Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi fourier

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN KIỀU HIÊN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN
THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ NHẬT HUY

Hà Nội- 2014


Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Vũ Nhật huy, người đã tận tình giúp
đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều
kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến
khích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính
mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được
hoàn thiện hơn.

Hà Nội, năm 2014
Nguyễn Kiều Hiên

2


Mục lục
Mở đầu

5

1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG

6

1.1

Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) . . . . . . . . . . 11

1.3

Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Giá của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) . . . . . . . . . 15

1.6

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7

Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1

6

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm
S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.3

Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng với
giá compact E (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG
QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

28

2.1

Dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian Lp (R) . . . . . 28

2.2

Dáng điệu của dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn trong không
gian Lp (π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3

Dáng điệu của dãy P - đạo hàm trong không gian Lp (Rn ) . . . . . 34

2.4

Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P - đạo hàm và bất đẳng thức
tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3


Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

42

4


Mở đầu
Biến đổi Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán
học nói chung và của Giải tích nói riêng. Phép biến đổi Fourier là một trong lớp
những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất.
Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vô
hạn thông qua giá của biến đổi Fourier (gọi là phổ). Vấn đề này có ý nghĩa rất
lớn đối với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong Giải
tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý
thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
hai chương:
Chương 1: Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suy
rộng. Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về không gian các hàm cơ
bản, không gian các hàm suy rộng, tích chập của hàm suy rộng, phép biến đổi
Fourier của một hàm cơ bản, của hàm suy rộng, các định lý và kết quả liên quan
đến luận văn làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo.
Chương 2: Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá
của biến đổi Fourier. Chương này là phần chính của luận văn, trình bày tính
chất của hàm số qua hình học của phổ cho toán tử vi phân, mô tả dáng điệu
của dãy các đạo hàm, dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn, dãy các P - đạo hàm
hình thành từ toán tử vi phân trực tiếp thông qua giá của biến đổi Fourier, bất
đẳng thức tích chập của hai hàm nhiều biến.

5


Chương 1
CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ
BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản
về lý thuyết hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]). Chúng tôi
chỉ rõ những khái niệm và kết quả chính được sử dụng ở chương sau.

Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

1.1

Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), chúng ta
chỉ ra một số ký hiệu được trình bày trong luận văn.
Cho N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, . . . } là tập các số
nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị ảo

√

−1 = i.

Với mỗi số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ = {α = (α1 , ..., αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, ..., n},
Rn là không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn với chuẩn Euclid
n

x =(
j=1

x2j )1/2 , tích vô hướng xξ =

n

xj ξj .
j=1

Với mỗi k ∈ Z+ ký hiệu các tập như sau
C k (R) = {u : R → C|u khả vi liên tục đến cấp k},
C0k (R) = {u : R → C|u ∈ C k (R), suppu là tập compact},
k
k
∞
∞
C ∞ (R) = ∩∞
k=1 C (R), C0 (R) = ∩k=1 C0 (R),

6


trong đó suppu = {x ∈ R| u(x) = 0}.
Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu
1/p
n

n

Lp (R ) = {u : R → C| u

p

p

|u (x) | dx

=

< +∞}.

Rn

Với p = ∞, ký hiệu
L∞ (Rn ) = {u : Rn → C| u

∞

= ess sup |u (x)| < +∞},
x∈Rn

trong đó ess sup |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Rn ||u (x)| > M } = 0}.
x∈Rn

Ký hiệu F là phép biến đổi Fourier, f (hay Ff ) là ảnh Fourier của hàm f, suppf
là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f . Các giới hạn lim am , lim am , lim am
m→∞

tương ứng là giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy hàm

m→∞

m→∞
∞
{am }m=1 .

Bây giờ là lúc ta có thể phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ra các
ví dụ minh họa để làm rõ về không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Định nghĩa 1.1. Không gian S (Rn ) là tập hợp
S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ }.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ), khi đó
lim xα Dβ ϕ (x) = 0

x →∞

∀α, β ∈ Zn+ .

Điều này dẫn đến hàm ϕ (x) là hàm giảm về 0 khi x → ∞ nhanh hơn bất kỳ
hàm có dạng như sau 1/P (x) , x ∈ Rn . Vì vậy, chúng ta gọi S (Rn ) là không gian
các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.1. Không gian C0∞ (Rn ) là không gian con của không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ).
Chứng minh. Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ).
Khi đó, ta đặt
suppϕ = K, K là tập compact trong Rn .
Với mọi x ∈
/ K , suy ra
Dβ ϕ (x) = 0

7

∀β ∈ Zn+ .


Do đó
sup xα Dβ ϕ (x) = sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ .

x∈K

Ta có điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S (Rn ), từ đây suy ra được C0∞ (Rn ) là không
gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ). Chứng minh được hoàn
thành.
Ví dụ 1.2. Cho hàm số ϕ (x) = e−

x

2

, x ∈ Rn . Khi đó ϕ là hàm số thuộc không

gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có x
e−

x

2

2

= x21 + x22 + ... + x2n nên
2

2

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn ,

x ∈ Rn .

Mặt khác
2

Dβ ϕ (x) = Dβ1 e−x1
2

2

2

Dβ2 e−x2 ... Dβn e−xn

2

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn Q (x1 , x2 , ..., xn )
= e−

x

2

∀β ∈ Zn+ , x ∈ Rn ,

Q (x1 , x2 , ..., xn )

trong đó Q (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm chứa các lũy thừa của x1 , x2 , ..., xn . Do đó
xα Dβ ϕ (x) = xα Q(x1 , x2 , ..., xn )e−

x

2

∀α, β ∈ Zn+ .

