Luận văn đồng nhất hạt higgs mang điện đôi trong mô hình 3 3 1 tối giản siêu đối xứng

B ộ GIÁO DỤC YÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

Trần Thị Thu Hà

ĐỒNG NHẤT HẠT HIGGS MANG ĐIỆN ĐÔI TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 T ố i
GIẢN SIÊU ĐỐI XỨNG

Chuyên ngành:
M ã số:
Người hướng dẫn:

Yật lý lý thuyết và vật lý toán
60 44 01 03
TS. Nguyễn Huy Thảo

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC VẬT CHAT

Hà N ộ i -2 0 1 6


Muc luc
Chương 1. Mô hình chuẩn và một số mô hình chuẩn mỏ rộng . . .
1.1. Mô hình chuẩn (SM- Standard M odel)....................................

1
1

1.1.1. Giới thiệu.........................................................................................................................

1

1.1.2. Nội dung cơ bản của S M ..............................................................................................

2

1.1.3. Thành công của S M ........................................................................................................

3

1.1.4. Hạn chế và đòi hỏi mở rộng của S M ...........................................................................

4

1.2. Một số mở rộng của mô hình chuẩn.........................................

5

1.2.1. Mô hình Radall-Sundrum..............................................................................................

6

1.2.2. Đặc điểm chung của các mô hình 3 -3 -1 .....................................................................

9

1.2.3. Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải................................................................

10

1.2.4. Mô hình 3-3-1 tiết kiệm ..............................................................................................

14

1.2.5. Mô hình 3-3-1 tối thiểu................................................................................................

15

1.2.6. Các mô hình 3-3-1 siêu đối xứng...............................................................................

18

Chương 2. Mô hình 3-3-1 tối giản siêu đối xứng.........................
2.1. Lý thuyết siêu đối xứng............................................................

20
20

2.1.1. Siêu không gian ............................................................................................................

22

2.1.2. Biến đổi siêu đối xứng (SUSY transformation)........................................................

24

2.1.3. Siêu trường...................................................................................................................

28

2.2. Mô hình 331 tối giản siêu đối xứng........................................

32

2.2.1. Sự sắp xếp hạt ưong mô h ình.....................................................................................

32

2.2.2. Lagrangian.....................................................................................................................

34

2.2.3. Phá võ đối xứng tự phát và khối lượng các hạt ưong SUSYRM331.....................

39

2.2.4. Phổ khối lượng vật lý của các hạt ưong SUSY - R M 331......................................

40

Chương 3. Hỉggs mang điện đôi trong mô hình SUSYRM3-3-1 43
3.1. Thế H iggs..................................................................................
43
3.2. Higgs mang điện đôi (DCHs - doubly charged H iggs)......... 48
Tài liệu tham khảo...............................................................................

54


Lời cám ơn

Để hoàn thành tốt luận văn, cùng với sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận
được rất nhiều sự quan tâm và giúp đõ. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn Huy Thảo - người đã tận tình
truyền dạy, động viên và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và thực hiện
luận văn.
Tôi xin gửi lời cám ơn tới các thầy cô khoa Vật lý - trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị cho tôi những kiến thức chuyên môn quan
trọng làm nền tảng để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi ghi nhận và xin cám ơn các bạn học viên lớp Cao học vật lý lý
thuyết và vật lý toán KI 8 trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 vì đã đóng góp
ý kiến, chia sẻ tài liệu tham khảo bổ ích cho luận văn.
Tôi xin cám ơn lãnh đạo và đồng nghiệp trưòng THPT Xuân Hòa
vì những hỗ trợ trong quá trình tôi tham gia khóa học.
Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn tới gia đình, những người đã ủng
hộ, chia sẻ những khó khăn để tôi yên tâm học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Học viên

Trần Thị Thu Hà


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Cụ thể, chương một và
chương hai là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề cơ sở có liên quan
đến luận văn. Chương ba tôi đã sử dụng kết quả tính toán mà tôi đã thực
hiện cùng với thầy hướng dẫn TS. Nguyễn Huy Thảo.
Cuối cùng tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ đã được cám ơn và các

thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Học viên

Trần Thị Thu Hà


Mỏ đầu
1. Lý do chọn đề tài
Được phát triển vào những năm 70 của thế kỉ 20, Mô hình chuẩn là
lý thuyết thống nhất ba tương tác điện-từ, yếu và mạnh dựa trên nguyên lý
đối xứng chuẩn. Hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng, quan sát thực nghiệm
cho kết quả phù hợp với thuyết này có độ chính xác rất cao.
Với cấu trúc nhóm s u (3)c <8>s u (2)l <S>U(ì )y và cơ chế phá vỡ
đối xứng tự phát, mô hình chuẩn hạt cơ bản đã giải thích được rất nhiều
hiện tượng vật lý trong thang năng lượng khoảng 200 GeV. Theo Mô hình
chuẩn, vật chất được cấu tạo từ các hạt cơ bản là lepton và quark. Các hạt
cơ bản tương tác với nhau thông qua 4 loại lực là điện-từ, mạnh, yếu và hấp
dẫn, các tương tác được thực hiện thông qua các boson véc tơ trung gian
hay hạt truyền tương tác. Khối lượng các hạt đuỢc giải thích bằng cơ chế
phá vỡ đối xứng tự phát (cơ chế Higgs) mà dấu vết còn lại của sự phá vỡ
đối xứng tự phát là hạt Higgs.
Mô hình chuẩn đã mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các
tương tác dồng thòi có vai trò quan trọng trong sự phát triển của vật lí hạt.
Tuy nhiên, nó còn tồn tại những hạn chế nhất định. Mô hình chưa tiên đoán
được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng cao cỡ TeV. Mô hình chuẩn
cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái tức là không có khối lượng, tuy nhiên
thực nghiệm đã xác nhận neutrino có khối lượng. Mô hình chuẩn chưa giải
thích được những vấn đề có liên quan đến số lượng và cấu trúc các thế hệ
fermion. Mô hình cũng không giải thích được nguyên nhân quark top lại

