GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
: />
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 1
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
: />
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 - 2016
Môn thi: Toán
Ngày thi: 23/04/2016
Câu 1 (1,0 điểm ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y
2x 1
x 1
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 5 4 x trên đoạn 1;1
Câu 3 (1 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z 1 i 5 z . Tính môdun của số phức z.
b) Giải phương trình sau: log 2 x 1 log 2 x 1
1
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân I 2 x 3 xe x dx
0
Câu 5 (1 điểm).Trong không gian Oxyz cho điểm A 1; 1;0 và đường thẳng d có phương trình
x 1 y 1 z
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ
2
1
3
điểm B thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) bằng 14 .
Câu 6: (1,0 điểm)
2
a) Tính giá trị của biểu thức P 1 3sin 2 x 1 4 cos 2 x , biết cos 2 x .
3
b) Trong đợt kiểm tra chất lượng sản xuất sản phẩm tiêu dùng, một đoàn thanh tra lấy ngẫu nhiên 5 sản
phẩm từ một lô hàng của một công ty để kiểm tra. Tính xác suất để đoàn thanh tra lấy được đúng 2 phế
phẩm. Biết rằng trong lô hàng có 100 sản phẩm.
Câu7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tam giác SAB vuông cân tại
đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 18. Gọi E là
trung điểm cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt đường chéo AC tại G (G không trùng với C).
2 4
Biết E 1; 1 , G ; và D điểm thuộc đường thẳng d : x y 6 0 . Tìm tọa độ các điểm A,B,C,D.
5 5
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 2
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
: />
2 x 2 6 xy 17 y 2 17 y 2 6 xy 2 y 2 5 x y
, x
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2
2
x 1 x 2 2 y 6 y 11 x 2 x
Câu 10 (1,0 điểm). Xét x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy xz 1 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
4
thức P xy xz 2 1 1
y 3z
Đáp án
Câu 1 (1,0 điểm ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y
2x 1
x 1
*) Tập xác định: D \ 1
*) Sự biến thiên
Chiều biến thiên: y '
3
x 1
2
0 x -1
=> Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;
Giới hạn và tiệm cận:
lim y lim y 2 y 2 là tiệm cận ngang
x
x
lim
x 1
lim x 1 là tiệm cận đứng.
x 1
BBT:
x
-1
-
+
y’
+
y
2
2
-
+) Đồ thị: Giao Oy : 0; 1
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 3
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
: />
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 5 4 x trên đoạn 1;1
+) Hàm liên tục và xác định trên đoạn 1;1
+) Đạo hàm: y ' 1
Lập BBT:
2
0 x
5 4x
x
-1
1
y’
+
0
y
4
Hàm số đạt cực đại tại x=1,y 1 0
cực tiểu tại x 1, y 1 4
Câu 3 (1 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z 1 i 5 z . Tính môdun của số phức z.
b) Giải phương trình sau: log 2 x 1 log 2 x 1
a, Ta có: 1 3i z 1 i 5 z 2 3i z 1 i z
z
1 i 1 i 2 3i
2
2 3i
22 3
2 3i 2i 3i 2 1 5i
13
13
2
2
26
1 5
Vậy z
13
13 13
b, log 2 x 1 log 2 x 1 *
đkxđ: x 1
x 1 loai
* log 2 x x 1 log 2 2 x x 1 2 x 2 x 2 0
x 2 TM
Vật phương trình có nghiệm: x 2
1
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân I 2 x 3 xe x dx
0
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 4
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
1
: />
1
1
I 2 x3 x.e x dx 2 x3 dx x.e x dx I1 I 2
0
0
0
1
1
x4
1 9
I1 2 x dx 2 x 2
4 0
4 4
0
3
1
1
1
1
1
I 2 x.e x dx xd e x x.e x e x dx e e x e e e0 1
0
0
0
Vậy I
0
0
13
4
Câu 5 (1 điểm).Trong không gian Oxyz cho điểm A 1; 1;0 và đường thẳng d có phương trình
x 1 y 1 z
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ
2
1
3
điểm B thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) bằng 14 .
+) d có vtcp ud 2;1; 3 . Vậy vtpt của (P) là n p 2;1; 3
P : 2 x 1 y 1 3z 0 2 x y 3z 1 0
+) B thuộc Ox B b;0;0
Ta có: d B; P 14
2b 0 3.0 1
22 12 3
2
14 2b 1 14
b 13 / 2
b 15
2
Vậy
với b
với b
13
13
B ;0;0
2
2
15
15
B ;0;0
2
2
Câu 6: (1,0 điểm)
2
a) Tính giá trị của biểu thức P 1 3sin 2 x 1 4 cos 2 x , biết cos 2 x .
