Điều khiển ổn định một số hệ phương trình có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————– o0o ————-

TÔ THỊ PHƯƠNG

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————– o0o ————-

TÔ THỊ PHƯƠNG

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHẬM

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn
PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY

Hà Nội, 2014


1

Mục lục
1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Hệ điều khiển không có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ điều khiển không có chậm . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một vài định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hệ điều khiển có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương trình vi phân có chậm . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm .
1.2.3 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati

2 Bài toán điều khiển có nhớ
2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dấu hiệu ổn định hóa được . . . . . . . . . .
2.2.1 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển
2.2.2 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển
3

Bài toán điều khiển H∞

3.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . .
3.1.1 Giới thiệu bài toán . . . . .
3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề
3.2 Dấu hiệu để bài toán có nghiệm . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
10
11
11
14
18

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
dạng phi tuyến
dạng tuyến tính

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

25
25
26
26
30

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

34
34
34
35
38

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

2

Bảng các ký hiệu, chữ viết tắt
.
R - tập các số thực.
R+ - tập các số thực không âm.
X - không gian Banach của các trạng thái.
U - không gian Banach của các điều khiển.
Rn - không gian véc tơ n-chiều.
(A, B ) - một cặp ma trận điều khiển.
Φ(t, s) - ma trận cơ bản của x(t)
˙
= Ax(t).
GC - điều khiển được hoàn toàn.
GR - đạt được hoàn toàn.
GNC - điều khiển được hoàn toàn về 0.
ROE - phương trình toán tử Riccati.


3

Mở Đầu
Các hệ thống có mặt ở khắp nơi. Độ phức tạp của các hệ thống nói chung là
không có giới hạn. Mỗi hệ thống hoạt động theo một cơ chế riêng của mình nếu
như không có các tác động ngoại lai (thường gọi là nhiễu hay là yếu tố không chắc
chắn). Tính không chắc chắn có thể làm cho hệ thống sa vào các tình huống ngoài
mong muốn. Để giảm thiểu ảnh hưởng của yếu tố không chắc chắn người ta thường
đưa thêm vào hệ thống một thành phần gọi là bộ phận điều khiển. Với các tác
động thích hợp và đúng lúc, hiệu quả hoạt động của hệ thống sẽ cao hơn. Điều đó

được đảm bảo bởi một tính chất quan trọng gọi là tính ổn định của hệ thống.
Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên
cứu quan trọng của Toán học. Ngày nay, việc nghiên cứu không chỉ dừng lại trên
các phương trình vi phân thường mà còn được mở rộng sang các phương trình vi
phân có chậm.
Luận văn này nghiên cứu chủ yếu về tính ổn định của các phương trình vi phân
có chậm. Tính ổn định được duy trì nhờ các tác động điều khiển nên bài toán có
tên gọi là "ổn định hoá" các hệ điều khiển. Một vài định tính khác của các hệ điều
khiển và một số kiến thức cơ bản về hệ không có chậm cũng được nhắc tới, tuỳ
theo mức độ liên quan.
Luận văn gồm phần mở đầu, một chương chuẩn bị kiến thức, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ điều khiển và về các phương
trình vi phân không có chậm và có chậm.
Chương hai trình bày một kết quả về ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều
khiển được xây dựng từ các thông tin chậm về trạng thái hệ thống cũng như thông
tin về các hành vi điều khiển đã có trong quá khứ.
Chương ba trình bày một kết quả cho bài toán điều khiển H∞ . Kết quả nhận
được từ giả thiết điều khiển được hoàn toàn về không của hệ thống xuất phát
(chưa kể nhiễu và điều khiển).
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh
Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn,
giúp đỡ, kiểm tra để tôi có thể hoàn thành bản luận văn.


4

Tôi xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho
tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học về

những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận
văn.
Cám ơn ban giám hiệu trường THPT Diêm Điền huyện Thái Thụy, tỉnh Thái
Bình về sự tạo điều kiện thuận lợi cho tôi có thể hoàn thành khoá học.
Cuối cùng, tôi muốn nói lời cám ơn gia đình, người thân - chỗ dựa về tinh thần
và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tô Thị Phương


5

SUMMARY

Thesis title : “Stability control of some delayed systems”.
Full name : To Thi Phuong
Specialization: Analysis
Spec. code : 60 46 01 02
Supervisor : Ass. Prof. Nguyen Sinh Bay
The systems are everywhere. In general, the complexity of the systems has not
the limit. Every system is operating under one of their own mechanisms if there are
not exotic impacts from outside (often referred noise or perturbation or uncertain
factor). There may be that, under perturbations the system can gradually away
from the best designed state. To decrease damages due this exotic impacts from
outside there are often supplied an additional inside component which is called control unit. By timely and efficient control operation, in general the system should be
considered better. It is ensured by a critical property, which is called “the stability”
of this system.

Stability theory of differential equations is one important research area of Mathematics. Today, the researchers not only to stop again on the ordinary differential
equations, but also deal many attention on delayed equations. For the delayed differential equations, the state spaces much be considered as the functional spaces.
This thesis deals on illustration on stability of delayed differential equations. The
stability of systems is supported by control, therefore the problem is referred by
the term “stabilization control systems”. Some other properties of control systems
are also reminded, depending on the relevant level.
The dissertation consists of the introduction, a preparation outline of the basic
knowledge, two chapters of main contents, conclusion and list of references.
Chapter one presents some basic knowledge of control systems and on the equations without delay and with delay.


