một số đề chon học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT

TUYỂN CHỌN ĐỀ THI DỰ TUYỂN QUỐC GIA
MÔN TOÁN
KIÊN GIANG, 5 THÁNG 9 NĂM 2016

LÊ QUỐC TRUNG
TEL: 0919522844-EMAIL:: Quốc Trung Lê


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
AN GIANG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
Năm học 2012 – 2013
Môn : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Lớp : 12
BÀI THI THỨ NHẤT
SBD : ………… PHÒNG:. . .
Thời gian làm bài : 180 phút
…… …………
(Không kể thời gian phát đề)

Câu 1:(5,0điểm)
Cho hai số

dương thỏa

.Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 2: (5,0 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh
rằng

Câu 3:(5,0điểm)
Cho dãy số

được xác định như sau:

Xét tính đơn điệu của dãy số và tính:

Câu 4 :(5,0điểm)
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng1 nội tiếp trong đường tròn tâm O,
một điểm M trên cung nhỏ BC. Đặt
. Chứng minh
rằng:

---Hết---

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

001


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
Năm học 2012 – 2013
Môn : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Lớp : 12
BÀI THI THỨ HAI
SBD : ………… PHÒNG . . .
Thời gian làm bài : 180 phút
.…… …………
(Không kể thời gian phát đề)

Câu 5: (5,0 điểm)
Cho dãy

với

Chứng minh rằng các số hạng của dãy đều là số chính phương. (số chính phương là
số bằng bình phương của một số tự nhiên nào đó).

Câu 6: (5,0 điểm)
Trong một buổi liên hoan có 9 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9
người này sao cho mỗi người bắt tay với đúng ba người còn lại.

Câu 7: (5,0điểm)
Giải hệ phương trình:

Câu 8: (5,0điểm)
Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH. Mặt phẳng (P) chứa AH cắt ba cạnh

BC, CD, BD lần lượt tại M,N,P ; gọi
là góc hợp bởi AM; AN; AP với mặt
phẳng (BCD) . Chứng minh rằng

---Hết---

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

002


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2012 – 2013
MÔN TOÁN VÒNG 2

A.ĐÁP ÁN
Do

dương thỏa

ta đặt:

Khi đó

Đặt

5,0
điểm

Câu1

Xét hàm số :

Vậy hàm số giảm trên
Vậy
khi

Giả sử
Vì

ta có
ạ

ủ

Vì
5,0
điểm

Câu 2
ớ
Vậy f(c) đồng biến trên
Vậy

dấu bằng xãy ra khi tam giác đều

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

003


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

ặ

Xét hàm số

Xét hàm

Vậy hàm số

là hàm số tăng

Vậy dãy số đã cho là dãy giảm.
Câu3 Ta có công thức lượng giác
Lần lượt thay bởi

hàm số

là hàm tăng

5,0
điểm

ta được

Nhân lần lượt từ đẳng thức thứ hai với

ta được

Cộng vế theo vế ta được :

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

004


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Ta lại có :

ậ
A

x
B

Áp dụng định lý Cosin cho hai tam giác
MAB và MAC ta được

O

Trừ hai vế ta được:
C

y

M

z

Bình phương từng đẳng thức(*) ta có:

Câu4

5,0
điểm

Công vế theo vế ta được
Do

lần lượt thay (3); (4) vào (2) ta được
ậ
.
Cho dãy
với
Chứng minh rằng các số hạng của dãy đều là số chính phương
Ta có nhận xét
5,0
điểm

Câu5
Như vậy
là bình phương của các số hạng lẻ của dãy Fibonaccy
Xét dãy số là dãy Fibonaccy

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

005


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Dãy Fibonaccy có tính chất sau

Thật vậy :

Theo quy nạp ta được (2)
Ta chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương
Rỏ ràng
Giả sử
với mọi
Xét

ụng
ụng

Vậy
Hay các số hạng của dãy đều là số chính phương.
Ta sắp một ô vuông có 9 dòng và 9 cột mỗi dòng và mỗi cột ta tương
ứng với người thứ
hai người bắt tay với nhau ta đánh số
1 hai người không bắt tay nhau ta đánh số 0. Đường chéo của hình
vuông ta đánh số 0.
1 2 3 …
9 Vì mỗi người bắt tay với đúng ba
người nên mỗi hàng trong hình

1 0
vuông có đúng ba số 1 vì có 9 hàng
2
0 1
Câu6
nên có 27 số 1.
3 1
0 1
1
Mặt khác người thứ bắt tay với
…
1 0
người thứ thì người thứ cũng bắt
0
tay với người thứ nên các số 1
1
0
9
0 trên ô vuông đối xứng nhau qua
đường chéo do vậy số các số 1 phải
là số chẵn điều này mâu thuẩn với 27 là số lẻ . Vậy không thể sắp xếp
9 người sao cho mỗi người bắt tay với đúng ba người còn lại.

