TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
TÀI LI U THAM KH O
TOÁN CAO C P A1 -
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
IS
C TRUNG
N M H C: 2016 -2017
TRANG CH :
/>
Link />
1
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
L I NịI
CH
U
NG TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P
TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017
Chúc m ng các b n đã b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i. Vi c đ
i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không kém thách
th c. Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mà c h i ti p
xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng gi ng đ ng l n hàng tr m
Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x .
T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn
g i là h c ph n). Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên
đ c t ch c h c và đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn.
Bài t p hoàn toàn đ c t p trung d n vào cu i ch ng ho c chuyên đ ch
không theo bài (các bu i h c). Các bài t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c
t p c a Sinh viên. R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c
nên k t qu h c t p các môn h c
i c ng th ng th p h n nh ng môn h c
chuyên ngành n m th 3, th 4 (ho c th 5).
Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k
bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và
cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ). C ng nh m đ làm quen v i cách h c
i h c, m t s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách
làm bài t p và trình b y b c i h c.
Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p
c n s m v i ki n và k n ng làm bài t p t t. Hy v ng v i s chu n b s m và t t,
các em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b .
Link />
2
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng
trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo các phân đo n đ n v ki n th c tu n t
đ các em d dàng theo dõi. Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b
ch ng trình: />T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i v i
Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng
kh i ngành h c trong Tr ng.
i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,
ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán A g m có 4 h c ph n riêng
bi t v i đ ng link chính cho Toán A ( />o Toán A1: i s tuy n tính
o Toán A2: Gi i tích 1
o Toán A3: Gi i tích 2
o Toán A4: Gi i tích 3
i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao
C p đ c h c là Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính
cho Toán B ( />o Toán B1: i s tuy n tính
o Toán B2: Gi i tích
i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t
ho c Qu n tr kinh doan ... ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán C
g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C
( />o Toán C1: i s tuy n tính
o Toán C2: Gi i tích
T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho
t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng
nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán
A, Toán B và Toán C. i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p
đ c t ng h p t các
thi gi a và cu i H c k các n m g n đây c a các kh i
ngành:
Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bài t p
Link />
3
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Toán B1 và B2: g n 2000 bài t p
Toán C1 và C2: g n 2000 bài t p
Các bài t p tr ng y u đ c quay Video đi kèm l i gi i giúp các em ôn t p d
dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng và chính xác.
Th y và đ i ng các Supper Mods (c ng đ u là các Gi ng viên d y i h c) r t
vui đ c trao đ i trên di n đàn Toán cao c p t i Moon.VN trên Facebook v i
đ ng link sau: />Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i
đ ng link sau: />Chúc các em nhanh chóng thu l
và v n d ng sáng t o !
mđ
c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng
Link />
4
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
M CL C
M C L C..................................................................................................................5
Ch
ng 1: Ma tr n, đ nh th c và h ph
ng trình tuy n tính ...................................8
1.1.Ma tr n. .............................................................................................................8
1.1.1.
nh ngh a: .................................................................................................8
1.1.2.Các khái ni m khác: ...................................................................................8
1.1.3.Các phép toán trên ma tr n. ......................................................................10
1.1.4. Ma tr n đ i x ng và ma tr n ph n x ng. ................................................13
1.1.5.H ng c a ma tr n. .....................................................................................13
1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o. ..................................................................................14
1.1.7. a th c ma tr n. .......................................................................................17
1.2.. nh th c. ......................................................................................................17
1.2.1.
nh th c c p 2. ........................................................................................17
1.2.2.
nh th c c p 3. ........................................................................................17
1.2.3.
nh th c c p n. ........................................................................................18
1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c. .....................................................................19
1.3.H ph
ng trình tuy n tính. ............................................................................19
1.3.1.Ph
ng pháp Cramer: ...............................................................................19
1.3.2.Ph
ng pháp Gauss. .................................................................................21
Ch
ng 2 Không gian vecto. ...................................................................................22
2.1. Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p. ..22
2.1.1.Không gian vecto. .....................................................................................22
2.1.2..Không gian vecto con. .............................................................................23
2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p .....................................23
2.2.
