Bài giảng: Toán chuyên đề 2 phương pháp tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.05 MB, 72 trang )

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

GIỚI THIỆU MÔN HỌC
I. GIỚI THIỆU CHUNG
Phương pháp tính là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp
giải các bài toán (chủ yếu là gần đúng) bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho
kết quả cũng dưới dạng số.
Ngày nay phần lớn các công việc tính toán đều được thực hiện trên máy tính. Tuy vậy
thực tế chứng tỏ rằng việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể
cho tốc độ tính toán và độ chính xác rất khác nhau. Lấy ví dụ đơn giản như tính định thức
của ma trận chẳng hạn, nếu tính trực tiếp theo định nghĩa thì việc tính định thức của một ma
trận vuông cấp 25 cũng mất hàng triệu năm (ngay cả với máy tính hiện đại nhất hiện nay);
trong khi đó nếu sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết quả nhận được gần như tức thời.
Như vậy, phương pháp tính là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực
hiện nhiều tính toán với tốc độ tính toán nhanh và độ chính xác cao như vật lý, điện tử viễn
thông, công nghệ thông tin....
Phương pháp tính được nghiên cứu từ rất lâu và cho đến nay những thành tựu đạt
được là một khối lượng kiến thức đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo... Tuy nhiên,
môn học "Phương pháp tính" chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương
pháp tính. Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán
thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu để nâng cao kiến thức cho mình khi
gặp các vấn đề phức tạp hơn.
Trong phương pháp tính chúng ta thường quan tâm đến hai vấn đề:
• Phương pháp để giải bài toán.
• Mối liên hệ giữa lời giải số gần đúng và lời giải đúng, hay sai số của lời giải.
II. MỤC ĐÍCH
Môn học phương pháp tính cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số
phương pháp giải gần đúng trên dữ liệu số với mục đích
• Tạo cơ sở để học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật.

• Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp
nghiên cứu thực nghiệm và xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần
thiết cho người kỹ sư tương lai.

1

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số phương pháp cơ bản nhất của phương pháp tính, được ứng dụng
nhiều trong thực tế như các phương pháp tính trong đại số tuyến tính, bài toán nội suy, tìm
nghiệm gần đúng các phương trình phi tuyến, tính gần đúng đạo hàm và tích phân, giải gần
đúng một số dạng của phương trình vi phân... Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các
phương pháp trong thực tế.
IV. PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP:
Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau:
1. Kiến thức chuẩn bị:
 Sinh viên phải có kiến thức cơ bản về toán học cao cấp.
 Thành thạo sử dụng máy tính cầm tay (sẽ được giảng viên hướng dẫn trên lớp)
2. Tài liệu và dụng cụ học tập:
 Giáo trình Phương pháp tính của trường ĐHCN Tp HCM.
 Máy tinh cầm tay (Casio 570 MS, ES hoặc Vinacal 570 MS)
Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm:
 Giải tích số. Phạm Kỳ Anh, nhà xuất bản đại học Quốc Gia Hà Nội, 1966.
 Phương pháp tính. Tạ Văn Đỉnh, Nhà xuất bản Giáo dục - 1995.
 Phương Pháp tính. Dương Thuỳ Vỹ, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2001.
3. Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập:

Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm được nội
dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc, đồng thời sinh viên cũng có thể trao đổi,
thảo luận với những sinh viên khác về nội dung bài học.
4. Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên:
Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua đó có thể
trao đổi trực tiếp các vấn đề vướng mắc với giảng viên hoặc các bạn học khác đang online.
Địa chỉ email để trao đổi với giảng viên :
5. Tự ghi chép lại những ý chính:
Việc ghi chép lại những ý chính là một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho
thấy nó giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu.
6. Học đi đôi với hành
Học lý thuyết đến đâu thực hành làm bài tập ngay đến đó để hiểu và nắm chắc lý thuyết.

