Kiến thức cơ bản toán 12 có ví dụ minh họa

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Để khảo sát sự biến thiên của hàm số, tức tìm các khoảng hàm số đồng biến hoặc nghịch biến (còn gọi
là tính đơn điệu của hàm số), ta có thể tiến hành như sau :
- Tìm tập xác định D (khoảng, đoạn hay nửa khoảng) của hàm số f.
- Nếu hàm f liên tục và có đạo hàm trên D ta tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để áp dụng :
+ Hàm f đồng biến (hay tăng) trên D ⇔ f’(x) > 0,
+ Hàm f nghịch biến (hay giảm) trên D ⇔ f’(x) ≤ 0,
+ Hàm f không đổi trên D ⇔ f’(x) = 0,

x ∈ D.
x ∈ D. (Dấu = chỉ xảy ra tại những điểm rời rạc).

x ∈ D.

Ta lập bảng biến thiên thể hiện sự xét dấu f'(x) đế biểu diễn tính đơn điệu của hàm số.
Ghi chú:
. Hàm số đồng biến trên D có đồ thị đi lên từ trái sang phải.
. Hàm số nghịch biến trên D có đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
. Hàm số không đổi trên D có đồ thị là đường thẳng vuông góc với trục tung.
Ví dụ:

Xét sự biến thiên của hàm số:
Giải
Hàm số có tập xác định D = R
y' = x2 - 5x + 4

Bảng biến thiên


Vậy hàm số tăng trên hai khoảng (-∞ ; 1), (4 ; +∞) và giảm trên khoảng (1 ; 4)
Áp dụng: Tính đơn điệu của hàm số có thể được áp dụng để chứng minh một số bất đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh sinx < x với mọi x > 0
Giải
Đặt f(x) = sinx - x. Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R.
Đạo hàm f'(x) = cosx - 1 < 0, với mọi x thuộc R.
Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên R nên với x > 0 suy ra f(x) < f(0) hay sinx - x < 0 với mọi x > 0
Do đó sinx < x với mọi x > 0.

Cực trị của hàm số:
Tìm cực trị của hàm số, tức tìm cực đại và cực tiểu của hàm số đó, ta cần hiểu rõ các định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên D ∈ R và x0 ∈ D.
a) x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x 0 để (a ; b) ⊂ D và f(x) < f'(x0),
x ∈ (a ; b)\{x0}. Khi đó f(x0) là giá trị cực đại của hàm số f.
b) x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x 0 để (a ; b) ⊂ D và f(x) > f'(x0),
x ∈ (a ; b)\{x0}. Khi đó f(x0) là giá trị cực tiểu của hàm số f.
♦ Để xác định điểm cực trị của hàm số y = f(x) liên tục trên D ta tiến hành :
- Tìm tập xác định D của hàm số đó.
- Tính và xét dấu đạo hàm f'(x) :


+ Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - khi x qua x0 ∈ D thì f đạt cực đại tại x0
+ Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + khi x qua x0 ∈ D thì f đạt cực tiểu tại x0
Hoặc :
+ Tính f'(x) và f''(x).
+ Giải f'(x) = 0 để tìm các nghiệm xi (i = 1,2 ...) và tìm dấu của f''(x¡).
+ Nếu f''(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
+ Nếu f''(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
Ghi chú:
Với các bài toán về cực trị, một số kiến thức ta cần lưu ý để có thể thích ứng nhanh với yêu cầu của một
số câu hỏi trắc nghiệm :
1. Hàm đa thức y = P(x) đạt cực trị tại các nghiệm đơn của P’(x) = 0.

2. Hàm số

có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0

có hai nghiệm phân biệt.