có khối lượng quá lớn so với dự đoán.
Để giải quyết những vấn đề mà Mô hình chuẩn chưa trả lời được,
các nhà vật lí hạt nghiên cứu xây dựng và phát triển các mô hình chuẩn mở
rộng. Trong số đó, Mô hình 3-3-1 là một mô hình có khả năng giải quyết
được nhiều vấn đề của Mô hình chuẩn. Các Mô hình 3-3-1 gồm có: Mô
hình 3-3-1 rút gọn tối thiểu (RM331); Mô hình 3-3-1 với neutrino phân


cực phải; Mô hình tiết kiệm 3-3-1 (E331); Mô hình siêu đối xứng tối giản
3-3-1 (SUSYRM331). Trong đó, mô hình SUSYRM 3-3-1 có ưu thế hơn
cả.
Mô hình SUSYRM 3-3-1 là phiên bản mở rộng của mô hình tối
thiểu rút gọn (RM331). Ưu điểm của mô hình này là phổ hạt slepton không
có các neutrino phân cực phải, đồng thời phổ Higgs cũng đơn giản như
mô hình tiết kiệm 331(E331), điều này tạo điều kiện thuận lợi khi siêu đối
xứng hóa mô hình. Hạt Higgs mang điện đôi là loại hạt đặc trưng trong mô
hình này. Đây là lí do chính để chúng tôi tiến hành nghiên cứu về “Đồng
nhất hạt Hỉggs mang điện đôi trong mô hình 3-3-1 tối giản siêu đối
xứng”.

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu Higgs mang điện đôi trong mô hình 3-3-1 tối giản siêu
đối xứng (SUSYRM 3-3-1).

3. Nhiệm yụ nghiên cứu
- Nghiên cứu Higgs mang điện đôi trong mô hình 3-3-1 tối giản siêu
đối xứng dựa trên việc tìm hiểu phổ khối lượng vật lý của các hạt trong mô
hình đó.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Higgs mang điện đôi trong mô hình 3-3-1 tối
giản siêu đối xứng.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử,
đề tài này tập trung nghiên cứu về Higgs mang điện đôi trong mô hình
SUSYRM 3-3-1.


5. Phương pháp nghỉên cứu
- Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
- Khảo sát số bằng phần mềm mathematica.

6. Đóng góp mới
- So sánh được tổng quan giữa Mô hình chuẩn và một số mô hình
chuẩn mở rộng.
- Hệ thống được nền tảng lí thuyết cơ bản nhất của mô hình 3-3-1
tối giản siêu đối xứng.
- Xác định các đặc trưng cơ bản của Higgs mang điện đôi trong mô
hình 3-3-1 tối giản siêu đối xứng.


CHƯƠNG 1

MÔ hình chuẩn và một số mô hình chuẩn mỏ
rộng
1.1. Mô hình chuẩn (SM- Standard Model)
1.1.1. Giói thiệu
Yật lý hạt cơ bản là khoa học nghiên cứu về cấu tạo của thế giới vật
chất, những thành phần nhỏ nhất và tương tác giữa chúng. Các hạt cơ bản
tương tác với nhau thông qua 4 loại lực là hấp dẫn, điện từ, mạnh và yếu.
Xây dựng một lý thuyết thống nhất được cả 4 loại tương tác này là mục tiêu

của các nhà vật lý hiện đại.
Dựa trên các tiến bộ vượt bậc về các mặt lí thuyết, thực nghiệm và
mô hình hóa, trên xu hướng hợp nhất các tương tác, năm 1974, Mô hình
chuẩn (Standard Model) được đề xuất đầu tiên bởi John Iliopoulos. Theo
đó Mô hình chuẩn là sự kết hợp 2 lí thuyết cơ sở : Lí thuyết điện yếu
GWS và sắc động lực học lượng tử QCD dựa trên nhóm đối xứng chuẩn
SU(3)c 0 SU(2)l <
g)u (l)y . Đến năm 1978, tại hội nghị quốc tế về Vật lý
năng lượng cao ở Nhật Bản, những khẳng định thực nghiệm mô hình chuẩn
đã được đánh giá và xác nhận [ ].
Mô hình chuẩn được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn su (3)c 0 su (2)l<
s>
u( 1)y của các phép biến đổi unita. Nhóm su (3)c là nhóm đối xứng không
Abel mô tả tương tác mạnh và là đối xứng màu tác động lên các quark màu,
có 8 hạt truyền tương tác là gauge boson (gluon) không có khối lượng liên
kết với các tích màu theo cách thức được mô tả trong QCD. Nhóm su (2)L
là nhóm đối xứng spin đồng vị điện yếu không Abel, tác động lên các
fermion phân cực trái. Nhóm đối xứng ơ(l)y trộn với thành phần trung
hòa W3 của su (2)l tạo nên trường photon A và trường điện yếu z, là nhóm


2

chuẩn gắn với số lượng tử là siêu tích yếu Y.