2

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

CHƯƠNG 1
SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ
MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU
Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên:
1. Hiểu được sai số tuyệt đối và sai số tương đối.
2. Nắm được cách viết số xấp xỉ.
3. Hiểu và phân biệt được sai số tính toán và sai số phương pháp .
4. Tính được sai số phương pháp.
1.1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong kỹ thuật giá trị các thông số chúng ta tiếp cận nói chung không phải là giá trị

đúng (vì nó là kết quả của các phép đo và thí nghiệm). Như vậy chúng ta đã sử dụng giá trị
gần đúng thay cho giá trị đúng, việc này nẩy sinh nhiều vấn đề phức tạp vì giá trị đúng chỉ có
một nhưng giá trị gần đúng thì rất nhiều. Để có cơ sở khoa học trong việc sử dụng các số
gần đúng người ta đưa ra khái niệm sai số để đo độ chênh lệch giữa các giá trị đúng và giá
trị gần đúng.
Chú ý rằng khi sử dụng số gần đúng thay cho một số đúng nào đó người ta luôn phải
dùng đồng thời hai đại lượng đó là : giá trị gần đúng và sai số. Hai đại lượng này có vai trò
như nhau.
1.2. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI
1.2.1. Sai số tuyệt đối
Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a. Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A.
Trị tuyệt đối Δ = |a-A| được gọi là sai số tuyệt đối của a (khi dùng a để xấp xỉ A).
Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt đối không tính
được. Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a bằng số Δa > 0 sao cho
|a - A| ≤ Δa
Số dương Δa được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a.
Chú ý: Nếu Δa là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi số thực lớn hơn Δa đều là sai số tuyệt
đối giới hạn của a, nhưng nếu sai số tuyệt đối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt đối thì nó
không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa. Trong những điều kiện cụ thể người ta cố
gắng chọn Δa là số dương bé nhất.

3

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

1.2.2. Sai số tương đối
Đại lượng  


được gọi là sai số tương đối của a.
A

Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không biết, vì vậy người ta định nghĩa đại
lượng
a 

a
a

là sai số tương đối giới hạn của a. Đôi khi người ta biểu diễn sai số tương đối dưới dạng %.
Ví dụ . với a =10, Δa = 0.05, khi đó ta có  a 

0.05
 0.5% .
10

Vì trong thực tế chúng ta chỉ có thể thao tác với các sai số giới hạn, do đó người ta thường
gọi một cách đơn giản Δa là sai số tuyệt đối,  a là sai số tương đối.
1.2.3. Chú thích:
Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ "chất lượng" của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy còn
được phản ánh qua sai số tương đối.
1.3. CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ
1.3.1. Chữ số có nghĩa
Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ chữ
số khác không đầu tiên tính từ trái đến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các
chữ số có nghĩa. Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa.
1.3.2. Chữ số đáng tin

Mọi số thập phân đều có dạng
a  (  n10n 

 110   0100   1101 

n

   m10 m )     s ,  s  0,1,...,9 .
s  m

Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt đối là Δa.
s

Nếu Δa ≤ 0.5  10 thì ta nói rằng chữ số αs là đáng tin (như vậy các chữ số có nghĩa
bên trái αs đều là đáng tin).
s

Nếu Δa > 0.5  10 thì ta nói rằng chữ số αs là đáng nghi (như vậy các chữ số bên phải
αs đều là đáng nghi).
Ví dụ. Cho số xấp xỉ a = 4.67329 hãy xác định các chữ số đáng tin và các chữ số đáng ngờ
khi Δa = 0.004726 hoặc Δa= 0.005726.

4

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Giải

-2

Ta có Δa = 0.004726 ≤ 0.5  10 do đó các chữ số đáng tin là: 4,6,7; các chữ số đáng ngờ là
3,2, 9.
-1

Khi Δa= 0.005726 ta có Δa ≤ 0.5  10 do đó các chữ số đáng tin là: 4,6; các chữ số đáng
ngờ là 7, 3, 2, 9.
1.3.3. Cách viết số xấp xỉ
a. Kèm theo sai số
Nếu Δa là sai số tuyệt đối giới hạn của a khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết:
A = a ± Δa
với ý nghĩa
a – Δa ≤ A ≤ a + Δa
Hoặc A = a(1 ±  a )
b. Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin
Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt
đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng.
-5

Ví dụ. Khi viết a = 4.67329 thì ta hiểu lúc này Δa= 0.5  10

1.4. CÁC LOẠI SAI SỐ KHI XỬ LÝ BÀI TOÁN KỸ THUẬT
Khi giải một bài toán phức tạp người ta thường thay bài toán đó bằng bài toán đơn
giản hơn để có thể giải được bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài toán phức tạp
bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng. Sai số do
phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán đã ở dạng đơn
giản, nhưng trong quá trình giải ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả hoặc xử dụng các
số xấp xỉ , sai số tạo ra trong quá trình này gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc đánh
giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện.