Câu7 Hệ phương trình viết lại là :

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

5,0
điểm

5,0
điểm

006


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Đặt

hệ phương trình trở thành

TH1:

TH2:
phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

Gọi a là độ dài cạnh tứ diện ABCD khi đó
Đẳng thức cần chứng minh
Tương đương với

A

K

B

D
P

M

Câu 8

N

H
I

5,0
điểm

J
C

D

B

K
M

P
N

H
I

J

C

Xét tam giác BCD Từ H kẻ HI; HJ; HK vuông góc với BC; CD; BD
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử M thuộc đoạn BI và gọi
lần lượt là ba góc hợp bởi HM; HN; HP với ba cạnh BC;
CD; BD

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

007


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Ta có tam giác HMI và HNJ vuông tại Ivà J nên tứ giác HICJ nội tiếp
Mặt khác tổng ba góc của tam giác BMP bằng

nên

Từ đó suy ra

Vậy
B. HƯỚNG DẪN CHẤM
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
+ Điểm số có thể chia nhỏ đến 0,25 cho từng câu. Tổng điểm toàn bài không làm tròn

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

008

"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
AN GIANG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
Năm học 2013 – 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

SBD : ………… PHÒNG:. . . ……

Môn : TOÁN
BÀI THI THỨ NHẤT
Thời gian làm bài : 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (5,0điểm)
Giả sử

là ba nghiệm của phương trình

Chứng minh rằng

.
luôn là số nguyên.

Câu 2: (5,0 điểm)

Cho
. Từ ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có
ba chữ số đôi một khác nhau và trong ba chữ số này không có hai chữ số nào là hai
số tự nhiên liên tiếp.
Câu 3: (5,0 điểm)
Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a:

Câu 4: (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số
sao cho:
a.
b.
c.
trong đó
là tập các số tự nhiên khác 0.

---Hết---

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

009


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
AN GIANG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
Năm học 2013 – 2014

Môn : TOÁN
Lớp : 12
BÀI THI THỨ HAI
Thời gian làm bài : 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

SBD : ………… PHÒNG . . .
.…… …………

Câu 5: (5,0 điểm)
Cho dãy số

được xác định bởi

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 6: (5,0 điểm)
Cho n số nguyên dương phân biệt

Chứng minh rằng :

Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 7: (5,0 điểm)
Trên mặt phẳng có kẻ vô hạn các ô vuông đơn vị tạo bởi các đường thẳng
nằm ngang song song với nhau và các đường dọc; mỗi ô vuông đơn vị được tô bằng
một trong hai màu xanh hoặc đỏ sao cho bất cứ hình chữ nhật nào có kích thước
ô vuông đều có đúng hai ô màu đỏ.
Xét hình chữ nhật có kích thước

ô vuông. Tính số ô màu đỏ và
màu xanh của hình chữ nhật này.
Câu 8: (5,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có các cặp cạnh đối diện bằng nhau SA=BC; SB=AC;
SC=AB và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAC). Chứng minh rằng
n
n
---Hết---

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

010


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2012 – 2013
MÔN TOÁN VÒNG 2

A.ĐÁP ÁN
Phương trình có một nghiệm là
hai nghiệm
là hai nghiệm
của phương trình
như vậy
luôn là số nguyên ta chỉ

cần chứng minh
là số nguyên.
Đặt
với
là hai nghiệm của phương trình
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n
Với n=1 và n=2

5,0
điểm

Câu1
Ta có
Giả sử rằng
khi đó
nguyên lý quy nạp là số nguyên với mọi n
Vậy là số nguyên.

