2 x = sin 4 x
cos2 x
2

Câu 5:
VT = cos 4a = 2cos 2 2a − 1 = 2(2cos 2 a − 1)2 − 1
= 8cos 4 a − 8cos 2 a + 1 = VP

CÔNG THỨC HẠ BẬC
tan 2 x + cot 2 x =

Câu 1: Chứng minh đẳng thức

Câu 2: Chứng minh đẳng thức

6 + 2cos 4 x
1 − cos 4 x

3
sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2 x
4

sin 4 2 x + cos 4 2 x

1
= cos 2 4 x + 1
π

π
 2
tan  − x ÷tan  + x ÷
4

4


(

Câu 3: Chứng minh đẳng thức

Câu 4: Chứng minh đẳng thức

Câu 5: Chứng minh đẳng thức

)


π
π 


4 sin 4 x + sin 4  x + ÷+ sin 4  x − ÷ = 2 + 2sin2 x + sin 2 2 x
4
4 




cos 2 x − sin 2 x 1
= ( 1 − cos 4 x )
cot 2 x − tan 2 x 8


Câu 6: Chứng minh đẳng thức:

Câu 7: Chứng minh đẳng thức:

3 1
1
sin 4 x = − cos 2 x + cos 4 x
8 2
8
 2π

 2π
 3
cos 2 x + cos 2 
+ x ÷+ cos 2 
− x ÷=
 3

 3
 2

sin 8 x + cos8 x =

Câu 8: Chứng minh đẳng thức:
Câu 9: Chứng minh đẳng thức:

1
( 35 + 28cos 4 x + cos8 x )
64

sin 3x.sin 3 x + cos 3x.cos 3 x = cos3 2 x

ĐÁP ÁN
Câu 1:
sin 2 x cos 2 x
VT = tan x + cot x =
+
cos 2 x sin 2 x
1 − cos2 x 1 + cos2 x (1 − cos2 x )2 + (1 + cos2 x )2
=
+
=
1 + cos2 x 1 − cos2 x
1 − cos 2 2 x
2 + 2cos 2 2 x 2(2 + cos 4 x + 1) 6 + 2cos 4 x
=
=
=
= VP
cos 4 x + 1
1
−

cos
4
x
1
−
cos
4
x
1−
2
2

2

Câu 2:
VT = sin 6 x + cos 6 x
= (sin 2 x + cos 2 x )3 − 3sin 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x )
3
= 1 − sin 2 2 x
4

Câu 3:

Ta có:

Vậy:

π

π


π

π

tan  − x ÷tan  + x ÷ = tan  − x ÷cot  − x ÷ = 1
4

4

4

4


sin 4 2 x + cos 4 2 x
= sin 4 2 x + cos 4 2 x
π
π

 

tan  − x ÷tan  + x ÷
4
4

 


2

2

 1 − cos 4 x   1 + cos 4 x 
=
÷ +
÷
2
2

 

1
2
2
= ( 1 − cos 4 x ) + ( 1 + cos 4 x ) 

4
1
1
= 2 + 2cos 2 4 x  = cos 2 4 x + 1
4
2

(

)

(Có thể làm cách khác không dùng công thức hạ bậc)

Câu 4:

π
π 


4 sin 4 x + sin 4  x + ÷+ sin 4  x − ÷
4
4 



2
2
 1 − cos2 x 2  1 
π    1 
π   


= 4 
÷ +  2  1 − cos  2 x + 2 ÷÷ +  2  1 − cos  2 x − 2 ÷÷ 
2

  

   

   
= ( 1 − cos2 x ) + ( 1 + sin2x ) + ( 1 − sin2 x )
2

2

2

= sin 2 2 x + cos 2 2x + 1 + 2sin2 x + sin 2 2 x
= 2 + 2sin2x + sin 2 2x

Câu 5:
Ta có:
cos 2 x sin 2 x cos 4 x − sin 4 x
−
=
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
cos 2 x − sin 2 x cos 2 x + sin 2 x

cot 2 x − tan 2 x =
=

(

)(

)

