Bài tập hình học lớp 9 ôn tập tuyển sinh 10

ÔN TẬP HÌNH HỌC
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại I
a) Chứng minh BA là tiếp tuyến của (O).

∆

⊥

∆

b) Kẻ OM BC tại M, AM cắt (O) tại N, Chứng minh
AIM đồng dạng
CNM rồi suy ra AM.MN = MI2
∈
c) Kẻ MK//AC, K AI. Chứng minh 4 điểm M, I, K, O cùng nằm trên một đường tròn

⊥

d) Kẻ OH AN tại H. chứng minh OM > OH
Bài 2 : Cho đường tròn (O) và điểm C nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến CA và CB đến (O) ( A và B là hai
tiếp điểm )

⊥

a) Chứng minh : OC AB tại H.
b) Chứng minh HA.HB = HC.HD
c) Đoạn thẳng OC gặp (O) tại I. chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp
BAC
HC
tg
=

2
AH + AC
d) Chứng minh :
.

∆

Bài 3 : Cho
a) Giải

∆

∆

ABC

ABC vuông tại A có AB = 5 và AC = 4
ABC.

b) Kẻ đường cao AH của

∆

⊥

ABC . Chứng minh: BC là tiếp tuyến của ( A; AH).

⊥

c) Từ H kẻ HE AB cắt (A) tại I và từ H kẻ HF AC cắt (A) tại K. Chứng minh BI là tiếp tuyến của (A).

Chứng minh : BI là tiếp tuyến của (A).
d) Chứng minh : 3 điểm I, A, K thẳng hàng.
Bài 4: Cho (O, R) có AB là đường kính. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy bất kỳ M thuộc Ax. MB cắt (O) tại C.

⊥

a) Chứng minh : AC MB.
b) Tính BC.BM theo R
c) Vẽ dây AD

⊥

⊥

MO tại H. Chứng minh : MD2 = MC.MB

d) Vẽ DE AD tại E, DE cắt MB tại I. Chứng minh : ID = IE
Bài 5 : Cho (O, R) và điểm A ngoài (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B, C là
hai tiếp điểm. Chứng minh :
a) AO là đường trung trực của BC.

∆

b)
ABC đều. Tính BC theo R
c) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại E. Đường vuông góc với OC tại O cắt AB tại F. Chứng minh:
Tứ giác AEOF là hình thoi. EF là tiếp tuyến của ( O ; R)

∆

Bài 6: Cho
ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi K là trung điểm của AH. Từ A hạ vuông góc với AB và
AC tại D và E. đường tròn tâm K bán kính AK cắt đường tròn tâm O đường kính BC tại I, AI cắt BC tại M.
a) Chứng minh 5 điểm A, I, D, H, E thuộc một đường tròn.

⊥

b) Chứng minh: MK AO
c) Chứng minh : 4 điểm M, D, K, E thẳng hàng


d) Chứng minh : MD.ME = MH2.
Bài 7 : Cho điểm I trên đường tròn (O, R), đường trung trực của bán kính OI cắt đường tròn (O) tại A và B.
a) Tính độ dài AB theo R.
b) Chứng minh : Tứ giác OAIB là hình thoi
c) Hai tiếp tuyến kẻ từ A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại C. Chứng minh : 3 điểm O; I; C thẳng hàng

∆

d) Tính diện tích của ABC.
Bài 8 : Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua tâm O. Gọi H là trung điểm của AB.

⊥

a) Chứng minh : OH AB.
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia OH tại điểm K. Vẽ đường kính AC, CK cắt đường tròn (O) tại
D. Chứng minh CD.CK = 4R2
AD 2
AK =
2 R sin C cos C

c) Chứng minh:
d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt đường thẳng AB tại E. OE cắt CK tại điểm I. Chứng minh
OH.OK = OI.OE
Bài 9 : Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R. Vẽ các tiếp tuyến MA, MB đến đường
tròn ( A, B là ai tiếp điểm ).
a) Chứng minh :
b) Tính diện tích

∆

∆

MAB là tam giác đều.
MAB theo R

⊥

c) Tia MO cắt ( O) tại H và K ( H nằm giữa M, K ) Từ O vẽ ON AK. Chứng minh B, O, N thẳng hàng
d) Tính AH.AK theo R
Bài 10 : Cho đường tròn (O; R) OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB với (O). Trên (O) lấy điểm C sao cho AB = AC
b) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O).

∆

b) Chứng minh
ABC đdều, tính SABC theo R
c) Vẽ dây BC // AC. Chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng
Bài 11 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By, M là mốt diểm bất kì trên
đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh : CÔD = 900.