1.1.2. Nội dung cơ bản của SM
Mô hình chuẩn được tóm tắt ở ba điểm cơ bản:
- Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và quark, đây
là những viên gạch nhỏ nhất để cấu tạo nên vật chất. Các lepton và quark
là các fermion (có spin bán nguyên) được chia thành 3 thế hệ có cấu trúc

giống nhau. Mỗi thế hệ gồm 2 quark và 2 lepton, đã được kiểm tra chính
xác bởi các máy gia tốc hạt năng lượng cao.
+ Thế hệ 1: Gồm cặp quark (u,d) và cặp lepton (e,ve).
+ Thế hệ 2: Gồm cặp quark (c,s) và (jU, Vịx).
+ Thế hệ 3: Là cặp quark (t,b) và cặp lepton (T, VT).
Các hạt lepton mang điện electron (e), muon (jU), tau (t) đều có neu­
trino tương ứng không mang điện ve, Vịị, VT. Electron bền và dường như
có mặt trong tất cả các dạng vật chất. Các hạt muon và tau không bền xuất
hiện chủ yếu trong quá trình rã. Các quark kết hợp thành tam tuyến để tạo
ra baryon hoặc kết hợp quark-phản quark tạo thành meson. Các hạt trong
SM được sắp xếp dưới dạng đối xứng chuẩn như sau [ 0]:
Với lepton:
i = e,Ịl,T
( 1. 1)

Với quark:
Q iL = (^ j

~ ( 3 ,2 ,ì)

k ụ ĩ ~ ( 3 ,1 ,Í )

Uị = u,c,t

(1.2)

Tất cả các quark và lepton trên đều đã được phát hiện trong thực nghiệm.
- Các lepton và quark tương tác với nhau thông qua 4 loại lực khác là
điện từ, mạnh, yếu và hấp dẫn. Các tương tác được thực hiện thông qua các

3

boson vectơ trung gian hay hạt truyền tương tác.
Photon y là hạt truyền tương tác điện từ - lực chi phối quỹ đạo của
electron và các quá trình hóa học.
Gluon g là hạt truyền tương tác của loại lực có cường độ lớn nhất - lực
tương tác mạnh. Lực này giữ các quark trong proton và neutron cũng như
giữ các hạt trong hạt nhân nguyên tử lại với nhau.
Hạt w va z là hạt truyền tương tác yếu, thể hiện trong các quá trình rã
phóng xạ. Lực yếu đóng vai trò rất quan trọng trong việc quan sát các phản
ứng neutrino, vì neutrino trơ đối với lực điện từ (do chúng không mang
điện) và không bị ảnh hưởng của lực mạnh nên chỉ có lực yếu là giúp ta
xác định được đặc tính của neutrino.
Ngoài 3 tương tác trên các hạt có thể có tương tác hấp dẫn, tuy nhiên
tương tác hấp dẫn rất nhỏ và không được mô tả như một hiện tượng lượng
tử (hạt truyền tương tác hấp dẫn là hạt graviton - G).
Các hạt y, g, w và z đều có spin bằng 1, còn G có spin bằng 2.
- Cơ chế Higgs là thành phần quan trọng thứ 3 của SM. Tương tác điện
từ, tương tác mạnh và tương tác yếu được mô tả thống nhất bới một lí thuyết
trường lượng tử dựa trên nhóm đối xứng chuẩn s u (3)c <8>su (2 )L <8>u(l)ỵ).
Tuy nhiên để thỏa mãn điều kiện đối xứng các hạt truyền tương tác phải
không có khối lượng. Nhưng trong thực tế một số hạt có khối lượng. Để
giải thích vấn đề này Peter Higgs đã đưa ra giả thuyết rằng trong tự nhiên
ngập tràn một hay nhiều trường Higgs. Các gauge boson và íecmion sẽ
tương tác với trường Higgs làm phá vỡ đối xứng gauge. Năng lượng tương
tác của các boson chuẩn điện yếu, các lepton và các quark với trường Higgs
thể hiện như là khối lượng của các hạt này. Hạt cơ bản của trường Higgs
là hạt Higgs. SM tiên đoán hạt vô hướng Higgs có khối lượng lớn hơn 115
GeV.

