- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Luận văn tốt nghiệp vật lý hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.5 MB, 127 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
ĐỀ TÀI:
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Võ Mạnh Hùng
Thaønh Phoá Hoà Chí Minh 2008
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động
viên, giúp đở của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.
Xin cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn đến:
TS. Nguyễn Văn Hoa, người thầy đã định hướng, tận tình chỉ bảo và tạo cho em
lòng tự tin trong thời gian thực hiện luận văn. Người thầy đã truyền cho em sự say mê
trong nghiên cứu khoa học, trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt em thực hiện những bước đi
đúng đắn trong tiến trình làm luận văn.
Quý thầy, cô trong khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Tp. HCM đã truyền đạt
cho em những kiến thức, kỹ năng và phương pháp sư phạm tạo nền tảng cho tương lai
nghề nghiệp. Đặc biệt TS. Thái Khắc Định trưởng khoa Vật Lý, đã tạo nhiều điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn.
Các bạn lớp lý K30, đặc biệt là bạn Đỗ Thùy Linh đã luôn sát cánh, động viên và
giúp đỡ mình trong những giai đoạn khó khăn nhất của việc thực hiện luận văn.
Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến ba mẹ và gia đình đã luôn ủng hộ, tạo mọi điều
kiện tốt nhất cho con hoàn thành luận văn.
Tp. HCM: Ngày 10 tháng 05 năm 2008.
Võ Mạnh Hùng
PHẦN MỞ ĐẦU:
1. Lý do chọn đề tài:
Một hệ lượng được đặc trưng bởi Halmitonien H . Đòi hỏi xác định hàm riêng
và trị riêng của toán tử Hamilton H đó. Thực ra bài toán tìm trị riêng và hàm
riêng của một toán tử là vô cùng phức tạp và có thể giải chính xác với một số
trường hợp rất đơn giản như “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử
Hidro” hoặc các “ion tượng tự hidro”…
Nhưng bên cạnh đó, cơ học lượng tử còn có rất nhiều những hệ lượng tử
phức tạp mà ta không thể giải chính xác một cách hoàn toàn. Chính vì vậy,
phương pháp gần đúng được đưa vào sử dụng nhằm giải quyết vấn đề trên.
Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới
hạn chương trình hai phương pháp gần đúng được sử dụng phổ biến và áp dụng
nhiều cho nhiều dạng bài toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và
phương pháp biến phân.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
Luận văn nghiên cứu hai phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử:
Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân. Mỗi
phương pháp bao gồm một hệ thống bài tập được phân loại, sắp xếp theo mức độ
và giải một cách chi tiết.
Phương pháp nghiên cứu: Phân tích nội dung chương trình (lý thuyết nhiễu
loạn và phương pháp biến phân); Thực hành giải bài tập và phân loại bài tập.
3. Cấu trúc luận văn:
Phần mở đầu:
Chương I: Cơ sở lý thuyết.
Chương II: Hệ thống bài tập.
Kết luận_Hướng phát triển.
Chương I. CƠ SỞ LÝ
THUYẾT
[2],[8]
I.1. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN
I.1.1. Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng.
Hamiltonien:
H
H0 V
Với:
H0 : Toán tử Hamilton khi không có nhiễu loạn.
V : Toán tử nhiễu loạn.
Phương trình Schrodinger:
HE
: Khi nhiễu loạn.
H 0 n(0) En(0) n(0) : Khi không nhiễu loạn.
(0)
n
Khai triển: ( x) theo
( x)C n
(1)
(2)
( x)
n
(0)
(3)
( x)
n
Thay (3) vào (1):
H Cn
n
(0)
(x) E Cn
n
(0)
( x)
(4)
n
n
(0)*
Nhân vào bên trái của (4) với
HH C
mn
( x) và lấy tích phân theo x:
n
EC
n
(5)
m
n
0
Trong đó Hmn là phần tử ma trận trận của toán tử H trong “ E ”_biểu diễn.