3
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 5
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
: />
b) Trong đợt kiểm tra chất lượng sản xuất sản phẩm tiêu dùng, một đoàn thanh tra lấy ngẫu nhiên 5 sản
phẩm từ một lô hàng của một công ty để kiểm tra. Tính xác suất để đoàn thanh tra lấy được đúng 2 phế
phẩm. Biết rằng trong lô hàng có 100 sản phẩm.
a, P 1 3sin 2 x 1 4 cos 2 x
5
5
35
3
3
1 2sin 2 x 2 2 cos 2 x 1 3 cos 2 x 2 cos 2 x 3
2
2
6
2
2
5
75287520
b, Số phần tử của không gian mẫu: C100
*) Biến cố A lấy được 2 phế phẩm
=> Số phần tử thuận lợi cho biến cố A: C52 .C953 1384150
Vậy P A
A
0, 01838
Câu7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tam giác SAB vuông cân tại
đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
S
M
A
O
E
C
H
a
d
N
B
Gọi H là trung điểm AB SH AB
SH AB
AB SAB ABCD SH ABCD
SAB ABCD
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 6
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
Đặt SA x
: />
x 0 . Trong
SAB ta có:
SA2 SB 2 AB 2 x 2 x 2 a 2 2 x 2 a 2 x
Lại có: SH SB 2 HB 2
a
2
a2 a2 a
2 4 2
2
1
1 .a.a.sin 600 a 3 (đvdt)
S ABC . AB. AC.sin BAC
2
2
4
1
1 a a 2 3 a3 3
(đvtt)
VSABCD .SH .S ABC . .
3
3 2 4
24
+) Trong mp(ABC) gọi O, E lần lượt là trung điểm của AC và AO.
BO AC và HE AC
Ta có HE / / BO và H là trung điểm AB => HE là đường trung bình trong ABD.
HE
1
BO
2
Ta có: BO
AB 2 BC 2 AC 2
a2 a2 a2 a 3
a 3
HE
2
4
2
4
2
4
Qua B kẻ d / / AC
HE d N
Ta có: HN HE
a 3
4
AC / / NB
AC / / SNB
NB SNB
d AC , SB d AC , SNB d A, SNB
Trong SHN . Kẻ HM SN 1
NB HN
NB SNH NB HM
NB SH
2
1 2 HM SNB d H , SNB HM
1
1
1
4 16
28
a 3 a 21
2 2 2 HM
2
2
2
HM
SH
HN
a 3a
3a
14
28
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 7
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
d A; SNB
d H ; SNB
: />
AB
2
HB
d A; SNB 2 HM
a 21
7
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 18. Gọi E là
trung điểm cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt đường chéo AC tại G (G không trùng với C).
2 4
Biết E 1; 1 , G ; và D điểm thuộc đường thẳng d : x y 6 0 . Tìm tọa độ các điểm A,B,C,D.
5 5
A
B
900 DGE
900
+) Tứ giác GECD nội tiếp, mà DCE
G
D thuộc d D d ; 6 d
E
3 9
2 16
GE ; ; GD d ; d
5
5
5
5
D
C
3
2 9 16
5
5 7
GE GD d d 0 d D ;
5
5 5 5
2
2 2
x + y - 6 =0
7 5
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DCEG là I I ;
4 4
2
2
3 10
7
5
45
=> Đường tròn ngoại tiếp EDC : x y
IE
4
4
4
8
1
Gọi C x; y .
1
S ABCD 4 S DEC 4. EC.ED 2 EC.ED 18 EC.ED 9
2
2
2
5
7
x 1 y 1 . x y 18 2
2
2
2
2
Từ (1) và (2) ta có hệ.
Giải hệ => 2 điểm C, 1 điểm cùng phía với G là trung điểm DA. Gọi là C'.
=> A do đối xứng với D qua C'.
=> B do đối xứng với C qua E.
2 x 2 6 xy 17 y 2 17 y 2 6 xy 2 y 2 5 x y
, x
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2
2
x 1 x 2 2 y 6 y 11 x 2 x
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 8
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
: />
Đkxđ: x 2
Với y = 0 hệ vô nghiệm.
Với y 0 . Ta có: chia vế của (1) cho y.
