một số ứng dụng của đạo hàm và tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (494.09 KB, 82 trang )
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và các
phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho nó là môn học về “hình và số”.
Toán học là nền tảng của tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Do khả năng ứng
dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn ngữ
của vũ trụ”. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ: đại số, hình học, giải
tích… Trong đó, giải tích là ngành toán học nghiên cứu về khái niệm, tính chất của
giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân. Các yếu tố được nghiên cứu trong giải
tích thường là mang tính chất “động” hơn là “tĩnh”.
Đạo hàm và tích phân là một trong những nội dung cơ bản của giải tích - một
phân môn quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Đạo hàm và tích phân
có nhiều ứng dụng quan trọng trong đại số và nhất là đại số tổ hợp. Nó là một công
cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, các
bài toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton... Những năm gần đây, các bài
toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton thường xuất hiện trong các đề thi
tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi. Các dạng toán này thường
khó và hay. Để giải quyết bài toán này có nhiều phương pháp khác nhau như dùng
trực tiếp các tính chất về tổ hợp, phép biến đổi tương đương, dùng đạo hàm và tích
phân,... Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng, tuy nhiên một công cụ hữu
hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, chính xác là dùng đạo hàm và
tích phân. Nhưng việc sử dụng các ứng dụng đạo hàm và tích phân để giải phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình và các bài toán liên quan đến khai triển nhị
thức Newton của người học còn gặp nhiều khó khăn.
Là sinh viên ngành sư phạm Toán và sẽ là người giáo viên dạy Toán ở trường
phổ thông sau này, tôi thấy việc nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và tích phân là
hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Với mong muốn giúp các bạn học sinh, sinh viên
nghiên cứu về ứng dụng của đạo hàm và tích phân, cũng như một số dạng bài tập về
sử dụng đạo hàm và tích phân một cách dễ dàng và có hệ thống. Đồng thời cũng
giúp cho bản thân tôi hiểu sâu hơn một phương pháp hiệu quả trong việc giải các
2
bài toán và tích lũy thêm kiến thức phục vụ cho việc học tập và giảng dạy sau này
được tốt hơn nên tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của đạo hàm và
tích phân trong giải toán phổ thông” cho khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
•
Khóa luận nhằm hệ thống các ứng dụng đạo hàm và tích phân. Xây dựng ví
dụ minh họa cho từng ứng dụng kèm theo phân tích, nhận xét, khai thác làm cơ sở
cho các bài toán tương tự. Tổng hợp các bài toán cho từng ứng dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
•
Hệ thống lại kiến thức cơ bản về đạo hàm, tích phân.
•
Chọn lọc ví dụ minh họa cho từng ứng dụng và phân tích, nhận xét nhằm
đưa ra phương pháp cho bài toán tương tự.
•
Phân loại, tập hợp một số dạng bài tập về ứng dụng đạo hàm và tích phân,
kèm theo chỉ dẫn về cách nhận biết dạng bài tập; đưa ra lời giải chi tiết hoặc hướng
dẫn giải cho các bài tập này.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành khóa luận này, tôi đã phối hợp sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
•
Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có
liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và tích phân rồi phân hóa, hệ thống hóa các
kiến thức.
•
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu,
giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
•
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của
khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•
Đối tượng: Đạo hàm và tích phân.
•
Phạm vi: Ứng dụng đạo hàm và tích phân để giải một số dạng bài tập toán
phổ thông.
3
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán
của trường Đại học Hùng Vương với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu ứng dụng
của đạo hàm và tích phân và nhất là các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thi
THPT Quốc gia, Đại học, Cao đẳng,…
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành ba
chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tích phân
Trong chương 1, chúng tôi hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tích
phân: Định nghĩa, tính chất, cách tính đạo hàm và tích phân,…
Chương 2. Ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong đại số
Trong chương 2, chúng tôi hệ thống các ứng dụng của đạo hàm và tích phân
trong đại số như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính diện
tích, tính thể tích,… Đồng thời đưa ra ví dụ minh họa, phân tích, nhận xét, khai thác
bài toán.
Chương 3. Ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong khai triển nhị thức
Newton
Trong chương 3, chúng tôi hệ thống các ứng dụng của đạo hàm và tích phân
trong khai triển nhị thức Newton, cụ thể là trong các bài toán chứng minh, tính tổng
một số tổng tổ hợp… Từ đó phân tích các ví dụ, khai thác xây dựng bài toán tương
tự.
4
CHƯƠNG 1.
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Đạo hàm và tích phân là hai khái niệm cơ bản, rất quan trọng của Giải tích,
có liên hệ mật thiết với nhau. Trong chương này sẽ trình bày những vấn đề cơ bản
nhất về đạo hàm và tích phân để làm cơ sở lý thuyết cho hai chương sau.