H mnm0* H
0*
m
H
mn
E0
m
dxm0* H 0 V
H0
mn
n
0
m
V
0
dxm0* V
0
m
m
0
dx
dx En0
Vmn
mn
(6)
mn
0
Trong đó Vmn là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn trong “ E ” biểu diễn.
Vmn
m
0*
V
m
0
dx
(7)
Thay (6) vào (5) ta được:
En0
H
mn
Vmn C n ECm
n
0
E
m
V
mn
EC
V
m
mn
C
n
0
(8)
m n
Để biểu thị độ nhỏ của V ta đặt:
Vw
là một tham số đặc trưng cho độ nhỏ của năng lượng nhiễu loạn.
(9)
[2],[8]: Tài liệu tham khảo số 2, số 8
Thay (9) vào (8):
Ew
m
EC
mn
VC
m
mn
0
(10)
n
0
m n
Phương trình (10) chính là phương trình tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng.
I.1.2. Nhiễu loạn khi không có suy biến.
Từ công thức (10) ta khai triển Cm và E dưới dạng chuổi:
C m C m(0)
(0)
Các số hạng C m , C m
C m(1)
2
Cm(2) ...
(11)
...
EE (0)
E (1)2 E(2)
(0)
(1)
...; E , E ... tương ứng với các bổ chính của hàm sóng và và
(1)
năng lượng trong gần đúng bậc 1, bậc 2…
Thay (11) vào (10) và tập hợp các số hạng cùng bậc của lũy thừa , ta có:
0
E
0
E
(0)
C
m
wmn
m
(1)
E
(0)
C
0
E
m
E
0
(1)
C
m
m
(0)
w
mn
C
n
m n
(1)(1)
E
2
w
C
mn
(2)
E
(0)
0
E
m
Cm
m
E
0
(2)
C
(1)
w
m
(12)
C
mn n
m n
3
(1) (2)
wmn
C
E
(3)
E
(0)
C
m
(2)
E
(1)
0
Cm
m
0
(3)
(1)
... 0
C w
C
m mn n
Em E
m n
Phép gần đúng bậc không:
Với
0 , phương trình (12):
0
0
E
E
m
E0
(0)
C
E0
m
0,
m = 1,2,3,..k,...
m
, C(0)
(13)
mk
m
Ta quan tâm đến mức năng lượng Ek0 và hàm sóng
E 0 E0 ,
C(0)
k
k
0
1
(14)
k
Nghiệm (14) được gọi là nghiệm gần đúng bậc không. (không nhiễu loạn)
Phép gần đúng bậc nhất:
Thay (13) vào (12) và bỏ qua các số hạng có chứa bậc cao hơn
w
mn
E
mk
k
(1)
E
m
E
C w
m mn nk
0
0
0(1)
2
:
(15)
m n
Lấy phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bổ chính bậc
nhất cho năng lượng:
w kk
(1)
E (1) 0 E
k
w
kk
k
V k:
(16)
k
Lấy phương trình thứ m k trong các phương trình (15) ta sẽ tìm được số hạng bổ
chính bậc nhất đối với hàm sóng.