Tóm lại khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp gần đúng ta thường gặp
những loại sai số sau đây:
• Sai số trong việc mô hình hóa bài toán : xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số
điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán.
• Sai số phương pháp : xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng.
• Sai số của số liệu : xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác.
• Sai số tính toán : xuất hiện do làm tròn số hoăc xử dụng các số xấp xỉ trong quá trình tính
5

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn.
Những sai số trên đây tổng hợp lại nhiều khi dẫn đến những lời giải quá cách xa so
với lời giải đúng và vì vậy không thể dùng được. Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán
hữu hiệu để giải các bài toán thực tế là điều rất cần thiết.
1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN THƯỜNG GẶP
1.5.1. Sai số quy tròn các số xấp xỉ
Khi tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước:
Nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn
nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.
Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là Δ. Giả sử ta quy tròn a thành a' với
sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn là θ, tức là:
| a' - a| ≤ θ.
Khi đó
|a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + Δ
Vậy có thể lấy θ + Δ làm sai số tuyệt đối giới hạn của a'. Như vậy việc quy tròn làm tăng sai
số tuyệt đối giới hạn.

1.5.2. Sai số khi tính toán trên các số xấp xỉ
Bài toán
Cho u = f(x1, x2,..., xn) . Biết các đối số x1, x2,..., xn là các số xấp xỉ với các sai số tuyệt đối
tương ứng là Δ1 , Δ2 , ... Δn và f là hàm khả vi liên tục theo các đối số xi.
Hãy xác định Δu,  u .
Giải
Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: du 
Từ đây suy ra u 

u
x1 
x1

Vì vậy có thể chọn : u 



u
u
xn 
1 
xn
x1

u
1 
x1

Để tìm  u ta dùng công thức :  u 



u
dx1 
x1




u
dxn
xn

u
n
xn

u
n
xn

u
u

6

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Ví dụ. Cho hàm u  f ( x, y, z )  x 2 y  yz. Hãy xác định giá trị hàm số u, sai số tuyệt đối và
sai số tương đối của u biết x  0.983, y  1.032(1  0.05), z  2.114  0.02.
...................................................Phần ghi chép của sinh viên..................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

b) a=38,2543; Δa= 0,27.10

-2

Bài 4. Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau:
a) a=1,8921; δa=0,1.10

-2

b) a=22,351; δa=0,1

Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác
định sai số tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ của chúng:
a) 2,514

b) 0,16152

c) 0,01204

d) –0,0015281

Bài 6. Hãy xác định: Giá trị của các hàm số, Sai số tuyệt đối giới hạn và Sai số tương đối
giới hạn. Biết giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin.
a) u  f ( x, y, z )  tg ( x 2 y  yz ),
b) u  f ( x, y, z )  zesin( xy ) ,

x  0.983, y  1.032, z  2.114.
x  0.133, y  4.732, z  3.015.

Bài 7. Hãy xác định: Giá trị của các hàm số, sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Biết giá trị

của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin.

a) u  x 2 sin( yz ),

x  1.113; y  0.102; z  2.131.

b) u  z ln( xy ) ,

x  0.162; y  4.531; z  1.91.

c) u  2 x  2 y ,

x  0.085; y  0.055; z  2.152.

d ) u  (1  xyz ) x ,

x  2.918; y  1.032; z  2.114.

2

Bài 8. Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được
d = 1,112m và sai số của phép đo là 1 mm.
Bài 9. Hãy xác định sai số tương đối , sai số tuyệt đối và chữ số đáng tin của cạnh hình
vuông a. Biết rằng diện tích hình vuông là S  16, 45cm2 , S  0,01.