1.1. Đạo hàm và các phép toán
1.1.1. Định nghĩa đạo hàm
( )
(
)
( )
khi x dần
Định nghĩa 1.1.1.1: Cho hàm số y = f x xác định trên khoảng a ; b và điểm
x 0 thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
( )
f x − f x0
x − x0
đến x 0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x 0 , kí hiệu là f '(x 0 ) hoặc
( )
y ' x 0 , nghĩa là: f '(x 0 ) = lim
x →x 0
( )
( ).
f x − f x0
x − x0
(
)
( )
Trong định nghĩa trên nếu đặt ∆x = x − x 0 và ∆y = f x 0 + ∆x − f x 0 thì ta có
f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 )
∆y
.
= lim
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x
f '(x 0 ) = lim
• Số ∆x = x − x 0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x 0 ;
(
)
( )
số ∆y = f x 0 + ∆x − f x 0 được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại
điểm x 0 .
• Số ∆x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
• ∆x và ∆y là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: ∆x là tích của ∆ với x ,
∆y là tích của ∆ với y .
Như vậy, muốn tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa ta thực
hiện hai bước sau:
5
•
(
)
( )
Bước 1: Tính ∆y theo công thức ∆y = f x 0 + ∆x − f x 0 , trong đó ∆x
là số gia của biến số tại x 0 .
•
Bước 2: Tìm giới hạn lim
∆x →0
∆y
.
∆x
Ví dụ 1.1.1.1: Tính đạo hàm của hàm số y = x 2 tại điểm x 0 = 2 .
Lời giải:
( )
2
Đặt f x = x , ta thực hiện quy tắc trên như sau:
(
)
( ) (
) −2
= lim ( 4 + ∆x ) = 4 .
•
Tính ∆y = f x + ∆x − f x = 2 + ∆x
0
0
•
Tìm giới hạn: lim
∆y
∆x →0 ∆x
2
2
(
)
= ∆x 4 + ∆x .
∆x → 0
( )
Kết luận: Vậy f ′ 2 = 4 .
1.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
Việc tính đạo hàm bằng định nghĩa không phải lúc nào cũng thực hiện được một
cách dễ dàng. Vì vậy, ta cần thêm các công cụ khác để thuận tiện hơn khi tính đạo
hàm của một hàm số bất kì.
( )
( )
Định lí 1.1.2.1: Nếu hai hàm số u = u x và v = v x có đạo hàm trên J thì hàm
( )
( )
( )
( )
số y = u x + v x và y = u x − v x cũng có đạo hàm trên J và:
′
a) u x + v x = u ′ x + v ′ x f x = x 6 − x + 2
′
b) u x − v x = u ′ x − v ′ x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Các công thức trên có thể viết gọn là: u + v ′ = u ′ + v ′ ; u − v ′ = u ′ − v ′ .
(
)
(
)
Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số: Nếu các hàm số
u , v, ..., w có đạo hàm trênJ thì trên J ta có: u ± v ± ... ± w ′ = u ′ ± v ′ ± ... ± w′ .
(
)
6
(
( )
)
Ví dụ 1.1.2.1: Tìm đạo hàm của hàm số f x = x 6 − x + 2 trên khoảng 0; +∞ .
Lời giải:
) ( ) ( x ) ′ + ( 2) ′ = 6x
(
′
′
Trên khoảng 0; +∞ ta có: x 6 − x + 2 = x 6 −
(
)
( )
5
Vậy f ′ x = 6x −
1
2 x
5
−
1
2 x
.
.
( )
( )
Định lí 1.1.2.2: Nếu hai hàm số u = u x và v = v x có đạo hàm trên J thì hàm
( ) ( )
số y = u x v x cũng có đạo hàm trên J và
u x v x ′ = u ′ x v x + u x v ′ x .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Đặc biệt, nếu k là hằng số thì ku x ′ = ku ′ x .
( )
( )
Các công thức trên có thể viết gọn là uv ′ = u ′v + uv ′ và ku ′ = ku ′ .
( )
( )
( )
Ví dụ 1.1.2.2: Tính đạo hàm của hàm số y = f x trong mỗi trường hợp sau:
a)
b)
x 8 2x 6
−
+ 3x
4
3
( )
f ( x ) = ( 2x
f x =
2
+1
)
x.
Lời giải:
x 8 2x 6
′ 1 8 ′ 2 6 ′
′
a) f ′ x = −
+ 3x ÷ = x − x + 3 x = 2x 7 − 4x 5 + 3 .