0(1)
0
E
E
m
C
w mk
0
m
Từ đây ta tìm được bổ chính bậc nhất cho hàm sóng:
w
C(1)
mk
0
E
m
(17)
E0
k
m
Phép gần đúng bậc 2:
Thay (16) và (17) vào phương trình (12) và bỏ qua các số hạng chứa bậc
w
0
nk
2
wmn
wkk
(0) E
nk
Ek
nk
Em
E
E
m
C
w
m
trở lên:
w
0(2)
(2)
(0)
3
(0)
mn
(18)
0
(0)
Ek
m n
n k
Em
Lấy phương trình thứ m = k trong (18):
w nk
Ek(2)w kn
0
(0)
(0)
Ek
n k
En
Ta tìm được bổ chính bậc 2 cho năng lượng:
w w
(2)
kn
Ek
(0)
Ek
n k
nk
(19)
0
E n(0)
Lấy phương trình m k trong (18) và thế giá trị của E(2) vào:
k
w
w mn w kk
(2)
(0)
Em
k
w
Bây giờ ta gộp số hạng
mm
(0)
w
mk
(0)
Em
0
E
k
Em
E
(2)
C
E
m
nk
E
mn
n k
(0)
En
k
0
nk
mn
m
E
n
n k
m
0
E
w
(2)
C
w kk
m
(0)
(0)
Em
k
0
m
E E
(2)
Cm
(0)
Ek Em
Em
Ek
(0)
0
k
E
w w
kk
0
Ek
(0)
Em
(0)
(0)
k E
w
w
m
w
(0)
nk
mn
n
n k
(0)
nk
mn
(0)
n
n k
(0)
Ek Em
n
n k
nk
w kk
nk
mn
w
1
0
0
(20)
(22)
0
w
w
nk
1
(2)
Cm
(0)
En
(21)
(0)
Từ đây suy ra Cm(2) :
E
k
w
w
nk
(0)
E
0
w
mn
(0)
Ek
Phương trình (20) trở thành:
0
w
(0)
(0)
m
mm
Em
nk
mn
m
vào trong tổng, khi đó:
mk
w w
(0)
k
C
E
m
w
w
m n
n k
nk
w kk
(2)
E(0)
k
E
E
nk
w
w
mn
E
(0)
E (0)
n
n k
0
nk
E
w
0
Ek
E
(0)
k
w
nk
(0)
Em
Từ đây ta tìm được số hạng bổ chính bậc hai cho hàm sóng:
E
1
Em E
0
(0)
m
0
2
w w
Cm
kk
(2)
00
nk
w
nk
Em0 Ek0
mn
Ek
w
0
; m k, n k
0
(23)
1
nk
En
E k Em
n
Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được bổ chính bậc ba và các bậc cao hơn.
I.1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.
Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với
một mức năng lượng có nhiều trạng thái.
Phương trình (3) được đặt lại:
( x)
Cn
n
(0)
( x)
n,
Phương trình (8) được viết lại:
(24)
0
E V
m
EC V
m,n
m
C0
m,n
n
mn
Trong đó:
Vm
,n
m
0*
V
0
n
(25)
dx
Là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn.
Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k.
0
C
k
Ck
C
0
( 0),1,2,..., f
(n k)
(26)
n
Thay (22) vào (20) và lấy phương trình thứ m = k.
0
(0)
E
k
V
EC
k ,k
E
k
0
k
(0)
0
0
V C
0
fk
0
(27)
V C
V EC
Phương trình (23) tương đương với một hệ phương trình bâc nhất đối với
Ek0
V21C10
V11 E C10 V12 C 2(0) ... V1 fk
0
Ek0 V22 E C 2(0) ... V2 fk
0
C(0) :
..
(28)
V f k 1C10 V f k 2 C 2(0)
...
Ek0
Vfkfk
Hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường khi:
E C(0)fk
0
Ek0 V11 E
V12 ........
V
V
Ek0
V
V11
E .....
1 fk
k
2f
21
.
.
.
.
.......
V
fk 1
.
.
0
Ek0 V11
(29)
E
Đây là một phương trình đại số bậc k đối với E. Người ta thường gọi là phương trình
thế kỉ. giải phương trình này ta tìm ra các nghiệm:
E
Ek 1 , Ek 2 , Ek 3 ,...E ,... Ekfk .
Với các giá trị của E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm được các nghiệm
Ck
Nhận xét.
Khi có nhiễu loạn thì mức năng lượng suy biến Ek0 được tách thành fk mức sát
nhau. Suy biến bị khử hoàn toàn. Nếu có các nghiệm trong (29) trùng nhau thì suy biến
bị khử mất một phần.
Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới
hạn xét đến nghiệm gần đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm
sóng.
I.1.4. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.
Toán tử Halmiton:
H
H 0 W ( x , t)
Với:
H 0 : Toán tử Hamilton khi không nhiễu loạn.
W ( x , t) : Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời
gian.
Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:
i
( x , t) H 0
t
(30)
W ( x , t ) ( x.t )
(31)
Khi không nhiễu loạn:
i
( x , t)
t
H
0
0
( x.t )
Nghiệm riêng của (31) có dạng:
0
E t
1
(0)
(x,t)
1
(0)
( x )e
i 1
E 0t
2
(0)
(x,t)
2
(0)
( x )e
i 2
.................................
