Bài tập nhị thức niuton có đáp án thầy nguyễn thanh tùng

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

NH TH C NEWTON
ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

17

 1

 4 x3  , x  0
Bài 1. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n c a bi u th c sau: 
3 2
 x

Gi i
17  k

17

17

k

2
3 12
17
17

 
 1
 34 
k 
k  4 
4 3 
3
 x    C17  x   x    C17  x 
Ta có: 
3 2
k 0
 

   k 0
 x

17
34
S h ng không ch a x th a mãn
k
0k 8
12
3

k

34
3

 k  , 0  k  17 

V y s h ng c n tìm c a khai tri n là C178 .
n

28


Bài 2. Trong khai tri n nh th c  x 3 x  x15  .



Hãy tìm s h ng không ph thu c vào x , bi t r ng Cnn  Cnn1  Cnn2  79 .
Gi i:
Xác đ nh n , ta có: Cnn  Cnn1  Cnn2  79  1  n 
12  k

k

12

28
12



 4    28 
Ta có:  x 3 x  x 15    C12k  x 3   x 15 
k 0



  


S h ng không ph thu c x 

n(n  1)
 79  n  12 và n  13 (lo i)
2

12

48

  C12k x15

k

112
5

k 0

48
112
k
 0  k  7.
15
5

V y s h ng c n tìm là: C127  792

40

1 

Bài 3. Tìm h s c a x31 trong khai tri n c a f ( x)   x  2  .
x 

Gi i:
40

40
1 

 1 
Ta có  x  2    C40k x k .  2 
x 

x 
k 0

40  k

40

k
  C40
x 3k 80
k 0

k

v i k th a mãn đi u ki n: 3k  80  31  k  37
H s c a x31 là C40
37
3
V y h s c a x31 là C40
 C40


40.39.38
 40.13.19  9880 .
1.2.3

 1

Bài 4. ( A – 2006). Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Newton c a  4  x7 
x

1
2
n
20
Bi t r ng: C2n1  C2 n1  ...  C2 n1  2  1

n

26

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

Gi i:
T gi thi t suy ra: C20n1  C21n1  C22n1  ...  C2nn1  220

(1)

Vì C2kn1  C22nn11k , k, 0 ≤ k ≤ 2n+1 nên:
1
C20n1  C21n1  C22n1  ...  C2nn1  (C20n1  C21n1  C22n1  ...  C22nn11 )
2
T khai tri n nh th c Newton c a (1+1)2n+1 suy ra:
C20n1  C21n1  C22n1  ...  C22nn11  (1  1)2 n1  22 n1
T (1); (2); (3) suy ra: 22n = 220  n = 10.

(2)
(3)

10

10

10
 1

Ta có :  4  x7    C10k ( x4 )10k ( x7 )k   C10k x11k 40
x

k 0
k 0
26
k
H s c a x là C10 v i k th a mãn : 11k – 40 = 26  k = 6

V y h s c a x26 là C106  210 .
Bài 5. Khai tri n bi u th c (1  2 x) n ta đ

c đa th c có d ng: a0  a1 x  a 2 x2  ...  a n xn

Tìm h s c a x5 , bi t a0  a1  a 2  71 .
Gi i:
S h ng th k  1 trong khai tri n (1  2 x)n là: Tk 1 = Cnk (2)k .xk
T đó ta có: a0  a1  a 2  71  Cn0  2Cn1  4Cn2  71
n  N , n  2
n  N , n  2

 
 2
n=7
n(n  1)
 n  2n  3  0
1  2n  4 2  71

V i n = 7, ta có h s c a x5 trong khai tri n (1 – 2x)n là : a5  C75 (2)5  672 .
n

1

Bài 6. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c  x2  3  .
x 

1
3
Bi t r ng : Cn  Cn  13n (n là s t nhiên l n h n 2, x là s th c khác 0).
Gi i

 n  10
 n  7( L)

k
2 10 k
3 k
S h ng t ng quát c a khai tri n nh th c là: Tk 1  C10 ( x ) ( x )  C10k x205k

Ta có: Cn1  Cn3  13n  n 

n(n  1)(n  2)
 13n  n2 – 3n – 70 = 0 
6

Tk 1 không ch a x  20 – 5k = 0  k = 4
V y s h ng không ch a x là: T5  C104  210 .
Bài 7. Tìm h s không ch a x trong khai tri n khai tri n nh th c Niu – t n:

n 1

n

n

 2 2 
0
2 n
1
2 n 1  2 
n 1
2  2 
n  2 
x 
  Cn  x   Cn  x  
  ...  Cn  x  
  Cn 
 ( n là s nguyên d
x

 x
 x
 x
Bi t r ng trong khai tri n trên t ng h s c a ba s h ng đ u b ng 161.
Gi i
Ta có h s c a s h ng th k trong khai tri n là: Cnk 1.(2)k 1
Suy ra h s c a 3 s h ng đ u l n l