3
4
3
4
′
′
b) f ′ x = 2x 2 + 1 x = 2x 2 + 1 ′ x + 2x 2 + 1
x
1
= 4x x + 2x 2 + 1
.
2 x
( )
( )
( )
(
)
(
(
)
( )
)
(
( )
)( )
7
( )
Định lí 1.1.2.3: Nếu hai hàm số u = u x
( )
v x ≠ 0 với mọi x ∈ J thì hàm số y =
( )
v (x)
u x
( )
và v = v x
có đạo hàm trên J và
cũng có đạo hàm trên J và
u x ′ u ′ x v x − u x v ′ x
.
=
2
v x
v x
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
u ′ u ′v − uv ′
Công thức trên có thể viết gọn là: =
.
2
v
v
Hệ quả:
•
•
1 ′
1
Trên −∞; 0 ∪ 0; +∞ , ta có: ÷ = − 2 .
x
x
Nếu hàm số v = v x có đạo hàm trên J và v x ≠ 0 với mọi x thuộc J
(
) (
)
( )
( )
1 ′
v′ x
thì trên J ta có:
.
÷ =−
v x ÷
v2 x
( )
( )
( )
1 ′
v′
Công thức thứ hai trong hệ quả trên có thể viết gọn là: ÷ = − 2
v
v
( )
Ví dụ 1.1.2.3: Tính đạo hàm của hàm số y = f x
Lời giải:
Áp dụng định lí 1.1.2.3, ta có:
( )
nếu: f x =
1 + 9x
.
x + 2a
8
′
1 + 9x x + 2a − 1 + 9x
1 + 9x ′
f′ x =
÷ =
2
x + 2a
x + 2a
(
( )
=
18a − 1
( x + 2a )
2
)(
(
) (
)
) ( x + 2a ) ′ = 9 ( x + 2a ) − ( 1 + 9x )
( x + 2a )
2
.
1.1.3
Đạo hàm của một số hàm thường gặp
Từ định nghĩa ta tính được đạo hàm của các hàm số thường gặp và hệ thống trong
bảng tóm tắt sau:
Bảng 1.1.3.1: Đạo hàm của một số hàm thường gặp
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
Đạo hàm của các hàm số hợp
cơ bản
(x ) ' = α x α −1
(u = u (x))
(u ) ' = α u α −1.u '
α
α
'
'
1
1
÷=− 2
x
x
1
u'
÷=− 2
u
u
( x ) ' = 2 1x
( u ) ' = 2u u'
(sin x ) ' = cos x
(cos x ) ' = − sin x
1
(t an x ) ' =
= 1 + t an 2 x
2
cos x
1
(cot x ) ' = − 2 = −(1 + cot 2 x )
sin x
(sin u ) ' = u '. cos u
(cos u ) ' = −u '. sin u
u'
(t an u ) ' =
= u '(1 + t an 2 u )
2
cos u
u'
(cot u ) ' = − 2 = −u '(1 + cot 2 u )
sin u
(e x ) ' = e x
(e u ) ' = u '.e u
(a x ) ' = a x . ln a
(a u ) ' = a u .u '. ln a
(ln | x |) ' =
1
x
(loga | x |) ' =
(ln | u |) ' =
1
x ln a
1.2. Tích phân và các phép toán
1.2.1.
Định nghĩa nguyên hàm, tích phân
u'
u
(loga | u |) ' =
u'
u ln a
9
Định nghĩa 1.2.1.1: Cho hàm số f xác định trênK . Hàm số F được gọi là nguyên
( )
( )
hàm của f trên K nếu F ′ x = f x với mọi x thuộc K .
( ) ( ) ( ) ( )
F ( x ) − F (a)
F ( x ) − F ( b)
được hiểu là lim
= f ( a ) và lim
= f ( b) .
x −a
x −b
• Trong trường hợp K = a, b , các đẳng thức F ′ a = f a , F ′ b = f b
x →a +
x →b−
• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn a, b . Nếu F là nguyên hàm của f
( )
( )
( )
trên khoảng a, b thì có thể chứng minh được rằng F ′ a = f a
( )
( )
F′ b = f b ,
do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn a, b .
Ví dụ 1.2.1.1:
( )
x3
2
a) Hàm số F x =
là nguyên hàm của hàm số f x = x trên ¡ vì
3
( )
x 3 ′
2
÷ = x với mọi x ∈ ¡ .
3
( )
( )
b) Hàm số F x = t an x là nguyên hàm của hàm số f x =
1
cos2 x
trên
π π
π π
1
x ∈ − ; ÷.
khoảng − ; ÷ vì t an x ′ =
với
mọi
cos2 x
2 2
2 2
2 3
c) Hàm số F x =
x là nguyên hàm của hàm số f x = x trên nửa
3
(
)
( )
( )
)
( )
(
)
khoảng 0; +∞ vì F ′ x = x với mọi x ∈ 0; +∞ và cả hai hàm số f và F đều
)
liên tục trên 0; +∞ .