c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính. ...................................................23
Link />
5
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
2.2.1.T h p tuy n tính......................................................................................23
2.2.2.
c l p tuy n tính.....................................................................................24
2.2.3.Ph thu c tuy n tính. ................................................................................24
2.2.4.Các tính ch t. ............................................................................................24
2.2.5.
nh lý. .....................................................................................................24
2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto. ....................................................25
2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto. .....................................................25
2.3.2.
nh lý. .....................................................................................................26
2.4.T a đ và ma tr n chuy n c s . ....................................................................26
2.4.1.T a đ c a vecto trong c s . ...................................................................26
2.4.2.Ma tr n chuy n c s ................................................................................27
2.4.3.
nh lý ma tr n chuy n c s . ..................................................................27
2.4.4.Công th c đ i t a đ .................................................................................27
Ch
ng 3: Ánh x tuy n tính. ..................................................................................29
3.1.Ánh x tuy n tính. ...........................................................................................29
3.1.1.
nh ngh a. ...............................................................................................29
3.1.2.Các tính ch t c b n c a ánh x tuy n tính. .............................................29
3.2.Nhân và nh c a ánh x tuy n tính. ................................................................29
3.2.1.Các đ nh ngh a. .........................................................................................29
3.2.2.Tìm c s cho Imf và Kerf. ......................................................................30
3.2.3.M i liên h gi a s chi u c a h t nhân và nh.........................................31
3.3.Ma tr n c a ánh x tuy n tính.........................................................................32
3.4.Toán t tuy n tính. ..........................................................................................33
3.4.1.
nh ngh a: ...............................................................................................33
3.4.2.C ng và nhân các toán t tuy n tính. .......................................................34
Ch
ng 4: Giá tr riêng và vecto riêng. ...................................................................35
4.1.Ph
ng trình đ c tr ng. ..................................................................................35
Link />
6
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
4.2.Giá tr riêng, vecto riêng. ................................................................................35
4.3.Chéo hóa ma tr n. ...........................................................................................36
Ch ng 5: D ng song tuy n tính, d ng toàn ph ng, tích vô h ng và không gian
Euclid. ......................................................................................................................38
5.1.Ánh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính. ..............................................38
5.2.D ng toàn ph
5.2.1.
ng...........................................................................................38
nh ngh a. ...............................................................................................38
5.2.2.Phân lo i d ng toàn ph
ng. ....................................................................39
5.2.3.D ng chính t c c a d ng toàn ph
5.2.4.
a d ng toàn ph
5.3.Tích vô h
5.3.1.
ng. ....................................................39
ng v d ng chính t c. ...............................................39
ng và không gian Euclid..............................................................42
nh ngh a. ...............................................................................................42
5.3.2.Tr c giao, tr c chu n. ...............................................................................43
5.3.3.Thu t toán tr c giao hóa m t h vecto đ c l p tuy n tính. ......................44
Ch
ng 6: B sung v s ph c. ...............................................................................45
6.1.D ng đ i s c a s ph c. ................................................................................45
6.2.D ng l
ng giác c a s ph c..........................................................................46
6.3.D ng m c a s ph c......................................................................................47
6.4.Nâng s ph c lên l y th a. .............................................................................47
6.5. nh lý c b n c a đ i s ................................................................................47
6.6. M t s ví d ...................................................................................................47
Link />
7
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Ch
ng 1: Ma tr n, đ nh th c và h ph
ng trình tuy n tính
1.1.Ma tr n.
1.1.1. nh ngh a:
Cho m, n là hai s nguyên d
ng. Ta g i m t ma tr n A c p m x n là m t b ng
g m m.n ph n t a ij K i 1,m; j 1,n đ
c s p x p thành m dòng và n c t nh sau:
a11 a12
a
a 22
A 21
a m1 a m2
Kí hi u: A a ij
Các ph n t
mxn
a1n
a 2n
a mn
.
dòng th i và c t th j đ
c g i là ph n t a ij .