0
E t
n
(0)
(x,t)
n
(0)
( x )e
i n
Nghiệm của (31) là sự tổ hợp của các nghiệm riêng:
(0)
(0)
( x , t )C n
(0)
( x , t )C n
n
n
(0)
( x )e i
(0)
n
E ( 0 )t
1
(32)
n
Ta tìm nghiệm của (31) dưới dạng:
( x, t )
C n (t )
(0)
n
(33)
( x , t)
n
Tìm C n (t ) :
Thay (33) vào (30):
i
C n (t )
t
n
(0)
( x , t ) H 0 W ( x , t ) C n (t )
n
n
(0)
( x , t)
n
(0)
in ( x , t )
(0)
C n (t )C n (t )i
n
C n (t ) H 0
(0)
n
t
(x,t)
n
t
n
C n (t )W ( x , t )
n
( x , t)
(0)
n
(34)
( x , t)
n
Từ (34) và (31) ta thu được phương trình sau:
in(0) ( x , t )
C n (t )C n (t )W ( x , t )
t
n
Nhân vào 2 vế của (35) với
i
dCm
dt
Wmn e i
(0)*
m
n
(0)
( x , t)
(35)
n
và lấy tích phân theo x, ta được:
W(x,t) n ei
mnt
C n (t )m
n
mnt
C n (t )
(36)
n
Trong đó:
Wmn x , tm(0)* W ( x , t ) m(0) ( x ) dxmn e i
mnt
W(x,t) n
C n (t ) m
(37)
n
0
Là phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn trong “E ” biễu diễn và:
mn
m
(38)
E (0) E(0)
n
Gọi là sự chuyển dời lượng tử.
Phép gần đúng bậc không:
Giả sử khi t = 0, W ( x , t) =0: khi đó phương trình (37) trở thành:
i
dC
m
(t )
0
0
C
(t ) const
m0
dt
Chọn hàm sóng ở trạng thái dừng thứ
k
(0)
k
( x ).e
i E ( 0 ) .t
n
là hàm sóng của bài toán không
nhiễu loạn.
Do đó:
(0)
C n (0) n
(0) (0)
k
(x,t)
1,
Cn (0)
n
(0)
( x , t)
n
n
C m (t )
C m (t )
mk
m
0, m
k
k
(39)
Phép gần đúng bậc nhất:
Đặt nghiệm (39) vào phương trình (36):
dC (1) (t )
dC (1) (t )
m
i
i m Wmn e i t nk
wmk ei
mk
t
mn
dt
dt
n
C m(1) ( )
m W(x,t)
0
i t
(40)
(1)
n e dtCm (0)
mk
Vì các hệ số C (0) không phụ thuộc thời gian và luôn bằng
nên C(1)
mk
0
m
m
Nghiệm gần đúng bậc nhất:
C m(1) ( ) m W ( x , t ) n e i t dt
mk
0
Phép gần đúng bậc 2:
Nghiệm gần đúng chính xác đến bậc 1:
C n (t )
nk
C n(1) (t )
Thay giá trị của Cn(t) vào phương trình (36):
i dC m(1) (t) m
m
(2)
i dC m (t )
dt
W(x,t)
dt
W(x,t)
ne
i
t
m
W(x,t)
mn
ne
i
mn
t
(1)
C n (t)
n
ne
i
mk
t
1m
i
W(x,t)
ne
i
mn
n
tt
n W k C n(1) (t )
(41)
0
Giải phương trình (41) ta được:
(2)
Cm
i
1
(t )
i
m W(x,t) ne
t
i
1
dt
mk
0
m W(x,t) ne
2
i
n
t
mn
t
n
i
W ke
t
mk
dt
0
Và cứ theo quy trình này, ta có thể tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc
bốn..vv. Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chỉ cần quan tâm đến
nghiệm gần đúng bậc nhất.
I.1.5: Xác suất chuyển dời lượng tử.
Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không cần quan tâm đến
năng lượng và trạng thái ở mức m = k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất dời chuyển dời
giữa 2 trạng thái.