Định lí 1.2.1.1: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trênK . Khi đó:
( )
a) Với mỗi hằng số C hàm số y = F x + C cũng là một nguyên hàm của f
trên K .
10
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C
( )
( )
sao cho G x = F x + C với mọi x thuộc K .
• Từ định lí 1.2.1.1 ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi
( )
nguyên hàm của f trên K đều có dạng F x + C với C ∈ ¡ .
( )
Vậy F x + C , C ∈ ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K .
• Họ tất cả các nguyên hàm của trên được kí hiệu là
Vậy:
∫ f ( x )dx
∫ f ( x )dx .
( )
= F x + C ,C ∈ ¡ .
- Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược của bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm
nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm đơn
giản hơn. Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp:
Bảng 1.2.1.1: Nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp
u là hàm số theo biến x
Trường hợp đặc biệt u = ax + b, a ≠ 0
, tức là u = u (x )
Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
∫ dx
= x +C
x α +1
α
∫ x dx = α + 1 + C
1
∫ x dx = ln x + C
∫
1
∫e
x dx = e x + C
x
dx = 2 x + C
x
∫ a dx =
0
ax
+C,
ln a
∫ cos x .dx = sin x + C
∫ du = u + C
u α +1
α
∫ u du = α + 1 + C
1
∫ u du = ln u + C
∫
1
du = 2 u + C
1 (ax + b)α +1
α
∫ (ax + b) .dx = a . α + 1 + C
1
1
∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C
∫
1
du =
1
.2 ax + b + C
a
ax + b
Nguyên hàm của hàm số mũ
u
u
1 ax +b
ax +b
∫ e du = e + C
+C
∫ e dx = a e
u
mx +n
u du = a + C
mx +n dx = 1 . a
a
a
+C,m ≠ 0
∫
∫
ln a
m
ln a
u
Nguyên hàm của hàm số lượng giác
∫ cos u .du = sin u + C
∫ cos(ax + b)dx
=
1
sin(ax + b) + C
a
11
∫ sin x .dx
1
∫ cos
2
x
∫ sin u .du = − cos u + C
= − cos x + C
1
∫ cos
dx = t an x + C
1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C
2
u
du = t an u + C
1
∫ sin 2 u du = − cot u + C
1
= − cos(ax + b) + C
a
1
1
∫ cos2(ax + b) dx = a t an(ax + b) + C
∫ sin(ax + b)dx
1
1
dx
=
−
co t an(ax + b) + C
∫ sin 2(ax + b)
a
Ví dụ 1.2.1.2:
a)
b)
c)
4
∫ 4x dx = 5 x
4
∫
5
+C .
1
1
2
xdx = ∫ x dx =
x
∫ cos 2 dx =
x2
+1
1
+1
2
+C =
2 3
x +C .
3
x
2 + C = 2 sin x + C .
1
2
2
sin
Định lí 1.2.1.2: Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì:
a)
b)
∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx .
Với mọi số thực k ≠ 0 ta có: ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .
Định nghĩa 1.2.1.2: Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K
( )
( )
. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b − F a được gọi là tích
b
phân của f từ a đến b và kí hiệu là
∫ f ( x )dx .
a
b
• Trong trường hợp a < b , ta gọi
∫ f ( x )dx
a
b
( )a
• Người ta còn dùng kí hiệu F x
là tích phân của f trên đoạn a, b .
( )
( )
để chỉ hiệu số F b − F a . Như vậy nếu
12
b
F là một nguyên hàm của f trên K thì
∫ f ( x )dx
b
( ) a = F (b) − F ( a ) .
=F x
a
• Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên,
( )
f là hàm dưới dấu tích phân, f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến
số lấy tích phân.
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay
cho x . Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ t , chữ u ,… là biến số lấy tích phân thì
b
()
∫ f t dt ,
a
b
∫ f ( u )du ,… đều là một số và số đó bằng
( )
( )
F b −F a .
a
Ví dụ 1.2.1.3:
5
1
5
dx
=
ln
x
= ln 5 − ln 3 = ln .
∫3 x
3
3
5
a)
(
)
x2
4
1
b) ∫ x + ÷dx = + ln x ÷ = 6 + ln 2 .
x
2
2
2
4
Định lí 1.2.1.3: Cho các hàm số f (x ), g(x ) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc
K . Khi đó ta có:
a
•
∫ f (x )dx
=0
a
b
•
a
b
•
∫ k .f (x )dx
a
b
•
c
b
b
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
a
b
•
a
∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx
a
c
b
= k ∫ f (x )dx
a
b
b
a
a
∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx
a
1.2.2. Cách tính nguyên hàm, tích phân của một số hàm thường gặp
( )
Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số y = f x , cũng có nghĩa là ta đi tính một
tích phân bất định: I = ∫ f (x )dx . Ta có ba phương pháp cơ bản sau:
13
• Phương pháp phân tích .