do vậy

theo

Ta đếm số tập con có ba phần tử của X không thứ tự sau đó ta sắp thứ tự
các phần tử của các tập con này ta được số các số cần tìm.
Ta dùng phương pháp phần bù, đầu tiên ta đếm các tập con có chứa ba
phần tử trong đó có ít nhất hai phần tử là hai số tự nhiên liên tiếp.
+ Đếm số tập con của X có ba phần tử và đúng 2 trong ba phần tử này là
hai số tự nhiên liên tiếp.
Chọn tập con của X có hai phần tử là hai số tự nhiên liên tiếp có
8 cách chọn ({1,2};{2,3}; {3,4}…{8,9}), còn lại 7 phần tử. Từ

mỗi tập con này ta bổ sung một phần tử thứ ba. Hai tập con
có 6 cách bổ sung trừ phần tử số 3 của tập {1;2} ; và
phẩn tử số 7 của tập {8;9}. Các tập con còn lại có 5 cách bổ sung
5,0
trừ hai phần tử kế cận. Vậy có
tập con.
Câu 2
điểm
+ Đếm số tập con của X có 3 phần tử là ba số tự nhiên liên tiếp
Có 7 tập con chứa 3 phần tử và ba phần tử đều là 3 số tự nhiên
liên tiếp là
.
+ Số các tập con có 3 phần tử của X bất kỳ: Có
tập con
+ Như vậy có
các tập con của X có ba phần tử và
hai trong ba phần tử này đều không phải là hai chữ số tự nhiên liên tiếp.
+ Mỗi tập con này ta hoán vị chúng sẽ được một số tự nhiên có ba chữ
số thỏa đề
Vậy có
số tự nhiên cần tìm.

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

011


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Cách khác:

Xét tập con của X có ba phần tử, không mất tính tổng quát ta sắp thứ tự
ba phần tử này giả sử
với
và
.
Gọi A là các tập con của X (sắp thứ tự) và B là các tập con (sắp thứ tự)
chứa ba phần tử của tập
và một phép tương ứng
cho tương ứng mỗi phần tử của A là
với một phần tử tập
của B có dạng
với
Phép tương ứng trên là phép tương ứng 1-1.
Thật vậy mỗi bộ
theo công thức (*) ta được
có tương ứng duy nhất
vì
.
Ngược lại lấy

khi đó theo (*) ta được

Suy ra ba phần tử
không có hai phần tử nào là hai số tự nhiên
liên tiếp hay
.
Mặt khác
Do là phép tương ứng 1-1 và A, B là tập hữu hạn nên số phần tử của A
bằng số phần tử của B
Số phần tử của B là

vậy số phần tử của A là
Từ mỗi tập con của A chứa 3 phần tử này ta hoán vị chúng, mỗi hoán vị
là một số tự nhiên có ba chữ số thỏa đề.
Vậy có
số thỏa đề bài.
Nhận xét
nên vế phải của phương trình là số dương do vậy
phương trình có nghiệm khi
.
Phương trình (*) viết lại là:

Lấy

ta được:

5,0
điểm

Câu3
Nếu
nghiệm

thì phương trình có hai

Nếu
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là

phương trình vô nghiệm

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

012


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

nế

nế

Giả sử tồn tại hàm số f thỏa điều kiện bài toán khi đó
Cho n
Theo giả thiết

n

Ta chứng minh bằng quy nạp n
n
 Ta có
 Giả sử
ta cần chứng minh
Nếu lẻ
chẵn
5,0
điểm

Câu4
Nếu k chẵn
o

Vậy n

n

n

ạ

thử lại điều kiện ta nhận thấy n

n thỏa

Xét hàm số

Vậy hàm số

Câu5

tăng trên R và có bảng biến thiên như sau
+

5,0
điểm

Như vậy dãy số trên là dãy giảm;
Mặt khác dựa vào bảng biến thiên ta được
Vậy dãy số trên là dãy giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn, đặt giới
hạn này là ta được

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

013


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Nhưng

vậy

Không mất tính tổng quát giả sử rằng
Đầu tiên ta chứng minh
Do là số nguyên dương nên xét
và ta được

Dấu bằng xảy ra khi

n

số tự nhiên khác không đầu tiên

n và các hoán vị của nó.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Câu6

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
 Với n=1 đúng hiễn nhiên
 Giả sử đúng với n-1 tức là ta có
 Cộng hai vế cho

ta được:

5,0
điểm
ta cần chứng minh

Theo chứng minh trên

Nhưng vì
được
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n; dấu bằng xảy ra khi
các hoán vị của nó.
Câu7

nên ta

n n và

Ta có nhận xét
Mọi hình chữ nhật có kích thước
đều có đúng một ô màu đỏ.
Giả sử ngược lại tồn tại một hình chữ nhật
có hơn hai ô màu đỏ

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

5,0
điểm

014


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

Đánh số ô vuông như hình vẽ
TH1: Giả sử hai ô màu đỏ là ô số 1,2 kề nhau
Xét hình chữ nhật có kích thước
tạo bởi các ô 1,2,4,5,7,8 khi đó
ô 4,5,7,8 là ô không phải màu đỏ.
Xét hình chữ nhật kích thước
tạo bởi các ô 4,5,6,7,8,9, vì ô
4,5,7,8 là ô không phải màu đỏ nên ô 6 và 9 phải là ô màu đỏ
Xét hình chữ nhật kích thước
tạo bởi các ô 2,3,5,6,8,9 có ba ô
màu đỏ 2,6,9 điều này vô lý với giả thiết.
TH2: Giả sử hai ô màu đỏ là 1,3 không kề nhau

Xét hai hình chữ nhật có kích thước
tạo bởi các ô 1,2,4,5,7,8 và
2,3,5,6,8,9 khi đó ô số 5 hoặc ô số 8 phải là ô màu đỏ.
Xét hình chữ nhật kích thước
tạo bởi các ô 4,5,6,7,8,9 có 1 ô
màu đỏ điều này vô lý với giả thiết.
TH3: Có ba ô màu đỏ
Nếu tồn tại một hình chữ nhật
có ba ô màu đỏ là 1,2,3 điều này
mâu thuẩn vì hình chữ nhật kích thước
tạo bởi các ô 1,2,3,4,5,6
có ba ô màu đỏ.

Vậy bất kì hình chữ nhật nào có kích thước
đều có đúng một ô
màu đỏ.
Mặt khác
Vậy số ô màu đỏ của hình chữ nhật là
ô.
Số ô màu xanh
ô.
Đặt
S
Gọi M; H lần lượt là trung điểm của BC và
c
a
SA.
b
H
Tam giác
cân tại M và ta được
b
Câu 8
. Tương tự ta được
hay HM
A
là đoạn vuông góc chung.
C
c
Từ M kẻ Mx song song SA khi đó
M

5,0

điểm

a

Ta được hình chiếu của B và C lên mặt
phẳng (SAM) nằm trên Mx. Mặt khác M là

B

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

015


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

trung điểm của BC nên (SAM) là mặt phẳng phân giác của hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau.
Áp dụng định lý chiếu ta được
o
o
Ta tính diện tích tam giác
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Từ (1), (2), (3) ta được
n
n
(4)
Tương tự ta nhận được
n

n
(5)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC và (4),(5)ta được
o

n
o

n
o

o

o

n

n
n

n

n

n

n

n

n

Vậy
n

n

Cách khác:
Để thuận tiện ta gọi
Nhận xét rằng các mặt của tứ diện gần đều là các tam giác nhọn
Dựng hình hộp chữ nhật mà các đường chéo của hình hộp tương ứng là
các cạnh của tứ diện gần đều như hình vẽ.
Đặt
là ba kích thước của hình hộp.
Gọi I là trung điểm của BC khi đó do tứ diện gần đều nên SAI là mặt
phẳng phân giác của hai mặt phẳng SAB và SAC vuông góc nhau.
Hình chiếu của tam giác SAB lên mặt phẳng SAI có diện tích bằng diện
tích tam giác SAI nên ta có
o
Mặt khác độ dài các cạnh tứ diện là

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

016


"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc." Ngạn ngữ Gruzia

A

S

(2)
n

n

z

n
Từ (1) (2) và (3) ta được

C
y

I
x

B

n
Tương tự ta có
n
Mặt khác áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta được
o
o
o
o

n

n

o

n

n

n
n

n

o
n

o
o

n
n

n

o

n

B. HƯỚNG DẪN CHẤM.

+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
+ Điểm số có thể chia nhỏ đến 0,25 cho từng câu. Tổng điểm toàn bài không làm
tròn.

LÊ QUỐC TRUNG-0919522844-CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

017


018


019


020


021


022


023


024