Hocmai – Ngôi tr

ng ).

t là: Cn0 ; 2Cn1 và (2)2 Cn2

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

Do t ng h s ba s h ng đ u b ng 161 nên ta có: Cn0  2Cn1  (2)2 Cn2  161

 1  2n  4

n(n  1)
 161  n2  2n  80  0  n  10 ho c n  8 (lo i)
2

40 5 k
10
10
2   2 2 
2 


2 10  k 
k
k
k
2




x
C
x

C

x
(
2)
V i n  10 , ta có :  x2 



10
 


  10
x 
x

x  k 0
k 0


40  5k
Khi đó h s không ch a x trong khai tri n th a mãn:
0 k 8
2
8
V y h s không ch a x trong khai tri n là: C10
(2)8  11520 .
10

n

k

Bài 8. Tìm các s h ng h u t trong khai tri n Newton c a



243



100

.

Gi i:

Ta có



243



100  k

100

1
100
k  2 
  C100
. 2 
k 0
 

k

k

100
1


k
.  3 4    C100

.(1) k 250.2 2 .3 4


k 0
k

0  k  100
k  ; 0  k  100
0  4n  100
0  n  25


  k  4n


Các s h ng h u t th a mãn:  k
n 
n 
 4 

n 
Suy ra n 0;1;2;3;...;24;25 , khi đó s có 26 giá tr c a k t
Bài 9. Tìm k

ng ng v i 26 s h ng h u t .

k
{0; 1; 2; …; 2005} sao cho C2005
đ t giá tr l n nh t.

Gi i:
k
k 1

C  C2005
k
l n nh t   2005
(k N)
C2005
k
k 1
C
C


2005
 2005
2005!
2005!

 k !(2005  k )!  (k  1)!(2004  k )!
k  1  2005  k

 

2005!
2005!
2006  k  k




 k !(2005  k )! (k  1)!(2006  k )!

k  1002
 
 1002 ≤ k 1003, k N
k  1003
 k = 1002 ho c k = 1003
V y k  1002 ho c k  1003 là các giá tr c n tìm.
Bài 10. (B – 2006) Cho t p A g m n ph n t (n ≥ 4). Bi t r ng s t p con g m 4 ph n t c a A b ng 20
l n s t p con g m 2 ph n t c a A. Tìm k {1; 2; ...; n} sao cho s t p con g m k ph n t c a A là l n
nh t.
Gi i:


S t p con k ph n t c a t p h p A b ng Cnk . T gi thi t suy ra:
Cn4  20Cn2  n2  5n  234  0  n = 18 (vì n ≥ 4)




C18k 1 18  k
> 1  k < 9, nên: C181 < C182 ....  C189  C189 < C1810 ....  C1818
Do k 
C18
k 1
V y s t p con g m k ph n t c a A là l n nh t khi và ch khi k = 9.

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

15

1 2 
Bài 11. Tìm h s l n nh t c a đa th c trong khai tri n nh th c Newton c a:   x  .
3 3 

Gi i:
15 k

15

k

15
1 2 
1
Ta có   x    C15k .  
3 3 

 3
k 0

k
15
2 
k 2
.  x    C15 15 xk
3
 3  k 0
1
G i a k là h s c a xk trong khai tri n : a k  15 C15k .2k
3
Gi s a k là h s l n nh t, khi đó :

15!
 2.15!
1
2






C
C
.2
.2




k
k
k
k
!.(15
)!
(
1)!.(16
)!
a k  a k 1


 k 16  k
 k k



k 1 k 1
15!
2.15!

a k  a k 1

 1  2
C15 .2  C15 .2




15  k k  1
 k !.(15  k)! (k  1)!.(14  k)!
k
15

k

k 1
15

k 1


32  2k  k
29
32
k 
,k th pv i 
, suy ra k  9


k
3
3
k
1;14


k  1  30  2k


C159 .29
.
315

V y h s l n nh t c a đa th c trên là a9 

1
1
1
1
.

 ... 

2!.2015! 4!.2013!
2014!.3! 2016!
Gi i:
2017!
2017!
2017! 2017!
Ta có 2017!.S 

 ... 