1 4
3 2
3
Ví dụ 1.2.2.1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ x + 4x + x + x − 2 ÷dx .
4
Lời giải:
Ta có:
1
∫ 4 x
4
+ 4x 3 + 3 x 2 + x − 2 ÷dx =
1
∫ 4x dx + ∫ 4x dx + ∫
4
3
=
3
x 2dx + ∫ xdx − ∫ 2dx
1 5 4 4 3 53 1 2
x + x + x + .x − 2x + C
20
3
5
2
.
Ví dụ 1.2.2.2: Tìm nguyên hàm hàm số sau:
∫x
2
1
dx .
− 3x + 2
Lời giải: Ta có:
∫x
2
1
1
1
1
1
dx =
dx = ∫
dx − ∫
dx
∫
2 −1 x −1 x −2
x −2
x −1
− 3x + 2
(
)(
)
= ln x − 2 − ln x − 1 = ln
•
x −2
+C
x −1
.
Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau:
Định lí: Cho hàm số u = u (x ) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f (u ) liên
tục sao cho f [u (x )] xác định trên K . Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là
∫ f (u )du = F (u ) + C
thì
∫ f [u (x )]dx = F [u (x )] + C .
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau:
14
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định:
I = ∫ f (x )dx .
Ta thực hiện theo các bước sau:
()
()
• Bước 1: Chọn x = ϕ t , trong đó ϕ t là hàm số mà ta chọn thích hợp.
()
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = ϕ ' t dt
()
()
()
• Bước 3: Biến đổi: f (x )dx = f ϕ t ϕ ' t dt = g t dt
• Bước 4: Khi đó tính:
Ví dụ 1.2.2.3: Tính:
∫x
2
∫ f (x )dx = ∫ g(t )dt
= G (t ) + C .
1
dx .
+x +1
Lời giải:
Ta có:
∫x
2
1
1
dx = ∫
dx
2
2
+x +1
.
1 3
÷
x − ÷ +
4 2 ÷
1
3
3
t an t → dx =
1 + t an 2 t dt .
Đặt: x − ÷ =
4
2
2
(
⇒
1
∫ x 2 + x + 1 dx =
1
∫3
3
1 + t an t ) +
(
4
4
2
)
(
2 3
1
3
x
−
=
t
an
t
⇒
t
=
arct
an
÷.
Với:
÷
÷
4
2
4x-1
Ví dụ 1.2.2.4: Tính: ∫
Lời giải:
dx
(1 − x )
2
3
.
)
. 1 + t an 2 t dt =
3
3
dt
=
t +C
.
4∫
4
15
π π
Đặt: x = sint ; t ∈ − ; ÷ ⇒ dx = cost dt .
2 2
dx
Suy ra:
(1− x )
2
Khi đó: ∫
3
(1 − x )
( 1-sin t )
2
dx
2
cost dt
=
=
3
(
cost dt
dt
=
= d t an t
3
.
cos t
cos2t
(
sin t
)
= ∫ d t an t = t an t + C =
3
)
1 − sin 2 t
=
x
1 − x2
+C
.
Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để tính tích phân:
I = ∫ f (x )dx Ta thực hiện theo các bước sau:
( )
( )
Bước 1: Chọn t = ϕ x . Trong đó ϕ x là hàm số mà ta chọn thích hợp.
()
Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt = ϕ ' t dt .
()
()
Bước 3: Biểu thị: f (x )dx = f ϕ t ϕ ' t dt = g(t )dt .
Bước 4: Khi đó: I = ∫ f (x )dx = ∫ g(t )dt = G (t ) + C .
(
)
8
Ví dụ 1.2.2.5: Tính: I = ∫ x 2 2 − 3x 2 dx .
Lời giải:
dt = −6xdx
2
2
Đặt: t = 2 − 3x ⇒ 2 2 − t ⇔ x 2 − 3x
x =
3
(
2
(
)
8
Vậy: I = ∫ x 2 2 − 3x 2 dx =
=
(
2
2 − 3x 2
27
Ví dụ 1.2.2.6: Tính:
)
∫
9
−
(
(
1−x
)
8
2 −t
=
3
8 1 8 9
÷t = 2t − t .
3
(
1
2 9 1 10
2 ∫ t 8dt − ∫ t 9dt =
t − t +C .