3. Hàm số

đạt cực trị tại x0 thì giá trị của hàm số tại điểm cực trị x0 là

với P’(x0)

và Q’(x0) lần lượt là đạo hàm của P(x) và Q(x) tại x0.
4. Tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị :
a) Trường hợp hàm số hữu tỉ

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) có

phương trình là
b) Với hàm đa thức y = f(x), để tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị (có toạ độ phức tạp) ta
chia đa thức f(x) cho f'(x) :
y = f(x) = f'(x) Q(x) + R(x) thì tại điểm cực trị M0(x0 ; y0) ta có:
y0 = f'x0)Q(x0) + R(x0) = R(x0) (d0 f'(x0) = 0).
Vậy y = R(x) là phương trình đường nối các điểm cực trị của hàm số y = f(x).


Ví dụ:

Chứng tỏ hàm số

luôn có một cực đại và cực tiểu.
Giải

Hàm số có tập xác định D = R và đạo hàm:

Dấu của y' là dấu của g(x) = -2x2 + 2(1 - m)x + 2 có
Δ' = (1 - m)2 + 4 > 0,

m∈R

nên g(x) luôn có hai lần đổi dấu từ + sang - và từ - sang + hay f(x) luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Kiến thức cơ bản và phương pháp giải
♦ Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập xác định D, ta cần chứng tỏ :
a) f(x) ≤ M,

x∈D;

b) ∃x0 ∈ D để f(x0) = M.
♦ Để chứng minh m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập xác định D, ta cần chứng tỏ :
a) f(x) ≥ m,

x∈D;

b) ∃x0 ∈ D để f(x0) = m.
♦ Phương pháp tổng quát để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập xác định D
là lập bảng biến thiên của hàm số f với đầy đủ các giá trị đặc biệt của y, từ đó ta sẽ suy ra được:
max f(x) ;

min f(x).

D

D

Ghi chú:
1. f(x) là biểu thức lượng giác.
- Ta biến đổi để trong biểu thức chỉ còn chứa y = sin(ax + b) hay y = cos(ax + b)


và áp dụng : -1 ≤ sin( ax + b)≤ 1,

x∈R

-1 ≤ cos( ax + b)≤ 1,

x∈R

Trường hợp f(x) chứa sin(ax + b), cos(ax + b) và ta biến đổi được về dạng: Asin(ax + b) + Bcos(ax + b) =
C thì áp dụng điều kiện phương trình có nghiệm : A2 + B2 ≥ C2.
2. Trường hợp y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], ta tiến hành các bước:
- Tìm các giá trị của x sao cho f'(x) = 0 hay f'(x) không xác định trên đoạn [a ; b], giả sử các giá trị đó là x1,
x2, x3.....
- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm có giá trị x nói trên là f(x1), f(x2), f(x3),.........
- Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút là f(a), f(b).
- So sánh các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3), ta suy ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên đoạn
[a ; b]
3. Nếu trong miền D có f(x) → +∞ thì hàm số không có giá trị lớn nhất trong D. Nếu trong miền D
có f(x) → -∞ thì hàm số khônq có giá trị nhỏ nhất trong D.

4. Nếu hàm số f liên tục và đạt cực trị duy nhất trong khoảng (a ; b) tại x0 thì:
max f(x) = f(x0) nếu cực trị trên là cực đại ;
(a ; b)
min f(x) = f(x0) nếu cực trị trên là cực tiểu.
(a ; b)
Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 1 trên đoạn [- 2 ; 4] lần lượt là
(A) -1 ; -19 ;

(B) 6 ; -26 ;

(C) 4 ; -19 ;

(D)10;-26.
Giải

Hàm số liên tục trên đoạn [-2 ; 4] và có đạo hàm y’ = 3x 2 - 6x - 9.