Kí hiệu xác suất dời chuyển từ trạng thái k
2
Pmk ( )
(1)
Cm ()
1
2
m là Pmk:
2
0
m W ( x , t ) k dt
(42)
I.2. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN.
Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bài toán
cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp
biến phân.
Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung
bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử.
Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “hàm thử” chứa một số
thông số chưa biết nào đó. Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta
xác định được các thông số. Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của
hệ.
Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử theo các vector riêng
toán tử Halmitonian H :
Cn
n
của
(43)
n
n
Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dạng:
H
2
H
C n En
(44)
n
Cn
2
n
Gọi E0 là năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có:
2
E
C E
n
0
Cn
0
2
H
(45)
n
n
Nếu chọn vector trạng thái là một hàm của các thông số chưa biết nào đó 1 ,
2
,…, sao cho trùng với vector trạng thái cơ bản của hệ.
(1,
2
,...)
Và thực hiện cực tiểu hóa năng lượng trung bình:
H
0
i
Cho phép xác định được các thông số i . Bằng cách đó ta sẽ tính được giá trị của
năng lượng:
E
( 01 ,
02
( 01 ,
,..) H
02
,..)
( 01 ,
( 01 ,
02
02
,..)
,..)
Gần với giá trị năng lượng trạng thái cơ bản E0 của hệ.
Chương II. LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TẬP
II.1. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỄ NHIỄU LOẠN ĐỐI VỚI HẠT TRONG HỐ THẾ
Bài 1.
Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn có bề rộng a. Hãy tính các bổ chính bậc 1 và
bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn.
a. V ( x ) V0 a 2x a
a
V , b
b. V (x)
0
0 , 0 < x < b, a - b < x < a
c. V ( x ) V cos2 x
0
a
Lời giải.
Áp dụng kết quả của bài toán hạt trong hố thế sâu vô hạn có bề rộng a:
Hàm sóng:
2 sin n x
n
a
n2
Năng lượng: E
Câu a. V ( x )
V0
(1.1)
a
2 2
, n = 1, 2, 3, …..
2
n
2ma
a 2x a
U (x)
2
U (x)
V0
0
a/2
U (x)
a
x
Hình 1. Hàm thế năng
* Bổ chính bậc 1:
(1)
E
a
2V0
2nx a
2 0 sin
a
a
n |V |n
2x a
dx =V0
1
2
1 ( 1)n
2
2
n
(1.2)
* Bổ chính bậc 2:
E
(2)
n
2
k V n
k n
E
(0)
n
n
k | V |n 4V0 2kn 1 ( 1)
E
2
(0)
k
2
2
sin
k n
2 sin
2
2
( n)
k
22
kn
kn
22kncos 2 cos 2
(1.3)
n k
( 1)
(2)
E
128ma 2V 2
2
2
kn 1
2
n
k sin n 2 kncos
k
sin
2
0
3
n
2
k
k cos
2
n
2
2
(1.4)
23
n
U ( x)
U (x)
V0
U (x)
V , b
0
0 , 0 < x < b, a - b < x < a
0 b
a-b a
Hình 2. Hàm thế năng
* Bổ chính bậc 1:
E (1)
2V a b
nx
0 sin
b
n | V |n
2
V
dx
a
a
0a
a
2 nb
2b
(1.5)
sin
a
x
n
a
* Bổ chính bậc 2:
E
(2)
n
k | V |n
2V a b
2
sin(
0
2V
a
nk
E
n
(0)
k
nk
sin nb cos kb
a
a
(n2 k2 )
n k
1( 1)
n
(0)
sin kb cos nb k( 1)
a
a
n 1 ( 1)
a
E (2)
E
a
0
=
k n
k x )sin( n x )dx
b
a
2
k V n
n
kb cos
sin
nb k ( 1)
a
8mV
n k
sin nb cos kb
a
a
2
0
n
k
(1.6)
2
a
(1.7)
22
U (x)
V cos2
Câu c. V ( x )
0
x
U (x)
a
U ( x)
V0
0
a/2
a
x
a
* Bổ chính bậc 1:
E (1)
n | V |n
2V
sin 2
0
a
Hình 3. Hàm thế năng
0
nx
a
cos2
x
a
dx
V
0
2
(1.8)
* Bổ chính bậc 2:
(2)
E
2
k V n
(0)
n
k n
(0)
EE
n
k
V0
k |V |n
E
2V
a
a sin
a
.cos
2
0
EE
kx
a
.sin
4
nx
( n k ) (1.9)
dx =
a
0
2
k V n
(2)
n
kx
0
(0)
n
k n k 2
ma 2V 2
2 2
0
8 4k 4
EE
(0)
(0)
n
k
ma 2V 2
; n k 2
2
k V n
0)
(
; n k 2
n k 2
ma 2V 2
2 2
0
8 4k 4
(1.10)
0
16 1 k
Phân tích.
