Phân phối xã suất và hàm đặc trưng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội, 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
1


------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

Chuyên ngành:
Mã số:

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, 2015
2


Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Phan
Viết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho
tôi để hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự
giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác
suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội,
những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận
văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến
đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội,tháng 06 năm 2015
Lê Nam Trung

1


Mục lục
MỞ ĐẦU

4

1 TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất
1.2.2 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục . . . . . . . . . .

.
.
.
.

5
6
7
7
11

2 HÀM PHÂN PHỐI
2.1 CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa và tính compact . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Khoảng cách Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Hội tụ của dãy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 ỨNG DỤNG HÀM PHÂN PHỐI VÀO NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN
RỦI RO BẢO HIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Các giả thiết của định lý Cramer - Lundberg. . . . . . . .
2.3.3 Phát biểu định lý Cramer - Lundberg. . . . . . . . . . . . .

2.3.4 Chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
14
17
17
22
27

3 HÀM ĐẶC TRƯNG
3.1 CÁC HÀM QUAN TRỌNG . .
3.2 HÀM ĐẶC TRƯNG . . . . . . .
3.2.1 Định nghĩa và tính chất .
3.2.2 Tính chính quy, khai triển

40
40
43
43
47

. . .
. . .
. . .
hàm

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
đặc trưng

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

32
32
36
37
37

4 QUAN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI 55
4.1 TÍNH QUY LUẬT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2

4.2

TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁC
HÀM ĐẶC TRƯNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3


MỞ ĐẦU
Hàm phân phối xác suất và hàm đặc trưng là những khái niệm nhất của lý
thuyết xác suất và thống kê toán học. Với sự ra đời của tác phẩm "Những khái
niệm cơ bản của lý thuyết xác suất"(Kolmogorov, 1933) thì những nền móng
vững chắc cho hai khái niệm trên được hình thành. Cho đến nay nhiều kết quả
liên quan đã thu được và một lý thuyết hiện đại về XSTK đã được xây dựng và
phát triển. Ý nghĩa của các khái niệm trên sẽ được trình bày trong phần Tổng
quan của chương I. Luận văn được trình bày gồm 4 chương:
Chương I: Giới thiệu tổng quan và những khái niệm cơ bản về biến ngẫu
nhiên và hàm phân phối, trong đó có đề cập đến một khẳng định quan trọng
của Kolmogorov về phân phối hữu hạn chiều.
Chương II: Trình bày về lý thuyết hàm phân phối; cấu trúc và sự hội tụ,
khoảng cách Levy và ứng dụng nghiên cứu bài toán rủi ro bảo hiểm.
Chương III: Nói về hàm đặc trưng, định nghĩa, tính chất, tính chính quy và
khai triển hàm đặc trưng.
Chương IV: Trình bày mối liên quan giữa hàm phân phối và hàm đặc trưng,
nêu tính quy luật, quan hệ giữa tích chập của hàm phân phối và phép nhân của
hàm đặc trưng.