Giá trị của hàm số tại hai đầu mút: f(-2) = -1 ; f(4) = -19
So sánh các giá trị vừa tính được của hàm số, ta suy ra


max f(x) = 6;

min f(x) = -26

[-2 ; 4]

[-2 ; 4]

II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Để tìm đường tiệm cận của hàm số y = f(x) ta dựa vào tập xác định D để biết số giới hạn phải tìm. Nếu
tập xác định D có đầu mút là khoảng thì phải tìm giới hạn của hàm số khi x tiến đến đầu mút đó.
Ví dụ: D = [a ; b) thì phải tính

thì ta phải tìm ba giới hạn

là

- Để tìm đường tiệm cận ngang ta phải có giới hạn của hàm số ở vô tận:

thì (Δ) : y = y0 là tiệm cận ngang của (C) : y = f(x).
- Để tìm đường tiệm cận đứng thì hàm số phải ra vô tận khi x tiến đến một giá trị x0 :
Nếu

thì (Δ) : x = x0 là đường tiệm cận đứng của (C) : y =

f(x).
- Để tìm đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x), trước hết ta phải có điều kiện
. Sau đó để tìm phương trình đường tiệm cận xiên ta có hai
cách :
+ Phân tích biểu thức y = f(x) thành dạng y = f(x) = ax + b + ε(x)
b
(a ≠ 0) là đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x)
+ Hoặc ta tìm a và b bởi công thức:

Khi đó y = ax + b là phương trình đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x).

thì (Δ) : y = ax +

Ghi chú :
Đường tiệm cận của một số hàm số thông dụng :

- Hàm số

có hai đường tiệm cận đứng và ngang lần lượt có phương

trình

là

- Với hàm số

(không chia hết và a.p ≠ 0), ta chia đa thức để có:

thì hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là:

- Hàm hữu tỉ

(không chia hết) có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu

một bậc.
- Với hàm hữu tỉ, giá trị x0 làm mẫu triệt tiêu nhưng không làm tử triệt tiêu thì x = x0 chính là phương trình
đường tiệm cận đứng.
- Hàm số

có thể viết ở dạng

hàm số sẽ có hai đường tiệm cận xiên:

Ví dụ: Đồ thị hàm số

có các đường tiệm cận với phương trình là kết quả

nào
sau đây?
(A) x = 3, y = 1 ;

(B) x= 3, x = -3, y = 1 ;

(C)x = -3, y = 1 ;

(D) x = 3, y = 2x - 4.


Giải

là phương trình đường tiệm cận ngang.

(nên x = 3 không là tiệm cận đứng).

là phương trình đường tiệm cận đứng

III. ĐIỂM UỐN VÀ TẤM ĐỐI XỨNG CỦA ĐÒ THỊ HÀM SỐ

1. Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) ta thực hiện:
. Tính đạo hàm f'(x) (liên tục trên khoảng (a ; b)).
. Tính đạo hàm cấp hai f'’(x) và áp dụng:
f'’(x) đổi dấu khi x qua x0 ∈ (a ; b) thì I(x0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).
(Tại điểm uốn, f'’(x0) triệt tiêu hoặc không xác định nhưng f'(x0) phải xác định).

2. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số:
. Đồ thị (C) : y = f(x) nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng nếu có điều kiện:
f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D (f là hàm số lẻ).
. Trường hợp (C) : y = f(x) nhận điểm I(x0 ; y0) làm tâm đối xứng thì ta phải dời hệ trục toạ độ cũ xOy về
hệ trục toạ độ mới XIY bằng phép tịnh tiến theo vectơ

, để chứng tỏ biểu thức của hàm số trong hệ trục

toạ độ mới là hàm số lẻ tức nhận gốc I làm tâm đối xứng.
Công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ

(x0 ; y0):


Ghi chú:
Với các bài toán về điểm uốn, ta có thể gặp những yêu cầu sau đây mà học sinh cằn nắm vững phương
pháp giải để giải quyết nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.
1. Chứng minh ba điểm uốn thẳng hàng:
a) Hoặc tìm toạ độ ba điểm uốn A, B, C sau đó chứng tỏ

cùng phương với

.

b) Trường hợp không tính được toạ độ ba điểm uốn, ta có cách giải như sau:
- Áp dụng tính chất f”(x) liên tục và đổi dấu ba lần để chứng tỏ f’'(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt bằng
cách chỉ ra các giá trị a, b, c, d (a < b < c < d) với f(a).f(b) < 0, f(b).f(c) < 0, f(c).f(d) < 0.
- Toạ độ ba điểm uốn phải thoả hệ:

Dùng phương pháp thay thế ta suy ra toạ độ ba điểm uốn sẽ cùng thoả phương trình một đường thẳng.