1. Nhận xét.
Bài toán nhằm mục đích tính toán, kiểm tra lại các công thức đã học về bổ
chính năng lượng bậc 1, bậc 2.
2. Kiến thức.
Để làm được bài toàn này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết
về hạt trong hố thế sâu vô hạn, các công thức về năng lượng và hàm sóng (1).
Cách tính các tích phân từng phần, công thức hạ bậc, hàm sin, hàm cosin. Công
thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2 trong lý thuyết nhiễu loạn.
3. Phương pháp_kỹ năng giải toán.
Áp dụng các công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2.
Thực tế các tích phân (1.3), (1.6), (1.9) là những tích phân khó, cần tính
một cách tỉ mỉ hoặc có thể dùng một số phần mềm tính toán như mathemmatical,
maple…ở đây tôi dùng maple. (phần phụ lục)
4. Kết luận.
Bài toán này tương đối dễ về mặt kiến thức nhưng hơi dài dòng về mặt
tính toán, thường được giảng dạy ở đại học như một ví dụ để cho sinh viên biết
áp dụng các công thức bổ chính năng lượng.
Bài 2.
Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:
0 x 0, L , y 0, L
x 0, L , y 0, L
V0 (x , y)
Giả sử nhiễu loạn:
x 0, L , y 0, L
x
V (x)
0
x 0, L , y 0, L
a. Hãy xác định hàm sóng bậc không và năng lượng cho trạng thái cơ bản và
trạng thái kích thích thứ nhất tính đến bậc một theo lý thuyết nhiễu loạn.
b. Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn. Nhận xét sơ đồ.
Lời giải.
Câu a.
Hàm Halmiton:
H H 0 V H 0 x V (x ) H 0 y H x H y
(2.1)
Phương trình Schrodinger:
HE
(2.2)
Phương pháp tách biến:
H x Ex : Nhiễu loạn một chiều không suy biến. H y
(2.3)
Ey : Không nhiễu loạn.
2 sin n1 x sin n2 y
Hàm sóng: (x , y)
L
2
2
Năng lượng: E (n1 n2 ) 2
2mL2
Trạng thái cơ bản: n1 n2
L
n , n 1,2,3...
L
2
1 2
11
22
(1)
11| V |11
E11
L
2
x sin
0
L
(2.5)
1: Không suy biến. f = 1.
Năng lượng:
Năng lượng khi chưa có nhiễu loạn: E0
Bổ chính bậc 1:
(2.4)
2 2
.
(2.6)
L2 m
L
y
x
dx sin 2
L 0
L
dy
L
2
(2.7)
Năng lượng ở trạng thái cơ bản:
E (1)
11
E (0) E
11
2 2
(1)
11
mL
2
L
2
Hàm sóng:
(x , y)
2
x
y
L sin L sin L
(2.8)
Trạng thái kích thích thứ nhất:
n1 1, n2 2
( x , y ) 12 ( x , y ) 1 ( x )
(0)
1
(0)
2
n1
2, n2
(x,y)
2 sin( x
( y)
( x ) 1 ( y) 2 sin(
2
(2.9)
) sin( 2 y )
L
L
L
1.
(x,y)
21
2
2 x
L
) sin( y )
L
(2.10)
L
Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:
(0)
E
(0)
E21
12
2 2
5
(2.11)
2
2m L
Mức năng lượng này có bậc suy biến bằng 2.