1.1.2.Các khái ni m khác:
1. Ma tr n không:
M t ma tr n c p m x n đ
c g i là ma tr n không n u m i ph n t đ u b ng 0.
2. Ma tr n vuông:
M t ma tr n A a ij
mxn
đ
c g i là ma tr n vuông n u m = n. Lúc đó ta g i A là
ma tr n vuông c p n, kí hi u A a ij .
n
3. Ma tr n đ n v :
Cho ma tr n vuông A a ij . A đ
n
c g i là ma tr n đon v n u m i ph n t n m
trên đ ng chéo chính b ng 1 còn các ph n t khác đ u b ng 0. Lúc đó A đ
I n : ma tr n đ n v c p n.
Link />
c kí hi u là
8
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1 0 0
1 0
; I3 0 1 0
Ví d : I 2
0 1
0 0 1
4. Ma tr n chéo:
Cho A a ij . A đ
n
c g i là ma tr n chéo n u m i ph n t không thu c đ
ng
chéo chính đ u b ng 0.
1 0 0
Ví d : A 0 2 0 là ma tr n chéo.
0 0 9
5. Ma tr n tam giác:
Cho A a ij . A là ma tr n tam giác trên n u m i ph n t n m d
n
iđ
ng chéo
chính đ u b ng 0. A là ma tr n tam giác d i n u m i ph n t n m trên đ ng chéo
chính đ u b ng 0. A là m t ma tr n tam giác n u nó là ma tr n tam giác trên ho c d i.
1 9 0
Ví d : A 0 8 5 là ma tr n tam giác trên.
0 0 9
2 0 0
B 7 3 0 là ma tr n tam giác d i.
2 8 5
6. Ma tr n dòng, c t:
Ma tr n A a ij
1xn
a11 a12 ... a1n đ
c g i là ma tr n dòng.
b11
b
21
đ c g i là ma tr n c t.
Ma tr n B bij
mx1
...
b m1
Link />
9
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
7. Ma tr n b c thang:
Ma tr n b c thang là ma tr n b c thang có ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng trên
n m v bên trái so v i ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng d i.
3
0
Ví d : A
0
0
5 2 7 12 3
0 1 9 2 1
là ma tr n b c thang.
0 0 0 4 2
0 0 0 0 0
8. Hai ma tr n A a ij
mxn
và B bij
mxn
đ
c g i là b ng nhau n u a ij bij v i m i i,
j.
9. Cho ma tr n vuông A a ij
n
a11 a12
a
a 22
21
a n1 a n 2
a1n
a 2n
a nn
Các ph n t a11, a 22 , ...., a nn g i là các ph n t thu c đ
Các ph n t a ij i j g i là các ph n t n m trên đ
ng chéo chính.
ng chéo ph .
1.1.3.Các phép toán trên ma tr n.
a.C ng ma tr n.
-
nh ngh a: Cho hai ma tr n cùng c p A a ij
ma tr n A, B là m t ma tr n C cij
mxn
mxn
và B bij
mxn
. T ng c a hai
v i cij a ij bij. Kí hi u A B C.
0 7 2 9 1 7 11
1 0 2 0 7 9 1 0
Ví d : 4 1 5 2 3 8 4 2 1 3 5 8 2 2 13
7 2 3 0 1 1 7 0
2 1
3 1 7 3 4
-Tính ch t: Cho A, B, C, 0 là các ma tr n cùng c p, khi đó:
(i) A B C A B C (tính k t h p)
Link />
10
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
(ii) A B B A (tính giao hoán)
(iii) A 0 0 A A
(iv) A A A A 0
b. Nhân m t ph n t c a tr
ng K v i ma tr n.
, k K. Phép nhân m t ph n t
v i b k.a
ma tr n A cho ta m t ma tr n B b
-
nh ngh a: Cho A a ij
mxn
ij
ij mxn
c a tr
ng K v i
ij
ka11 ... ka1n
... ...