1.1.3. Thành công của SM
Mô hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự nhiên từ kích thước vi mô
cỡ 10-16cm cho tới các khoảng cách vũ trụ cỡ 1028cm. Thành công lớn


4

nhất của SM là thống nhất được các tương tác vật lý bằng một nguyên lí
chuẩn (các đối xứng chuẩn), tìm ra các boson chuẩn với khối lượng được
tạo ra bằng cách phá võ đối xứng tự phát. Sự tồn tại của dòng yếu trung
hòa và các vectơ boson trung gian, cùng những hệ thức liên hệ khối lượng
của chúng đã được thực nghiệm xác nhận.
Các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với SM ở độ chính
xác rất cao. Một loạt phép đo kiểm tra giá trị các thông số điện yếu đã được
tiến hành trên các máy gia tốc Tevetron, LEP và SLC với độ chính xác đạt
tới 0,1%. Điều này chứng tỏ cấu trúc lượng tử của mô hình đã được xác
nhận.
Các hệ số liên kết giữa w và z với lepton và quark có giá trị đũng
như SM dự đoán.
Có các dấu hiệu mạnh mẽ cho thấy liên kết 3 boson chuẩn tuân
theo cấu trúc được quy định bởi đối xứng chuẩn su (2 )L số liệu thực nghiệm cho thấy khối lượng boson Higgs phù hợp với
dự đoán của SM. Ngày 15/3/2013, LHC cho biết đã tìm ra hạt Higgs, cội
nguồn sinh khối lượng của thế giới vật chất. Việc phát hiện ra hạt Higgs
khẳng định con đường xây dựng lí thuyết thống nhất các tương tác như SM
là đúng đắn, mở ra một kỉ nguyên mới cho những nghiên cứu tiếp theo.
SM đã mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác đồng
thời có vai trò quan trọng trong sự phát triển của vật lý hạt.

1.1.4. Hạn chế và đòi hỏi mỏ rộng của SM
Tuy đạt dược những thành công như trên nhưng SM vẫn còn một số
hạn chế, khiến nó không thể là mô hình thống nhất tương tác cuối cùng.
Những hạn chế đó là:
1. SM mới chỉ thống nhất được ba trong bốn tương tác cơ bản.
2. Trong SM, neutrino chỉ có phân cực trái tức là không có khối
lượng nhưng các thí nghiệm gần đây (từ 1998) đã chỉ ra rằng neutrino có
khối lượng.


5

3. SM không thể giải thích tại sao có 3 thế hệ quark và lepton? Có
thể tồn tại bao nhiêu thế hệ quark-lepton? Giữa các thế hệ có sự liên hệ với
nhau như thế nào?
4. SM chưa thể giải thích được vấn đề bất đối xứng vật chất, phản
vật chất. Thực tế chúng ta chỉ quan sát được vật chất cấu thành từ các hạt,
không tìm thấy sự tồn tại của phản vật chất, vi phạm các nguyên lí cơ sở
của SM.
5. SM không giải thích được tại sao quark top lại có khối lượng
quá lớn so với dự đoán, tại sao giữa các thế hệ fecmion có sự phân bậc về
khôi lượng, tại sao các neutrino có khối lượng rất b é ...
6. Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở
thang năng lượng cao cỡ TeV mà chỉ đũng ở vùng năng lượng thấp vào
khoảng 200 GeV. . .
7. Mô hình chuẩn chưa trả lời được tại sao lại có sự lượng tử hóa
điện tích (các điện tích gián đoạn, có giá trị bằng bội lần điện tích nguyên
tố.
8.
Hạt Higgs trong SM tiên đoán đã được tìm thấy trong máy gia tốc

LHC. Đây là kết quả quan trọng, có ý nghĩa to lớn trong việc sinh khối
lượng cho hạt cơ bản, quyết định đến sự tiến hóa của vũ trụ. Tuy nhiên,
hiện nay vẫn chưa tìm được câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi tự nhiên
của Higgs là gì? Tại sao hạt Higgs nặng cỡ 125 GeV trước các hiệu ứng
lượng tử?
Những hạn chế của SM là một rào cản trong việc hiểu biết tiếp theo của
nhân loại về thế giới siêu nhỏ cũng như siêu lớn. Để khắc phục những khó
khăn, hạn chế trẽn, các nhà vật lý lý thuyết đã xây dựng các mô hình chuẩn
mở rộng.

1.2. Một số mở rộng của mô hình chuẩn
Hiện nay có những hướng mở rộng SM như mở rộng nhóm đối xứng
(Các mô hình 3-3-1, lí thuyết siêu đối xứng, lí thuyết thống nhất lớn, lí


6

thuyết dây. . . mở rộng số chiều không gian (lí thuyết Kaluza- Klein, mô
hình Radall- Sundrum... ) .

1.2.1. Mô hình Radall-Sundrum
Lý thuyết đầu tiên mở rộng SM theo hướng mở rộng số chiều không
gian là lý thuyết Kaluza - Klein (1921) mở rộng không gian bốn chiều
thành không gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất tương tác hấp dẫn
và tương tác điện từ.
Lý thuyết Kaluza - Klein cho rằng chiều thứ năm đó có dạng tuần
hoàn như sau:
x5 ~ x 5-\-2nR

(1.3)

