Bài giảng Toán rời rạc Bài 6 - TS. Nguyễn Văn Hiệu

BÀI 6

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
Giáo viên: TS. Nguyễn Văn Hiệu

Email:

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

1


Tổng quan về đồ thi
Nội dung
6.1. Giới thiệu
6.2. Định nghĩa
6.3. Thuật ngữ cơ sở
6.4. Định lý cơ sở về bậc
6.5. Đồ thị đơn đặc biệt

Nội dung
6.6. Đồ thị phân đôi
6.7. Đồ thị đẳng cấu
6.8. Tính liên thơng
6.9. Đồ thi Euler
6.10. Đồ thị Hamilton

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

2

6.1. Giới thiệu
Ứng dụng

Lý thuyết đồ thị
 Nghành học lâu đời, nhưng
dùng nhiều trong ứng dụng
hiện đại
 Leohard Euler

 Xây dựng mật điện trên một
bảng điện
 Xác định hai máy tính có kết
nối hay khơng
 Xác định đường đi ngắn nhất
giữa hai thành phố
 Lập lịch thi
 Phân chia kênh truyền cho
đài truyền hình
…

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

3


6.2. Định nghĩa
Ứng dụng

Đơn đồ thị

G = (V, E)
 V - tập đỉnh,

 E - tập các cặp khơng có thứ
tự, gọi là cạnh nối các đỉnh
phân biệt.

 Mạng gồm các máy tính và các kênh
điện thoại.
 Giữa hai máy tính bất kì có nhiêu nhất
1 kênh điện thoại.
 Kênh thoại cho phép liên lạc hai chiều
 Khơng có máy tính nào được nối với
chính nó.

 ∃! (u,v) ∈ 𝐸 ⟹ ∃! (𝑣, 𝑢) ∈ 𝐸

 (u, u )∉ 𝐸

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

4


6.2. Định nghĩa
Ứng dụng

Đơn đồ thị
G = (V, E)

 Mạng điện thoại cố định

 V - tập đỉnh,

 E - tập các cặp khơng có thứ
tự, gọi là cạnh nối các đỉnh
phân biệt.

 Mạng giao thông

 Mạng xe buýt

 ∃! (u,v) ∈ 𝐸 ⟹ ∃! (𝑣, 𝑢) ∈ 𝐸
 (u, u )∉ 𝐸

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

5


6.2. Định nghĩa
Ứng dụng

Đa đồ thị
G = (V, E)
 V - tập đỉnh,
 E : cho phép nhiều hơn hai
cạnh nối 2 đỉnh phân biệt.

 Mạng gồm các máy tính và các kênh

điện thoại.
 Cho phép hai máy tính nối nhiều kênh
thoại (do truyền tài nhiều)

 (u,v) ∈ 𝐸
 (u, u )∉ 𝐸

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

6


6.2. Định nghĩa
Ứng dụng

Giả đồ thị



Mạng gồm các máy tính và các kênh
điện thoại.
 Cho phép máy tính nối u kênh thoại
với chính nó

G = (V, E)
 V - tập đỉnh,
 E : cho phép vòng (đỉnh đầu
và cuối trùng nhau)
 (u,u) ∈ 𝐸

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

7


6.2. Định nghĩa
Chú ý

Chú ý
ĐỒ THI

ĐƠN ĐỒ THỊ

≡

⊂

ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

ĐA ĐỒ THỊ

⊂
GIẢ ĐỒ THỊ

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

8


6.2. Định nghĩa

Đơn đồ thị có hướng

Ứng dụng

G = (V, E)
 V - tập đỉnh,
 E - tập các cặp có thứ tự, gọi
là cung nối các đỉnh phân biệt.
 (u,v) ∈ 𝐸 ⇏ (𝑣, 𝑢) ∈ 𝐸
 (u, u )∉ 𝐸

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

9


6.2. Định nghĩa
Đa đồ thị có hướng

Ứng dụng

G = (V, E)
 V - tập đỉnh,
 E : cho phép nhiều hơn hai
cung nối các đỉnh phân biệt.
 (u,v) ∈ 𝐸 ⇏ (𝑣, 𝑢) ∈ 𝐸
 (u, u )∉ 𝐸

 Hai cung tương ứng với một cặp
đỉnh được gọi là cung lặp

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

10


6.2. Định nghĩa
Đồ thị tình u

Ứng dụng





 Hai người có ít nhất cùng 1 sở thích
thì có thể ghép đơi

? Tìm cách ghép đơi sao cho số người
cơ đơn là ít nhất

 G = (V, E)
 V = {A, B , C , D , E}
 E: (u,v) ∈ E nếu u và v có cùng
một sở thích

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

11

6.2. Định nghĩa
Hội thảo video

Ứng dụng

 Có n điểm tham gia hội thảo, mỗi
điểm phát tính hiệu cho các điểm còn
lại
 Tổng các điểm phát ra từ v phải
nhỏ hơn băng thông của v.