6

Chapter two presents the results of memory stabilization on delayed systems
with control functions built from the late information about status and from information about the driver behavior in the past.
Chapter three presents the results for the problem control H∞ . Results received
from assuming complete control of the system is not derived (excluding interference
and control).
In the total, this thesis presents the concept of control systems without delay
and with delay, some of the basic properties of the control system. The thesis also
presents the sufficient conditions for the stabilizability of delayed control systems
by feedback control functions built from delayed information of systems and information about previous behavior control. Finally, the thesis presents condition for
existence of solution for problem strong H∞ stabilization for the delayed systems
with uncertain from outside impacts. Feedback control function is formed on the
basis of the test operator Riccati equation.


7

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ điều khiển không có chậm

Mỗi hệ điều khiển có thể chứa nhiều biến, trong đó hai biến cơ bản là biến trạng
thái, kí hiệu là x và biến điều khiển, kí hiệu là u. Biến x nhận giá trị trong một
không gian Banach X nào đó được gọi là không gian trạng thái. Biến u nhận giá
trị trong không gian Banach U nào đó, gọi là không gian điều khiển. Trong nhiều
trường hợp bài toán được xét trong không gian đặc biệt hơn, đó là các không gian
Hilbert hoặc đơn giản: X = Rn , U = Rm .

1.1.1

Hệ điều khiển không có chậm

Hệ điều khiển dạng tổng quát

Xét hệ thống được mô tả bởi một phương trình vi phân thường (xem [1], [2]):
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0

(1.1)

trong đó t ∈ R+ := [0; +∞), x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Ω ⊆ Rm , f : R+ × Rn × Ω → Rn , x(t)
là trạng thái (state) của hệ thống tại thời điểm t, u(t) là hàm điều khiển tại t.
Nếu Ω = Rm thì hệ điều khiển là bị hạn chế.
Nếu Ω = Rm thì hệ điều khiển là không bị hạn chế.

Hàm điều khiển được xây dựng như một hàm của trạng thái
u(t) = ϕ(x(t))

gọi là hàm điều khiển phản hồi (hoặc điều khiển feedback). Trong trường hợp đó
ta có phương trình
x(t)
˙
= f (t, x(t), ϕ(x(t))) := h(t, x(t)).


8

Hệ điều khiển dạng tuyến tính

Xét hệ điều khiển (xem [2])
x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t).

trong đó A(t) là ma trận cỡ n × n, B(t) là ma trận cỡ n × m, u(t) là véc tơ m-chiều.
Trong trường hợp A, B là các ma trận hằng ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng.
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t).

(1.2)

Khi đó, với bất kì trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 và điều khiển u(t) thì nghiệm của
hệ được xác định bởi công thức
t

x(t) = x(t0 , x0 , t) = S(t − t0 )x0 +

S(t − s)Bu(s)ds,
t0

trong đó, S(t) = eAt .
Trường hợp hệ không dừng, nghĩa là khi A(t), B(t) là các ma trận phụ thuộc t:
x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t)

với điều kiện ban đầu (t0 , x0 ), công thức Cauchy (xem [1],[2]) cho nghiệm thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 của phương trình là
t

Φ(t, s)B(s)u(s)ds.

x(t) = Φ(t, t0 )x0 +
t0

Ở đây:
Φ(t, s) là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất x(t)
˙
= A(t)x(t). Ma trận này có các

tính chất:
˙ s) = A(t)Φ(t, s),
(i) Φ(t,

(ii) Φ(t, t) = I,
(iii) Φ(t, r)Φ(r, s) = Φ(t, s).
Trường hợp hàm điều khiển có dạng phi tuyến:
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0.

(1.3)

Nghiệm của hệ này với hàm điều khiển u và điểm xuất phát (t0 , x0 ) được cho bởi
t

x(t) = x(t0 , x0 , u, t) = x0 +

f (s, x(s), u(s))ds.
t0


46

Tài liệu tham khảo
[1]

Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết
ổn định, NXB Giáo dục (2000).

[2]

Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học
Quốc gia Hà nội (2001).

[3]

N. S. Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems
with non-autonomous kernels, Advances in Nonlinear Variational Inequalities,
13, 2 (2010), 59-69.

[4]

Nguyen S. Bay, Stabilization of nonlinear nonautonomous time-delay systems with the memory of the past control, AMS, 4, 57 (2010), 2829-2841.

[5] Nguyen S Bay, Nguyen M Linh and Vu N Phat, Robust H∞ control of linear
time-varying systems with mixed delays in the Hilbert space, Optimal Control
Appllication and Methods, 32 (2011), 545-557.
[6] B. A. Francis and J. C. Doyle, Linear control theory with an H∞ optimality
criterion, SIAM J. Control Optim.,25(1987), 815-832.
[7]

J. Hale and S.M. V. Lunel Introduction to Functional Differential Equations,
Springer - Verlag, New York (1993).

[8] B. van Keulen, H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A State-Space
Approach. Birkhauser, Boston, 1993.
[9] V.N. Phat, Nonlinear H∞ optimal control in Hilbert spaces via Riccati operator equations. Nonl. Funct. Anal. Appl., 9(2004), 79-92.
[10] V.N. Phat, D.Q. Vinh and N. S. Bay, L2 −stabilization and H∞ control for
linear non-autonomous time-delay systems in Hilbert spaces via Riccati equations, Adv. in Nonl. Var. Ineq., 11(2008), 75-86.
[11]

T. Yoshizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Math. Soc. of
Japan (1966).

47

[12] J.Zabczyk, Introduction to Mathematical Control Theory, Berlin, Birkhauzer,
1992.