sin 2 x cos 2 x
cos 2 x − sin 2 x
=
sin 2 x cos 2 x

Vậy:
VT =
=

cos 2 x − sin 2 x
1
= sin 2 x .cos 2 x = sin 2 2 x
2
2
cot x − tan x
4

1
( 1 − cos 4 x ) = VP
8


Câu 6:
Ta có:
2

2
 1 − cos 2 x  1 + cos 2 x − 2 cos 2 x
sin x = 
=
÷
2
4



1 + cos 4 x
1+
− 2 cos 2 x
3 cos 4 x 1
2
=
= +
− cos 2 x = VP
4
8
8
2
4

Câu 7:
Ta có:
 2π

 2π

cos 2 x + cos 2 
+ x ÷+ cos 2 
− x÷
 3

 3

=

1
1
4π  1 

 4π

(1 + cos 2 x) + 1 + cos  2 x +
− 2 x ÷
÷ + 1 + cos 
2
2
3  2 

 3


=

3 1
4π

+ cos 2 x + cos  2 x +
2 2
3


=

3 1
 −1  

+ cos 2 x + 2 cos 2 x  ÷
2 2
 2 

=

3
= VP
2


 4π

− 2 x ÷
÷+ cos 

 3


Câu 8: Ta có:
sin 8 x + cos8 x = ( sin 4 x + cos 4 x ) − 2sin 4 x cos 4 x
1
2
(3 + cos 4 x) 2 − sin 4 2 x
16
16
1
1
= (9 + 6 cos 4 x + cos 2 4 x) − (1 − 2 cos 4 x + cos 2 4 x)
16

32
9 3
1
1
1
= + cos 4 x + cos8 x + cos 4 x − (1 + cos8 x)
16 8
32
16
64
65 7
1
1
=
+ cos 4 x + cos8 x = ( 35 + 28cos 4 x + cos8 x ) = VP
64 16
64
64
=

Câu 9:
Ta có:


sin 3x.sin 3 x + cos 3 x.cos3 x
 3sin x − sin 3 x 
 3cos x + cos 3 x 
= sin 3 x 
÷+ cos 3 x 
÷

4
4




3
1
= (sin 3x sin x + cos 3x cos x ) + (cos 2 3x − sin 2 3x)
4
4
3
1
= cos(3 x − x ) + cos 6 x
4
4
1
= (3cos 2 x + cos 3.2 x )
4
1
= (3cos 2 x + 4 cos3 2 x − 3cos 2 x ) = cos3 2 x = VP
4
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Câu 1: Biến đổi thành tổng:
a)A = 2sin(a + b)cos(a − b)
b) B = 2cos(a + b)cos(a − b)

c ) C = 4sin3 x .sin2 x .cos x

Câu 2: Tính:
B = sin

π
5π
7π
11π
.sin .sin
.sin
24
24
24
24

Câu 3: Tính:
C = cos100 cos500 cos700

Câu 4: Chứng minh:
π  π

 1
a)sin x sin  x + ÷sin  + x ÷ = sin3 x
3 3

 4
π

π
 1
b)cos x cos  − x ÷cos  + x ÷ = cos3 x

3

3
 4

Câu 5: Chứng minh:


sin5 x − 2sin x(cos 4 x + cos2 x ) = sin x

ĐÁP ÁN
Câu 1:

a) A = sin(a + b + a − b) + sin(a + b − a + b) = sin2a + sin2b

b) B = cos(a + b + a − b) + cos(a + b − a + b) = cos2a + cos2b

c )C = 2(cos x − cos5 x ).cos x = 2cos 2 x − 2cos5 x .cos x
= 1 + cos2 x − cos6 x − cos 4 x

Câu 2:
Ta có:
π 11π
24

+

24

=

5π 7π π
+
=
24 24 2

Do đó:

π
5π
5π
π 1
π
5π
.sin .cos .cos
= sin .sin
24
24
24
24 4
12
12
1
4π
6π  1 
π
π 1
=  cos
− cos
=  cos − cos ÷ =

÷
8
12
12  8 
6
2  16
B = sin

Câu 3:
1
cos600 + cos 400 .cos700
2
1
1
1
1
= cos700 + cos700 cos 400 = cos700 + cos1100 + cos300
4
2
4
4
1
1
1
3
= cos700 − cos700 + cos300 =
4
4
4
8