3
27
30
1
2 − 3x 2
30
x 3dx
)
.
)
10
+C .
)
16
Lời giải:
x = 1 − t 2
Đặt: t = 1 − x ⇒
dx = −2tdt
⇔
∫
x 3dx
1−x
=
( 1 − t ) ( −2tdt ) = −2 1 − 2t
=
(
t
2
2
x dx
1−x
∫ ( −2 + 4t
= −2 1 − x +
2
3
)
− 6t 4 + 2t 6 dt = −2t +
4
1−x
3
(
)
1−x −
2
)
+ 3t 4 − t 6 dt Vậy
:
4 3 6 5 2 7
t − t + t +C
3
5
7
6
1−x
5
(
)
2
1−x +
2
1−x
7
(
)
3
1 − x +C .
• Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Cơ sở của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần là định lí sau đây:
Định lí: Nếu u , v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫ u ( x )v ′ ( x ) dx
( ) ( )
( ) ( )
= u x v x − ∫ v x u ′ x dx .
Công thức trên được viết gọn dưới dạng: ∫ udv = uv − ∫ vdu .
Khi ta gặp phải những tích phân mà không thể sử dụng hai phương phương pháp:
Phân tích và đối biến số để tìm họ nguyên hàm trực tiếp được, ta phải nghĩ đến
phương pháp này. Từ đó thông qua việc tìm họ nguyên hàm trực tiếp bằng một hàm
số khác (mà có thể sử dụng hai phương pháp đã biết để tìm).
Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần để tính I = ∫ f (x )dx .
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f (x )dx = ∫ f1(x ). f2 (x )dx .
u = f1(x )
du = f '1(x )dx
→
Bước 2: Đặt:
dv = f2 (x )
v = ∫ f2 (x )dx
17
Bước 3: Khi đó: ∫ u .dv = u .v − ∫ v.du .
Ví dụ 1.2.2.7: Tính: I =
∫
(
x . ln x + x 2 + 1
x2 + 1
)dx .
Lời giải:
)
(
2
Viết lại: I = ∫ ln x + x + 1 .
xdx
x2 +1
.
1+x
u = ln x + x 2 + 1
x2 + 1 =
du =
→
Đặt:
xdx
x + x2 +1
dv =
x2 +1
v = x 2 + 1
)
(
dx
x2 + 1
Khi đó:
)
(
)
(
I = ∫ u .dv = x 2 + 1 ln x + x 2 + 1 − ∫ dx = x 2 + 1 ln x + x 2 + 1 − x + C .
∫
Ví dụ 1.2.2.8: Tính: I =
(
ln cosx
cos2x
) dx .
Lời giải:
(
)
Ta viết lại: I = ∫ ln cosx .
dx
cos2x
sin x
u = ln cos x
du = −
= − t an x
cos
x
→
Đặt:
dx
dx
dv
=
v =
2
= t an x
∫
cos x
cos2 x
(
)
(
)
⇒ I = ∫ u .dv = t an x . ln cos x + ∫ t an 2 xdx .
1
−
1
Khi đó: I = t an x . ln cos x + ∫
÷dx = t an x . ln cos x + t an x - x + C .
2
cos x
(
)
(
)
18
I = P (x ) sin axdx
∫
Bài toán 2: Tính tích phân bất định dạng:
. Với P x là một
I
=
P
(
x
)
cos
axdx
∫
( )
đa thức.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
• Cách 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần, thực hiện theo các bước sau:
du = P '(x )dx
u = P (x )
−1
cos ax
sin
axdx
→
Bước 1: Đặt:
a
dv = cos axdx
v = 1
sin ax
a
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần:
Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.
• Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Ta có: I = ∫ P (x ) cos axdx = A (x ) sin ax + B (x ) cos ax + C
( )
( )
( 1)
( )
Trong đó: A x và B x là các đa thức cùng bậc với P x .
()
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của 1 :
P (x ) cos ax = A '(x ) cos ax - A (x )a. sin ax + B '(x ) sin ax + aB (x ) cos ax
( )
( )
Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A x và B x .
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức lớn hơn 3, thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi đó ta
thực hiện số lần tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức. Vì vậy ta đi đến
nhận định như sau:
• Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng 3: Ta sử dụng cách 2.
• Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng 2: Ta sử dụng cách 1.
2
Ví dụ 1.2.2.9: Tính: I = ∫ x sin xdx .
Lời giải:
19
1 − cos 2x
1
1
1 2 1
Ta có: I = ∫ x
÷dx = ∫ xdx − ∫ x cos 2xdx = x − J
2
2
2
4
2
Tính: J = ∫ x cos 2xdx .
du = dx
u = x
→
Đặt:
1
dv = cos 2xdx
v = sin 2x
2
⇒J =
x
1
x
1
sin 2x − ∫ sin 2xdx = sin 2x + cos2x + C .