8

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

CHƯƠNG 2
TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU
Sau khi học xong chương 2, yêu cầu sinh viên:
1. Kiểm tra được khoảng cách ly nghiệm
2. Tìm được nghiệm gần đúng và đánh giá được sai số.
3. Biết vận dụng các phương pháp giải gần đúng vào các bài toán thực tế.
2.1. GIỚI THIỆU CHUNG
2.1.1. Đặt vấn đề
Khi giải quyết bài toán kỹ thuật chúng ta thường gặp loại yêu cầu :
Xác định thông số đầu vào, để đầu ra của một hệ thống nào đó đạt một mức cho trước.
yêu cầu này có thể phát biểu bằng ngôn ngữ toán học như sau:
Xác định giá trị x  ( a, b) sao cho f ( x )  0 ,

(2.1)

Như chúng ta đã biết việc giải phương trình (2.1) không đơn giản (vì không có phương pháp
chung) ngay cả khi f ( x) là đa thức có bậc lớn hơn 3. Trong kỹ thuật người ta có thể chấp
nhận giá trị x (sao cho f ( x )  0 ) thay cho nghiệm đúng α của phương trình nhưng với
điều kiện đánh giá được sai số tuyệt đối giữa x và α (Điều này cũng hoàn toàn hợp lý bởi
thực tế ngay cả khi chúng ta xác định được chính xác giá trị thông số đầu vào thì khi qua hệ
thống kết quả đầu ra cũng chỉ gần bằng với yêu cầu).
Giá trị x nói ở trên gọi là nghiệm gần đúng của phương trình (2.1). Việc đi tìm giá
trị x và đánh giá sai số gọi là giải gần đúng phương trình.
Chú ý: Khi đánh giá sai số chúng ta cần phải tính
 x*  x *  và  f  x*  f  x *  f    f  x * .





Sai số chung của bài toán được tính bởi   max  x*;  f  x* .
Trong bài giảng chỉ tính  x*  x *  .
2.1.2. Các bước giải gần đúng phương trình phi tuyến
Khi giải gần đúng nghiệm của phương trình (2.1) ta cần tuân theo các bước sau:
 Bước 1: Kiểm tra (2.1) có nghiệm đúng duy nhất trên (a,b) (hay (a,b) là khoảng cách ly)
 Bước 2: Dùng các thuật toán để tìm giá trị x và đánh giá sai số
2.1.3. Một số định lý cần thiết trong việc thực hiện giải gần đúng
9

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Để thực hiện bước 1, 2 ta dùng các định lý dưới đây
Định lý1.
Nếu hàm số f(x) liên tục, đơn điệu trên đoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì (a,b) là một
khoảng cách ly nghiệm của phương trình (2.1).
Định nghĩa2.
Gọi S   x : x  x0  C là một lân cận đóng của x0  R , A là ánh xạ từ S vào S.
Ta nói A là ánh xạ co trên S nếu tồn tại hằng số q < 1 sao cho
x, y  S :

A( x)  A( y )  q x  y .

Định lý3.
Giả sử α là nghiệm đúng của phương trình x  A( x ) và tồn tại lân cận đóng S của α

sao cho A là ánh xạ co trên S thì α là nghiệm duy nhất của phương trình x  A( x ) trên S và

 có thể thu được bằng cách lấy giới hạn của dãy
xn 1  A( xn ); n  0,1,..

với x0 là một điểm nào đó thuộc S.
Định lý4.
Với hàm f(x) liên tục và khả vi trên đoạn [a,b], ngoài ra tồn tại m sao cho
0 < m ≤ |f'(x)| với mọi x thuộc [a,b] khi đó ta có đánh giá: xn   

f ( xn )
.
m

2.2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG NGHIỆM
2.2.1. Phương pháp lặp đơn
a. Mô tả phương pháp
- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là (a,b).
- Biến đổi (2.1) được về dạng tương đương x   ( x) (  gọi là hàm lặp)
- Chọn x0 

ab
. Tính các nghiệm xấp xỉ xn+1 theo công thức
2
xn 1   ( xn ), n  0,1, 2,...