Nghĩa là, ngoài không gian Minkowski bốn chiều truyền thống còn
xuất hiện thêm chiều thứ năm là chiều compact, có thể hình dung nó là
một hình trụ năm chiều với bán kính R. Như vậy theo lý thuyết này đã xuất
hiện một trường vô hướng không khối lượng và động lượng được lượng tử
hóa trong chiều tuần hoàn: p 5 = I với n e Z và trường vô hướng (p(x^,x5)
Lý thuyết Kaluza - Klein mới chỉ đưa ra dự đoán về bán kính compact
R mà chưa chứng minh được bằng thực nghiệm sự xuất hiện của nó.
Dựa trên việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết Kaluza - Klein , hai
nhà bác học Lisa Radall và Raman Sundrum đã chứng minh được sự xuất
hiện của bán kính compact và chỉ ra rằng trong một điều kiện nhất định
bán kính này còn có tính bền vững.
Mô hình Randall Sundrum là mô hình có không - thời gian năm chiều.
Trong đó không - thơi gian bốn chiều Minkowski là của mô hình chuẩn.
Chiều thứ thứ năm được compact trên một vòng tròn sl. Không - thời gian
thu được chính là không gian với đối xứng cực đại và có độ cong âm (anti
- de Sitter space). Trên chiều thứ năm người ta đưa vào đối xứng chẵn lẻ
Z2 vì vậy hai điểm (Xị_i,ộ) và (Xịi,—Ộ) là đồng nhất. Chiều thứ năm có
dạng sl/z2chính là orbifold với hai điểm cố định ộ —0 và ộ — n. Brane
tử ngoại (UV - Brane, hay Brane Planck) được đặt tại ộ = 0 trong brane


7

này tương tác chủ yếu là tương tác hấp dẫn. Brane hồng ngoại (IR - Brane,
SM-brane, hay TeV-Brane) định xứ tại ệ = 71 ở brane này tương tác chiếm
ưu thế là tương tác mạnh, yếu và tương tác điện từ.
Toạ độ của một điểm trong không - thời gian năm chiều lúc này là
(x^,ộ). Khoảng năm chiều có dạng [ ]:
ds2 = GMỵdx1^ dxN

= Gịivdxiidxv + 2Gịịệdx^dx^ + Gệệdộ2.

(1.4)

Trong đó Gmn là tenxơ metric năm chiều, số hạng Gựệ bị khử ở mode
không do đối xứng Orbiíold, nên lúc này ta có:
ds2 = Gịlvdx^dxv + Gệệdộ2.

(1.5)

Ta gọi metric tương ứng với các brane u v và TeV lần lượt là gjịsv =
Gm n (x^ , ộ = 7t) và
= Gm n (x^ , ộ = 0).
Tác dụng tổng quát năm chiều có dạng:

s —Sgravitỵ+ Svis+ Shìd-

( 1.6)

Tác dụng trên thực chất là mở rộng của tác dụng Hilbert-Einstein 4 chiều
trong lý thuyết tương đối rộng của Einstein, trong đó:

fn

gravity = J[ d4x J _Kd ộ V G { - A - 2 M 3R},
Svis —

Jd Xy/

^hid

/ d X\/ 8hid{^hid

gvis{-^vis
Vfiid}•

(1.7)

Ở đây M là khối lượng Planck 5 chiều, G = det Gmn , a là hằng số vũ trụ 5
chiều và R là độ cong vô hướng.
Một điều rất thú vị ở đây là vấn đề phân bậc sẽ được giải quyết. Xét
dao động của trường hấp dẫn không khối lượng, khoảng bất biến khi đó có
dạng:
ds2 = e_2fcrWI^I [rỊựv + hịiv{x)\ dx^dxv —T2(x)dộ2.

(1.8)


8

trong đó hịiv biểu diễn dao động tenxơ trong không gian Minkowski và là
graviton của lý thuyết hiệu dụng bốn chiều (đây cũng đồng thời là mode
không khối lượng trong khai triển Kaluza - Klein của Gpv). Gọi là metric
bốn chiều Minkowski định xứ là [ ,2 ]:
8ụ,v(x ) —Vựv + hịxv

(1-9)

Hàm thực T (x) là hằng số địa phương. Bán kính compact rc là VEV (vaccum expctation value) của trường modulus T (x). Theo các lí thuyết có
nhiều chiều mở rộng hơn, modulus T sẽ ổn định tại YEV rc của nó với

khối lượng ít nhất là 10-4 eV. Bây giờ thay T bằng rc trong trường hợp
chiều mở rộng là compact. Tác dụng gravity có dạng:
Sgravity = Ị d*x ự dộ V G (-2 M 3R) .
J
J_JỊ

(1.10)

Ta có:
Ị R = e2krc\ệ\R

{G ^e -^W g ^
với R là tenxơ Ricci vô hướng bốn chiều có được từ gßV(x) yà
V g = ^ f- g r ce~Akrc^
D riMNKpm n
K — u
Thay vào (1.10) ta được:
SgraVi„ =

fd4x r

J

J

d ệ ^ ĩ . r ce - u '‘M (-2 M 3e2kr‘MR).

(1.11)

Mặt khác trong lý thuyết 4 chiều ta có:

S gravity

—

J

d X y/

^ . 2 , . M p ịR .

( 1. 12)


9

So sánh hai phương trình trên ta được:

(1.13)
Như yậy, nhận thấy nếu chọn được giá trị thích hợp của k thì khối lượng
năm chiều M sẽ cùng bậc với khối lượng Planck trong không - thời gian
bốn chiều; nghĩa là vấn đề phân bậc khối lượng sẽ được giải quyết.