2
2
2
4
()
Thay vào 1 , ta được:
I =
1
1 2 1x
1
1
x − sin 2x + cos2x ÷ = x 2 − x sin 2x − cos2x ÷ + C .
4
22
4
2
4
I = e ax sin bxdx
∫
Bài toán 3: Tính tích phân bất định:
( Với a, b ≠ 0 )
ax
I
=
e
cos
bxdx
∫
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần , theo các bước sau:
du = −b sin bxdx
u = cos bx
v = 1 e ax
ax
dv
=
e
dx
a
⇒
• Bước 1: Đặt
u = sin bx
du = b cos bxdx
dv = e axdx
1 ax
v = a e
• Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần.
2x
2
Ví dụ 1.2.2.10: Tính: I = ∫ e sin xdx .
Lời giải:
( 1)
20
Ta có :
1 − cos2x
1 2x
1 2x
1 2x 1
I = ∫ e 2x sin 2 xdx = ∫ e 2x
÷dx = ∫ e dx − ∫ e cos2xdx = e − J
2
2
2
4
2
2x
Tính tích phân J = ∫ e cos2xdx .
du = −2 sin 2xdx
u = cos2x
→
Đặt:
1 2x
2x
dv=
e
dx
v = e
2
1
1
⇒ J = e 2x cos2x + ∫ e 2x sin 2xdx = e 2xcos2x + K
2
2
( 2)
2x
Tính tích phân: K = ∫ e sin 2xdx .
du = 2 cos 2xdx
u 1 = sin 2x
1
→
Đặt:
1 2x
2x
dv1 = e dx
v1 = e
2
1
1
⇒ K = e 2x sin 2x − ∫ e 2xcos2xdx = e 2x sin 2x − J
2
2
( 3) .
1 2x
J − K = e cos2x
1
2
⇔ J = e 2x sin 2x + cos2x .
Từ 2 và 3 ta có hệ:
4
J + K = 1 e 2x sin 2x
2
( )
(
( )
)
()
Thay vào 1 ta được:
I =
1 2 x 1 1 2x
1
e − . e sin 2x + cos2x = e 2x
4
2 4
4
(
)
1
1 − sin 2x + cos2x ÷ + C .
2
(
)
ax
Bài toán 4: Tính tích phân bất định: I = ∫ P (x )e dx .
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Ta tiến hành theo các bước sau:
( 1)
21
du = P '(x )dx
u = P (x )
→
• Bước 1: Đặt:
1 ax
ax
dv = e dx
v = e
a
• Bước 2: Khi đó : ⇒ I =
1 ax
1
e P (x ) − ∫ P '(x )e axdx
a
a
• Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được đa thức.
3x
Ví dụ 1.2.2.11: Tính: I = ∫ xe dx .
Lời giải:
du = dx
u = x
1 3 x 1 3x
1 3x 1 3x
→
⇒
I
=
xe
−
e
dx
=
xe − e + C .
Đặt:
1
3x
∫
3x
dv
=
e
dx
3
3
3
9
v
=
e
3
Bài toán 5: Tính tích phân bất định: I = ∫ P (x ) ln xdx
Ta lấy tích phân từng phần, theo các bước sau:
dx
u = ln x
du =
→
x
• Bước 1: Đặt:
dv
=
P
(
x
)
dx
v = ∫ P (x )dx
• Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần, ta được một tích phân quen
thuộc mà có thể tính được bằng hai phương pháp đã biết.
Ví dụ 1.2.2.12: Tính: I =
∫(x
2
)
− 2x ln xdx .
Lời giải:
dx
du
=
u = ln x
x
→
Đặt:
2
1
dv
=
x
−
2
x
dx
v = x 3 − x 2
3
(
)
Suy ra:
1
1
dx 1
1
I = x 3 − x 2 ÷ln x − ∫ x 3 − x 2 ÷ = x 3 − x 2 ÷ln x − ∫ x 2dx − ∫ xdx .
3
3
x 3
3
22
1
1
1
I = x 3 − x 2 ÷ln x − x 3 + x 2 + C .
9
2
3
Một số phương pháp tìm tích phân
Cũng giống như tính nguyên hàm, ngoài phương pháp dùng định nghĩa và các
tính chất cơ bản của tích phân, phương pháp phân tích,… ta thường sử dụng hai
phương pháp tính tích phân sau:
•
Phương pháp đổi biến số:
b
u (b)
a
u (a )
Công thức đổi biến số ∫ f [u (x )]u '(x )dx =
∫
f (u )du trong đó f (x ) là hàm số
liên tục và u (x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f [u (x )] xác
định trên J ; a, b ∈ J .