- Đánh giá sai số n  xn   . Đặt
n 

q  max   '( x)  Ta có:

x[ a ,b ]

q
xn  xn 1
1 q

10

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

b. Điều kiện hội tụ của phương pháp
Định lý.
Nếu hàm  ( x ) có đạo hàm  '( x ) và thỏa mãn:  '( x)  q  1, x  [a, b]
thì phương pháp lặp hội tụ, tức là: lim xn  
n 

Chú ý.
Khi sử dụng phương pháp lặp chúng ta sẽ gặp khó khăn trong việc tìm hàm  ( x ) (vì phải
thỏa điều kiện :  '( x)  q  1, x  [a, b] ). Để khắc phục điều này ta làm theo hướng dẫn
- Nếu f '( x)  0, x  [a, b] ta đặt  ( x)  x 

f ( x)
với M  max  f '( x) 
M
x[ a ,b ]

- Nếu f '( x)  0, x  [a, b] ta đặt  ( x)  x 

f ( x)
với M  max  f '( x) 
M
x[ a ,b ]

 f (c )  0
- Nếu c  [a, b] : 
thì ta thu hẹp đoạn [ a, b] thành [c   , b] hoặc
 f '(c)  0
[a, c   ] với  là hằng số dương đủ nhỏ sao cho đoạn thu hẹp vẫn là đoạn cách ly
nghiệm.
Chú ý: Với cách đặt như trên thì
q  max   '( x)   1 
x[ a ,b ]

Trong đó m  min

x[ a ,b ]

m
1
M

 f '( x)  .

Ví dụ1. Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [1,2] của phương trình:

x3  x  1  0
thỏa yêu cầu sai số 10-1

Giải
Đặt f ( x)  x3  x  1 suy ra f '( x)  3x2  1 , f ''( x )  6 x

 f ''( x)  0  x  0  (1, 2)

Ta có  f '(1)  2
suy ra
 f '(2)  11


 f '( x)  0, x  [1, 2]

 max  f '( x)   11
 x[1,2]

 f '( x)   2
m  xmin
[1,2]


11

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Bước 1: Kiểm tra (1,2) là khoảng cách ly nghiệm
f(x) liên tục trên [1,2],
Ta có

f (1) f (2)  5  0,

. Vậy (1,2) là khoảng cách ly nghiệm.

f '( x)  0, x  (1, 2).

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

f ( x)
x3  x  1  x3  12 x  1
Chọn M=11. Đặt  ( x)  x 
 x

M
11
11
Ta có q  max   '( x)  
x[1,2]

Đặt x0 

9
 1. Vậy hàm  ( x ) thỏa điều kiện của phương pháp lặp.
11

1 2
 1.5 ta tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp dưới đây
2

 x1   ( x0 )  1.420455


;

  q x  x  0.36  101
 1 1  q 1 0

 x2   ( x1 )  1.379947



  q x  x  0.18  101
 2 1  q 2 1

 x3   ( x2 )  1.357418



  q x  x  0.1  101
 3 1  q 3 2

 x4   ( x3 )  1.344351



   q x  x  5.9  102  101
 4 1  q 4 3

;

Vậy x4  1.344351 là nghiệm gần đúng thỏa yêu cầu về sai số.
Ví dụ2. Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [0.5,1] của phương trình: ex - 3x 2  0
thỏa yêu cầu sai số 10-2.
Ví dụ3. Giải gần đúng trên [1.5, 3] của phương trình:

x4  2 x3  4  0
thỏa yêu cầu sai số 10-2.
...................................................Phần ghi chép của sinh viên..................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
12

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
...................................................................................................................................................................................................................................

13

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

2.2.2. Phương pháp Newton-Rapson ( hay phương pháp tiếp tuyến )

a. Mô tả phương pháp
- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b].
- Chọn x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) cùng dấu với f’’(x), x  (a, b)
- Tính giá trị của nghiệm gần đúng thứ n+1 theo công thức

x n 1  x n 

f (x n )
; n=0,1,2...
f '(x n )

- Đánh giá sai số  n 1  x n 1   .
Đặt

M  max

Ta có

 n 1 

x[a,b]

 f ''(x) ,

M
x n 1  x n
2m

m  min

x[a,b]

 f '(x) .