1.2.2. Đặc điểm chung của các mô hình 3-3-1
Hướng mở rộng SM khác đã và đang được nhiều nhà vật lý lý thuyết
xây dựng và phát triển là các mô hình 3-3-1, trong đó nhóm đối xứng
SU(3)c <8>SU (2)L <
g)u (1 )y được mở rộng thành s u (3)c 0 s u (3)l Với SU(3)c là nhóm đối xứng màu của tương tác mạnh, tác động lên các
quark màu và các boson truyền tương tác mạnh, s u (3)l là nhóm đối xứng
phân cực trái của các tương tác yếu, tác động lên các fecmion phân cực trái.

u ( l) x là nhóm đối xứng liên quan đến một số lượng tử mới, X - tích, là
khái niệm mở rộng của siêu tích Y. Có các mô hình 3-3-1 mở rộng như: mô
hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải, mô hình 3-3-1 tiết kiệm, mô hình
3-3-1 tối thiểu, các mô hình 3-3-1 siêu đối xứng...
Trong các mô hình 3-3-1, các lepton được sắp xếp vào các tam tuyến
hoặc phản tam tuyến của nhóm s u (3)l và các quark phải có một thế hệ
biến đổi khác so với hai thế hệ còn lại.
Việc mở rộng nhóm đối xứng s u (2)l thành s u (3)l , số vi tử của nhổm
đối xứng tăng thêm 5 nên trong mỗi mô hình 3-3-1 sẽ xuất hiện 5 boson
chuẩn mới so với SM. Đồng thời với sự mở rộng này, các biểu diễn của
lepton và quark được mở rộng từ lưỡng tuyến thành tam tuyến hoặc phản
tam tuyến.
Các mô hình 3-3-1 có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề của


10

SM [1- ]:
- Chúng giải quyết được vấn đề số thế hệ fermion mà Mô hình chuẩn
chưa giải thích được
- Trong mô hình 3-3-1, các quark phân cực trái trong một thế hệ luôn
có cấu trúc khác so với trong 2 thế hệ còn lại. Chính sự khác biệt này cho
phép chúng ta giải thích tại sao quark t lại có khối lượng khác xa so với các
quark khác.
- Đối xứng Peccei - Quinn xuất hiện một cách tự nhiên trong các mô
hình 3-3-1. Đối xứng này có thể mở rộng cho thế Higgs, và bằng cách đó,
trở thành đối xứng xủa toàn bộ Lagrangian. Điều này cho phép giải quyết
vấn đề CP của tương tác mạnh một cách tự nhiên.
- Các mô hình 3-3-1 dự đoán sự tồn tại của các quá trình vật lí mới ở
thang năng lượng không quá cao.

- Trong số các lí thuyết vượt ra ngoài mô hình chuẩn thì các mô hình
3-3-1 cho những kết quả có khả năng kiểm tra không quá xa vời như trong
các lí thuyết khác. Chẳng hạn, các mô hình 3-3-1 dự đoán sự tồn tại của các
boson vector mới ở thang năng lượng cao hơn năng lượng của các boson
trong Mô hình chuẩn, và khối lượng của chúng được khống chế bởi những
điều kiện rất hẹp. Đối với một số hạt, người ta đã xác định được cả giới hạn
dưới lẫn giới hạn trên đối với khối lượng của chúng. Điều đó khiến cho các
mô hình này có thể dễ dàng được xác nhận hoặc bị loại bỏ trong tương lai
gần từ các kết quả thực nghiệm trên các máy gia tốc mới.

1.2.3. Mô hình 3-3-1 vói neutrino phân cực phải
Ở mô hình này neutrino phân cực phải được đưa vào đáy của tam
tuyến S U (3)l mở rộng từ lưỡng tuyến s u (2)Lcủa SM. Do vậy các neutrino
phân cực trái và phải được xếp trong cùng một tam tuyến [13, 9]:
( 1. 14)

. Trong đó a=l,2,3 là chỉ số thế hệ.


11

Đối với quark, hai thế hệ quark đầu tiên được sắp xếp vào các phản tam
tuyến trong khi đó thế hệ quark thứ 3 được sắp xếp vào một tam tuyến:
(1.15)

Qìl —

Sau khi nhóm s u (3)l 8 u (l)x bị phá vỡ đối xứng thành u (1 ) q , 9
boson chuẩn w a(a = 1 , 2 , 8) và B của s u (3)l và u ( ì) x bị tách thành
4 boson chuẩn có khối lượng bé và 5 boson có khối lượng lớn. Các boson

chuẩn có khối lượng bé là các boson chuẩn của mô hình chuẩn: photon (A),
Zị và W ± . 5 boson chuẩn còn lại là các boson chuẩn mới, có khối lượng
lớn đó là boson chuẩn trung hoà z 2, các bilepton tích điện đơn Y ± và các
bilepton phức trung hoà x°,x°*. Như vậy, các bilepton tích điện đôi x±±
của mô hình 3-3-1 tối thiểu được thay thế bởi các bilepton phức trung hoà
z°,z °* trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải. Các boson chuẩn
được biểu diễn dưới dạng tổ hợp của w a và B như sau:
(

)

V2W+ = W ^-iW ji,
V ĨY - = W * -iW l
VĩxH =

(1-18)


12

Aụ

(1.19)

z'
¿ịi

tw
T í

Trong mô hình 3-3-1 với neutrino , các boson chuẩn trung hoà vật lí liên
hệ với z , z ' qua góc trộn ộ.
Quá trình phá vỡ đối xứng được thực hiện bằng cách đưa vào 3 tam tuyến
SU(3)l :
su

(3)c ® SƯ(3) l ®U(1) x

SU(3)c®SU(2)L ®U(l)r

l<,|>> SU{3)c ® U (1)q .

