Tài Liệu Toán Cao Cấp B1_Đại Số năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

TÀI LI U THAM KH O
TOÁN CAO C P B1 -

GI NG VIÊN: TS. NGUY N

IS

C TRUNG

N M H C: 2016 -2017

TRANG CH :
/>
Link />
1


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

L I NịI
CH

U

NG TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P

TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017

Chúc m ng các b n đã b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i. Vi c đ
i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không kém thách
th c. Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mà c h i ti p
xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng gi ng đ ng l n hàng tr m
Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x .
T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn
g i là h c ph n). Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên
đ c t ch c h c và đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn.
Bài t p hoàn toàn đ c t p trung d n vào cu i ch ng ho c chuyên đ ch
không theo bài (các bu i h c). Các bài t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c
t p c a Sinh viên. R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c
nên k t qu h c t p các môn h c
i c ng th ng th p h n nh ng môn h c
chuyên ngành n m th 3, th 4 (ho c th 5).
Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k
bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và
cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ). C ng nh m đ làm quen v i cách h c
i h c, m t s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách
làm bài t p và trình b y b c i h c.
Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p
c n s m v i ki n và k n ng làm bài t p t t. Hy v ng v i s chu n b s m và t t,
các em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b .

Link />
2


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)

GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng
trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo các phân đo n đ n v ki n th c tu n t
đ các em d dàng theo dõi. Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b
ch ng trình: />T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i v i
Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng
kh i ngành h c trong Tr ng.
i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,
ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán A g m có 4 h c ph n riêng
bi t v i đ ng link chính cho Toán A ( />o Toán A1: i s tuy n tính
o Toán A2: Gi i tích 1
o Toán A3: Gi i tích 2
o Toán A4: Gi i tích 3

i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao
C p đ c h c là Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính
cho Toán B ( />o Toán B1: i s tuy n tính
o Toán B2: Gi i tích

i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t
ho c Qu n tr kinh doan ... ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán C
g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C
( />o Toán C1: i s tuy n tính
o Toán C2: Gi i tích


T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho
t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng

nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán
A, Toán B và Toán C. i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p
đ c t ng h p t các
thi gi a và cu i H c k các n m g n đây c a các kh i
ngành:
 Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bài t p
Link />
3


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

 Toán B1 và B2: g n 2000 bài t p
 Toán C1 và C2: g n 2000 bài t p
Các bài t p tr ng y u đ c quay Video đi kèm l i gi i giúp các em ôn t p d
dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng và chính xác.
Th y và đ i ng các Supper Mods (c ng đ u là các Gi ng viên d y i h c) r t
vui đ c trao đ i trên di n đàn Toán cao c p t i Moon.VN trên Facebook v i
đ ng link sau: />Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i
đ ng link sau: />Chúc các em nhanh chóng thu l
và v n d ng sáng t o !

mđ

c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng

Link />
4

TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

M CL C

M C L C..................................................................................................................5
Ch

ng 1: Ma tr n, đ nh th c và h ph

ng trình tuy n tính ...................................7

1.1.Ma tr n. .............................................................................................................7
1.1.1.

nh ngh a: .................................................................................................7

1.1.2.Các khái ni m khác: ...................................................................................7
1.1.3.Các phép toán trên ma tr n. ........................................................................9
1.1.4. Ma tr n đ i x ng và ma tr n ph n x ng. ................................................12
1.1.5.H ng c a ma tr n. .....................................................................................12
1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o. ..................................................................................13
1.1.7. a th c ma tr n. .......................................................................................15
1.2.. nh th c. ......................................................................................................16
1.2.1.

nh th c c p 2. ........................................................................................16

1.2.2.

nh th c c p 3. ........................................................................................16

1I.2.3. nh th c c p n. ......................................................................................16
1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c. .....................................................................17
1.3.H ph

ng trình tuy n tính. ............................................................................18

1.3.1.Ph

ng pháp Cramer: ...............................................................................18

1.3.2.Ph

ng pháp Gauss. .................................................................................19

Ch

ng 2: Không gian vecto. ..................................................................................21

2.1. Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p. ..21
2.1.1.Không gian vecto. .....................................................................................21
2.1.2..Không gian vecto con. .............................................................................22
2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p .....................................22
2.2.