2

b. Điều kiện hội tụ của phương pháp
Chú ý phương pháp Newton-Rapson cũng là một dạng của phương pháp lặp với hàm lặp là
 x   x 

f (x)
f '(x)

Do vậy muốn phương pháp Newton-Rapson hội tụ thì hàm   x  phải thỏa điều kiện

 '( x) 

f ( x) f ''( x)

 f '( x)

2

 1; x  [a, b]

Việc kiểm tra điều kiện trên khá vất vả nên trong thực hành người ta thường sử dụng điều
kiện đủ dưới đây
Định lý.
Giả sử hàm f(x) có f’(x) khác không trên đoạn [a,b] và f''(x) không đổi dấu trong
(a,b). Nếu x0 , xn được chọn như trong mục a) thì phương pháp Newton-Rapson hội tụ, tức

là: lim xn  
n 

Chú ý:

 f (c )  0
Nếu c  [a, b] : 
hoặc f ''( x ) đổi dấu khi qua c thì ta thu hẹp đoạn
 f '(c)  0
[ a, b] thành [c   , b] hoặc [a, c   ] với  là hằng số dương đủ nhỏ sao cho đoạn

thu hẹp vẫn là đoạn cách ly nghiệm.
14

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Ví dụ1. Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [-3,-2] của phương trình:

x3  3x2  1  0
thỏa yêu cầu sai số 10-3
Giải
Đặt f ( x)  x3  3x2  1 suy ra f '( x)  3x2  6 x , f ''( x)  6 x  6 , f (3) ( x)  6
Xét f’(x)

 f ''( x)  0  x  1  (3, 2)

Ta có  f '(3)  9

 f '(2)  0

Vì f '( 2)  0 nên ta phải thu hẹp [-3,-2] thành [-3,-2.5]

 f ''( x)  0  x  1  (3, 2.5)

Khi đó  f '(3)  9
suy ra
 f '(2.5)  3.75


 f '( x)  0, x  [3, 2.5]


 m  min  f '( x)   3.75
x[ 3, 2.5]


Xét f’’(x)
 f (3) ( x)  6  0

Ta có  f ''(3)  12 suy ra
 f ''( 2.5)  9


 f ''( x)  0, x  [3, 2.5]


 M  max  f ''( x)   12
x[ 3, 2.5]



Bước 1: Kiểm tra [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm
Ta có

f(x) liên tục trên [-3,-2.5],

f (3) f (2.5)  1 2.215  0,

Vậy [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm.

f '( x)  0, x  [3, 2.5].
Bước 2: Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

- Đặt x0  3 (Vì f ( 3) cùng dấu với f ''( x), x  [3, 2.5] )
- Tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp

f ( x0 )

x

x

 2.888889
1
0

f '( x0 )

;



1  M x1  x0 2  0.0198  103

2m

f ( x1 )

x

x

 2.879452
2
1

f '( x1 )



 2  M x2  x1 2  1.43  104  103

2m

Vậy x2  2.879452 là nghiệm gần đúng thỏa yêu cầu sai số.
15

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

x
2

Ví dụ2. Cho phương trình: 2 ln x   1  0 . Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [0.2,1] sau 4 lần
lặp. Đánh giá sai số khi nhận giá trị nghiệm ở lần lặp thứ tư là xấp xỉ nghiệm.
Ví dụ3. Giải gần đúng trên [0,1] của phương trình: x 2  cosx  0
thỏa yêu cầu sai số 10-4.
...................................................Phần ghi chép của sinh viên..................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
16

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

;

2) x 4  3 x 2  3  0;

x0  1; 2

x 0  [0;1]

8) x  cos x  0

;

x 0  [0;1]

3) x 4  2 x3  4  0;

x0   2;3

9) x+ ln x  5  0

;

x 0  [3;5]

x0   0.2;1

10)

x0  0; 2 

11) esin x  x 4  3  0

4)

x  tgx  0;

x
5)  +0,5sin  x;
2
6) x  2

x

 0;

x  x3  1  0

12) tg

x0  [0.3;1]

x 2x 1
e
 x 2  10  0
2

x 0  1; 2

;
;

x 0  1; 2

;

x 0  3; 4 

Bài 2. Tự tìm khoảng cách ly nghiệm và giải bằng phương pháp lặp đơn hoặc tiếp tuyến

1) ( x  1) 2 

ex
2

4) 4 x  5ln x  5

2) x =ln(x+1)

5) x  x  sin( x  lg x  2)