(1.20)

Trong đó :
( 1.21)

( 1. 22)

(1.23)
Các giá trị trung bình chân không (YEV) được chọn là:

< z > r= ( o , o , ^ ) ; < p >r= ( o , * o )

(^ ,o ,o ).
( 1.24)


13

Điện tích

theo công thức:
Q - 2 X ĩ-

^

+X-

( 1.25)

Trong mô hình này neutrino vẫn không có khối lượng. Giá trị trung bình
chân không < X > sinh khối lượng cho các quark ngoại lai mang điện tích
2/3 và 1/3, còn các giá trị trung bình chân không < p > và < 7] > sinh
khối lượng cho tất cả các lepton và quark thông thường. Sau khi phá vỡ đối
xứng các boson chuẩn thu được khối lượng như sau:
mw = 4 g2(w2 + v2),
Mỉ = 4 g2(v2 + ũ)2),
mỊ

= \ g 2(u2 + (02),

(1.26)

và
g ( 2 , 2 \ _mw
™z = 4c2 (u + V ) = —^
cw

(1.27)

u
v2( l - 2 4 )2 n
g
Mị =
4«) + 2 +
(1.28)
4 (3 -4 4 )
cw
Để phù hợp với hiện tượng luận ở miền năng lượng thấp, giả thiết rằng
< x > » < p >, < TỊ > để cho mw < M x,M ỵ.
So sánh các hằng số liên kết chuẩn thu được hệ thức liên hệ giữa các hằng
số g và gx (các hằng số liên kết ứng với s u (3)lvU (1)x )> trong mô hình
này , tì số giữa các hằng số tương tác là:
gx _ 185^ {Mz2)
g2 ~ 3 - 4 sị(M z2y
Từ quá trình phá vỡ đối xứng suy ra công thức tách khối lượng các bilepton:
\M ị-M ị\< m ị,

(1.30)


14

Do đó một cách gần đúng ta có thể đặt Mỵ ~ Mỵ . Điều kiện ràng buộc về
sự trộn z —z' dựa trên quá trình rã của z là:
—2, 8.10“ 3 < ộ < 1, 8.10—4
Trong mô hình này, không có giới hạn đối với sin2 dw. Với góc trộn bé như
vậy thì Z\ và Z2 lần lượt là z boson trong Mô hình chuẩn và boson chuẩn
z ' của mô hình đang xem xét. Dựa vào dữ liệu về sự vi phạm tính chẵn lẻ
trong nguyên tử cesium thu được giới hạn dưới đối với khối lượng của z 2

nằm trong khoảng giữa 1,4 TeV và 2,6 TeV. Dữ liệu về sự chênh lệch khối
lượng của kaon Am,K dẫn tới giới hạn: Mz2 < 1 ,0 2 TeV. Dữ liệu về rã muon
cho giới hạn dưới đối với khối lượng của Y boson là 230 GeV (90 %CL).
Việc phân tích bổ đính bức xạ dựa trên các tham số s và T cho kết quả:
M y > 230GeV,Mx > 240GeV.

1.2.4. Mô hình 3-3-1 tiết kiệm
Trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải vừa xét ở trên có hai
tam tuyến Higgs có số lượng tử hoàn toàn giống nhau: X và TỊ, nên ta có
thể bỏ đi một TỊ [6, l ( , 20, 2' ]
(1.31)

(1.32)
Để phá vỡ đối xứng tự phát mô hình này ta cần cho X có VEV như sau:
( 1.33)


15

1.2.5. Mô hình 3-3-1 tối thiểu
Các lepton được sắp xếp vào các phản tam tuyến của nhóm s u (3)/,:
/«L =

l

6aL\

- v ai ~ (1,3,0),
\ ( e c) a j

(1.34)

a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ.
Hai thế hệ đầu của quark trong tam tuyến còn thế hệ quark thứ 3 trong
phản tam tuyến:
Qìl = (UiL,diL,DiL)T ~ ^3,3, —- ^ ,

(1.35)

DịR ~ ^ 3 , 1 , - - ^ ; ỉ'= 1 ,2 ,
Ô3L = (d3L,—U3L,TL)T ~ ^ 3 ,3 ,- ^ ;
U3R ~ ^3,1,

; d3R ~ ^3,1, —

(1.36)

; T /J ~ ^ 3 ,l,- ^ .

Sau khi nhóm SƠ(3)l ® ơ (1)x bị phá vỡ đối xứng thành u (ì) Q, 9 boson
chuẩn w a(a = 1,2, ...,8) và B của s u (3)l và u ( ì) x bị tách thành 4 boson
chuẩn có khối lượng bé và 5 boson chuẩn có khối lượng lớn [ ]. Các boson
chuẩn có khối lượng bé là các boson chuẩn của mô hình chuẩn: photon (A),
Z\ và W ± . 5 boson chuẩn còn lại là các boson chuẩn mới, có khối lượng
lớn đó là boson chuẩn trung hoà z2, các bilepton tích điện đơn Y ± và các
bilepton tích điện đôi x ±±. Các boson chuẩn được biểu diễn dưới dạng tổ
hợp của w a và B như sau:
■J2W+ = W ị - i W ị
'/ ĩr } =
'fixị+

=

w ị-m ị,

( 1-37)


16

Aịi — Sw

+ cw (V s twWp+ \J \ —3

ZM =

cwW ^ - s w (V ĩtv w* + y j l -

z|, = - ^ - ĩtịy v ị +y/ĩty/Bị,.
Trong phần trên, để thuận tiện trong việc trình bày các công thức, ta đã sử
dụng các kí hiệu: Cw —cos Ow,sw —sin 0w và tw —tan Q\y. Các trạng thái
vật lí là các trạng thái trộn giữa z và zr:
Z\ = Zcosộ —z! sinộ,
Z2 = Zsincos0 + Z7COS0.

