Tính chất phổ của toán tử tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------

Lê Phước Toàn

TÍNH CHẤT PHỔ CỦA
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------

Lê Phước Toàn

TÍNH CHẤT PHỔ CỦA
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CẢM ƠN
Trước hết qua luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp em
tích lũy những kiến thức bổ ích để hoàn thành luận văn.
Trong suốt quá trình học tập, em đã nhận được những kiến thức quý
báu từ các thầy cô trong khoa Toán -Tin trường Đại học Sư Phạm Tp.
HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, cũng qua luận văn này em
xin được đồng kính gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng
KHCN-SĐH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện
luận văn này.
*****************
Lê Phước Toàn


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vào nữa đầu thế kỷ XX, lý thuyết các không gian trừu tượng: không gian
metric, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tôpô và tuyến tính tôpô
đã được hình thành. Tiếp đó, lý thuyết toán tử tuyến tính xuất hiện và đã tìm
ngay được những ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường,
Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật lý lý thuyết và cả
trong một số lĩnh vực kỹ thuật. Lý thuyết phương trình toán tử trong không
gian có thứ tự ra đời từ nhưng năm 1950 và được hoàn thiện cho tới ngày nay.
Tính chất phổ được nghiên cứu cho nhiều lớp toán tử tuyến tính dương
bằng các phương pháp khác nhau, bởi các nhà toán học từ nhiều nước. Việc

tập hợp các kết quả này lại và trình bày chúng theo một hệ thống hoàn chỉnh
là việc làm cần thiết.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự và tính chất phổ của các toán tử tuyến
tính dương để nghiên cứu sự tồn tại giá trị riêng  tương ứng với vectơ riêng
x0 của bài toán tổng quát sau:
“Cho C là một tập hợp con của một không gian. E,u là một toán tử tuyến
tính dương từ C vào X với những điều kiện nào trên C,X và u để có thể khẳng
định sự tồn tại của một vectơ riêng x0 tương ứng với giá trị riêng  sao cho
u x0 =  x0”.
Luận văn này chủ yếu là trình bày những ứng dụng trên không gian
vectơ tôpô được sắp thứ tự để nghiên cứu về tính chất phổ của các toán tử
tuyến tính dương, compắc, toán tử u0- bị chặn, toán tử tuyến tính không phân
tích được.


Chúng ta giả sử rằng đã biết các vấn đề cơ bản nhất về đại số của các
toán tử trên một không gian Banach; Chương I liệt kê một số chi tiết những gì
cần trong việc trình bày tiếp theo. Chương II được dành cho sự bắt tay vào
nghiên cứu vấn đề phổ của toán tử tuyến tính dương. Chương III dành cho
nghiên cứu về phổ của toán tử u0 – bị chặn. Cuối cùng chương IV dành riêng
cho vấn đề phổ của toán tử tuyến tính không phân tích được.


Chương 1: PHỔ CỦA ÁNH XẠ - KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ
1.1 Các tính chất cơ bản của giải thức
Giả sử (E, . ) là một không gian Banach phức và ký hiệu L(E) là đại số
Banach những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với chuẩn thông thường
u  u =sup{ u(x) : x  1}.Nếu u  L(E) thì phổ  (u) là phần bù trong C
của tập mở lớn nhất  (u) mà trong đó  (  e-u)-1 tồn tại và là hàm giải tích

địa phương. Ở đây và trong các phần tiếp theo e là ký hiệu cho ánh xạ đồng
nhất của L(E). Cho    (u), chúng ta đặt (  e-u)-1 = R(  );  R(  ) gọi là
giải thức,  (u) gọi là tập giải thức của u.
Giả sử rằng E {0} khi đó  (u) là tập con Compact không rỗng của C
bán kính r(u) của đường tròn nhỏ nhất tâm O trong C chứa  (u) được gọi là
bán kính phổ của u; tập {   C:|  |= r(u)}, được gọi là đường tròn phổ của u.
Hơn nữa, nếu