C=

(

)

(

Câu 4:

1
2π

a)VT = sin x  cos2 x − cos
2
3

1
1
= ( sin3 x − sin x ) + sin x
4
4
1
= sin3 x = VP
4

1
 1
÷ = 2 sin x cos2 x + 4 sin x



)


1
2π 

b)VT = cos x  cos2 x + cos
2
3 ÷


1
1
= cos x cos2 x − cos x
2
4
1
1
= ( cos3 x + cos x ) − cos x
4
4
1
= cos3 x = VP
4

Câu 5:

VT = sin5 x − 2sin x cos 4 x − 2sin x cos2 x

= sin5 x − (sin5 x − sin3 x ) − (sin3 x − sin x )
= sin x = VP

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
Câu 1: Biến đổi thành tích:
a) A = sin a + sin b + sin(a+ b)

b)cos a + cos b + cos(a + b) + 1

Câu 2: Chứng minh:
a
a π 
1 + sin a + cos a = 2 2 cos sin  + ÷
2
2 4 

Câu 3: Cho ABC là một tam giác nhọn. Chứng minh:
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 c = 1 − 2cosAcosBcosC

Câu 4: Chứng minh:
sin a + sin3a + sin5a
= tan3a
cos a + cos3a + cos5a

Câu 5: Chứng minh:


sin a + sin b + sin c − sin( a + b + c ) = 4sin

a+b

b+c
a+c
sin
sin
2
2
2

ĐÁP ÁN
Câu 1:

a+b
a−b
a+b
a+b
cos
+ 2sin
cos
2
2
2
2
a+b
a−b
a+b
= 2sin
cos
+ cos

2 

2
2 ÷

a+b
a
b
a
b
a+b
= 2sin
2cos cos = 4cos cos sin
2
2
2
2
2
2

a) A = 2sin

a+b
a−b
a+b
cos
+ 2cos 2
2
2
2
a+b
a−b

a+b
= 2cos
cos
+ cos

2 
2
2 ÷

a+b
a
b
= 4cos
cos cos
2
2
2

b) B = 2cos

Câu 2:
a
a
a
VT = sin a + (1 + cos a) = 2sin cos + 2cos 2
2
2
2
a
a

a
a a π 
= 2cos  sin + cos ÷ = 2 2 cos sin  + ÷ = VP
2
2
2
2 2 4 

Câu 3:

1 + cos2 A 1 + cos2B
+
+ cos 2 C
2
2
1
= 1 + cos ( cos2 A + cos2B ) + cos 2 C
2
= 1 + cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos 2 C

VT =

= 1 − cos C cos ( A − B ) − cos C 

= 1 − cos C cos ( A − B ) + cos ( A + B ) 
= 1 − 2cos C cos B cos C = VP

Câu 4:

VT =
=

( sin a + sin5a ) + sin3a
( cos a + cos5a ) + cos3a

2sin3a cos2a + sin3a sin3a ( 2cos2a + 1 )
=
= tan3a = VP
2cos3a cos2a + cos3a cos3a ( 2cos2a + 1 )

Câu 5:
VT = (sin a + sin b) + [ sin c − sin( a + b + c )]
a+b
a−b
a + b + 2c
a+b
cos
− 2cos
sin
2
2
2
2
a+b
a−b
a + b + 2c 
= 2sin
cos
− cos


÷
2 
2
2

a+b
a+c
−b − c
= −4sin
sin
sin
2
2
2
a+b
a+c
b+c
= 4sin
sin
sin
= VP
2
2
2
= 2sin

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Câu 1: Giải phương trình:

Câu 2: Giải phương trình:

Câu 3: Giải phương trình:

Câu 4: Giải phương trình:

Câu 5: Giải phương trình:
Câu 6: Giải phương trình:

π

sin x = sin  2 x + ÷
4


π

 2π

cos  2 x + ÷ = cos 
−x÷
4

 3

π

2sin  2 x − ÷+ 3
6



π

2cos  x + ÷− 2
3

π

3tan  x + ÷ = 3
3

2sin 2 2 x + sin7 x − 1 = sin x


Câu 7: Giải phương trình:

Câu 8: Giải phương trình:
Câu 9: Giải phương trình:

( 2sin x + 1 ) ( 2sin2x − 1 ) = 3 − 4cos 2 x
1
sin 2 2x − cos 2 8 x = cos10 x
2

1 + sin x + cos x + tan x = 0

Câu 10: Giải phương trình:
Câu 11: Giải phương trình:
Câu 12: Giải phương trình:

Câu 13: Giải phương trình:
Câu 14: Giải phương trình:

Câu 15: Giải phương trình:

cos3x + cos2x − cos x − 1 = 0
cos 4x + 12sin x cos x − 5 = 0
2sin 2 x + tan 2 x = 2

( 2cos x − 1 ) ( 2sin x + cos x ) = sin2x − sin x
3 cos5x − 2sin3x cos2x − sin x = 0
π

2 ( sin 4 x + cos 4 x ) − cos  − 2 x ÷ = 0
2


Câu 16: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

π

cos  (3 x − 9 x 2 + 160 x + 800 ) ÷ = 1
8


Câu 17: Tìm nghiệm x thuộc đọa [0;14] thỏa mãn phương trình:
cos3 x − 4cos2 x + 3cos x − 4 = 0

sin x + cos x sin2 x + 3 cos3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x )

Câu 18: Giải phương trình:
Câu 19: Giải các phương trình:
− 2
2
b)cos ( 4 x + 2 ) = − 3

(

)

a)cos 2 x + 250 =


Câu 20: Giải phương trình:

(

)

a)sin 2 x − 150 =

b)tan ( 3 x + 2 ) = 3

2
2

với
−

với

−1200 < x < 900

π
π
2
2

Câu 21: Giải phương trình:
a)
b)

sin(2 x − 1) = sin( x + 3)
tan(3 x + 2) + cot 2 x = 0

Câu 22: Giải phương trình:
a) 2sinx + 2 sin2 x = 0

2π

b)sin 2  5x +
5




2 x
÷ = cos  4 + π ÷





Câu 1:

ĐÁP ÁN

π

x
=
2
x
+
+ k2π
π 

4
sin x = sin  2 x + ÷ ⇔ 
4 
π

x = π − 2 x − + k2π

4
π

x
=
−

− k 2π

4
⇔
, (k ∈ Z )
 x = π + k 2π

4
3

Câu 2:


π

 2π

PT ⇔ cos  2 x + ÷ = cos 
− x÷
4

 3


π 2π
5π
2π


2 x + 4 = 3 − x + k2π

 x = 36 + k 3
⇔
⇔
2 x + π = − 2π + x + k2π
 x = − 11π + k 2π


4
3
12

Câu 3:
π
π
3


2sin  2 x − ÷+ 3 = 0 ⇔ sin  2 x − ÷= −
6
6
2


π

 π
⇔ sin  2x − ÷= sin  − ÷
6

 3

π
π
π


2 x − 6 = − 3 + k 2π
 x = − 12 + kπ
⇔
⇔
(k ∈ Z )
2 x − π = 4π + k 2π
 x = 3π + kπ

6
3
4


Câu 4:
π
π
2


2cos  x + ÷− 2 = 0 ⇔ cos  x + ÷=
3
3 2



π
π

⇔ cos  x + ÷ = cos
3
4


π
 π π

 x + 3 = 4 + k 2π
 x = − 12 + k 2π
⇔
⇔
(k ∈ Z )
 x + π = − π + k 2π
 x = − 7π + k2π


3
4
12

Câu 5:


3
π


π

3tan  − x ÷= 3 ⇔ tan  − x ÷=
3

3
 3

π
π

⇔ tan  − x ÷ = tan
6
3

π
π
π
⇔ − x = + kπ ⇔ x = − kπ ,(k ∈ Z )
3
6
6

Câu 6:
2sin 2 2 x + sin7 x − 1 = sin x

2sin 2 2 x + sin7 x − 1 = sin x
⇔ sin7x − s inx = cos 4 x
⇔ 2cos 4 x s in3x = cos 4 x

π

4 x = 2 + kπ
cos 4 x = 0 
π
⇔
⇔ 3 x = + k 2π
1

sin3 x =
6

2

3 x = 5π + k2π

6