(1-39)

Ở đây ộ là góc trộn.
Ta thực hiện phá vỡ đối xứng s u (3)L <8>u ( \) x —>• U (\) q và sinh khối
lượng cho fermion bằng cách đưa vào 3 tam tuyến vô hướng của nhóm

SU(3)l là <ĩ>, A, A' và một lục tuyến 7]:
SU (3)c<s>su (3)/,
<<ĩ>>
■

SỈ/(3)c® SƠ(2)L® ơ ( l) r ,

>

<A>,<A’>,<rị>

> SU(3) c ® U(1) q .

(1.40)

Trong đó các đa tuyến vô hướng được biểu diễn như sau:

(1:3,1)

(1.41)

(1,3,0),

(1.42)

( 1 , 3 , —1 ),

( 1.43 )

(1-38)


17

( 1.44)

Lục tuyến TỊ sẽ cho chúng ta khối lượng của lepton mang điện. Giá trị
trung bình chân không <
> = ( 0-0’7 ĩ ) sẽ sinh khối lượng cho các
quark ngoại lai, boson chuẩn trung hoà có khối lượng lớn hơn (Z2) và các
boson chuẩn mang điện mới ( z ± ± ,y ± ). Khối lượng của các boson chuẩn
thông thường và các fermion thông thường liên hệ với giá trị trung bình
chân không của các trường vô hướng như sau:
< A ° > = ^ , < A ' > = ^ , <17° > =Ự= , < tị'° >= 0.
Toán tử điện tích có dạng:

+ XI3

Q—

(1.45)

Để phù hợp với các hiện tượng luận ở thang năng lượng thấp thì thang năng
lượng thu được nhờ phá võ đối xứng s u {3)l <
S>U(ì )x phải lớn hơn rất nhiều
so với giá trị khối lượng trong mô hình điện yếu, nghĩa là u ^ễ>V, v', (0. Khối
lượng của các boson chuẩn là:
mw

,,2\),
ị1g 2/(v2 +, v /2 +, fi>

MỈ

ị g 2(h2 + v2 + C02),

Mị

^g2(H2 + v'2 + 4®2),

(1.46)

và
mị

,2\ = mw
J - (v2 + v'2 + fi)2)

Mị
(1.47)


18

Từ (1.46) suy ra hệ thức tách khối lượng giữa các bilepton:
\ M ị - M ị \ < 3m ị.

( 1.48)

So sánh các hằng số liên kết chuẩn ta thu được hệ thức liên hệ giữa g và gx
- lần lượt là hằng số liên kết tương ứng với su (3)l và u (1)x:
Sx _ 6s^ự (Mz2)
g2 ~ 1 - 4 sị(M z2Ỵ

(1.49)

trong âó e — g sw giống như trong Mô hình chuẩn.
Kết hợp với các điều kiện ràng buộc từ việc tìm kiếm trực tiếp các dòng
trung hoà ta thu được bảng giá trị của góc trộn —1,6.10-2 < ộ < 7.10-4 và
giới hạn dưới đối với Mz2 : Mz2 > 1 , 3 TeV. Trong thực tế có thể bỏ qua góc
trộn bé như vậy. Khi đó Z\ và z2lần lượt chính là boson chuẩn z của Mô
hình chuẩn và boson chuẩn mới z' xuất hiện trong mô hình 3-3-1. Bổ sung
các điều kiện ràng buộc từ các thí nghiệm rã muon, ta thu được giới hạn
dưới đối với khối lượng của Y + là Afy+ > 230 GeV. Bằng cách tính tham số
s và T, người ta thu được giới hạn dưới là 370 GeV đối với Y +. Kết hợp kết
quả này với công thức tách khối lượng (1.48), thu được giới hạn dưới là 340
GeV đối với khối lượng của x++. Từ sự vi phạm tính chẵn lẻ trong nguyên
tử cesium ta có giới hạn dưới đối với khối lượng của của z2 : Mz2 > 1,2
TeV. Quá trình phá vỡ đối xứng dẫn đến kết quả: Khối lượng của các boson
chuẩn mang điện mới y ± , x ±=t bé thua một nửa Mz2, các quá trình rã được
phép z2—¥ x++x
với x ±zfc —¥ 2Z± cung cấp dấu hiệu độc nhất vô nhị
trong các máy gia tốc va chạm tương lai. Việc xem xét các kết quả này
không phủ nhận khả năng các mô hình 3-3-1 đã tự thể hiện ở thang năng
lượng cỡ 1 TeV.

1.2.6. Các mô hình 3-3-1 siêu đối xứng
Siêu đối xứng (supersymmetry - SUSY) là một khái niệm hấp dẫn vì
nó mang lại lời giải cho của vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề phân bậc hay

vấn đề tái chuẩn hóa của lý thuyết hấp dẫn lượng tử.