*Xét nhiễu loạn suy biến:
Phương trình thế kỉ:
V E (1)
11
V
V
12
21
L
4
12 |V |12
x sin
2
V12
L
4
12 |V | 21
2
x
0
L
x sin x
2
L
12
L
dx
L 0
sin
sin2 2 y dy = L V22
2x
L
0
(2.12)
0
22
Với:
V11
12
V E(1)
2
L
y
dx L sin
L
sin
L
0
2 y
dy = 0
L
Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (2.12) ta sẽ tìm
được bổ chính năng lượng nhiễu loạn bậc 1:
E
L2
0
E(1)
L
(1)
12
12
2
(2.13)
2
Năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất:
E (1) E (1) E (0)
12
21
12
E(1)
12
5
2 2
2mL2
* Hàm sóng bậc không:
(0)
C1 1(0) C2 2(0)
C1, C2 thỏa:
C VC 0
VE (1)
V11 E12(1) C2
V21C1
0
11
12
Điều kiện chuẩn hóa: C12 C22 1
112 2
L
2
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Từ (2.13), (2.16) và (2.17):
C1
C
2
(0)
0
1
2 sin 2 x sin y
L
L
L
(2.20)
C1
C
(0)
1
0
2 sin x sin 2 y
L
L
L
2
Câu b. Vẽ giản đồ năng lượng:
Trạng thái cơ bản:
V
0
V
0
L
2
f=1
Hình 4. Dịch mức năng lượng trạng thái cơ bản
Trạng thái kích thích thứ nhất:
V
0
V
0
L
2
f=2
Hình 5. Dịch mức năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất
Nhận xét: hình 4, hình 5 cho thấy rằng mức năng lượng ở cả hai trạng
thái, trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất bị dịch lên một khoảng
L
khi có nhiễu loạn nhưng không làm tách mức năng lượng. Chính vì vậy
2
trong trường hợp này không khử suy biến.
Bài 3.
Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:
0 x 0, L , y 0, L
V0 (x , y)
Giả sử nhiễu loạn:
x 0, L , y 0, L
x 0, L , y 0, L
xy
V (x , y)
x 0, L , y 0, L
0
a. Hãy xác định hàm sóng trạng thái dừng ở gần đúng bậc không và năng
lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản và trạng thái
kích thích thứ nhất.
b. Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn. Hãy chỉ rõ trạng
thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên hệ với nhau như thế nào.
Lời giải.
Câu a.
Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng:
H 0( x , y ) E
(x,y)
(
2m x
2
2
2
y
)( x , y ) E
2
( x , y)
(3.1)
Dùng phương pháp tách biến:
X ( x ).Y ( y)
(3.2)
2 sin( n1 x ) ; E n12 2 2
1
L
2mL2
L
n y ; E 2 n2 2 2 2
2
sin( 2 )
L
2mL2
L
(3.3)
( x, y )
Ta thu được:
X (x )
Y ( y)
2
n1 x
n2 y
L sin( L )sin( L )
Hàm sóng: (x , y)
E (1) E
11
n1 , n2 1,2,3...
Năng lượng: E
(n 2
1
n2 )
2
2 2
2L2 m
n2 1: không suy biến. f = 1.
*Trạng thái cơ bản: n1
Năng lượng:
Năng lượng khi không nhiễu loạn: E(0)
2 2
11
.
L2 m
Bổ chính bậc 1:
(1)
E11
22
L
L
0
11| V |11
2
x
x sin ( L
Năng lượng tính đến bổ chính bậc 1:
L
) y sin
0
2
y
( L
)dxdy
L2
4
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
*Trạ ng thái kích thích thứ nhất:
n1
(0)
1
(x,y)
12
1, n2
(x,y)
n1
(0)
2
21 (
2, n2
2
1
(x)
2
2
2 x
y
( x ) 1 ( y) L sin( L
2
2 y
1.
2
x,y)
x
( y) L sin( L ) sin( L )
) sin( L )
Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất khi chưa tính đến nhiễu
loạn:
(1)
E
(1)
E21
12
2 2
5
(3.9)
2
2m L
suy biến có bậc bằng 2.