2. Đối với yêu cầu xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta lưu ý:
- Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị.
tu- - + 6 ax2+bx + c

- Đồ thi các hàm số

có tâm đối xứng là giao điềm của hai đường

tiệm cận.
Ngoài ra với các hàm số khác nếu có tâm dối xứng, ta có thể biến đổi biểu thức y = f(x) và đặt ẩn phụ
sao cho có dạng Y = F(X) là một biểu thức hàm sô lẻ.
Ví dụ 1.

Cho hàm số
a) Xác định toạ độ điểm I là giao của hai đường tiệm cận của (H).


b) Viết công thức đổi hệ trục toạ độ bằng phép tịnh tiến theo

.

c) Viết phương trình của (H) đối với hệ trục mới XIY và suy ra I là tâm đối xứng của (H).
Giải
a,
Suy ra phương trình hai đường tiệm cận của (H) là : x = 1 ; y = 2x - 3. Do đó giao điểm hai đường tiệm
cận là I(1 ; -1).
b) Dời hệ trục cũ xOy đến hệ trục mới XIY bằng phép tịnh tiến theo

c) Thay

= (1 ; -1), ta có công thức đổi trục :

vào phương trình của (H) ta được:

là phương trình của (H) trong hệ trục mới XIY, biểu thức trên cũng là biểu thức hàm số lẻ của Y theo X
nên gốc toạ độ I là tâm đối xứng của đồ thị (H).

IV. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ta thực hiện các bước:
1. Tập xác định : Tìm tập hợp D các giá trị của x làm biểu thức y = f(x) có nghĩa.
2. Tính chẵn, lẻ và tuần hoàn: Ta xét tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số (nếu có), nhằm thu gọn
khoảng khảo sát và xác định các phần tử đối xứng.
3. Giới hạn và đường tiệm cận: Dựa vào tập xác định ta tìm số giới hạn và từ đó suy ra số đường tiệm
cận.
4. Bảng biến thiên: Tính đạo hàm y’ để xét sự biến thiên và xác định các điểm cực trị.


Tính y” để xác định điểm uốn nếu là hàm đa thức.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
5. Điểm đặc biệt: Nhằm mục đích vẽ chính xác đồ thị, ta xác định toạ độ một số điểm đặc biệt như điểm
cực trị, điểm uốn, giao điểm với hai trục toạ độ (nếu toạ độ đơn giản) ...
6. Đồ thị: Để vẽ đồ thị hàm số trước hết ta vẽ các đường tiệm cận, các phần tử đối xứng (nếu có). Tiếp
đó, xác định các điểm đặc biệt và dựa vào bảng biến thiên để vẽ nên đồ thị hàm số.
Ghi chú:
Để vẽ nhanh và không bị sai đồ thị của một số hàm số thông dụng, ta cần biết trước các dạng đồ thị của
các hàm số này như sau :
* Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).

Ví dụ:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải
Tập xác định D = R \ {1}.

Đạo hàm
Giới hạn và đường tiệm cận
là phương trình đường tiệm cận đứng.

là phương trình đường tiệm cận
xiên.
Bảng biến thiên


Điểm đặc biệt :
x = 0, y = -1 (điểm cực đại) ;
x = 2, y = 3 (điểm cực tiểu) ;

Đồ thị

V. CÁC BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I - Giao điểm của hai đồ thị
Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2) : y = g(x).
- Toạ độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ:
- Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x).
Vậy số nghiệm của phương trình trên cũng là số giao điểm của (C1) và (C2).