Đặt
x
t . Ta có:
y
2t 2 6t 17 17t 2 6t 2 5 t 1
2t 2 6t 17 t 4
Ta có:
1
Thật vậy ta có:
2
2t 2 6t 17 t 2 8t 16 t 2 2t 1 0 t 1 0 t
Tương tự ta có: 17t 2 6t 2 4t 1 2
Chứng minh tương tự.
Lấy (1) + (2) ta có: VT 5 t 1 VP
Dấu bằng khi t = 1.
Vậy với t = 1 hay
x
2
1
x
1 x y thay vào (2) ta có:
y
x 2 2 x 6 x 11 x 2 x 2 x 2 6 x 12 x 2 2 x 3 x 2 2 x
Với x = 0 => phương trình vô nghiệm
6 x 2 x 2
x2
x2
6 12 x 2
2 2
Với x 0 ta có: 1 2
2 2 1
2
x
x
x
x x x
x
Đặt
x2
t . Ta có:
x
1 6t t 2 t
2
2
2
6t 3 t 2 t 2 6t 3 t 2 t 2 0 t 6t 2 3t 3 0
3
x 0
x 9
x 0
2
t 3 x 2 2x 2
3
4 x 9 x 18 0
x 9
377
TM
8
377
loai
8
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 9
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
: />
Câu 10 (1,0 điểm). Xét x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy xz 1 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
4
thức P xy xz 2 1 1
y 3z
CƠ BÀN LÀ CÁC CÁCH CŨNG GẦN GIỐNG NHAU , CHỈ KHÁC Ở CHỖ DIỄN ĐẠT
CÁCH 1 :
Từgiả thiết ta có : y z
và : 1 z 2
y
x
x
2
y 1 z
Lại có : ( xy xz 2)(1
P (1
1
4
1 z 11 0
x
3z
1
1
) ( x 1)(1 ) (1
y
y
x 2
2 2
) (1
)
y
1 z
2 2
4
) (1 )
1 z
3z
Xét hàm số : f ( z ) (1
f '( z ) (1
2 2
4
) (1 ) với z (0;1)
1 z
3z
2 4
4
4
2
)
(1 ) 2 (1
)
2
1 z (1 z )
3 z 3z
1 z
1
z 2
1 125
f '( z ) 0
f ( z ) max f ( )
2
3
z 3
2
Vậy Pmin
125
1 1
( x; y; z ) (4; ; )
3
4 2
Cách 2:
xy xz 1 x y z
1
1
1 1 1
1
1 . Đặt a x, b ; c 1 . Nên a, b, c 1
x
y
z
a b c
1
1 4
4
3P xy yz 2 1 3 x 1 1 3 a 1 b 1 4c 3
y
z
y z
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 10
GROUP HỌC SINH THẦY QUANG BABY
Facebook thầy Quang
Ta có:
: />
c 1 1 1
2
2c
2
. Lại đặt: t c 1 0 . Ta có:
ab
2
c
a b
c 1
c 1
ab
a 1 b 1 4c 3 4c 3 1
ab
2
2
2
2
2
4c 3 3
4t 1 3 f t
c 1
t
2 t 3t 2 4t 1
2 t 1 3t 1
f 't 4 3
43
2
t
t
t
t2
f ' t 0 t 1 (do: t > 1) bằng bảng biến thiên suy ra: f t f 1 125
3P 125 P
125
125
1 1
. Max
khi a, b, c 4, 4, 2 x, y, z 4; ;
3
3
4 2
Cách 3:
1 xz x
x xz
1
x
x
2 x. z. 2
Ta có: xy xz 1 x x
. Đặt t
y y y
y y
y
y
y
x
0
y
t 2 z.t 2 2t t 1 z 2 * 1 z 0 0 z 1
1 4 x 1 y 1 1 31 z
1 x 1 31 z
Khi đó: P xy xz 2 1 1
.
x 1.
y
3z
3z
y 3z
y y
x
1 3 1 z
1 3 1 z
x
2
1
t 2 2t 1
y
3z
3z
y
Theo (*) ta có: t
4
1 3 1 z
2
4
4
t2
P
1
.
2
1 z 2 1 z
1 z
3z
1 z
4
1 3 1 z 4 4 1 3t
4
1
1 .
f t . Với t 1 z 0 t 1
2
1 z 1 z 3 1 z 3 t 2 t
3t 3
Xét sự biến thiên của hàm số dễ dàng suy ra được hàm số đã cho có GTLN là
t
125
khi
3
1
.
2
Vậy max P
125
1 1
khi x; y; z 4; ;
3
4 2
Nhóm toán thầy Quang : />
Page 11