c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính. ...................................................22

Link />
5


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

2.2.1.T h p tuy n tính......................................................................................22
2.2.2.

c l p tuy n tính.....................................................................................23

2.2.3.Ph thu c tuy n tính. ................................................................................23
2.2.4.Các tính ch t. ............................................................................................23
2.2.5.

nh lý. .....................................................................................................23

2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto. ....................................................24
2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto. .....................................................24
2.3.2.

nh lý. .....................................................................................................25

2.4.T a đ và ma tr n chuy n c s . ....................................................................25
2.4.1.T a đ c a vecto trong c s . ...................................................................25
2.4.2.Ma tr n chuy n c s ................................................................................26
2.4.3.

nh lý ma tr n chuy n c s . ..................................................................26

2.4.4.Công th c đ i t a đ .................................................................................26
Ch

ng 3: D ng song tuy n tính, d ng toàn ph

ng ..............................................28

3.1.Ánh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính. ..............................................28
3.2.D ng toàn ph
3.2.1.

ng...........................................................................................28

nh ngh a. ...............................................................................................28

3.2.2.Phân lo i d ng toàn ph

ng. ....................................................................29

3.2.3.D ng chính t c c a d ng toàn ph
3.2.4.
Ch

a d ng toàn ph

ng. ....................................................29

ng v d ng chính t c. ...............................................29

ng 4: B sung v s ph c. ...............................................................................33

4.1.D ng đ i s c a s ph c. ................................................................................33
4.2.D ng l

ng giác c a s ph c..........................................................................34

4.3.D ng m c a s ph c......................................................................................35
4.4.Nâng s ph c lên l y th a. .............................................................................35
4.5. nh lý c b n c a đ i s ................................................................................35
4.6. M t s ví d ...................................................................................................35
Link />
6


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

Ch

ng 1: Ma tr n, đ nh th c và h ph

ng trình tuy n tính

1.1.Ma tr n.
1.1.1. nh ngh a:
Cho m, n là hai s nguyên d

ng. Ta g i m t ma tr n A c p m x n là m t b ng





g m m.n ph n t a ij  K i  1,m; j  1,n đ

c s p x p thành m dòng và n c t nh sau:

 a11 a12
a
a 22
A   21


a m1 a m2

 

Kí hi u: A  a ij
Các ph n t

mxn

a1n 
a 2n 




a mn 

.

dòng th i và c t th j đ

c g i là ph n t a ij .

1.1.2.Các khái ni m khác:
1. Ma tr n không:
M t ma tr n c p m x n đ

c g i là ma tr n không n u m i ph n t đ u b ng 0.

2. Ma tr n vuông:

 

M t ma tr n A  a ij

mxn

đ

c g i là ma tr n vuông n u m = n. Lúc đó ta g i A là

 

ma tr n vuông c p n, kí hi u A  a ij .

n

3. Ma tr n đ n v :

 

Cho ma tr n vuông A  a ij . A đ
n

c g i là ma tr n đon v n u m i ph n t n m

trên đ ng chéo chính b ng 1 còn các ph n t khác đ u b ng 0. Lúc đó A đ
I n : ma tr n đ n v c p n.

Link />
c kí hi u là

7


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

1 0 0 
1 0 
Ví d : I 2  
; I3   0 1 0 




0 1 
0 0 1 
4. Ma tr n chéo:

 

Cho A  a ij . A đ
n

c g i là ma tr n chéo n u m i ph n t không thu c đ

ng

chéo chính đ u b ng 0.

1 0 0 
Ví d : A  0 2 0  là ma tr n chéo.


0 0 9 
5. Ma tr n tam giác:

 

Cho A  a ij . A là ma tr n tam giác trên n u m i ph n t n m d
n

iđ

ng chéo

chính đ u b ng 0. A là ma tr n tam giác d i n u m i ph n t n m trên đ ng chéo
chính đ u b ng 0. A là m t ma tr n tam giác n u nó là ma tr n tam giác trên ho c d i.

1 9 0 
Ví d : A  0 8 5  là ma tr n tam giác trên.


0 0 9 

 2 0 0
B   7 3 0  là ma tr n tam giác d i.


 2 8 5 
6. Ma tr n dòng, c t:

 

Ma tr n A  a ij

1xn

 a11 a12 ... a1n  đ c g i là ma tr n dòng.

 b11 
b 
21 
Ma tr n B   bij   

đ c g i là ma tr n c t.
mx1
 ... 
 
 b m1 
Link />
8


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

7. Ma tr n b c thang:
Ma tr n b c thang là ma tr n b c thang có ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng trên
n m v bên trái so v i ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng d i.

3
0
Ví d : A  
0

0

5 2 7 12 3 
0 1 9 2 1
 là ma tr n b c thang.
0 0 0 4 2 

0 0 0 0 0

 

8. Hai ma tr n A  a ij

mxn

 

và B  bij

mxn

đ

c g i là b ng nhau n u a ij  bij v i m i i,

j.

 

9. Cho ma tr n vuông A  a ij

n

 a11 a12
a
a 22
  21



a n1 a n 2

a1n 
a 2n 



a nn 

Các ph n t a11, a 22 , ...., a nn g i là các ph n t thu c đ
Các ph n t a ij  i  j g i là các ph n t n m trên đ

ng chéo chính.

ng chéo ph .

1.1.3.Các phép toán trên ma tr n.
a.C ng ma tr n.
-

 

nh ngh a: Cho hai ma tr n cùng c p A  a ij

 

hai ma tr n A, B là m t ma tr n C  cij

mxn

mxn

 

và B  bij

mxn

. T ng c a

v i cij  a ij  bij. Kí hi u A  B  C.

07
2  9  1 7 11
1 0 2  0 7 9  1  0





Ví d : 4 1 5  2 3 8  4   2  1   3 5  8    2 2 13

 
 
 

7 2 3  0 1 1   7  0
2 1
3  1  7 3 4 

-Tính ch t: Cho A, B, C, 0 là các ma tr n cùng c p, khi đó:
(i)  A  B  C  A   B  C  (tính k t h p)
Link />
9


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

(ii) A  B  B  A (tính giao hoán)
(iii) A  0  0  A  A
(iv) A   A    A   A  0
b. Nhân m t ph n t c a tr

ng K v i ma tr n.

  , k  K. Phép nhân m t ph n t
v i b  k.a
ma tr n A cho ta m t ma tr n B   b 
-

nh ngh a: Cho A  a ij

mxn

ij mxn

ij

c a tr

ng K v i

ij

 ka11 ... ka1n 
... ... 
-Kí hi u: kA  B   ...


 ka m1 ... ka nn 
c bi t khi k  1 K, thay cho (-1)A ta s vi t –A và g i nó là ma tr n đ i c a A.
-Tính ch t: Cho A, B là các ma tr n cùng c p, ,  K. Khi đó:
(i)   A  B  A  B
(ii)      A  A  A
(iii)  A     A    A 
(iv) 1.A  A
c. Phép nhân hai ma tr n
-

 

nh ngh a: Cho A  a ij

mxn

 

là ma tr n c p m x n trên K và B  b jk

nxp

là ma

tr n c p n x p trên K. Ta g i tích c a A v i B, kí hi u AB, là m t ma tr n C   cik mxp
c p m x p trên K mà các ph n t c a nó đ

c xác đ nh nh sau:

n

cik   a ijb jk ; i  1,m, j  1,p.
j1

Link />
10


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

1 3 
1 2 1
Ví d : Cho A  
, B   2 1  . Tính AB, BA?




3 1 2 
 3 1
1 3 
1.1  2.2   1 .3 1.3  2.1   1. 1  2 6 
1 2 1 
AB  
2 1




3.1
1.2
2.3
3.3
1.1
2.
1





3
1
2
11 8 








 3 1
1 3 
10 5 5 
1
2
1



BA   2 1  
5 5 0 

 3 1 2  

 3 1
 0 0 5
*Nh n xét:
1) i u ki n đ phép nhân hai ma tr n th c hi n đ
b ng s dòng c a ma tr n 2.

c là s c t c a ma tr n 1

2) Phép nhân hai ma tr n không có tính giao hoán.
d. Chuy n v ma tr n.
-

 

nh ngh a: Cho A  a ij

m và cá ph n t đ

mxn

. Chuy n v c a ma tr n A là ma tr n B có c p n x

c xác đ nh nh sau: bij  a ji

Ta kí hi u ma tr n chuy n v c a ma tr n A là A t . Nói m t cách khác chuy n v
c a ma tr n A là ma tr n B đ c suy ra b ng cách đ i dòng thành c t và đ i c t thành
dòng.

1 2
1 1 0 2 
 1 3


t
Ví d : A  2 3 5 0
A 


 0 5
1 0 3 4  3x 4

2 0

1
0

3

4  4x3

e. Các phép bi n đ i s c p trên dòng.
Các phép bi n đ i ma tr n A thành ma tr n A’ sau đ
s c p trên dòng.
Link />
c g i là các phép bi n đ i
11


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

-Lo i 1:

d d

i
j
 A'
i ch hai dòng cho nhau, kí hi u: A 

di cdi

-Lo i 2: Bi n dòng i thành c l n dòng i  c  0  , kí hi u: A 
 A'

-Lo i 3: Bi n dòng i thành dòng i c ng c l n dòng j

 c  0, i  j ,

kí hi u:

d d cd

i
i
j
A 
 A'

1.1.4. Ma tr n đ i x ng và ma tr n ph n x ng.
-

nh ngh a: Cho A là ma tr n vuông c p n.

+) A g i là ma tr n đ i x ng n u A t  A.
+) A g i là ma tr n ph n x ng n u A t  A.
Ví d :

 1 2 0 
 1 2 0 
1   A t   2 3 1   A V y A là ma tr n đ i x ng.
Cho A   2 3





 0 1 1
 0 1 1
 0 2 1 
 0 2 1
0 3  Bt   2 0 3  B V y B là ma tr n ph n x ng.
Cho B   2




 1 3 0
 1 3 0 
1.1.5.H ng c a ma tr n.

 

Cho ma tr n A  a ij

mxn

 

và B  bij

mxn

là ma tr n b c thang nh n đ

ct A

b ng m t s h u h n các phép bi n đ i s c p. Khi đó s dòng (c t) khác không c a B
đ

c g i là h ng c a A, kí hi u là rank  A  ho c r  A  .

 1 2 3


Ví d : Tìm h ng c a ma tr n A  4 5 6


 3 3 9 
Dùng phép bi n đ i s c p trên dòng đ a ma tr n A v d ng b c thang:
Link />
12


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

 1 2 3
1 2 3 
1 2 3 
0 3 6  
0 3 6   B

d3 d3 3d 2
d 2 d 2  4d1
A   4 5 6  

 d3 d3 3d1 



 3 3 9 
0 9 18 
0 0 0 
Ma tr n b c thang B có hai dòng khác 0 nên rank(A) = 2.
1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o.
1)

nh ngh a:

 

Cho ma tr n A  a ij

n

ta nói A kh ngh ch n u B th a mãn BA  AB  In

Ta nói B là ma tr n ngh ch đ o cua A, kí hi u B  A1.
A kh ngh ch n u và ch n u det A  0.
2) Tính ch t:
N u A, B là hai ma tr n kh ngh ch thì:

(i)  A 1   A
1

(ii)  AB   B1A 1
1

(iii)  A t    A 1 
1

t

1
1
(iv)  cA   A 1
c
(v) N u A kh ngh ch thì det A1   det A 
3) Ph

1

ng pháp tìm ma tr n ngh ch đ o b ng bi n đ i s c p.

Ng i ta ch ng minh đ c k t qu sau: Cho A là ma tr n kh ngh ch, khi đó
nh ng phép bi n đ i s c p trên dòng nào bi n A thành I n thì chúng c ng bi n I n (theo
th t đó) thành A 1.
T đó ta có ph

ng pháp tìm ma tr n ngh ch đ o nh sau:

Link />

13


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

tìm ma tr n A 1

 a11 a12
a
a 22
21
v i A
 ... ...

a n1 a n 2

 a11 a12

a 21 a 22
Ta l p ma tr n  A | I n   
 ... ...

a n1 a n 2

... a1n 
... a 2n 

... ... 


... a nn 

... a1n 1 0
... a 2n 0 1
... ... ... ...
... a nn 0 0

... 0 

... 0 
... ...

... 1 

Dùng phép bi n đ i s c p dòng đ i v i  A | In  đ bi n A thành I n khi đó I n
bi n thành A 1.

Ví d : Tìm A

1

1 3 2 
v i A  1 4 2 


1 3 3 

1 3 2 1 0 0 
1 3 2 1 0 0 


 d2 d2 d1 

 0 1 0 1 1 0 
Ta có:  A | I3   1 4 2 0 1 0  
d3 d3 d1
1 3 3 0 0 1 
0 0 1 1 0 1 

1 0 0 6 3 2 


d1 d1  2d3

 0 1 0 1 1 0    I3 | A 1 
d1 d1 3d 2
0 0 1 1 0 1 
 6 3 2 
0
V y A 1   1 1


 1 0 1 
4) Tìm ma tr n ngh ch đ o nh đ nh th c.
Ta g i ma tr n ph h p PA c a ma tr n A là ma tr n đ

c xác đ nh nh sau:

 PA ij  A ji

Link />
14


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

tìm A 1 ta th c hi n hai b

c:

-

B1: Tính D  det A

-

B2: L p ma tr n ph h p PA . Khi đó A 1 

1
PA .
D

1 3 2 
Ví d : Cho A  1 4 2 


1 3 3 
Ta có D  det A  1.

A11   1

11

21

3 2
2 2 1 2
23 1 3
 3; A 22   1
 1; A 23   1
 0;
3 3
1 3
1 3

31

3 2
3 2 1 2
3 3 1 3
 2; A 32   1
 0; A 33   1
1
4 2
1 2
1 4

A 21   1

A31   1

4 2
1 2 1 2
13 1 4
 6; A12   1
 1; A13   1
 1;
3 3
1 3
1 3

 6 3 2 
1
0
Khi đó A 1  PA   1 1


D
 1 0 1 
1.1.7. a th c ma tr n.
-

nh

ngh a:

Cho

A

là

m t

ma

tr n

vuông

trên

K

và

p  x   a 0  a1x  ...  a n x  K  x  là m t đa th c c a bi n x v i h s trên K. Khi đó
n

ma tr n a 0I  a1A  ...  a n A n
Trong đó I là ma tr n đ n v cùng c p v i A, đ
t i x  A, kí hi u p  A  . Nó c ng đ

c g i là giá tr c a đa th c p  x 

c g i là đa th c ma tr n.

A g i là m t nghi m ma tr n c u đa th c p  x  n u đa th c ma tr n p  A   0
(ma tr n không cùng c p v i A).

Link />
15


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

1.2.. nh th c.
1.2.1. nh th c c p 2.

 

Cho ma tr n A  a ij , đ nh th c c p 2 c a ma tr n A đ
2

c xác đ nh và kí hi u

nh sau:

detA  A 

a11 a12
 a11a 22  a 21a12
a 21 a 22
1 2
 1 2
ta
có
det

A

 1.1  2. 3  7.

3 1
 3 1 

Ví d : Cho A  
1.2.2. nh th c c p 3.

 

Cho A  a ij , đ nh th c c p 3 c a ma tr n A đ
3

a11

a12

det A  a 21 a 22
a 31 a 32
1I.2.3.

c xác đ nh và kí hi u nh sau:

a13
a 23  a11a 22a 33  a12a 23a 31  a 21a 32a13  a13a 22a 31  a12a 21a 33  a 23a 32a 11
a 33

nh th c c p n.

 

Cho A  a ij

n

ta kí hi u A  i, j là ma tr n có đ

c t A b ng cách b dòng i và

c tj

1 3 4 
1 4
Ví d : Cho A   4 5 6  thì A  2,2   


3 3

 3 2 3 
Ph n bù đ i s c a ph n t a ij là m t s đ

c xác đ nh và kí hi u nh sau:

Aij   1 det A  i, j
i j

Link />
16

TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

 

Cho A  a ij

n

, đ nh th c c p n c a ma tr n A đ c đ nh ngh a là:
a11

a12

... a1n

a
det A  21
...

a 22
...

n
... a 2n
  a pjA pj (khai tri n theo dòng p) ho c
... ...

j1

a n1 a n 2 ... a nn
n

det A   a iq Aiq (Khai tri n theo c t q).
i 1

1
1
Ví d : Cho A  
2

2

1 2 2
2 1 2
 . Tính detA?
1 2 1

2 2 1

Ta khai tri n theo dòng 1:

A11   1

11

2 1 2
1 1 2

1 2
1 2 1  3; A12   1 2 2 1  0;
2 2 1

A13   1

13

Do đó det A 

4

a
j1

1j

2 2 1

1 2 2
1 2 1
1 4
2 1 1  3; A14   1 2 1 2  0
2 2 1
2 2 2

A1j  1. 3  1.0  2.3  2.0  3

1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c.
1) N u đ i dòng thành c t, c t thành dòng thì đ nh th c không thay đ i.

d d

i
j
 A' thì
2) N u đ i ch hai dòng cho nhau thì đ nh th c đ i d u, t c là A 

det A   det A'.

Link />
17


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

3) T m t dòng (m t c t) ta c ng vào m t dòng khác (c t khác) sau khi nhân m t
d d cd

i
i
j
 A' khi đó det A'=detA.
s c  0 thì đ nh th c không đ i, t c là A 

di cdi
4) Ta có th đ a thùa s chung c  0 ra ngoài đ nh th c, t c là A 
 A'

khi đó det A'  cdet A.
5) Cho hai ma tr n vuông A, B khi đó det(AB)  det A.det B.
1.3.H ph
1.3.1.Ph

ng trình tuy n tính.
ng pháp Cramer:

H ph

ng trình g m n ph

ng trình và n n:

a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

...
a n1x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  b n
t D  det A và D j là đ nh th c có đ

 3.1

c b ng cách thay c t j c a D b i c t t

do. Khi đó h Cramer có nghi m duy nh t xác đ nh theo công th c:

x1 

D1
D
D
, x 2  2 ,..., x n  n .
D
D
D

 x1  x 2  x 3  1

Ví d : Gi i h 2x1  6x 2  x 3  0
3x  4x  2x  0
2
3
 1
1 1 1 


Ta có A  2 6 1 , D  det A  11  0.


 3 4 2 
1 1 1
1 1 1
1 1 1 
D1  0 6 1  8, D 2  2 0 1  7, D3  2 6 0  26



0 4 2 
3 0 2
3 4 0
Link />
18


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

V y h có nghi m duy nh t x1  
*

8
7
26
, x 2   , x3 
11
11
11

nh lí Kronecker-Capelli

H (3.1) có nghi m khi và ch khi r(A)  r(A | B). H n n a:
(i) r(A)  r(A | B)  n : h có nghi m duy nh t.
(ii) r(A)  r(A | B)  n : h có vô s nghi m.
(iii) r(A)  r(A | B) : h vô nghi m.
1.3.2.Ph

ng pháp Gauss.

 a11 a12

a 21 a 22
B1: L p ma tr n m r ng c a A:  A | B   
 ...
...

a m1 a m2

... a1n
... a 2n
... ...
... a mn

b1 

b2 
... 

b m 

B2: Dùng các phép bi n đ i s c p trên dòng đ a ma tr n  A | B v ma tr n  A' | B' 
trong đó A’ là ma tr n b c thang (rút g n). D a vào đ nh lí Kronecker_capelli đ k t lu n
nghi m.

 x1  2x 2  x 3  1

Ví d : Gi i h 2x1  5x 2  x 3  6

 x  4x  2x  2
2
3
 1
Ma tr n hóa h trên ta đ

c:

 1 2 1 1  1 2 1 1  1 0 3 7  1 0 0 40 

 
 
 

 2 5 6 6   0 1 1 4   0 1 1 4   0 1 0 15
 1 4 2 2  0 2 3 3  0 0 1 11  0 0 1 11
H có nghi m duy nh t là x1  40, x 2  15, x 3  11.

Link />
19


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

 x1  2x 2  3x 3  x 4  1

Ví d : Gi i h 3x1  x 2  5x 3  3x 4  1
4x _ 3x  8x  4x  0

2
3
4
 1

1 2 3 11  1 2 3 1 1

 

Ta có  A | B    3 1 5 3 1   0 7 4 0 4 
 4 3 8 4 0  0 0 0 0 2 
Suy ra r  A | B  3, mà r  A   2  r  A | B. V y h vô nghi m.

Link />
20


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

Ch

ng 2: Không gian vecto.

2.1. Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p.
2.1.1.Không gian vecto.
- nh ngh a: T p h p V   đ c g i là m t không gian vecto trên
n u ta
đ nh ngh a hai phép toán c ng (+) và nhân vô h ng (.) trên V th a 10 tiên đ sau:

u, v, w  V; , 

1) u, v  V, u  v  V
2) u  v  v  u
3)  u  v   w  u   v  w 
4) 0  V, u  0  0  u  u
5) u  V, (u) : u  ( u)  0
1') u  V,   , u  V
2')   u      u    u 
3')      u  u   u
4')   u  v   u  v
5') 1u  u
-Tính ch t:T các tiên đ trên ta suy ra đ

c vài tính ch t sau c a không gian vecto:

1) 0  0
2) 0u  0
3)  1 u  u
4) u  0    0  u  0
u   u, u  0    
u  v,   0  u  v
5) Vecto 0 là vecto đ i (-u) c a u t n t i duy nh t.
6) u, v, w  V : u  w  v  w  u  v

Link />
21

TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

2.1.2..Không gian vecto con.
nh ngh a: Cho V là không gian vecto trên R và   W  V. W đ c g i là
không gian con c a V n u W c ng là không gian vecto trên R v i các phép toán c ng và
nhân nh trên V.
Kí hi u: W  V.
nh lý sau cho ta đi u ki n c n và đ đ t p W là không gian con c a V: Cho V
là không gian vecto trên R và   W  V. W là không gian con c a V khi và ch khi
u, v  W,  R : u  v  W và u  W.
Ví d : Xét W 

 x , x , x  / x
1

2

3

1

 0 

Th t v y  x1,x 2 ,x 3 , y1, y 2, y 3  

3

3

. Khi đó W là không gian con c a

3

.

sao cho x1  y1  0. Ta có:

x1  y1  0   x1  y1 , x 2  y 2 , x 3  y3   W
x1  0    x1 , x 2 , x 3    x1, x 2 , x 3  

3

2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p
Cho V là không gian vecto trên R và u1 ,...,u n   V. G i S là t p t t c các t
h p tuy n tính c a u1 ,...,u n . Khi đó S là m t không gian con c a V, ta nói S là không
gian con c a V sinh b i u1 ,...,u n . Ký hi u là S  u1,...,u n
Quy
2.2.

c   0. N u S  V thì ta nói S sinh ra V hay S là t p sinh c a V.

c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính.

2.2.1.T h p tuy n tính.
Cho V là không gian vecto trên

và các vecto u, u1,...,u n  V. Ta nói u là t

h p tuy n tính c a h vecto u1 ,...,u n  khi và ch khi t n t i 1, 2 ,..., n 

sao cho

u  1u1  ...  n u n .
Ta c ng nói u bi u th tuy n tính đ

c qua h vecto u1 ,...,u n 

Link />
22


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
3

Ví d : Trong

, xét các vecto u   2,3,1 , u1   2,1,3 , u 2   2,0,0  , u 3  1,1, 1.

Khi đó u  u1  u 2  2u 3 nên u là t h p tuy n tính c a các vecto u1 ,u 2 ,u 3.
2.2.2.

c l p tuy n tính.
H vecto u1 ,...,u n  đ

c g i là đ c l p tuy n tính n u 1u1  ...  n u n  0 thì

1  ...  n  0.
Ví

d :

u1  1,1,2  , u 2  1, 1, 1 , u 3   2,1,1

H

là

LTT

vì

t

xu1  yu 2  zu3  0 ta suy ra x  y  z  0.
2.2.3.Ph thu c tuy n tính.
H vecto u1 ,...,u n  đ
n

a
i 1

2
i

c g i là ph thu c tuy n tính n u t n t i a i i1,n 

th a

 0 sao cho 1u1  ...  n u n  0.
3

Ví d : Trong

xét các vecto u1  1,1,2  , u 2   2,0,1 , u 3  1, 1, 3. Khi đó

u1  u 2  u 3  0 nên h các veco u1,u 2 ,u 3 là ph thu c tuy n tính.
2.2.4.Các tính ch t.
1) M i h ch a vecto 0 đ u ph thu c tuy n tính.
2) M i h ch a m t h con ph thu c tuy n tính thì ph thu c tuy n tính.
3) T p h p S  u1,...,u n  là ph thu c tuy n tính khi u i  S sao cho u i là t h p
tuy n tính c a các vecto cfon l i trong S.
4) M i h con c a h đ c l p tuy n tính thì đ c l p tuy n tính.
5) T p h p S  u1,...,u n  là đ c l p tuy n tính n u m i u i không là t h p tuy n
tính c a các vecto còn l i trong S.
6) T p h p S  V ho c là t p đ c l p tuy n tính ho c ph thu c tuy n tính.
2.2.5. nh lý.
Trong không gian

u   a
1

11

n

cho h vecto

,a12 ,...,a1n  ,u 2   a 21,a 22 ,...,a 2n  ,...,u m  a m1,a m2 ,...,a mn 

Link />
23


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

 a11 a12
a
a 22
21
t A
 ...
...

a m1 a m2

... a1n 
... a 2n 

... ... 

... a mn 

Khi đó u1 ,...,u n  là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank  A   m.
Khi m = n thì u1 ,...,u n  là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank  A   n  det A  0.

Ví d : Cho các vecto u1   2,1, 1,1 , u 2  1, 1, 1,2  , u 3   1,0, 2,1. Khi đó ta

 2 1 1 1 
có ma tr n A   1 1 1 2  có r(A)  3 nên h vecto u1 ,u 2 ,u 3 là LTT.


 1 0 2 1 
Ví d : Xét h

vecto u1   2,1, 1 , u 2  1,1, 1 , u 3   3,2, 2 . Khi đó ma tr n

 2 1 1
A  1 1 1 có det A  0 nên h


 3 2 2 

u1,u 2 ,u 3 là PTTT.

2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto.
2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto.
Cho V là không gian vecto V. T p   B  V đ
l p tuy n tính và sinh ra V.
Khi đó s vecto c a B đ

c g i là c s c a V n u B đ c

c g i là s chi u c a V. Kí hi u là dimV.

Ví d : Trong không gian vecto

3

, h vecto B  1,0,0  ;  0,1,0  ;  0,0,1 đ c





l p tuy n tính đ ng th i B sinh ra V nên B  1,0,0  ;  0,1,0  ;  0,0,1 là c s c a
và đ

c g i là c s chính t c c a

3

3

.

Link />
24


TLTK: LT – TOÁN CAO C P B1 I SÔ (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG

2.3.2. nh lý.
Cho V là không gian vecto trên R và B  u1,...,u n  là c s c a V, B'  V. Khi

đó:
N u B’ có nhi u h n n vecto thì B’ ph thu c tuy n tính nên B’ không là c
s c a V.
(ii) N u B’ có ít h n n vecto thì B’ không sinh ra V nên B’ không là c s c a V.
(iii) N u B’ có đúng n vecto thì B’ là c s c a V  B’ sinh ra V  B’ đ c l p
tuy n tính.
(i)

2.4.T a đ và ma tr n chuy n c s .
2.4.1.T a đ c a vecto trong c s .
N u B  u1,u 2 ,...,u n  là c s đ

c s p c u không gian vecto V trên R và

u  V. Khi đó ta có m i vecto u  V đ u đ c vi t duy nh t d i d ng
u  1u1  2u 2  ...  n u n .

Kí hi u là  u B

1 
 
  2  và g i là t a đ c a vecto u trong c s B.
... 
 
 n 

Ví d : Cho các vecto u  1,2,3 ; u1  1,1,0  ; u 2   0,1,1 ; u 3  1,0,1 





Khi đó B  u1  1,1,0  , u 2   0,1,1 , u 3  1,0,1

là c

s

c a

3

3

.

và ta có

0 
u  0u1  2u 2  u 3 nên  u B   2 
 
1 
Cho B là c s c a không gian vecto h u h n chi u trên R. Khi đó:

 , u,v  V, ta có u  v B    u B   vB

Link />
25