Một số lớp bất đẳng thức hàm và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HIỀN

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2014


Mục lục

Mở đầu

3

1 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính số học

5

1.1

Hàm số chuyển đổi từ phép cộng của đối số . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm số chuyển đổi từ phép nhân của đối số . . . . . . . . . . . . . 21

1.3

Hàm số chuyển đổi các phép biến đổi hình học của đối số . . . . . 25

2 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các trung bình cơ bản của đối số 40
2.1

Hàm số chuyển đổi từ trung bình cộng của đối số . . . . . . . . . . 40

2.2

Hàm số chuyển đổi từ trung bình nhân của đối số . . . . . . . . . . 42

2.3

Hàm số chuyển đổi từ trung bình điều hòa của đối số . . . . . . . . 43

3 Bất đẳng thức trong lớp hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm

48

3.1

Hàm lồi, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2

Hàm tựa lồi và tựa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3

Hàm tựa lồi, lõm dạng hàm sin và cosin . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Một số dạng toán liên quan

71

Kết luận

82

Tài liệu tham khảo

83

1


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH.
Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì
hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm

luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy
của mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận
giảng dạy hai khóa Cao học 2010 - 2012 và 2011 - 2013, đặc biệt là các thầy cô
tham gia tham gia giảng dạy nhóm Phương pháp Toán sơ cấp 2010 - 2012 lời cảm
ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2010-2012, đặc biệt là các anh chị em nhóm Phương pháp Toán sơ cấp
đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể
hoàn thành khóa học này.

2


Mở đầu
Chuyên đề bất đẳng thức hàm là một trong các lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của Giải tích toán học. Ngay từ Trung học phổ thông chúng ta cũng đã được biết
đến một số lớp bất đẳng thức hàm quen biết như hàm đồng biến, nghịch biến và
hàm lồi, lõm,. . . Tức là lớp các hàm số được mô tả tính chất qua bất đẳng thức
Jensen như
x+y
f (x) + f (y)
f
.
≤
2
2
Trong những năm gần đây, các nhà toán học cũng rất quan tâm đến bất đẳng
thức hàm, mở rộng các bất đẳng thức tổng quát cho lớp hàm đang xét (ví dụ

như các bất đẳng thức dạng Karamata cho hàm lồi). Trong các đề thi Olympic
Toán quốc tế, các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần đây cũng có xuất
hiện nhiều các dạng bài toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, như các bài toán
giải bất phương trình hàm, chứng minh các tính chất của lớp các bất đẳng thức
hàm. . . Nói chung các dạng toán này khá mới mẻ, rời rạc và khá khó.
Luận văn này trình bày về một số lớp bất đẳng thức hàm và một số bài toán
liên quan, với hi vọng có thể bước đầu trình bày một cách có hệ thống một số
đặc điểm, một số dạng toán có thể thiết lập ở một số lớp bất đẳng thức hàm.
Luận văn chủ yếu tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn như các sách, bài báo,
báo cáo khoa học viết về chuyên đề bất đẳng thức hàm, bất phương trình hàm,
các đề thi học sinh giỏi các cấp, các đề thi Olympic Toán quốc tế, các tài liệu
trên Internet. Qua đó trình bày lần lượt, hệ thống lại và đưa ra một số kĩ thuật
ra đề, giải các các bài toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, cũng như giúp bạn
đọc tiếp cận gần gũi hơn với khái niệm bất đẳng thức hàm.
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có 4 chương:

3


Trong hai chương đầu luận văn trình bày các về lớp bất đẳng thức hàm chuyển
đổi các phép tính và đại lượng trung bình cơ bản.
Chương 3 trình bày riêng về lớp các hàm khá quen thuộc là hàm lồi, lõm. Ngoài
ra, còn xây dựng phương pháp mô tả các hàm tựa lồi, tựa lõm từ lớp các hàm lồi
lõm trên một khoảng, từ đó áp dụng vào một số bài toán giải bất phương trình
hàm lượng giác.
Một số bài toán liên quan cũng như các bài tập đề nghị được trình bày ở
chương 4.
Do thời gian gấp rút và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Vì vậy, rất mong nhận được những đóng góp của thầy cô
và bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cảm ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2014.
Học viên
Nguyễn Thị Hiền

4


Chương 1
Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các
phép tính số học
Nói đến bất đẳng thức hàm, người ta nhớ đến bất đẳng thức hàm Cauchy cổ
điển
f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
Vì vậy một cách tự nhiên chúng ta xét đến các lớp bất đẳng thức hàm đầu tiên
là: Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính số học. Trong đó có hai phép
tính thường thấy nhất trong lý thuyết về phương trình - bất phương trình hàm
là phép cộng và phép nhân.