+ (C1) cắt (C2) tại n điểm khác nhau khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) có n nghiệm phân biệt.
+ (C1) ∩ (C2) = Ø khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm.
* Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Áp dụng tính chất trên để biện luận số nghiệm của một phương trình theo tham số bằng đồ thị, ta biến
đổi phương trình sao cho vế bên trái là biểu thức của một hàm số đã vẽ đồ thị, vế bên phải là hàm hằng
có chứa tham số với đồ thị là đường thẳng nằm ngang.


Dựa vào sự thay đổi của đường thẳng theo tham số, ta tìm sự tương giao của đường thẳng với đồ thị
hàm số và suy ra số nghiệm của phương trình.
II - Đường cong tiếp xúc
- Để chứng minh hai đồ thị (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) tiếp xúc nhau, ta chứng tỏ hoành độ tiếp điểm
của chúng phải thoả hệ phương trình:

Trong trường hợp này, (C1) và (C2) có chung tiếp tuyến tại tiếp điểm.
- Đế chứng minh đường cong (C): y = f(x) tiếp xúc với trục hoành, ta có thể chứng tỏ hoành độ tiếp điểm
thỏa mãn hệ phương trình:

- Để chứng minh parabol (P) : y = ax2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = px + q, ta có thể chứng
tỏ phương trình hoành độ giao điểm ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.
- Với hàm bậc ba ta còn có thể chứng tỏ (C) : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tiếp xúc với trục hoành với điều
kiện f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2) = 0.
III- Họ parabol tiếp xúc với đường thẳng cố định
Với các bài toán về họ parabol tiếp xúc với một đường thẳng cố định, ta có thể gặp các yêu cầu:
1. Chứng tỏ họ parabol (Pm) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
2. Chứng tỏ trong các tiếp tuyến với họ parabol (Pm), có một tiếp tuyến cố định.
3. Chứng tỏ các đường cong trong họ parabol (Pm), luôn tiếp xúc nhau tại 1 điểm cố định.
Các yêu cầu trên đều có chung một trong hai cách giải như sau:
a, Nếu họ (Pm) luôn chạy qua điểm cố định, ta chỉ cần chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến với họ (Pm)
tại điểm cố định là hằng số (đạo hàm tại điểm cố định là hằng số).

b, Trường hợp họ (Pm) không chạy qua điểm cố định, ta gọi tiếp tuyến phải tìm là (d) : y = Ax + B


Parabol (Pm): y = f(x, m) có tiếp tuyến cố định (d) khi và chỉ khi phương trình f(x, m) = Ax + B luôn có
nghiệm kép
Sử dụng điều kiện luôn có nghiệm kép (Δ = 0, ∀m ) dẫn đến việc đồng nhất đa thức và suy ra giá trị của
A, B.
Ghi chú:
Với yêu cầu chứng tỏ họ đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định, ta gọi parabol cố định là
(P) : y = ax2 + bx + c.
Họ đường thẳng (dm) : y = f(x, m) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình f(x, m) = ax2 + bx + c luôn có
nghiệm kép. Bài toán Δ = 0 với mọi m cũng dẫn đến việc đồng nhất đa thức để suy ra các giá trị của a, b,
c.
IV - Phương trình tiếp tuyến với đường cong
Trong các bài toán tiếp tuyến với đường cong, ta có thể gặp các yêu cầu :
1. Tìm điểm trong mặt phẳng toạ độ để từ đó kẻ được một hoặc hai hoặc ba,... tiếp tuyến đến đồ thị (C) :
y = f(x).
2. Tìm các điểm trong mặt phẳng toạ độ để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C) :
y = f(x).
3. Tìm các điểm trên một đường thẳng cho trước để từ đó vẽ được một hoặc hai hoặc ba,... tiếp tuyến
đến đồ thị hàm số y = f(x).
4. Tìm giá trị của tham số m để từ một điểm trong mặt phẳng toạ độ vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) :
y = f(x, m) và chúng vuông góc nhau.
Với các yêu cầu trên, ta có cách giải tổng quát như sau :
Gọi tiếp tuyến (Δ) tại tiếp điểm M0(x0 ; y0) có phương trình: y - y0 = f'(x0)(x - x0).
Tiếp tuyến qua điểm M(xM ; yM) thì : yM - y0 = f'(x0)(xM - x0) là phương trình theo ẩn số duy nhât x0. Tuỳ theo
số nghiệm x0 mà ta có sô tiếp tuyến tương ứng.