AB 2
AC.BD =
4
b) Chứng minh :

⊥

c) Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. Chứng minh MN AB
d) Xác định vị trí của điểm M để cho chu vi ACBD đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12 : Cho tam giác ABC vông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC tại D.
a) Chứng minh : AC2 = CD. BC.
b) Gọi I là trung điểm của BD. Tiếp tuyến tại D cắt AC ở M và cắt OI tại N. Chứng minh MB là tt của (O)
c) OM cắt AD ở K. Chứng minh OK.OM = OI.ON

⊥

d) Gọi Q là giao điểm của MB và AN. Chưng minh DQ AB.
(O; R),

Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm

đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến

d của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên d. Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:


1. T giỏc ABNM l hỡnh thang vuụng.
2. AC l tia phõn giỏc ca
3.

ã
BAM

.

CH 2 = AM.BN.

Bi 14: Cho ng trũn ( O ) ng kính AB. Điểm M thuộc đờng tròn. vẽ điểm N đối xứng với điểm A qua M,
BN cắt đờng tròn ở C . Goịo E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh tam giác MAB là tam giác vuông.
b) Chứng miinh NE vuông góc với AB.
c) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Bi 15: Cho nửa đờng tròn tâm O, đựờng kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By và nửa
đờng tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm E thuộc nửa đờng tròn ( E khác A và B), kẻ tiếp
tuyến với nửa đờng tròn, nó cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD.
b) Tính số đo góc COD.
c) Gọi I là giao điểm của OC và AE, gọi K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao?
d) Tìm vị trí của điểm E trên nửa đờng tròn sao cho tổng AC + BD nhỏ nhất.
Bi 16: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn (M khỏc A v B). Trờn
na mt phng b AB cha na ng trũn, k tiptuyn Ax. Tia BM ct Ax ti I; tia phõn giỏc ca gúc IAM ct
na ng trũn ti E; ct tia BM ti F; tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K.
a. Chng minh rng : AI2 = IM.IB.
b. Chng minh BAF l tam giỏc cõn.
c. Chng minh rng t giỏc AKFH l hỡnh thoi.

Bi 17: Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB. Trờn ng trũn ly mt im C saoi cho BC>BA. K cỏc tip
tuyn Ax v By ca (O). Tip tuyn ti C ca (O) ct Ax v By ln lt ti M v N.
a. Chng minh AMCO v BNCO l cỏc t giỏc ni tip

b. Tỡm din tớch nh nht ca t giỏc AMNB. Tớnh din tớch ú theo R
c. Gi H l giao im ca AN v BM. C/m: CH vuụng gúc vi AB v tớch MN.CH khụng i.
d. AN ct (O) ti I. K tip tuyn ti I ca (O) ct CH ti E. C/m: CH=2CE
e. Gi K l trc tõm ca tam giỏc AEB. Tớnh t s KH/KE.

Bi 18: Cho tam giỏc ABC nhn ni tip (O). cho gúc BAC = 60o. Tớnh s cung BC. Tip tuyn ti B v C ca
ng trũn ct nhau D. Chng minh tam giỏc AOB u.

Bi 19: Cho tam giỏc ABC nhn ni tip (O), 2 ng cao BE v CF ct nhau ti H.
a.
b.
c.
d.

Chng minh t giỏc AEHF ni tip.
K l giao im ca AH v BC. Chng minh AC vuụng gúc BC.
O l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc BFAC. Cho gúc BAC =60o . C/m tam giỏc OEF u.
Chng minh 4 im O,E,F,K thuc 1 ng trũn.

Bi 20: Cho (O;R), im A ngoi ng trũn sao cho OA=2R. T A k 2 tip tuyn AB v AC (B,C l tip im).
a.
b.
c.
d.
e.

Tớnh AB v chng minh tam giỏc ABC u.
OA ct (O) ti S. T giỏc OBSC l hỡnh gỡ?
Chng minh tớch AM.AN khụng i (AMN l cỏt tuyn ca (O).
Gi H l giao im ca OA v BC. Chng minh t giỏc OHMN ni tip.

Gi I l trung im MN, CI ct (O) ti K. Chng minh KB//AN.

Bi 21: Cho (O;R), im A ngoi ng trũn sao cho OA=2R. V ng thng (d) vuụng gúc OA ti A. im M
tờn (d) v 2 tip tuyn MD, ME n (O) (D,E l tip im).
a. Chng minh MDOE ni tip v 5 im M,A,D,E,O thuc 1 ng trũn.
b. DE ct OM ti N v ct OA ti B. Chng minh OB.OA=ON.OM. Suy ra di OB khụng i khi M lu
ng trờn (d).


c. Cho MA=3R/2. Tính diện tích tứ giác ABNM theo R.

Bài 22: Cho (O) đường kính AB=8. Gọi Ax, By lần lượt là tiếp tuyến tại A và B của (O). M thuộc (O), vẽ tiếp
tuyến thứ 3 của (O) (M là tiếp điểm, M khác A,B) cắt Ax tại C, By tại D (AC>BD).
a. Chứng minh OACM, OBDM nội tiếp.
b. OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Tứ giác OEMF là hình gì?
c. I là trung điểm OC, K là trung điểm OD. Chứng minh tứ giắc OIMK nội tiếp.
d. Cho AC + BD =10. Tính diện tích tứ giác OIMK.