4

Chương 1
TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI
NIỆM MỞ ĐẦU
Trong chương này trình bày vài nét tổng quan về những vấn đề cần nghiên
cứu và những khái niệm mở đầu cần dùng cho các chương sau.
Khác với thế giới tất định, trong phạm trù ngẫu nhiên người ta làm việc với
các đại lượng lấy những giá trị ngẫu nhiên. Ta không thể coi những giá trị ngẫu
nhiên đó như giá trị của một tham số tất định biến đổi tùy ý được. Đối với một
biến ngẫu nhiên, người ta cần biết cái luật phân phối của nó. Đối với những
biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần biết nó có thể lấy những giá trị nào và nó lấy
mỗi giá trị đó với xác suất bao nhiêu; đối với những biến ngẫu nhiên liên tục, ta
cần biết nó lấy giá trị trong một khoảng nào đó với xác suất bao nhiêu? Những
xác suất đó thể hiện luật phân phối của các biến ngẫu nhiên. Luật phân phối
lại được biểu diễn qua hàm phân phối. Biết hàm phân phối cụ thể của một biến
ngẫu nhiên cụ thể là coi như ta xác định được biến ngẫu nhiên đó.
Ta lại có một cách khác để thể hiện luật phân phối của biến ngẫu nhiên đó
là dựa trên hàm đặc trưng. Biết được hàm đặc trưng, ta biết biến ngẫu nhiên
đó là biến ngẫu nhiên gì. Vậy vấn đề đặt ra là hàm phân phối và hàm đặc trưng
liên quan đến nhau như thế nào? Về mặt toán học, thực ra hàm đặc trưng là
một biến đổi Fourier của hàm phân phối. Ngược lại nếu biết hàm đặc trưng thì
ta tính được hàm phân phối nhờ định lý đảo của biến đổi Fourier. Trong nhiều
bài toán thực tế, sử dụng hàm đặc trưng thì thuận lợi hơn hàm phân phối. Đóng
góp vào việc xây dựng các định lý đảo có các công trình của Levy, Gurland, Gil
- Palaez, Shiely ...
Vậy trong luận văn này sau khi nêu các khái niệm mở đầu chúng tôi sẽ trình
bày 3 vấn đề:

5

1. Hàm phân phối
2. Hàm đặc trưng
3.Quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối.
Trong đó có trình bày một ứng dụng về nghiên cứu "bài toán rủi ro bảo
hiểm."

1.1

BIẾN NGẪU NHIÊN

Định nghĩa: Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Không giảm tính tổng quát ta
có thể giả thiết (Ω, F, P) là không gian xác suất đủ tức là nếu A là biến cố có
xác suất 0 (P(A)=0) thì mọi tập con B ⊂ A cũng là biến cố.
1. Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Ω −→ E được gọi là một biến
ngẫu nhiên với giá trị trên E nếu với mỗi tập Borel của E ta có X −1 (B) ∈ F .
2. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên E = Rn ta nói X là vectơ ngẫu
nhiên n - chiều.
3. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên tập số thực R ta nói X là biến
ngẫu nhiên.
Mệnh đề 1. a, X : Ω −→ R là đại lượng ngẫu nhiên khi và chỉ khi
X −1 (∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R
b, X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω −→ Rn là véc tơ ngẫu nhiên khi và chỉ khi mỗi tọa độ
Xk (k = 1, . . . , n) của nó là đại lượng ngẫu nhiên.

Chứng minh. Ta dễ suy ra a,. Để chứng minh b, ta xét phép chiếu πk : Rn −→
R, πk x = xk (tọa độ thứ k của x), πk liên tục nênπk đo được (đối với (B n , B 1 )).
Do đó, nếu X là véc tơ ngẫu nhiên, thì Xk = πk .X là đại lượng ngẫu nhiên.
Ngược lại, giả sử mỗi Xk là đại lượng ngẫu nhiên. Để đơn giản hơn, ta xét

trường hợp n = 2 và chú ý rằng: R2 = R × R, B 2 = B 1 × B 1 (σ - đại số tích). Khi
đó, với B1 , B2 ∈ B 1 ta có:
X −1 (B1 × B2 ) = X1−1 (B1 ) ∩ X2−1 (B2 ) ∈ A

Do đó ta có X −1 (B 2 ) ∈ A tức là X là véc tơ ngẫu nhiên.

6


1.2

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Định nghĩa: 1. Cho X là biến ngẫu nhiên E - giá trị. Xét hàm tập µX xác định
trên σ - đại số Borel của E theo cách sau:
µX (B) = P (X −1 (B)), ∀B ∈ B.