-Kí hi u: kA B ...
ka m1 ... ka nn
c bi t khi k 1 K, thay cho (-1)A ta s vi t –A và g i nó là ma tr n đ i c a A.
-Tính ch t: Cho A, B là các ma tr n cùng c p, , K. Khi đó:
(i) A B A B
(ii) A A A
(iii) A A A
(iv) 1.A A
c. Phép nhân hai ma tr n
-
nh ngh a: Cho A a ij
mxn
là ma tr n c p m x n trên K và B b jk
nxp
là ma
tr n c p n x p trên K. Ta g i tích c a A v i B, kí hi u AB, là m t ma tr n C cik mxp
c p m x p trên K mà các ph n t c a nó đ
c xác đ nh nh sau:
n
cik a ijb jk ; i 1,m, j 1,p.
j1
Link />
11
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1 3
1 2 1
, B 2 1 . Tính AB, BA?
Ví d : Cho A
3 1 2
3 1
1 3
1 2 1
1.1 2.2 1 .3 1.3 2.1 1. 1 2 6
AB
2
1
3.1 1.2 2.3
3.3 1.1 2. 1 11 8
3 1 2
3 1
1 3
10 5 5
1
2
1
5 5 0
BA 2 1
3 1 2
3 1
0 0 5
*Nh n xét:
1) i u ki n đ phép nhân hai ma tr n th c hi n đ
b ng s dòng c a ma tr n 2.
c là s c t c a ma tr n 1
2) Phép nhân hai ma tr n không có tính giao hoán.
d. Chuy n v ma tr n.
-
nh ngh a: Cho A a ij
m và cá ph n t đ
mxn
. Chuy n v c a ma tr n A là ma tr n B có c p n x
c xác đ nh nh sau: bij a ji
Ta kí hi u ma tr n chuy n v c a ma tr n A là A t . Nói m t cách khác chuy n v
c a ma tr n A là ma tr n B đ c suy ra b ng cách đ i dòng thành c t và đ i c t thành
dòng.
1 2
1 1 0 2
1 3
t
A
Ví d : A 2 3 5 0
0 5
1 0 3 4 3x 4
2 0
1
0
3
4 4x3
e. Các phép bi n đ i s c p trên dòng.
Link />
12
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Các phép bi n đ i ma tr n A thành ma tr n A’ sau đ
s c p trên dòng.
-Lo i 1:
c g i là các phép bi n đ i
d d
i
j
A'
i ch hai dòng cho nhau, kí hi u: A
di cdi
-Lo i 2: Bi n dòng i thành c l n dòng i c 0 , kí hi u: A
A'
-Lo i 3: Bi n dòng i thành dòng i c ng c l n dòng j
c 0, i j ,
kí hi u:
d d cd
i
i
j
A
A'
1.1.4. Ma tr n đ i x ng và ma tr n ph n x ng.
-
nh ngh a: Cho A là ma tr n vuông c p n.
+) A g i là ma tr n đ i x ng n u A t A.
+) A g i là ma tr n ph n x ng n u A t A.
Ví d :
1 2 0
1 2 0
t
1 A 2 3 1 A V y A là ma tr n đ i x ng.
Cho A 2 3
0 1 1
0 1 1
0 2 1
0 2 1
t
0 3 B 2 0 3 B V y B là ma tr n ph n x ng.
Cho B 2
1 3 0
1 3 0
1.1.5.H ng c a ma tr n.
Cho ma tr n A a ij
mxn
và B bij
mxn
là ma tr n b c thang nh n đ
ct A
b ng m t s h u h n các phép bi n đ i s c p. Khi đó s dòng (c t) khác không c a B
đ
c g i là h ng c a A, kí hi u là rank A ho c r A .