 Thời gian trể từ điểm v đến điểm
u phải nhỏ hơn một thông số cho
trước.
 Đảm bảo băng thông được sử
dụng tốt nhất



Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

12


6.2. Định nghĩa
Hội thảo video

Ứng dụng
 G = (V, E)
 V: tập các điểm tham gia hội thảo
 E: tập tất cả các kết nối có thể có
(đồ thị đầy đủ)
 Tìm một cây phủ: cây thể hiện
việc phát tính hiệu từ một điểm

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

13


6.3. Thuật ngữ cơ sở
G = (V, E) , e = (u,v) ∈ E

Đồ thị vô hướng
 u và v – đỉnh liền kề

1
2

 e - cạnh liên thuộc với u và v

0

 u và v – đỉnh đầu của e

 Bậc của u là số cạnh liên thuộc
với u.

6

3

 Đỉnh có bậc 0 - đỉnh cơ lập
 Đỉnh có bậc 1 - đỉnh treo.

7

 Khuyên được tính bậc 2

5
4

deg(0) = 3, deg(5) = 1,
deg(2) = 0, deg(6) = 5,….

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

14


6.3. Thuật ngữ cơ sở
G = (V, E) , e = (u,v) ∈ E

Đồ thị có hướng
 u – nối tới v

u

 v – nối từ u
t

 u – đỉnh đầu cung e

v

 v – đỉnh cuối cung e
 deg + (u) – bậc ra của u

s

x

 deg - (u) – bậc vào của u
deg+(s) = 2, deg-(s) = 1,
deg+(x) = 1, deg-(v) = 0,…

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

15


6.4 Định lý cơ sở về bậc
Đồ thị vô hướng

G = (V, E)
1
2

 2 |E| = ∑ v€ V deg (v)

0

Tổng số bậc lẽ của đồ
thị là một số chẳn.

6

3

7

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

5
4

16


6.4 Định lý cơ sở về bậc
Đồ thị có hướng

G = (V, E)

 ∑ v€ V deg + (v) = ∑ u € V
deg - (u) = | E |
 Bỏ qua hướng của G ta có

đồ thị vơ hướng nền của G
có số cạnh bằng số cung của
G

u
t

v

s

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

x

17


6.5 Đồ thị đơn đặc biệt
Đồ thị đầy đủ - Kn

Minh họa

 Có n đỉnh
 Hai đỉnh bất kỳ ln có
cạnh nối
 Tất cả các đỉnh có bậc n-1
 Số cạnh là n*(n-1)/2

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

18


6.5 Đồ thị đơn đặc biệt
Đồ thị vòng - Cn

Minh họa

 Có n đỉnh
 Các đỉnh nối với nhau theo
vịng trịn
 Mỗi đỉnh có bậc là 2

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

19


6.5 Đồ thị đơn đặc biệt
Đồ thị bánh xe - Wn

Minh họa

 n+1 đỉnh
 2n cạnh

 n đỉnh bậc 3 và 1 đỉnh bậc n
 Hai đỉnh bất kỳ luôn kề nhau

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

20


6.5 Đồ thị đơn đặc biệt
Đồ thị lập phương :- Qn

Minh họa

 2n đỉnh
 (n-1).2n-1 cạnh

 Các đỉnh đều có bậc n – 1
 Các đỉnh biểu diễn cho các
dãy n bit.

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

21


6.5 Đồ thị đơn đặc biệt
Ứng dụng
 Mạng LAN
 Mạng cục bộ cấu trúc
hình sao
 Mạng cục bộ cấu trúc
vịng
 Mạng cục bộ cấu trúc

hỗn hợp
 Xử lý song song

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

22


6.6 Đồ thị phân đôi
Minh họa

G = (V, E)
 G – đồ thị phân đôi nếu
 V = V1 ∪ V2 ,
V1 ≠ ⨀, V2 ≠ ⨀, V1 ∩ V2 ≠ ⨀

 ∀ (u, v) ∈ E⇒ u ∈ Vi ,v ∈ Vj,i ≠ j

 G – đồ thị phân đôi đầy đủ
nếu
 G là độ thị phân đôi
 ∀ u ∈ V1 và ∀ u ∈ V2 ⇒ (u,v) ∈ E

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

23


6.6 Đồ thị phân đôi
Minh họa

G = (V, E)
 G – đồ thị phân đôi nếu
 V = V1 ∪ V2 ,
V1 ≠ ⨀, V2 ≠ ⨀, V1 ∩ V2 ≠ ⨀

V1

V2

 ∀ (u, v) ∈ E⇒ u ∈ Vi ,v ∈ Vj,i ≠ j

 G – đồ thị phân đôi đầy đủ
nếu
 G là độ thị phân đôi
 ∀ u ∈ V1 và ∀ u ∈ V2 ⇒ (u,v) ∈ E

K3x4
Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

24


6.6 Đồ thị phân đơi
Đồ thị có phân đổi khơng?

Đồ thị có phân đổi khơng?

?
 Khơng là đồ thị phân đôi

 Đồ thị phân đôi

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics

25
25