3) sinx+cosx=4x

6) x 2  e x  2

2

Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của các phương trình :
x
2

1) e  2x  0

2) 1,8x 2  sin(10x)  0

3) 2x  4x  0

18

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

CHƯƠNG 3
GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU:
Sau khi nghiên cứu chương 3, yêu cầu sinh viên:
1. Nắm được các xu hướng xử lý các bài toán đại số tuyến tính
2. Hiểu và thực hiện được các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của hệ pttt.
3. Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp
3.1. GIỚI THIỆU CHUNG
3.1.1. Đặt vấn đề
Khi xác định giá trị các thông số trong kỹ thuật đôi khi chúng ta phải giải hệ thống
phương trình tuyến tính
 a11x1  a12 x2
a x  a x
 21 1
22 2



am1x1  am 2 x2





a1n xn



b1





a2 n xn



b2



 amn xn

(I)

 bm

Để giải hệ trên người ta đi theo hai hướng sau:
Hướng giải đúng
Sử dụng các phương pháp giải đúng để tìm ra giá trị chính xác của các nghiệm xj. Một
số phương pháp tiêu biểu như : Cramer, Gauss-Jordan…Đã được khảo sát trong môn toán
cao cấp A2, C2.
Hướng giải gần đúng
Sử dụng các phương pháp giải gần đúng để tìm ra giá trị xấp xỉ của các nghiệm xj.
Một số phương pháp tiêu biểu như : Lặp đơn, Seidel,…
Nhận xét
Hướng giải đúng có ưu điểm là tìm ra được giá trị đúng của nghiệm trong trường hợp
hệ có nghiệm duy nhất và chỉ ra được khi nào hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Tuy
nhiên lại rất khó thực hiện trong trường hợp các hệ số aij , bi là các số thập phân.
Hướng giải gần đúng có khuyết điểm là chỉ tìm ra được giá trị gần đúng của nghiệm
trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất và không chỉ ra được khi nào hệ vô nghiệm hoặc có
vô số nghiệm. Tuy nhiên lại tỏ ra hiệu quả trong trường hợp các hệ số aij ,bi là các số thập
phân.

19

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Khi mô hình hóa bài toán kỹ thuật bằng hệ phương trình, thường hệ có các hệ số rất
lẻ và chỉ có duy nhất nghiệm nên hướng giải gần đúng chiếm hầu hết khi giải bài toán kỹ
thuật.
Lưu ý. Các phương pháp giải gần đúng dưới đây chỉ giải được một số hệ có dạng đặc biệt
(sẽ được chỉ rõ trong từng thuật toán). Nếu không phải là dạng này thì chúng ta phải dùng
hướng giải đúng để xử lý.

3.1.2. Các bước giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính
Khi giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình (I) ta cần tuân thủ các bước sau:
 Bước 1: Kiểm tra (I) có nghiệm đúng duy nhất
 Bước 2: Dùng các thuật toán để tìm giá trị gần đúng của nghiệm và đánh giá sai số
3.1.3. Một số khái niệm toán học cần thiết trong việc thực hiện giải gần đúng
Để thực hiện bước 1, 2 ta cần nhắc lại và xây dựng một số khái niệm sau
Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n:
 a11

A
a
 m1

a1n 


amn 

Định nghĩa1. Ta nói chuẩn của ma trận A là một trong các số sau


m
A 1  max  aij
j 1,.., n 
 i 1








(gọi là chuẩn cột)

 n
A   max   aij
i 1,.., m  j 1






(gọi là chuẩn hàng)

A2

n m

  aij

2

(gọi là chuẩn Euclicd)

j 1 i 1

 1 0 1 
Ví dụ. Với A   4 2 1  ta có
 2 2 5 




 A  max{7, 4,7}  7
 1
 A   max{2,7,9}  9

 A 2  1  0  1  16  4  1  4  4  25  56

Ghi chú: Người ta thường dùng kí hiệu A chung cho ba chuẩn trên .
Trong không gian véc tơ Rn người ta xây dựng khái niệm chuẩn của véc tơ như sau

20

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Định nghĩa2
Trong không gian véc tơ Rn cho vecto x  ( x1, x2 ,..., xn ) . Ta nói chuẩn của vecto x là một
trong các số sau.