Link />
13
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1 2 3
Ví d : Tìm h ng c a ma tr n A 4 5 6
3 3 9
Dùng phép bi n đ i s c p trên dòng đ a ma tr n A v d ng b c thang:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 3 6
0 3 6 B
d3 d3 3d 2
d 2 d 2 4d1
A 4 5 6
d3 d3 3d1
3 3 9
0 9 18
0 0 0
Ma tr n b c thang B có hai dòng khác 0 nên rank(A) = 2.
1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o.
1)
nh ngh a:
Cho ma tr n A a ij
n
ta nói A kh ngh ch n u B th a mãn BA AB In
Ta nói B là ma tr n ngh ch đ o cua A, kí hi u B A1.
A kh ngh ch n u và ch n u det A 0.
2) Tính ch t:
N u A, B là hai ma tr n kh ngh ch thì:
(i) A 1 A
1
(ii) AB B1A 1
1
(iii) A t A 1
1
t
1
1
(iv) cA A 1
c
(v) N u A kh ngh ch thì det A1 det A
3) Ph
1
ng pháp tìm ma tr n ngh ch đ o b ng bi n đ i s c p.
Link />
14
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Ng i ta ch ng minh đ c k t qu sau: Cho A là ma tr n kh ngh ch, khi đó
nh ng phép bi n đ i s c p trên dòng nào bi n A thành I n thì chúng c ng bi n I n (theo
th t đó) thành A 1.
T đó ta có ph
ng pháp tìm ma tr n ngh ch đ o nh sau:
tìm ma tr n A 1
a11 a12
a
a 22
21
v i A
... ...
a n1 a n 2
a11 a12
a 21 a 22
Ta l p ma tr n A | I n
... ...
a n1 a n 2
... a1n
... a 2n
... ...
... a nn
... a1n 1 0
... a 2n 0 1
... ... ... ...
... a nn 0 0
... 0
... 0
... ...
... 1
Dùng phép bi n đ i s c p dòng đ i v i A | I n đ bi n A thành I n khi đó I n
bi n thành A 1.
Ví d : Tìm A 1
1 3 2
v i A 1 4 2
1 3 3
1 3 2 1 0 0
1 3 2 1 0 0
d2 d2 d1
0 1 0 1 1 0
Ta có: A | I3 1 4 2 0 1 0
d3 d3 d1
1 3 3 0 0 1
0 0 1 1 0 1
1 0 0 6 3 2
d1 d1 2d3
0 1 0 1 1 0 I3 | A 1
d1 d1 3d 2
0 0 1 1 0 1
Link />
15
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
6 3 2
0
V y A 1 1 1
1 0 1
4) Tìm ma tr n ngh ch đ o nh đ nh th c.
Ta g i ma tr n ph h p PA c a ma tr n A là ma tr n đ
c xác đ nh nh sau:
PA ij A ji
tìm A 1 ta th c hi n hai b
c:
-
B1: Tính D det A
-
1
B2: L p ma tr n ph h p PA . Khi đó A
1
PA .
D
1 3 2
Ví d : Cho A 1 4 2
1 3 3
Ta có D det A 1.
A11 1
11
21
3 2
2 2 1 2
23 1 3
3; A 22 1
1; A 23 1
0;
3 3
1 3
1 3
31
3 2
3 2 1 2
3 3 1 3
2; A 32 1
0; A 33 1
1
4 2
1 2
1 4
A 21 1
A31 1
4 2
1 2 1 2
13 1 4
6; A12 1
1; A13 1
1;
3 3
1 3
1 3
6 3 2
1
1
0
Khi đó A PA 1 1
D
1 0 1
Link />
16
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1.1.7. a th c ma tr n.
-
nh
ngh a:
Cho
A
là
m t
ma
tr n
vuông
trên
K
và
p x a 0 a1x ... a n x K x là m t đa th c c a bi n x v i h s trên K. Khi đó
n
n
ma tr n a 0I a1A ... a n A
Trong đó I là ma tr n đ n v cùng c p v i A, đ
t i x A, kí hi u p A . Nó c ng đ
c g i là giá tr c a đa th c p x
c g i là đa th c ma tr n.