2!.2015! 4!.2013!
2014!.3! 2016!
2
4
2014

2016
 C2017
 C2017
 ...  C2017
 C2017

Bài 12. Tính t ng S 

0
2
4
2014
2016
Suy ra 2017!.S  1  C2017
 C2017
 C2017
 ...  C2017
 C2017
0
1
2
3
2016 2016
2017 2017
Xét nh th c: (1  x)2017  C2017
 C2017
x  C2017
x2  C2017
x3  ...  C2017
x  C2017

x
Ch n x  1 , ta đ c:
0
1
2
3
2016
2017
0
2
2016
1
3
2017
(1)
0  C2017
 C2017
 C2017
 C2017
 ...  C2017
 C2017
 C2017
 C2017
 ...  C2017
 C2017
 C2017
 ...  C2017

Ch n x  1 , ta đ

0
1
2
3
2016
2017
c: C2017
 C2017
 C2017
 C2017
 ...  C2017
 C2017
 22017 (2)

T (1) và (2), suy ra 2017!.S  1  C

0
2017

S

C

2
2017

C

4
2017

 ...  C

2014
2017

C

2016
2017

22017

 22016 . Khi đó
2

22016  1
.
2017!

Bài 13. Ch ng minh các đ ng th c sau:
1) Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  (n  1)Cnn1  nCnn  n.2n1

2)

1.2C  2.3.C  3.4.C  ...  (n  1)nC  (n  1)n.2
2
n

3

n

4
n

n
n

n 2

3) Cn1  22 Cn2  32 Cn3  ...  (n  1)2 Cnn1  n2Cnn  n(n  1).2n2

4)

1
1
1
2n1  1
Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnn 
n 1
n 1
2
3
Gi i:
1
2
3
n 1
1) Cn  2Cn  3Cn  ...  (n  1)Cn  nCnn  n.2n1

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : T h p – Xác su t

(n  1)!
n!
k.n(n  1)!

 n.
 nCnk11 .
(n  k)!.k ! (n  k)!.k.(k  1)!
(n  k)!.(k  1)!
k
k 1
V y kCn  nCn1 (*). Áp d ng (*) , ta đ c:
Ta có kCnk  k.

VT  1.Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  (n  1)Cnn1  nCnn  n.Cn01  nCn11  nCn21  ...  nCnn11

 n  Cn01  Cn11  Cn21  ...  Cnn11   n. 1  1

n 1

 n.2n1  VP

(đpcm).
2) 1.2Cn2  2.3.Cn3  3.4.Cn4  ...  (n  1)nCnn  (n  1)n.2n2
Áp d ng liên ti p (*) , ta đ

c: (k  1).kCnk  (k 1)nCnk11  n(k 1)Cnk11  n(n 1)Cnk22

V y (k 1).kCnk  ( n 1) nCnk22 (2*).
Áp d ng (2*), ta đ c:
1.2Cn2  2.3.Cn3  3.4.Cn4  ...  (n  1)nCnn
 (n  1)n.Cn02  (n  1)n.Cn12  (n  1)n.Cn22  ...  (n  1)n.Cnn23  (n  1)n.Cnn22

 (n  1)n.  Cn02  Cn12  Cn22  ...  Cnn23  Cnn22   (n  1)n.(1  1)n2  (n 1)n.2n2 (đpcm).

3) Cn1  22 Cn2  32 Cn3  ...  (n  1)2 Cnn1  n2Cnn  n(n  1).2n2
Áp d ng (*) và (2*) ta đ

c: k 2Cnk  kCnk  k(k  1)Cnk  nCnk11  (n  1)nCnk22 .

V y k 2Cnk  nCnk11  (n  1)nCnk22 (3*)
Áp d ng (3*) ta đ c:
Cn1  22 Cn2  32 Cn3  ...  (n  1)2 Cnn1  n2Cnn  n(n  1).2n2

 n  Cn01  Cn11  Cn21  ...  Cnn11   (n  1)n.  Cn02  Cn12  Cn22  ...  Cnn23  Cnn22 

 n(1  1)n1  (n  1)n.(1  1)n2  n.2n1  (n 1)n.2n2  n(n  1).2n2

(đpcm).

1
1
1
2n1  1
Cnn 
4) Cn0  Cn1  Cn2  ... 
n 1
n 1
2
3
n!
1
1
1
(n  1)!
1
Cách 1: Ta có


Cnk  kCnk 
.
.
.Cnk11 .
k 1
k  1 (n  k)!.k ! n  1 (n  k)!(k  1)! n  1
1
1

V y
.Cnk11 (4*).
Cnk 
k 1
n 1
Áp d ng (4*) v i k  0; n , ta đ c:
1
1
1
1
Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnn 
.  Cn11  Cn21  Cn31  ...  Cnn11 
n 1
n 1
2
3
Cn01  Cn11  Cn21  Cn31  ...  Cnn11   1 2n 1  1



(đpcm).
n 1
n 1
Cách 2: Tham kh o

Hocmai – Ngôi tr

Bài 20 trong Bài gi ng s 7 (BÀI 7. CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ).

ng chung c a h c trò Vi t !!

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 5 -