1.1

Hàm số chuyển đổi từ phép cộng của đối số

1.1.1. Bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép cộng thành phép cộng
Dưới đây ta xét một số bài toán nghiên cứu các hàm số thỏa mãn các bất đẳng
thức hàm

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

(1.1)

f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

(1.1a)

và

Hàm số thỏa mãn bất đẳng thức (1.1) được gọi là hàm trên cộng tính (Subadditive), ngược lại nếu hàm số thỏa mãn (1.1a) thì được gọi là hàm dưới cộng tính
(Superadditive).
5


Bài toán 1.1. Cho hàm số f : R → R thỏa mãn (1.1):

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R,
trong đó f không âm với mọi x ∈ R mà |x| ≥ k , k là hằng số dương. Chứng minh
rằng f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Lời giải. Do f thỏa mãn (1.1) với mọi x, y ∈ R nên ta dễ dàng chứng minh được

f (nx) ≤ nf (x), ∀n ∈ Z∗+ , ∀x ∈ R.
Giả sử f (x) ≥ 0 với mọi x mà |x| ≥ k . Khi đó với mỗi x mà |x| < k thì luôn
có số nguyên dương n sao cho n|x| > k hay |nx| > k . Do đó 0 ≤ f (nx). Mà
f (nx) ≤ nf (x), suy ra 0 ≤ nf (x).
Vậy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Bài toán 1.2. Chứng minh rằng nếu hàm số f : R → R thỏa mãn (1.1) với
∀x, y ∈ R , liên tục tại 0 với f (0) = 0 thì f liên tục với mọi x ∈ R.
Lời giải. Thật vậy, với x ∈ R, f (x) = f (x + h − h) ≤ f (x + h) + f (−h). Suy
ra f (x) − f (−h) ≤ f (x + h) ≤ f (x) + f (h) với mọi h. Cho h → 0, thì do f liên
tục tại 0 và f (0) = 0 suy ra f liên tục tại x.
Bài toán 1.3. Cho hàm f khả vi trên I = (a, +∞), (a ≥ 0). Chứng minh rằng
f (x)

f là hàm trên cộng tính nếu f (x) <
, ∀x ∈ I và f là hàm dưới cộng tính
x
f (x)
nếu f (x) >
, ∀x ∈ I .
x
f (x)
Lời giải. Thật vậy, nếu f (x) tồn tại trên I = (a, ∞), a ≥ 0, và f (x) <
x
∀x ∈ I . Ta có

f (x)
, ∀x ∈ I
x
⇔ x.f (x) − f (x) < 0, ∀x ∈ I
d f (x)
x.f (x) − f (x)
⇒
=
< 0, ∀x ∈ I.
dx
x
x2
f (x) <

Như vậy

f (x)
đơn điệu giảm trên I .

x
6


Với x, y ∈ I , ta có

f (x + y)
f (x + y)
+ y.
x+y
x+y
f (x)
f (y)
≤ x.
+ y.
x
y
= f (x) + f (y).

f (x + y) = x.

Suy ra f (x) là hàm trên cộng tính trên I . Điều ngược lại chứng minh tương tự.
Bài toán 1.4. Cho f là hàm trên cộng tính trên R và f khả vi trên (a, +∞),
(a ≥ 0). Chứng minh rằng nếu f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) thì f (x) là hàm
đơn điệu không tăng trên (a, +∞).
Lời giải. f là hàm trên cộng tính trên R, f (x) tồn tại trên I = (a; ∞), a ≥ 0,
f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ I. Khi đó lấy x1 ∈ I , t > 0 là số thực dương bất kì. Do
f (x1 + t) tồn tại nên

f (x1 + t + h) − f (x1 + t)

= f (x1 + t).
h→0
h
lim

Suy ra, với ε > 0, tồn tại h > 0 đủ nhỏ sao cho

f (x1 + t) − ε <

f (x1 + t + h) − f (x1 + t)
.
h

Do đó

1
.[f (x1 + t + x1 + h − x1 ) − f (x1 + t)]
h
1
≤ .[f (x1 + t) + f (x1 + h) + f (−x1 ) − f (x1 + t)]
h
1
= .[f (x1 + h) + f (−x1 )]
h
1
≤ .[f (x1 + h) − f (x1 )].
h

f (x1 + t) − ε <

Suy ra f (x1 + t) ≤ f (x1 ), ∀t > 0. Do đó f (x) là hàm đơn điệu không tăng trên
I.
Bài toán 1.5. Cho hàm f (x) : R → R thỏa mãn (1.1) với mọi x, y ∈ R. Chứng
minh rằng f là hàm số chẵn thì f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
7