  (u) và    (u) thì có phương trình giải thức:

R(  )-R(  )= - (  -  )R(  ).R(  ) (1).
Ở đây chúng ta ký hiệu hợp u0v của u,v  L (E) bằng uv.
Theo định lý về ánh xạ ngược của Banach, phổ  (u) có thể định nghĩa là
tập hợp của những   C để  e-u không là song ánh. Từ xem xét này chúng ta
có kết quả như sau:
Định lý: Giả sử u  L (E) với E là một không gian Banach phức và giả
sử rằng {  n:n  N} là một dãy con trong  (u) hội tụ tới   C, thì    (u),
khi và chỉ khi limn R(  n) = +  .
Chứng minh
(=>) Giả sử  n   và    (u) khi đó  e – u không khả nghịch
n 

trong L (E).


Suy ra lim R(n )   .
n 
(  )Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử rằng tồn tại một dãy con

{  n} của dãy {  n} sao cho {R(  n):n  N} là bị chặn, do (1) ở trên ta có: với
m > n.
R(  n)- R(  m) = - (  n-  m) R(  n) R(  m)

m,n  N.

R( n )  R( m )  0 do lim n   .
Suy ra lim
n 
n 

Từ đó suy ra {R(  n):n  N } là dãy Cauchy trong L (E) và do đó hội tụ
tới  nào đó ,  L (E) .
Điều đó nghĩa là lim R( n )( n e - u)   ( e - u) = e .
n 
và tương tự ta có (  e-u)  =e , suy ra ( e-u) khả nghịch trong L (E)
Do đó :    (u) điều này mâu thuẩn.
R(n )   .
Vậy lim
n 

Tập hợp con của  (u) nơi mà trong đó(  e-u) không là đơn ánh được gọi
là phổ điểm (u) của u .Một phần tử 0  (u) được gọi là một giá trị riêng
của u, không gian hạch (hạt nhân) của ( 0e - u) gọi là không gian riêng tương
ứng ký hiệu N( 0). Số chiều của N( 0) được gọi là số bội (hình học) của 0 và
các phần tử khác không của N( 0) gọi là vectơ riêng của u tương ứng với giá
trị riêng 0 , mỗi vectơ riêng x này là 1 nghiệm của phương trình ux = 0x.
Phổ điểm của u bao gồm tất cả các cực của giải thức R. Giả sử 0 là một


cực của R và R( ) =  ak(  - 0 )k

(a-n  0) (2).

k  n

là khai triển Laurent của R ở lân cận của 0. Số nguyên n (n  1) là bậc
của cực 0, tổng riêng phần của (2) kéo dài từ k = - n tới k = -1 gọi là phần
chính của khai triển; a-n gọi là hệ số đầu tiên, và a-1 gọi là thặng dư của R tại
 = 0 .


Nhân (2) với (  e-u) = ( 0 e-u)+ (  - 0) e và so sánh các hệ số trong
đồng nhất thức nhận được (theo định lý duy nhất cho các hàm giải tích),
chúng ta có được:
a-n ( 0 e-u)= ( 0 e-u) a-n = 0 và a-n = a-1(u- 0 e)n-1.
hiển nhiên hệ số ak giao hoán với u. Những mối quan hệ này cho ta thấy
rằng 0 thuộc  (u); cụ thể hơn, hệ số a-1 là 1 phép chiếu của E lên trên không
gian hạch của ( 0 e-u)n không gian này chứa N( 0). Ngoài ra cho chúng ta
nhớ lại rằng nếu u Compact thì giải thức R là 1 hàm chỉnh hình trên hình cầu
Riemann bị đâm thủng tại 0 (một cách xác định tổng quát, R()=0) vì vậy nếu
u compact thì  (u) là một tập hợp đếm được với 0 có thể là điểm tụ duy nhất,
và mỗi một số khác không    (u) là một giá trị riêng của u có số bội hữu
hạn.
Cuối cùng, nếu u  L (E) và | |  r (u) giải thức của u được cho bởi
R( ) =