*Xét nhiễu loạn suy biến:
Phương trình thế kỉ:
V E (1)
11
V
V
22
Với:
12
L
L
x sin2 x dx y sin2 2 y dy =
0
0
4
12 |V |12
(3.10)
12
21
V11
0
VE (1)
12
L2
V22
2
L
4
V12
12 |V | 21
2
L
L
L
x
x sin
0
L
4
L
sin
L
2 x
2
y
dx y sin
0
L
sin
L
2 y
dy =
L
256 L
4
V21
81
Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (3.10):
E (1)
12
1 L2
256 L2
4
81 4
(3.11)
Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:
5
E12(1) E21(1) E12(0)
2
2
2 mL
E12(1)
5
2
2
2
2
2 mL
1
4
256
L2
1
81
2
4L
4
L2
(3.12)
256
81
4
L
2
* Hàm sóng bậc không:
(0)
C1, C2 thỏa:
V11
V21C1
C1
1
(0)
C2
(0)
2
E12(1) C1 V12 C2 0 C1
V11
E12(1) C2
0
(3.13)
V
E
(1)
C2
12
V11
(3.14)
Điều kiện chuẩn hóa: C12 C22 1
(3.15)
Từ (3.12), (3.14) và (3.15) ta thu được các giá trị của C 1 và C2.
* E (1)
1
1
512
2
4 )
2 L ( 2 81
1
* E (1)
1 (0)
21
1 (0)
2
CC
2
(0)
(3.16)
2
1
1
512
2
4 )
2 L ( 2 81
CC
1
2
1 (0)
21
1 (0)
2
(0)
(3.17)
2
Câu b. Vẽ giản đồ năng lượng:
Trạng thái cơ bản:
E (1) E (0)E(1)
E11(0)
V
E(1)
0
V
0
Hình 6. Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản
Trạng thái kích thích thứ nhất:
E (1) E (0)
E(1)
(1)
E
(1)
E
V 0
V
256
2
4
L
256
2
4
L
4 81
E(0)
E (1) E (0)
1
1
4 81
E(1)
0
Hình 7. Tách mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất
Nhận xét. Hình 6, hình 7 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn, ở trạng thái cơ
bản mức năng lượng được dịch lên một lượng E11(1) 4
L2
, ở trạng thái kích thích
thứ nhất mức năng lượng bị tách thành 2 mức, ứng với 2 hàm sóng, tính suy biến
bị khử hoàn toàn.
Bài 4.
Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:
0 x 0, L , y 0, L , z 0, L
x 0, L , y 0, L , z 0, L
V0 (x , y)
Hãy xác định năng lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái
cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất. Nhận xét về tính suy biến và sự khử suy
biến. Giả sử nhiễu loạn:
x 0, L
x
a. V1 V (x)
x 0, L
0
x 0, L , y 0, L
xy
b. V2
V (x , y)
x 0, L , y 0, L
0
x 0, L , y 0, L , z 0, L
xyz
c. V3
V (x , y)
x 0, L , y 0, L , z 0, L
0
Trong mỗi trường hợp hãy vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có chỉ
nhiễu loạn. Hãy rõ trạng thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên thế
hệ với nhau như nào.
Lời giải.
Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng:
H 0( x , y ) E
( x , y , z)
2
(
2
2m x 2
2
y2
) ( x , y , z ) E ( x , y , z)
z2
(4.1)
Dùng phương pháp tách biến:
(x, y , z )
Ta thu được:
2
X (x)
Y ( y)
Z (z)
Hàm sóng: (x , y)
sin
nx
1
L
;
n
E1
1
2 2
sin
L
2
sin
L
2 3/ 2
L
ny
2
nz
3
;
L
L
;
n x
sin
2
2
2mL
L
2
(4.2)
X (x ).Y ( y ).Z (z)
1
L
n2
E2
n2
E3
n y
sin
2
L
3
2
2
2
(4.3)
2
2mL
2
2
2
2mL
n z
sin
3
L
(4.4)