Ta thấy rằng
2

lim ta e−|t| = 0

với mọi a ∈ R.

t→∞

Từ đây, suy ra
lim xα Q (x1 , x2 , ..., xn ) e−

x →∞

x

2

=0

∀α ∈ Zn+ .

Vậy nên, ta có
sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ ,

do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ).
Chứng minh được hoàn thành.
Định nghĩa 1.2. (Định nghĩa về sự hội tụ trong không gian S (Rn ))
n
n
Dãy hàm {ϕk }∞
k=1 trong không gian S (R ) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R )

nếu
lim sup xα (Dβ ϕk (x) − Dβ ϕ (x)) = 0

k→∞ x∈Rn

Khi đó, ta viết S _ lim ϕk = ϕ.
k→∞

8

∀α, β ∈ Zn+ .


Chú ý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) là không gian con của
không gian Lp (Rn ) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Chứng minh. Ta chọn hàm ϕ ∈ S (Rn ). Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L∞ (Rn ). Nên ta chỉ
cần xét 1 ≤ p < ∞. Theo định nghĩa, ta có
|ϕ (x1 , x2 , ..., xn )|p dx1 ...dxn
Rn

|ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21 ... 1 + x2n

=
Rn

≤ sup |ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21
x∈Rn

1 + x21

1
dx1 ...dxn
... (1 + x2n )

1 + x22 ... 1 + x2n

Rn

1 + x21

1
dx1 ...dxn .
... (1 + x2n )

(1.1)

Mặt khác

Rn

1 + x21

1
dx1 ...dxn
1 + x22 ... (1 + x2n )
+∞

=
−∞

dx1
1 + x21

+∞
−∞

dx2
...
1 + x22

+∞
−∞

dxn
= π n . (1.2)
(1 + x2n )

Kết hợp (1.1) và (1.2), ta suy ra được
p

ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) dx1 ...dxn
Rn

≤ π n sup |ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21
x∈Rn

1 + x22 ... 1 + x2n .

Do hàm ϕ ∈ S (Rn ) nên dẫn đến
sup |ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21

x∈Rn

1 + x22 ... 1 + x2n < ∞.

Vì thế, ta nhận được
|ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p dx1 ...dxn

1/p

< ∞,

Rn

điều này cho ta hàm ϕ ∈ Lp (Rn ). Chứng minh được hoàn thành.
Chú ý 1.2. Nếu hàm a (.) ∈ C ∞ (Rn ) sao cho với mỗi α ∈ Zn+ có một số thực
m = m (α), và một số dương c = c (α) có |Dα a (x)| < c(1 + x )m , khi đó ánh xạ

biến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian các
hàm giảm nhanh S (Rn ) vào chính nó.
9


Định lý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) là không gian đầy đủ.
n
Chứng minh. Lấy dãy hàm {ϕm }∞
m=1 là một dãy Cauchy trong không gian S (R ),
∞
∀α, β
m=1
∈ C ∞ (Rn ).

nghĩa là dãy hàm xα Dβ ϕm (x)

pact trong Rn đến một hàm ψ

∈ Zn+ hội tụ đều trên từng tập com-

Thật vậy, cho α = (0, ..., 0) , β = (0, ..., 0) cho nên dãy hàm {ϕm }∞
m=1 hội tụ trong
Rn . Khi đó, tồn tại hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn
lim ϕm (x) = ϕ0 (x) ,

m→∞

và tồn tại hàm ψ ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn
lim Dβ ϕm (x) = ψ (x)

∀β ∈ Zn+ .

m→∞

Với mọi β ∈ Zn+ do đó dãy hàm Dβ ϕm (x)

∞
m=1

liên tục trong Rn , nên hàm ψ (x)

liên tục trong Rn . Như vậy, ta nhận được
ϕm (x) → ϕ0 (x)

trong Rn

Dβ ϕm (x) → ψ (x)

trong Rn

điều này dẫn đến, hàm ϕ0 (x) khả vi cấp β và
Dβ ϕ0 (x) = ψ (x)

∀β ∈ Zn+ .

Nói cách khác là hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) và
lim Dβ ϕm (x) = Dβ ϕ0

m→∞

∀β ∈ Zn+ , trong Rn .

Bây giờ ta cần phải chứng minh hàm ϕ0 ∈ S (Rn ), tức là phải chứng minh
sup xα Dβ ϕ0 (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ .

Thật vậy,
lim

sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕp (x)) = 0

m,p→∞ x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ ,

(1.3)

ta thấy rằng
lim Dβ ϕp (x) = Dβ ϕ0 (x)

p→∞

∀β ∈ Zn+ .

Từ (1.3) và (1.4), ta nhận thấy
lim sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕ0 (x)) = 0

m→∞ x∈Rn

10

∀α, β ∈ Zn+ .

(1.4)


Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Anh Tuấn, (2005), Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobovlep,
Giáo trình.
[2] Vũ Nhật Huy, (2012), Nghiên cứu các tính chất của hàm số thông qua giá
của phép biến đổi Fourier, Luận án tiến sĩ.
[3] N.B. Andersen, M. de Jeu (2010), "Real Paley-Wiener theorems and local
spectral radius formulas", Trans. Amer. Math. Soc., 362, pp. 3613-3640.
[4] H.H. Bang (1990), "A property of infinitely differentiable functions", Proc.

Amer. Math. Soc., 108, pp. 73-76.
[5] H.H. Bang (1994), "Lp - Entire functions of exponential type", Iaea. Inis ,
8, pp. 1-8.
[6] V.S. Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Generalized Functions
Taylor Francis, London, New York.

43