Lời giải. Thật vậy, cho x = 0, từ (1.1) ta có f (y) ≤ f (0) + f (y) suy ra f (0) ≥ 0.
Do f chẵn nên 2f (x) = f (x) + f (−x) ≥ f (x − x) = f (0) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Như vậy qua các bài toán trên ta có một số nhận xét về các hàm số trên dưới cộng tính:
Nhận xét 1.1.
(i) Hàm f : R → R là hàm trên cộng tính không âm với mọi x ∈ R mà |x| ≥ k ,
k > 0 thì f (x) không âm trên R.
(ii) Hàm f : R → R là hàm trên cộng tính, liên tục tại 0 với f (0) = 0 thì f liên
tục với mọi x ∈ R.
(iii) Hàm f khả vi trên I = (a, +∞), (a ≥ 0) là hàm trên cộng tính nếu f (x) <
f (x)
f (x)
, ∀x ∈ I và là hàm dưới cộng tính nếu f (x) >
, ∀x ∈ I .
x
x
(iv) Hàm f là hàm trên cộng tính trên R và khả vi trên (a, +∞), (a ≥ 0), nếu
f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) thì f (x) là hàm đơn điệu không tăng trên
(a, +∞).
(v) Hàm trên cộng tính f (x) : R → R là hàm số chẵn thì không âm.
Ta xét một số bài toán giải bất phương trình hàm liên quan.
Bài toán 1.6. Xác định hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R;
(ii) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.

Lời giải. Thay x = 0, y = 0 vào điều kiện đề bài ta được

f (0) ≥ 2f (0),
f (0) ≥ 0

⇒ f (0) = 0.

Vậy nên ∀x ∈ R, ta có 0 = f (0) = f (x + (−x)) ≥ f (x) + f (−x). Mà f (x) ≥
0, f (−x) ≥ 0 nên f (x) = 0, ∀x ∈ R. Hay f (x) ≡ 0. Thử lại ta thấy hàm số
f (x) ≡ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài ra.
8


Bài toán 1.7. Cho trước a ∈ R. Xác định hàm số thỏa mãn đồng thời các điều
kiện sau:
(i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R,
(ii) f (x) ≥ ax, ∀x ∈ R.
Lời giải. Xét hàm số g(x) = f (x) − ax. Thay vào các điều kiện đề bài ta được
(i) g(x + y) ≥ g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R,
(ii) g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Theo Bài toán 1.6, ta có g(x) ≡ 0, hay f (x) = ax. Thử lại ta thấy hàm số
f (x) = ax thỏa mãn điều kiện đề bài ra.
Bài toán 1.8. Xác định hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R,
(ii) f (1) = 1,
(iii) f (g(|x|)) ≥ g(|f (x)|), ∀x ∈ R, trong đó g : R+ → R+ là hàm liên tục, tăng
với g(0) = 0, g(1) = 1.
Lời giải.

• Đầu tiên ta chỉ ra rằng f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R+ .

Với x ∈ R+ , khi đó x = ny với n ∈ Z+ và 0 ≤ y ≤ 1. Hơn thế nữa, y = g(t)
với 0 ≤ t ≤ 1 nào đó (g là hàm liên tục, tăng với g(0) = 0, g(1) = 1). Từ (i)
và (iii) ta có

f (x) = f (ny) ≥ nf (y) = nf (g(t)) ≥ ng(|f (t)|) ≥ 0, ∀x ∈ R+ .
• Như vậy, với x, y ∈ R, x > y ta có x = y + x∗ , x∗ ∈ R+ , từ (i) ta có
f (x) = f (y + x∗ ) ≥ f (y) + f (x∗ ) ≥ f (y).
Nói cách khác, f là hàm đơn điệu không giảm trên R.
9


Tài liệu tham khảo
[1] Pl. Kannappan, Functional Equation and Inequalities with Applications,
Springer Monographs in Mathematics, 2003.
[2] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức Định lý và Áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006.
phổ thông, Hà Nội - Nam Định, 2010.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng,
Đặng Huy Ruận 2004, Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học
sinh giỏi, NXB Giáo Dục.
[4] Th. M. Rassias, Functional equations, inequalities and applications, 73 -89,
Kluwer Academic Publishers, 2003.

83