-(n+1)

un

(3).

n 0

(uo=e); (3) là khai triển của R tại  và được gọi là chuỗi C-Newmann.
Theo tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa ta suy ra:
r (u) = lim sup un

1/n

một cách chính xác hơn r(u) = limn un

1/n

Trong trường hợp r (u) = 0, u được gọi là lũy linh tôpô của đại số
Banach L (E); hiển nhiên u là một lũy linh tôpô nếu và chỉ nếu  (u) ={0}
hoặc tương đương, nếu và chỉ nếu giải thức R (với R()=0) là một hàm số
nguyên của  -1.
Nếu E là một không gian Banach trên

và u  L (E), phổ thực

 R(u)

được xác định như tập hợp con của R nơi mà trong đó (  e-u) không là song
ánh; một cách tương tự, chúng ta có thể xác định giải thức thực của u như là
hàm số   (  e-u)-1 với miền xác định R\  R(u) (có thể xảy ra  R(u) là


trống như ví dụ một phép quay quanh gốc của mặt phẳng Euclidean R2 ).
Chúng ta sẽ xét quá trình phức hóa không gian Banach thực như sau:
Giả sử (E, . ) là một không gian Banach trên R. Sự phức hóa E1 của E
là một không gian định chuẩn đầy đủ trên C. Nếu chúng ta muốn có một
chuẩn trên E1 sao cho phép nhúng của E và trong E1 là một phép đẳng cự ta
định nghĩa:
x + iy

1

= sup

(cos )x + (sin )y

0  2

Mọi u  L (E) có một sự mở rộng phức duy nhất u  L (E1) được xác
định bởi u (x+iy) = u(x) + iu(y) với mọi x,y  E. Trong trường hợp E là một
không gian Banach thực và u  L (E) chúng ta xác định phổ, giải thức, bán
kính phổ của u là những đối tượng tương ứng cho u như đã xác định ở trên.
Thỉnh thoảng để thuận tiện ta đồng nhất u với sự mở rộng phức của nó u .
Dễ dàng nhận thấy rằng với u  L (E), chúng ta có  R(u) =  (u) 

và

với   \  R(u) giải thức thực của u là sự thu hẹp của giải thức của u trên E
(được xem như là một không gian con thực của E1) và bán kính phổ r (u) là số
thực nhỏ nhất   0 sao cho với |  |  ,  

chuỗi (3) hội tụ trong L (E).

1.2 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón
1.2.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.2.1.1

1) Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu
i) K là tập đóng
ii) K + K  K,  K  K,    0
iii) K  (-K) = {  }
2) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi
xy  y–xK


Mỗi x  K\ {  } gọi là dương.
Mệnh đề 1.2.1.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nón

Khi đó:
1) x  y  x+ z  y+ z ;  x   y

 z  X,    0

2) (xn  yn (n  N*), lim xn = x, lim yn = y)  x  y
3) Nếu { xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x

( n  N*)

Chứng minh

2) Suy từ tính chất đóng của K
3) Cho m   trong bất đẳng thức xn  xn+m
1.2.2 Nón chuẩn
Định nghĩa 1.2.2.1: nón K gọi là nón chuẩn nếu:
 N>0:  x y x N y .

Mệnh đề 1.2.2.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn khi đó

1) Nếu u  v thì đoạn <u,v> := {x  X: u  xv } bị chặn theo chuẩn
2) Nếu xn  yn  zn (n  N*) và lim xn =a, lim zn =a thì lim yn =a
3) Nếu { xn } đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn =a,
Chứng minh

1)  x  <u,v>    x-u  v-u 


x-u  N u-v

x  u + N u-v

2)   yn - xn  zn - xn 

yn - x n

N

zn - xn

xn = a
3) Coi { xn } tăng và lim
k 
k

Vì xn  x n k (n cố định, k đủ lớn) nên xn  a  n  N*