Trường hợp có thêm yêu cầu có hai tiếp tuyến vuông góc nhau, ta phải chứng tỏ phương trình trên có hai

nghiệm x’ và x” thoả mãn f'(x’).f'(x”) = -1.
V - Điểm cố định mà họ đồ thị (Cm) đi qua
Để tìm toạ độ điểm cố định mà họ đồ thị (Cm) : y = f(x, m) đi qua, ta phân biệt :
a) Trường hợp biểu thức y = f(x, m) chứa tham số m ở bậc một thì ta biến đổi :
y = f(x, m) ⇔ A(x,y)m + B(x,y) = 0.

(1)

Điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua có tọa độ thoả phương trình (1) với mọi m, tức có toạ độ là nghiệm của
hệ:
b) Trường hợp biểu thức y = f(x, m) chứa tham số m ở bậc lớn hơn 1, ta biến đổi và sắp xếp biểu thức ở
dạng đa thức theo m có bậc nhỏ dần. Chẳng hạn m có bậc 2 :
y = f(x, m) ⇔ A(x,y)m2 + B(x,y)m + C(x,y) = 0.

(2)

Tọa độ điểm cố định mà (Cm) : y = f(x, m) luôn đi qua khi m thay đổi là nghiệm của hệ:

VI - Quỹ tích một điểm
Để tìm quỹ tích điểm M(x ; y), ta tiến hành các bước :
- Tìm tọa độ của M theo tham số m:

- Khử m để tìm một hệ thức liên hệ giữa X và y (không còn m) thì đó là phương trình của quỹ tích.
- Giới hạn quỹ tích: Do điều kiện của tham số để có điểm M, sự giới hạn của m cho ta giới hạn của
x hoặc y suy ra giới hạn của quỹ tích.
Trường hợp đặc biệt, toạ độ điểm M có dạng :


Biểu thức x hoặc y là hằng số thì đó là phương trình của quỹ tích, biểu thức còn lại phụ thuộc tham số m
cho ta giới hạn của quỹ tích.

Ví dụ:

Cho (H) :

và điểm A(0 ; 1). (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc m. Tìm các giá

trị của m để :
a) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của (H) ;
b) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Giải
a) Đường thẳng (d) qua A(0 ; 1) với hệ số góc m có phương trình y = mx + 1.
Hoành độ giao điểm của (d) với (H) là nghiệm của phương trình

Đồ thị (H) có đường tiệm cận đứng (Δ) : x = -2 phân cách hai nhánh của (H). Do đó để (d) cắt (H) tại hai
nhánh khác nhau thì (1) phải có hai nghiệm x1, x2 thoả x1 < -2 < x2, tức là
(m - 1)g(-2) < 0 (với g(x) = (m - 1)x2 + 2mx + 1)
⇔ (m - 1)[4(m - 1) - 4m + 1] < 0
⇔ (m - 1)(-3) < 0 ⇔ m > 1.
Vậy với m > 1 thì đường thẳng (d) cắt (H) tại hai nhánh khác nhau của nó.
b) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm x 1,
x2 sao cho -2 ∈ [x1, x2], tức là:


Vậy với m < 1 thì đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).