A g i là m t nghi m ma tr n c u đa th c p x n u đa th c ma tr n p A 0
(ma tr n không cùng c p v i A).
1.2.. nh th c.
1.2.1. nh th c c p 2.
, đ nh th
Cho ma tr n A a ij
2
c c p 2 c a ma tr n A đ
c xác đ nh và kí hi u
nh sau:
detA A
a11
a12
a 21 a 22
a11a 22 a 21a12
1 2
1 2
ta
có
det
A
1.1 2. 3 7.
3 1
3 1
Ví d : Cho A
1.2.2. nh th c c p 3.
Cho A a ij , đ nh th c c p 3 c a ma tr n A đ
3
a11
a12
det A a 21 a 22
a 31 a 32
c xác đ nh và kí hi u nh sau:
a13
a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a 21a 32a13 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a 11
a 33
Link />
17
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1.2.3. nh th c c p n.
Cho A a ij
n
ta kí hi u A i, j là ma tr n có đ
c t A b ng cách b dòng i và
c tj
1 3 4
1 4
Ví d : Cho A 4 5 6 thì A 2,2
3 3
3 2 3
Ph n bù đ i s c a ph n t a ij là m t s đ
c xác đ nh và kí hi u nh sau:
Aij 1 det A i, j
i j
Cho A a ij
n
det A
, đ nh th c c p n c a ma tr n A đ
c đ nh ngh a là:
a11
a12
... a1n
a 21
...
a 22
...
n
... a 2n
a pjA pj (khai tri n theo dòng p) ho c
... ...
j1
a n1 a n 2 ... a nn
n
det A a iq Aiq (Khai tri n theo c t q).
i 1
1
1
Ví d : Cho A
2
2
1 2 2
2 1 2
. Tính detA?
1 2 1
2 2 1
Ta khai tri n theo dòng 1:
Link />
18
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
2 1 2
1 1 2
11
1 2
A11 1 1 2 1 3; A12 1 2 2 1 0;
2 2 1
A13 1
13
Do đó det A
4
a
j1
1j
2 2 1
1 2 2
1 2 1
1 4
2 1 1 3; A14 1 2 1 2 0
2 2 1
2 2 2
A1j 1. 3 1.0 2.3 2.0 3
1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c.
1) N u đ i dòng thành c t, c t thành dòng thì đ nh th c không thay đ i.
d d
i
j
A' thì
2) N u đ i ch hai dòng cho nhau thì đ nh th c đ i d u, t c là A
det A det A'.
3) T m t dòng (m t c t) ta c ng vào m t dòng khác (c t khác) sau khi nhân m t
d d cd
i
i
j
A' khi đó det A'=detA.
s c 0 thì đ nh th c không đ i, t c là A
di cdi
4) Ta có th đ a thùa s chung c 0 ra ngoài đ nh th c, t c là A
A'
khi đó det A' cdet A.
5) Cho hai ma tr n vuông A, B khi đó det(AB) det A.det B.
1.3.H ph
1.3.1.Ph
ng trình tuy n tính.
ng pháp Cramer:
H ph
ng trình g m n ph
ng trình và n n:
a11x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...
a n1x1 a n 2 x 2 ... a nn x n b n
Link />
3.1
19
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
t D det A và D j là đ nh th c có đ
c b ng cách thay c t j c a D b i c t t
do. Khi đó h Cramer có nghi m duy nh t xác đ nh theo công th c:
x1
D1
D
D
, x 2 2 ,..., x n n .
D
D
D
x1 x 2 x 3 1
Ví d : Gi i h 2x1 6x 2 x 3 0
3x 4x 2x 0
2
3
1
1 1 1
Ta có A 2 6 1 , D det A 11 0.
3 4 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
D1 0 6 1 8, D 2 2 0 1 7, D3 2 6 0 26
0 4 2
3 0 2
3 4 0
V y h có nghi m duy nh t x1
*
8
7
26
, x 2 , x3
11
11
11
nh lí Kronecker-Capelli
H (3.1) có nghi m khi và ch khi r(A) r(A | B). H n n a:
(i) r(A) r(A | B) n : h có nghi m duy nh t.
(ii) r(A) r(A | B) n : h có vô s nghi m.
(iii) r(A) r(A | B) : h vô nghi m.
Link />
20
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1.3.2.Ph
ng pháp Gauss.
a11 a12
a 21 a 22
B1: L p ma tr n m r ng c a A: A | B
...
...
a m1 a m2
... a1n
... a 2n
... ...
... a mn
b1
b2
...
b m
B2: Dùng các phép bi n đ i s c p trên dòng đ a ma tr n A | B v ma tr n A' | B'
trong đó A’ là ma tr n b c thang (rút g n). D a vào đ nh lí Kronecker_capelli đ k t lu n
nghi m.
x1 2x 2 x 3 1
Ví d : Gi i h 2x1 5x 2 x 3 6
x 4x 2x 2
2
3
1
Ma tr n hóa h trên ta đ
c:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40
2
5
6
6
0
1
1
4
0
1
1
4
0
1
0
15
1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11
H có nghi m duy nh t là x1 40, x 2 15, x 3 11.
x1 2x 2 3x 3 x 4 1
Ví d : Gi i h 3x1 x 2 5x 3 3x 4 1
4x _ 3x 8x 4x 0
2
3
4
1
1 2 3 11 1 2 3 1 1
Ta có A | B 3 1 5 3 1 0 7 4 0 4
4 3 8 4 0 0 0 0 0 2
Suy ra r A | B 3, mà r A 2 r A | B. V y h vô nghi m.
Link />
21
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Ch
ng 2 Không gian vecto.
2.1. Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p.
2.1.1.Không gian vecto.
- nh ngh a: T p h p V đ c g i là m t không gian vecto trên
n u ta
đ nh ngh a hai phép toán c ng (+) và nhân vô h ng (.) trên V th a 10 tiên đ sau:
u, v, w V; ,
1) u, v V, u v V
2) u v v u
3) u v w u v w
4) 0 V, u 0 0 u u
5) u V, (u) : u ( u) 0
1') u V, , u V
2') u u u
3') u u u
4') u v u v
5') 1u u
-Tính ch t:T các tiên đ trên ta suy ra đ
c vài tính ch t sau c a không gian vecto:
1) 0 0
2) 0u 0
3) 1 u u
4) u 0 0 u 0
u u, u 0
u v, 0 u v
5) Vecto 0 là vecto đ i (-u) c a u t n t i duy nh t.
6) u, v, w V : u w v w u v
Link />
22
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
2.1.2..Không gian vecto con.
nh ngh a: Cho V là không gian vecto trên R và W V. W đ c g i là
không gian con c a V n u W c ng là không gian vecto trên R v i các phép toán c ng và
nhân nh trên V.
Kí hi u: W V.
nh lý sau cho ta đi u ki n c n và đ đ t p W là không gian con c a V: Cho V
là không gian vecto trên R và W V. W là không gian con c a V khi và ch khi
u,v W, R : u v W và u W.
Ví d : Xét W
3
.
x , x , x / x
1
2
3
1
0
Th t v y x1,x 2 ,x 3 , y1, y 2, y 3
3
3
. Khi đó W là không gian con c a
sao cho x1 y1 0. Ta có:
x1 y1 0 x1 y1 , x 2 y 2 , x 3 y3 W
x1 0 x1 , x 2 , x 3 x1, x 2 , x 3
3
2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p
Cho V là không gian vecto trên R và u1 ,...,u n V. G i S là t p t t c các t
h p tuy n tính c a u1 ,...,u n . Khi đó S là m t không gian con c a V, ta nói S là không
gian con c a V sinh b i u1 ,...,u n . Ký hi u là S u1,...,u n
Quy
2.2.
c 0. N u S V thì ta nói S sinh ra V hay S là t p sinh c a V.
c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính.