 xj 
j 1,.., n

x 1  max

Ghi chú : Khái niệm x

2

hoặc

x



 n
  x j
 j 1


 hoặc x


2



n



j 1

xj

2

của vecto mang ý nghĩa hình học là độ dài của vecto đó

Tính chất của chuẩn (đọc giáo trình)
Định lý4 (Về sự duy nhất nghiệm của hệ (I)).
a11

a1n
 0 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất

Xét hệ (I) khi m=n . Nếu
an1

ann

3.2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG NGHIỆM
3.2.1. Phương pháp lặp đơn
a. Mô tả phương pháp
- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.
- Biến đổi (I) được về dạng
 x1  11x1  12 x2
x   x   x
 2
21 1
22 2


 xn   n1x1   n 2 x2

Đặt

 x1 
 11
 

x   ,  =
x 

 n
 n1



 1n xn



  2 n xn

1
 2



  nn xn

 n

1n 



,
 nn 



(II)

 1 
 =  
 
 n

Khi đó (II) được viết dưới dạng x   x  
- Chọn x(0)   . Tính các xấp xỉ nghiệm x( n 1) theo công thức
x ( n 1)   x( n)   , n  0,1, 2,...

- Đánh giá sai số  n 1  x

n 1

 x * với x* là nghiệm đúng của hệ

 n 1 


x ( n 1)  x( n)
1 

21

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

b. Điều kiện hội tụ của phương pháp
Định lý.
Nếu ma trận  có chuẩn bé hơn 1 thì phương pháp lặp đơn hội tụ.
Ví dụ1. Giải gần đúng hệ phương trình:

10x  2y  3z  20

2x  20y  5z  40
 x
 3y  10z  8


(I)

Thỏa yêu cầu sau số 10-2
Giải
Bước 1: Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất

10

2 3

2 20 5  1862  0 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Ta có

1

3 10

Bước 2: Tính gần đúng và đánh giá sai số
Biến đổi (I) được về dạng

0x
 0.2y  0.3z  2
x 

 y  0.1x  0y  0.25z  2
 z  0.1x  0.3y 
0z
 0.8


(II)

Đặt

0.2 0.3 
 0
 =  0.1 0 0.25  ,
 0.1 0.3
0 


 2 

 =  2  ,
 0.8 
 

 x
 
X   y
z
 

Khi đó (II) được viết dưới dạng

x x  
Ta có



Đặt X

(0)



=max 0.5, 0.35, 0.4  0.5  1 . Vậy ma trận  thỏa điều kiện hội tụ .

 2 
 
=  =  2  . Ta tính nghiệm xấp xỉ X ( n 1) , n  0,1, 2,... theo công thức
 0.8 
 

22

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ


0.2 0.3  2   2   2.64 
 0
 (1)

    

(0)
0 0.25  2    2    2.4 
 x   x + =  0.1
 0.1 0.3
   


0 

 0.8   0.8   1.2 




0.5

 1 
x (1)  x (0) 
 0.64  0.64  102
 1  0.5
1  



 2.84 
 (2)


(1)
 x   x + =  2.564 
 1.256 







 2 
x (2)  x (1)
1  




 0.2  102


 2.90516 
 (4)


(3)
 x   x + =  2.61026 
 1.29044 



;




 4 
x(4)  x(3)  0.02  102

1  


Vậy x(5)


 2.8896 
 (3)



(2)
 x   x + =  2.598 
 1.2852 



; 



3 
x (3)  x(2)  0.05  102

1  


 2.909184 
 (5)


(4)
 x   x + =  2.613126 
 1.292562 








5 
x (5)  x(4)  4  103  102

1  


 x  2.909184

hay  y  2.613126 là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số.
 z  1.292562


Ví dụ2. Giải gần đúng hệ phương trình:

19.2x  2.6y  1.2z  20.3

y
 15.3z 
4
 3.7x 
 x
 13.5y 
z
 8.3


(I)

Thỏa yêu cầu sau số 10-3

23

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

Ví dụ3. Cho hệ phương trình:
10x  2y  z  t
2x  20y  5z  2t



y  10z  t
 x
  x  2y  2z  10t

 10
 20
 10

(I)

 10

Tìm nghiệm gần đúng của hệ sau 2 bước lặp. Đánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này.
...................................................Phần ghi chép của sinh viên..................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
24

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 –HK1 Năm 2015-2016

Th.s Đỗ Hoài Vũ

.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

Bài giảng: Toán chuyên đề 2 phương pháp tính

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về