Dễ kiểm tra được µX là một độ đo xác suất trên E. µX được gọi là phân bố xác
suất trên (E, B) của biến ngẫu nhiên X.
2. Giả sử X = (X1 , . . . , Xn ) là véc tơ ngẫu nhiên n - chiều. Hàm số F (x) =
F (x1 , x2 , . . . , xn ) xác định bởi công thức:
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P (X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn )

được gọi là hàm phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên X

1.2.1

Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Mệnh đề 2. Nếu ν là xác suất trong (E, ) thì tồn tại ít nhất một không gian

xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một phần tử ngẫu nhiên E - giá trị X, sao cho ν là
phân phối của nó: PX = ν
Chứng minh. Lấy Ω = E, A = , P = ν và X là ánh xạ đồng nhất từ R lên R:
X(x) = x, ∀x ∈ R.

Khi đó,
PX (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈

Mệnh đề 3. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó:
FX (x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chất sau:
1. Không giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2 .
2. Liên tục bên trái : FX (x) = FX (x − 0).
3. Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 taị +∞:
Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít nhất một
không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một đại lượng ngẫu nhiên X sao cho F
là hàm phân phối của nó: FX = F.
7


Chứng minh. 1, Suy ra từ đẳng thức
(−∞, x2 ) = (−∞, x1 ) + [x1 + x2 ).

2, 3, suy ra từ tính liên tục của PX và từ các nhận xét:
1
) = Bn ↑ B = (−∞, x),
n
(−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞)
(−∞, x −

Cuối cùng, giả sử F là hàm số có ba tính chất 1, 2, 3,. Khi đó, độ đo LebesgueStieltjes µF tương ứng là xác suất trên đường thẳng.Từ mệnh đề 2 suy ra điều
phải chứng minh.

Chú ý Phân phối PX chính là độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra từ hàm phân
phối FX .
Để mở rộng mệnh đề trên cho trường hợp vec tơ ngẫu nhiên, ta phải đưa vào
Rn một quan hệ thứ tự.
Giả sử a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ). Ta quy ước viết a < b(a ≤ b), nếu
ak < bk (ak ≤ bk ) với ∀k = 1, 2, . . . , n. Rõ ràng, với quan hệ thứ tự đó Rn trở thành
tập được sắp thứ tự một phần.Ta viết a ↑ b nếu ak ↑ bk với mọi ∀k = 1, 2, . . . , n.
Bây giờ ta nhắc lại định nghĩa của sai phân.Giả sử F (x) là hàm một biến số, sai
phân cấp 1 của F là
∆1h F (a) = F (a + h) − F (a), a ∈ R1 , h > 0.

Chính xác hơn ,ta gọi ∆1h là toán tử sai phân cấp 1 với bước h. Tiếp theo, giả sử
F (x) = F (x1 , . . . , xn ) là hàm n biến số. Đặt
∆nh F (a) = ∆1h1 . . . ∆1hn F (a1 , . . . , an ) = F (a1 + h1 , . . . , an + hn )
−

F (a1 + h1 , . . . , aj , . . . , an + hn ) +

− . . . + (−1)n F (a

F (a1 + h1 , . . . , aj , . . . , an + hn )

1 , . . . , an )

và gọi ∆nhh là toán tử sai phân cấp n với bước h = (h1 , . . . , hn ) > 0. Chẳng hạn,
với n=2 ta có:

∆nh F (a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ).

Ta nói F (x) là hàm n biến không giảm, nếu
∆nh F (a) ≥ 0, ∀a ∈ Rn , ∀h > 0, h ∈ Rn .

tiếp theo ta nói rằng F (x) liên tục bên trái tại x0 khi và chỉ khi F (x) liên tục
bên trái theo mỗi biến tại x0 .
Bằng những lập luận tương tự như khi chứng minh mệnh đề 3 ta có mệnh
đề sau:
8


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất,
NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
2. Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa học và
kỹ thuật.
3. Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà
Nội.
4. Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2013), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo
dục Việt Nam.
Tiếng Anh
1. Leda D. Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes,
2. Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Publishing Co.

67