2.2.1.T h p tuy n tính.
Cho V là không gian vecto trên
và các vecto u, u1,...,u n V. Ta nói u là t
h p tuy n tính c a h vecto u1 ,...,u n khi và ch khi t n t i 1, 2 ,..., n
sao cho
u 1u1 ... n u n .
Link />
23
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Ta c ng nói u bi u th tuy n tính đ
Ví d : Trong
3
c qua h vecto u1 ,...,u n
, xét các vecto u 2,3,1 , u1 2,1,3 , u 2 2,0,0 , u 3 1,1, 1.
Khi đó u u1 u 2 2u 3 nên u là t h p tuy n tính c a các vecto u1 ,u 2 ,u 3.
2.2.2.
c l p tuy n tính.
H vecto u1 ,...,u n đ
c g i là đ c l p tuy n tính n u 1u1 ... n u n 0 thì
1 ... n 0.
Ví
d :
u1 1,1,2 , u 2 1, 1, 1 , u 3 2,1,1
H
là
LTT
vì
t
xu1 yu 2 zu3 0 ta suy ra x y z 0.
2.2.3.Ph thu c tuy n tính.
H vecto u1 ,...,u n đ
n
a
i 1
2
i
c g i là ph thu c tuy n tính n u t n t i a i i1,n
th a
0 sao cho 1u1 ... n u n 0.
Ví d : Trong
3
xét các vecto u1 1,1,2 , u 2 2,0,1 , u 3 1, 1, 3. Khi đó
u1 u 2 u 3 0 nên h các veco u1,u 2 ,u 3 là ph thu c tuy n tính.
2.2.4.Các tính ch t.
1) M i h ch a vecto 0 đ u ph thu c tuy n tính.
2) M i h ch a m t h con ph thu c tuy n tính thì ph thu c tuy n tính.
3) T p h p S u1,...,u n là ph thu c tuy n tính khi u i S sao cho u i là t h p
tuy n tính c a các vecto cfon l i trong S.
4) M i h con c a h đ c l p tuy n tính thì đ c l p tuy n tính.
5) T p h p S u1,...,u n là đ c l p tuy n tính n u m i u i không là t h p tuy n
tính c a các vecto còn l i trong S.
6) T p h p S V ho c là t p đ c l p tuy n tính ho c ph thu c tuy n tính.
2.2.5. nh lý.
Trong không gian
n
cho h vecto
Link />
24
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
u a
1
11
,a12 ,...,a1n ,u 2 a 21,a 22 ,...,a 2n ,...,u m a m1,a m2 ,...,a mn
a11 a12
a
a 22
21
t A
...
...
a m1 a m2
... a1n
... a 2n
... ...
... a mn
Khi đó u1 ,...,u n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A m.
Khi m = n thì u1 ,...,u n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A n det A 0.
Ví d : Cho các vecto u1 2,1, 1,1 , u 2 1, 1, 1,2 , u 3 1,0, 2,1. Khi đó ta
2 1 1 1
có ma tr n A 1 1 1 2 có r(A) 3 nên h vecto u1 ,u 2 ,u 3 là LTT.
1 0 2 1
Ví d : Xét h
vecto u1 2,1, 1 , u 2 1,1, 1 , u 3 3,2, 2 . Khi đó ma tr n
2 1 1
A 1 1 1 có det A 0 nên h
3 2 2
u1,u 2 ,u 3 là PTTT.
2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto.
2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto.
Cho V là không gian vecto V. T p B V đ
l p tuy n tính và sinh ra V.
Khi đó s vecto c a B đ
c g i là c s c a V n u B đ c
c g i là s chi u c a V. Kí hi u là dimV.
Ví d : Trong không gian vecto
3
, h vecto B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 đ c
l p tuy n tính đ ng th i B sinh ra V nên B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 là c s c a
và đ
c g i là c s chính t c c a
3
3
.
Link />
25