1
Ví dụ 1.2.2.13: Tính tích phân sau: I =
xdx
.
2
+1
∫x
0
Lời giải:
Đặt t = x 2 + 1
⇒
dt = 2xdx
⇒
xdx =
dt
.
2
x = 0 → t = 1
Đổi cận:
x = 1 → t = 2
2
2
2
xdx
1 dt 1
1
= ∫
= ln t = ln 2 .
Vậy: I = ∫ 2
1
21 t
2
2
1 x +1
π
2
Ví dụ 1.2.2.14: Tính tích phân sau: I = cos5 xdx .
∫
0
Lời giải:
Đặt: t = sin x
⇒
dt = cos xdx
.
23
x = 0 → t = 0
Đổi cận:
π
x = → t = 1
2
π
2
1
∫(1−t )
Vậy: I = cos xdx =
∫
5
2
0
•
2
1
dt =
0
∫(
0
1
t5 2 3
8 .
1 + t − 2t dt = ∫ − t + t ÷ =
5 3
0
0 15
4
2
1
)
Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý: Nếu u (x ), v(x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a ; b
b
là hai số thuộc K thì: ∫ u (x )v '(x )dx = u (x )v(x )
a
b
b
a
− ∫ v(x )u '(x )dx .
a
1
x
Ví dụ 1.2.2.15: Tính: I = ∫ x .e dx .
0
Lời giải:
u = x ⇒ du = dx
Đặt:
x
x
dv = e dx ⇒ v = e
1
Vậy: I = ∫ x .e dx = x .e
x
0
x
1
0
1
− ∫ e xdx = e − e x
0
1
0
(
)
= e − e −1 = 1.
24
CHƯƠNG 2:
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ
2.1.
Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán đại số
Như chúng ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông. Việc giải và biện luận
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình…. bằng các phương pháp như:
Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học… khá quen thuộc đối
với các bạn học sinh phổ thông và nhất là các bạn đang chuẩn bị thi THPT Quốc
Gia, đại học, cao đẳng,.. Tuy nhiên khi đối mặt với một bài toán dạng này các bạn ít
nhiều còn lúng túng, chưa tìm được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng lại
không đưa ra được kết quả cuối cùng.
Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 chỉ nêu một số cách giải các phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình một cách đơn giản. Việc sử dụng đạo hàm
chỉ dừng lại ở bài toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàm
trong việc giải các bài toán sơ cấp thì chưa được sử dụng nhiều và hầu như học sinh
vận dụng còn hạn chế và chưa linh hoạt. Song các đề thi đại học, cao đẳng, thi học
sinh giỏi,... việc sử giải các bài toán có sự ứng dụng của đạo hàm rất nhiều. Đặc biệt
là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình giúp cho học sinh giải một số bài toán sẽ đơn giản hơn.
Trong mục này sẽ trình bày rõ hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm (hay chính
là ứng dụng tính đơn điệu của hàm số).
Định nghĩa 2.1.1: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f
là hàm số xác định trên K . Khi đó:
• Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:
∀x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 ;
( )
( )
• Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
∀x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 > f x 2 ;
( )
( )
25
Nói một cách khác, nếu hàm số f xác định trên K thì
• Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K , ta có
f x + ∆x − f x
> 0 với mọi ∆x ≠ 0 mà x + ∆x ∈ K .
∆x
• Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộcK , ta có
f x + ∆x − f x
< 0 với mọi ∆x ≠ 0 mà x + ∆x ∈ K .
∆x
(
)
( )
(
)
( )
Từ đó người ta chứng minh được điều sau đây:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .
a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ′ x ≥ 0 với mọi x ∈ I .
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I
( )
thì f ′ ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ I .
Đảo lại ta có thể chứng minh được:
Định lí 2.1.2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .
( )
( )
a) Nếu f ′ x > 0 với mọi x ∈ I và f ′ x = 0 tại hữu hạn x ∈ I thì hàm số f
đồng biến trên khoảng I .
b) Nếu f ′ x ≤ 0 với mọi x ∈ I và f ′ x = 0 tại hữu hạn x ∈ I thì hàm số f
( )
( )
nghịch biến trên khoảng I .
c) Nếu f ′ x = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f không đổi trên khoảng I .
( )
Định lí trên cho ta một điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
Tính chất 2.1.3: Giả sử hàm số f liên tục và đơn điệu trên tập D thì phương trình
( )
f x = 0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc D .
( )
( )
Tính chất 2.1.4: Nếu phương trình f ′ x = 0 có một nghiệm trên tập a, b thì
( )
( )
phương trình f x = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên a, b .