VI. PHÉP TOÁN LŨY THỪA
Với các bài toán về lũy thừa, thông thường là tính giá trị của một biểu thức, ta cần nắm vững các kiến
thức
quan trọng sau đây :

- Với n nguyên dương và ∀a ∈ R thì:

- Các tính chất của lũy thừa:

Lưu ý :
a) Nếu m, n nguyên dương thì chỉ cần a, b ≠ 0. Tính chất trên vẫn được áp dụng cho trường hợp tổng
quát khi m, n là số thực với a, b dương.
b) Với các bài toán về luỹ thừa, gặp các số hạng chứa căn thức ta có thể đổi về dạng lũy thừa để được
đơn giản trong tính toán.
- Cho m, n là những số nguyên :
Với a > 1 thì am > an ⇔ m > n
Với 0 < a < 1 thì am > an ⇔ m < n
Với 0 < a < b thì:

am < bm ⇔ m > 0
am > bm ⇔ m < 0


Với a, b dương thì an = bn ⇔ a = b.
- Công thức lãi kép
Gọi C0 là tiền vốn ban đầu gửi tiết kiệm ngân hàng, i là lãi suất kì hạn gửi, mỗi kì hạn tiền lãi thay vì được
rút ra thì người gửi tiếp tục gửi cả vốn lẫn lãi cho lần kế tiếp, nếu người gửi thực hiện tất cả n kì liên tiếp
như trên thì số tiền C nhận được sau n kì gửi được tính bởi công thức lãi kép:
C = C0(1 + i)n
Ví dụ: Gía trị của biểu thức
A. 9

B. -9

là?

C. 10

D. -10

Giải
Ta dùng phép tính lũy thừa để rút gọn từng số hạng ở tử và mẫu để đơn giản và cho kết quả.

VII. PHÉP TOÁN LOGARIT

- Cho a dương và a khác 1, b dương và số thực α thì :

Lưu ý :
Nếu a = 10 thì log10b = lgb là lôgarit thập phân của b.

thì logeb = lnb là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit nê-pe) của b.
- Các tính chất của lôgarit :


+ Để tính giá trị của biểu thức lôgarit hay chứng minh một đẳng thức lôgarit, ta cần nắm vững các tính
chất sau đây về lôgarit
Với a dương, a khác 1 và các số dương b, c ta có:

+ Ngoài ra ta cần lưu ý :
Nếu a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c và logab > 0 ⇔ b > 1.
Nếu 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c và logab > 0 ⇔ b < 1.
- Từ các định nghĩa và tính chất trên, ta suy ra phương pháp giải:
* Để tính giá trị của logaN, ta có thể biến đổi N thành luỹ thừa của cơ số a và áp dụng tính chất :

* Để tìm cơ số x biết logxA = B, ta áp dụng logxA = B ⇔ A = xB
Ví dụ: Cho 2 số dương a, b thỏa mãn a2 + b2 = 7ab. Chứng minh rằng:

Giải
Ta có: a2 + b2 = 7ab ⇔ a2 + b2 + 2ab = 9ab


VIII. ÀM SỐ LOGARIT
I - Hàm số mũ:

y = ax (a > 0 và a ≠ 1)

* Tập xác định D = R, y = ax > 0, ∀x ∈ R.
* Hàm số đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
* Đồ thị qua điểm (0 ; 1), nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

* Đạo hàm :
• y = ax có y’ = ax lna
• y = ex có y’ = ex
• Với u(x) là hàm sô theo X có đạo hàm là u’(x) thì:
y = au có y' = au .u' .lna ;
II- Hàm số loogarit:

y = eu có y' = eu .u' .
y = logax (0 < a, a ≠ 1)

* Tập xác định D = (0 ; +∞ ), y = logax nhận mọi giá trị trong R.


* Hàm số đồng biến trên R khi a > 1 và nghịch biến trên R khi 0 < a ≠ 1.
* Đồ thị qua điểm (1 ; 0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Ghi chú:
Hàm số lũy thừa y = xα có tập xác định cũng như dạng đồ thị tùy thuộc vào a.
Đạo hàm y’ = αxα - 1, ∀x > 0 (α ∈ R).
Nếu u(x) có đạo hàm u’(x) và u(x) > 0 trên D thì y = u α có đạo hàm y’ = αuα - 1u’.
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x-3.
Giải
Tập xác định D = R \ {0}.
Đạo hàm:
Giới hạn và đường tiệm cận:

Bảng biến thiên: