de cuong ca nam dai so 10

Phần I: ĐẠI SỐ
Chủ đề 1: TẬP HỢP
A- TÓM TẮT KIẾN THỨC

1. Tập hợp
• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
• Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
• Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.
2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
•

A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B )

+
+

A ⊂ A, ∀A

+

A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

∅ ⊂ A, ∀A

A = B ⇔ ( A ⊂ B vaø B ⊂ A )

•
3. Một số tập con của tập hợp số thực
•

N* ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

• Khoảng:

(a; b) = { x ∈ R a < x < b}

;

(a; +∞) = { x ∈ R a < x}

[a; b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b}

Đoạn:

[a; b) = { x ∈ R a ≤ x < b}

• Nửa khoảng:

;

(−∞; b) = { x ∈ R x < b}

(a; b] = { x ∈ R a < x ≤ b}

;

[a; +∞) = { x ∈ R a ≤ x}

(−∞; b] = { x ∈ R x ≤ b}

4. Các phép toán tập hợp

A ∩ B ⇔ { x x ∈ A vaø x ∈ B}

• Giao của hai tập hợp:

A ∪ B ⇔ { x x ∈ A hoaëc x ∈ B}

• Hợp của hai tập hợp:

A \ B ⇔ { x x ∈ A vaø x ∉ B}

• Hiệu của hai tập hợp:
Phần bù:

Cho

B⊂ A

thì

B- BÀI TẬP

Bài 1: Tìm tập hợp các số tự nhiên chẵn,
khác không và nhỏ h ơn 10.

CA B = A \ B

.

;
;

•


Bài 2: Tìm tập hợp các nghiệm của phương
x( x − 1)( x − 2)( x 2 − 1) = 0

trình:
.
Bài 3: Viết tập hợp A={2;3} theo cách nêu
ra tính chất đặc trưng.
Bài 4: Cho hai tâp hợp:

{

}

A = x ∈ Z x3 − 2x2 − x + 2 = 0

{

}

B = x ∈ Z x 2 − 3x + 2 = 0

Hãy đặt dấu

⊂, ⊄

7)
9)

( −∞;0) ∩ (0;1)
( −3;3) \ (0;5)

Bài 6: Tập hợp con A có bao nhiêu phần tử
con, nếu:
a) A có 2 phần tử?
b) A có 3 phần tử?
c) A có 4 phần tử?
Bài 7: Cho các tập hợp:

C = { x ∈ ¡ x < −1}
D = { x ∈ ¡ x ≥ 5}

a) Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng
để viết lại các tập hợp trên.
b) Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên
trục số.
Bài 8: Xác định mỗi tập hợp số sau và biểu
diễn trên trục số.
1)
3)
5)

(−5;3) ∪ (0;7)
¡ \ (0; +∞)

( −3;3) ∪ ( −1; 0)

2)
4)
6)

(−1;5) ∪ (3;7)
( −∞;3) ∪ ( −2; +∞)

(−1;3) ∪ [ 0;5]

( −2;3) \ (−3;3)

{ x ∈ R 2 x 2 − 3x + 1 = 0}

{ x∈R

2 x − 1 = 1}

,

B=
.
d) A = Tập các ước số của 12, B = Tập các
ước số của 18.

{ x ∈ R (x + 1)( x − 2)( x 2 − 8x + 15) = 0}

e) A =
B = Tập các số nguyên tố có một chữ số.

f) A =
B=

A = { x ∈ ¡ −3 ≤ x ≤ 2}

B = { x ∈ ¡ 0 < x ≤ 7}

( −5;5) \ (−3;3)

11)
12)
Bài 9: Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với:
a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12}
b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}

giữa A và B.

Bài 5: Cho
. Hãy
tìm các tập hợp con của A và tập hợp con
đó có chứa phần tử 0.

10)

¡ \ [ 0;1]

c) A =

A = { x x( x − 1)( x − 2) = 0}

8)

( −2; 2] ∩ [ 1;3)

g) A =

{ x ∈ Z x 2 < 4}

,

{ x ∈ Z (5x − 3x 2 )( x 2 − 2 x − 3) = 0}
{ x ∈ N ( x 2 − 9)( x 2 − 5x − 6) = 0}
{ x ∈ N x laø soá nguyeân toá , x ≤ 5}

.

,

B=
.
Bài 10: Tìm các tập hợp A, B sao cho:
a) A∩B = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2},
B\A = {6; 9; 10}.
b) A∩B = {1;2;3}, A\B = {4; 5},
B\A = {6; 9}.
Bài 11: Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A
với:
a) A = [–4; 4], B = [1; 7]
b) A = [–4; –2], B = (3; 7]
c) A = [–4; –2], B = (3; 7)

d) A = (–∞; –2], B = [3; +∞)
e) A = [3; +∞), B = (0; 4)
f) A = (1; 4), B = (2; 6)
Bài 12: Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với:
a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2)
b) A = (–∞; –2], B = [3; +∞), C = (0; 4)


c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1]
d) A = (−∞; 2], B = [2; +∞), C = (0; 3)
e) A = (−5; 1], B = [3; +∞), C = (−∞; −2)
Bài 13: Xác định tập hợp
a)

A∩ B

A = [ 1;5] ; B = ( −3; 2) ∪ (3;7)

{

;

}

.

}

b) CMR:

{

}

,

A ∩ B, A ∪ B , A \ B , B \ A

Tính
.
Bài 20: Cho hai tập hợp sau:

{

}

A = x ∈ Z x2 − 6 x + 8 ≤ 0

B = x ∈ ¥ x( x − 4) = 0

a) Tính

}

,

,
.

E \ A, E \ B, E \ ( A ∩ B)

{

B = x ∈ ¡ x2 − 4x + 3 ≤ 0

A = x ∈ ¥ x( x 2 − 1) = 0

}

.

A = x ∈ ¡ x 2 − 3x + 2 ≤ 0

E = x ∈ Z x( x − 1)( x − 4) = 0

{

A ∩ B, A ∩ C , B ∪ C

Bài 19: Cho hai tập hợp:

Tính
Bài 16: Cho ba tập hợp:

2

.

A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

A ∩ B, A ∪ B , A \ B , B \ A

}

}

,

}

{

{

,

b) Chứng minh:

B = x ∈ Z − x + 3x − 2 = 0

{

}

.

A = x ∈ Z x 2 + 3x + 2 = 0

2

{

a) Tính

}

,

C = x ∈ Z x ( x 2 − 5 x + 6) = 0

Tính
Bài 15: Cho tập hợp

2

}

.

B = x ∈ Z x ( x 2 − 4 x + 3) = 0

A ∩ B, A ∪ B , A \ B , B \ A

{

Tính
Bài 18: Cho ba tập hợp:

{

B = x ∈ ¡ x − 3x + 2 = 0

2

}

A = x ∈ Z x4 − 5x2 + 4 = 0

}

{

,

A ∩ B, A ∪ B , A \ B , B \ A

A = x ∈ ¡ x − 4x + 3 = 0
2

}

B = x ∈ Z − x 4 − 3x 2 + 4 = 0

b)
Bài 14: Cho tập hợp

{

{

A = x ∈ Z x4 − 5x2 + 4 = 0

{

với

A = ( −5;0) ∪ (3;5); B = ( −1; 2) ∪ (4;6)

2

Bài 17: Cho hai tập hợp

{

,

}

B = x ∈ Z x 2 − 8 x + 15 ≤ 0

.

E \ ( A ∩ B ) = ( E \ A) ∪ ( E \ B )

.

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ
I. HÀM SỐ
1. Định nghĩa
• Cho D ⊂ R, D ≠ ∅. Hàm số f xác

định trên D là một qui tắc đặt tương
ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một
số y ∈ R.
• x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị

.

A ∩ B, A ∪ B , A \ B , B \ A

Tính
.
của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x).
• D đgl tập xác định của hàm số.

{ y = f ( x ) x ∈ D}

•T=
đgl tập giá trị của
hàm số.
2. Cách cho hàm số
• Cho bằng bảng
Cho bằng biểu đồ • Cho bằng công thức


y = f(x).
Tập xác định của hàm số y = f(x) là
tập hợp tất cả các số thực x sao cho
biểu thức f(x) có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định

trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
M ( x; f ( x ) )

R( x )

2) Hàm số y =
: Điều kiện xác định:
R(x) ≥ 0.
Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp
các điều kiện với nhau.
+ Điều kiện để hàm số xác định trên
tập A là A ⊂ D.
A ≠ 0

B ≠ 0

trên mặt phẳng toạ độ với

mọi x ∈ D.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm
số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói
y = f(x) là phương trình của đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
• Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng)
trên K nếu
∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

• Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm)
trên K nếu

1

a)

b)

{ x∈R

f ( x ) coù nghóa}

=
.
• Điều kiện xác định của một số hàm số
thường gặp:
P( x )
Q( x )

1) Hàm số y =
:
Điều kiện xác định: Q(x) ≠ 0.

. Tính f(0), f(2), f(–2), f(3).
x −1

2

2 x − 3x + 1

. Tính f(2), f(0), f(3),

f(–2).
c)

f (x) = 2 x −1 + 3 x − 2

. Tính f(2), f(–2),

f(0), f(1).

d)

 2
 x − 1 khi x < 0

f ( x ) =  x + 1 khi 0 ≤ x ≤ 2
2
 x − 1 khi x > 2

. Tính f(–2),

f(0), f(1), f(2) f(3).

e)
2

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số
• Tìm tập xác định D của hàm số y =
f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến
số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa:D

f ( x ) = −5 x

f (x) =

∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

5. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
• Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với
∀x ∈ D thì –x ∈ D và f(–x) = f(x).
• Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với ∀x ∈
D thì –x ∈ D và f(–x) = –f(x).
Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận
trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ
độ làm tâm đối xứng.

+ A.B ≠ 0 ⇔
.
Tình giá trị của các hàm số sau tại
các điểm đã chỉ ra:

−1

f ( x ) = 0
1

. Tính f(–2),

f(–1), f(0), f(2), f(5).
Tìm tập xác định của các hàm số
sau:
y=

a)
y=

d)
y=

f)

khi x < 0
khi x = 0
khi x > 0

2x +1
3x + 2

y=

b)

x −3
5 − 2x

x
x2 − 3x + 2

y=

e)

3x

y=

2

x + x +1

g)

y=

c)

4
x+4

x −1
2 x 2 − 5x + 2
x −1
x3 + 1


y=

h)

y=

i)

x4 + 2x2 − 3

Tìm tập xác định của các hàm số
sau:

y = x −1 +

c)

e)

( x − 2)( x 2 − 4 x + 3)

y = 2x − 3

1
x −3

y=

d)

y = x +3−2 x + 2
y = 2x −1 +

f)

1
3− x

5 − 2x

∀x1 , x2 ∈ K : x1 ≠ x2 ⇒

1

.

(1; +∞)

x
x +1

trên các khoảng

.

trên các khoảng

(−∞; −1)

và

f)

2x + 3

−x + 2

trên các khoảng

(−∞; 2)

và

(2; +∞)

Gợi ý: a)
∀x1 ; x2 ∈ D, x1 ≠ x2 :

f ( x2 ) − f ( x1 )
>0
x2 − x1

∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

x2 − x1

và

f ( x) =

2

x −4

f ( x2 ) − f ( x1 )

và

(−2; +∞)

(−1; +∞)

y = f(x) nghịch biến trên K ⇔

∀x1 , x2 ∈ K : x1 ≠ x2 ⇒

và

trên các khoảng

f ( x) = − x + 2 x + 5

e)

( x − 2) x − 1

⇔

⇔
<0

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của
các hàm số sau trên các khoảng được chỉ ra.
a)
(3;10)

( −∞; −2)

f ( x) =

∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

f ( x ) = −2 x 2 − 7

c)

f ( x) = x 2 + 4 x + 1

(−∞;1)

( x + 2) x − 1

y = x +3 +

(−∞; 7)

(7; +∞)

d)

1

y=

trên các khoảng

2

g)
h)
VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
• y = f(x) đồng biến trên K ⇔

•

b)

y = 4 − x + x +1

b)

x
x−7

f ( x) =

1

3

a)

2x + 1

trên các khoảng (-4;0) và

f ( x2 ) − f ( x1 ) −2 x22 − 7 − (−2 x12 − 7)
=
x2 − x1
x2 − x1
=

+

2( x12 − x22 ) 2( x1 − x2 )( x1 + x2 )
=
= −2( x1 + x2 )
x2 − x1
x2 − x1

∀x1 ; x2 ∈ ( −4;0); x1 ≠ x2

:

 x1 < 0
⇒ x1 + x2 < 0 ⇒ −2( x1 + x2 ) > 0

x
<
0
 2

Vậy hàm đồng biến trên khoảng (-4;0).
+

∀x1 ; x2 ∈ (3;10); x1 ≠ x2

:

 x1 > 0
⇒ x1 + x2 > 0 ⇒ −2( x1 + x2 ) < 0

 x2 > 0

Vậy hàm nghịch biến trên khoảng (3;10)
b)


∀x1 ; x2 ∈ D, x1 ≠ x2 :
f ( x2 ) − f ( x1 ) =

x2
x
7( x1 − x2 )
− 1 =
x2 − 7 x1 − 7 ( x1 − 7)( x2 − 7)

f ( x2 ) − f ( x1 )
−7
=
x2 − x1
( x1 − 7)( x2 − 7)

+

∀x1 ; x2 ∈ (−∞;7); x1 ≠ x2

:

 x1 < 7
x − 7 < 0
⇒ 1
⇒ ( x1 − 7)( x2 − 7) > 0

 x2 < 7  x2 − 7 < 0
−7
⇒
<0
( x1 − 7)( x2 − 7)

Vậy hàm nghịch biến trên khoảng
+

∀x1 ; x2 ∈ (7; +∞); x1 ≠ x2

( −∞; 7)

:

 x1 > 7
x − 7 > 0
⇒ 1
⇒ ( x1 − 7)( x2 − 7) > 0


x
>
7
x
−
7
>
0
 2
 2
−7
⇒
<0
( x1 − 7)( x2 − 7)

Vậy hàm nghịch biến trên khoảng

(7; +∞)


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
• Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
• Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số lẻ.

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.
+ Nếu ∃x ∈ D mà f(–x) ≠ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.
Bài 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
f ( x) = 2 x + 3
a)

e)

f ( x) = 3 x 2 − 1

f ( x) =

b)

g)

x2 + 2
x

c)

f ( x) = x 3 − 1
f ( x) =

f ( x) = − x 4 + 3 x − 2

h)

d)

f ( x ) = −2

− x + x2 + 1
x
4

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)
• Tập xác định: D = R.
• Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.
+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
• Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).
α
a = tan α
* Nếu ta gọi là góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b với tia dương Ox của trục thì
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d′): y = a′x + b′:
+ (d) song song với (d′) ⇔ a = a′ và b ≠ b′.
+ (d) trùng với (d′) ⇔ a = a′ và b = b′.
+ (d) cắt (d′) ⇔ a ≠ a′.
2. Hàm số

y = ax + b

(a ≠ 0)


ax + b
y = ax + b = 
−(ax + b)


b
a
b
khi x < −
a

khi x ≥ −

y = ax + b

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số
ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và
y = –ax – b, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1

a)

y = 2x − 7

b)

y=

y = −3 x + 5

c)
7

x −3
2

y=

d)

5− x
3


Trường THPT Sóc Sơn
2

GV: Nguyễn Thị Hương

Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số
a) Đi qua gốc tọa độ O
b) Đi qua điểm M(–2 ; 3)
c) Song song với đường thẳng

3

y = ax + b

:

b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d:

y = –3x + 4

:

y = 2.x

Xác định a và b để đồ thị của hàm số
a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8).

c) Cắt đường thẳng d1:

y = −2 x + k ( x + 1)

 y = 2 x + 5

2
y = − x +1
3

.

tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d2:

tại điểm có tung độ bằng –2.
y=

d) Song song với đường thẳng
1
y = − x +1
2

1
x
2

và đi qua giao điểm của hai đường thẳng

y = 3x + 5

và
.
Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt
và đồng qui:

4

a)
b)
c)
d)

y = 2 x;

y = − x − 3; y = mx + 5

y = –5( x + 1); y = mx + 3;

y = 3x + m

y = 2 x − 1; y = 8 − x; y = (3 − 2m) x + 2

y = (5 − 3m) x + m − 2; y = − x + 11;

y = − x + 5;

y = 2 x − 7;

y = x +3

y = (m − 2) x + m 2 + 4

e)
Bài 6:Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng y=ax+b
a) Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đường thẳng y=-3x+4 tại
điểm có tung độ bằng -2
y=
b) Song song với đường thẳng

1
x
2

và đi qua giao điểm của hai đường thẳng

1
y = − x +1
2

và y=3x+5.
c) Đi qua điểm A(1;-1) và tạo với tia Ox một góc bằng 600

III. HÀM SỐ BẬC HAI
8


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương
y = ax 2 + bx + c

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:

(a ≠ 0)

 b
∆ 
I − ;− ÷
 2a 4a 

x=−

• Đồ thị là một parabol có đỉnh
, nhận đường thẳng
xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:
– Xác định toạ độ đỉnh

b
2a

làm trục đối

 b
∆
I  − ;− ÷
 2a 4a 

.

x=−

b
2a

– Xác định trục đối xứng
và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các
trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
+ Đối với hàm số dạng hàm bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta dùng định nghĩa
khi A ≥ 0
A
A =
 − A khi A < 0

đưa về hàm thành phần

y = ax + bx + c
2

* Đặc biệt
( P) : y = ax 2 + bx + c

+ Vẽ parabol
+ Giữ nguyên phần (P) trên trục Ox
+ Lấy đối xứng phần (P) dưới Ox qua Ox.
Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1

a)

d)
2

a)
c)

y = x2 − 2x

b)

1
y = − x2 + 2x − 2
2

y = − x2 + 2x + 3

c)

y = x2 − 4x + 4

y = − x2 + 2x − 2
y = −x2 − 4x + 1

e)
f)
Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau:
y = x − 1;

y = x2 − 2x − 1

y = 2 x − 5;

y = x2 − 4x + 4

b)

y = − x + 3;

d)
9

y = − x2 − 4x + 1

y = x 2 − 2 x − 1; y = x 2 − 4 x + 4


Trường THPT Sóc Sơn
e)

GV: Nguyễn Thị Hương

y = 3 x 2 − 4 x + 1; y = −3 x 2 + 2 x − 1

f)

y = 2 x 2 + x + 1; y = − x 2 + x − 1

Xác định parabol (P) biết:

3

x=

2

y = ax + bx + 2

a) (P):

y = ax 2 + bx + 3

b) (P):

y = ax 2 + bx + c

c) (P):

y = ax 2 + bx + c

d) (P):

y = ax 2 + bx + c

e) (P):

đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng
đi qua điểm A(–1; 9) và có trục đối xứng

3
2

.

x = −2

.

đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; –4).
đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4).
đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0).

y = x 2 + bx + c

f) (P):
đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng –1.
Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
y=

1 2
x + 2x − 6
2

y = −0,5 x 2 + 3 x − 2,5

y = x2 − 2 x + 1

b)

a)

c)

y = x − 3x + 2
2

Bài 5: Cho hàm số
có đồ thị là (P)
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vào (P) biện luận theo m số nghiệm chung của parabol (P) với đường thẳng
y = m −1

HD:

y=m-1

•

Nếu

m −1 < 0 ⇒ m < 1

thì (d) không cắt đồ thị hàm số đã cho

10

⇒

pt (1) vô nghiệm.


Trường THPT Sóc Sơn
•

Nếu

m −1 = 0 ⇒ m = 1

x1 = 1; x2 = 2

Nếu
nghiệm.
m −1 =

•

Nếu
m −1 >

thì (d) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm

⇒

pt (1) có 2 nghiệm

.

0 < m −1 <
•

GV: Nguyễn Thị Hương

1
5
⇒04
4

1
5
⇒m=
4
4

thì (d) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4 điểm

thì (d) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm

1

5
⇒m>
4
4

⇒

⇒

pt (1) có 4

pt (1) có 3 nghiệm.

⇒

Nếu
thì (d) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm
pt (1) có 2 nghiệm.
Bài 6: Cho Parabol (P) và đường thẳng (d): y=mx+1. Tìm m để (d) tiếp xúc (P)
•

Bài 7: Cho hai Parabol (P1):
điểm phân biệt.

y = x2 − 2x

và(P2):

y = − x2 + 2 x − m

. Tìm m để (P2) cắt (P1) tại hai

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Một số phương trình quy về bậc nhất và bậc hai
1. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
A. Tóm tắt lý thuyết .
• Phương pháp chung là khử dấu giá trị tuyệt đối , thông thường ta thường gặp các loại
sau :

Loại 1 .

 f ( x) = a
f ( x) = a ( a > 0) ⇔ 
 f ( x) = −a

Loại 2 .

Loại 3 .

Chú ý .
• Tính chất :

 f ( x) = g ( x)
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 f ( x) = − g ( x)

 g ( x) ≥ 0

f ( x ) = g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x )
  f ( x) = − g ( x )


 A khi A ≥ 0
A =
− A khi A < 0

11


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

A + B = A + B ⇔ A.B ≥ 0
*

;

A ≥ 0
A + B = A− B ⇔ 
B ≤ 0

A ≥ 0
A + B = A+ B ⇔ 
B ≥ 0

A − B = A + B ⇔ AB ≤ 0

*
;
B. Bài tập áp dụng

Câu 1 .Giải các phương trình sau :

x2 − 2 x − 6 = 6

3x − 5 = 6
a)

b)

c)

1− 2 x − 5 =

4 x−3 =9
d)
e)
Câu 2 . Giải các phương trình sau :

2 x + 3 = 3x − 5
a)

2x2 − 4x + 3 = 3

3
4

7 − 2 3x − 5 = 6
f)

b)

x2 − x − 2 = x + 6

3x 2 − 2 − x 2 − 6 = 0

x − 5 = 6x −1
c)

x3 − x = x3 + x 2 − 2

2 x − 5 = 3x + 2

d)
e)
f)
2. Phương trình chứa căn thức bậc hai .
A.Tóm tắt lí thuyết : Phương pháp chung là khử dấu căn thức bậc hai bằng cách bình phương
hai vế của phương trình . Thông thường ta gặp các loại sau :

f ( x) = a ( a > 0) ⇔ f ( x) = a 2
Loại 1:

Loại 2 :

Loại 3 :

Loại 4 :
Ghi nhớ

 g ( x) ≥ 0 ( hay f ( x) ≥ 0 )

f ( x) = g ( x) ⇔ 
 f ( x ) = g ( x)

 g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x ) ⇔ 
2
 f ( x ) = ( g ( x ) )
 f ( x) ≥ 0

f ( x ) + g ( x ) = h( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0

 f ( x) + g ( x) + 2 f ( x).g ( x) = h( x)

12


Trường THPT Sóc Sơn

*

GV: Nguyễn Thị Hương

 A . B neáu A ≥ 0 vaø B ≥ 0
AB = 
 − A . − B neáu A ≤ 0 vaø B ≤ 0



A 
=

B 


;

A
B

neáu A ≥ 0 vaø B ≥ 0

−A
neáu A ≤ 0 vaø B ≤ 0
−B

A + B ≤ A + B ≤ 2( A + B)
*

A = 0
A+B = A + B ⇔ 
B = 0

A + B = 2( A + B ) ⇔ A = B

*
;
B. Hệ thống các bài tập .
Câu 1 . Giải các phương trình sau :
a)

2x + 3 = 4

b)

( x + 5) ( 3x + 4 )

= 4(x − 1)

d)

e)

x 2 − 6x + 6 = 2x − 1
x 2 − 2x = 2x − 3

c)

− x 2 + 4x = 2x − 2
x2 − 8 = 4 − x

f)

x + 21 =
x − x = 4x − 6
2

g)
h)
Câu 2 . Giải các phương trình sau :
a)

x − 4x = 5x − 8
2

3x + 4 − 2x + 1 = x + 3

b)

i)

( 3−

2x 2
9 + 2x

)

2

16 − x + 9 + x = 7

3 . Một số phương trình vô tỉ được giải bằng cách đưa về hệ phương trình
A . Tóm tắt lí thuyết :
m

a − f (x) + m b + f (x) = c ( m ≥ 2, m ∈ N )

a) Loại 1:

Đặt

u = m a − f (x)
u m = a − f (x)
⇒ m
⇒ u m + vm = a + b

 v = m b + f (x)  v = b + f (x)

chuyển thành :
m

u + v = c
 m
m
u + v = a + b

. Phương trình đã cho được

( Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 )

a − f (x) + n b + f (x) = c ( m, n ≥ 2,m ∈ N,n ∈ N)

b) Loại 2 :

13


Trường THPT Sóc Sơn

Đặt

GV: Nguyễn Thị Hương

u = m a − f (x)
u m = a − f (x)
⇒ n
⇒ u m + vn = a + b

 v = n b + f (x)  v = b + f (x)

Phương trình đã cho được chuyển thành :
c) Loại 3 :

Đặt

u + v = c
 m
n
u + v = a + b

Phương trình đã cho chuyển thành :
B . Hệ thống các bài tập
Câu 1. Giải các phương trình sau :

a)

.

c1. m ax + α + c 2 . n β − bx = c3 ( m, n ≥ 2, m ∈ N , n ∈ N )

 um − α

u = m ax + α  a = x
u m − α β − vn
⇒
⇒
=

n
n β − bx
a
b
β
−
v
v
=


=x
 b

4

.

c1.u + c 2 v = c3
 m
 u − α β − vn
=

b

 a

3

18 − x + x − 1 = 3
4

b)

x + 1 = 2 2x − 1
3

.

1
1
+x +
− x =1
2
2

2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0

3

c)
d)
Câu 2 . Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình :
x +1 + 4 − x +
a)

(

( x + 1) ( 4 − x )

)

=5

3

e)

2 − x = 1 − x −1

( 2 − x)

4

56 − x + 4 x + 41 = 5

2

+ 3 ( 7 + x ) − 3 (7 + x)(2 − x) = 3
2

b)

x 3 35 − x 3 . x + 3 35 − x 3 = 30
c)

3

( ĐHKA2009)

d)
f)

x2 + x + 5 = 5

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1 . Hệ phương trình đối xứng loại I
A) Tóm tắt lí thuyết .
1) Định nghĩa : Hệ phương trình hai ẩn số x , y gọi là hệ đối xứng loại I nếu thay x bởi y và y
bởi x thì hệ không thay đổi .
2) Cách giải :
14


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

S = x + y , P = xy
Đặt
. Biến đổi hệ phương trình đã cho về một hệ hai ẩn mới là S và P
Giải hệ phương trình hai ẩn để tìm S và P
X 2 − SX + P = 0
• Khi đó x , y là nghiệm của phương trình tổng tích :
Chú ý :

a) Nếu đặt S= x + y , P = xy . Thì ta có :
2
3
x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2xy = S2 − 2P x 3 + y3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = S3 − 3SP
;
;
•
•

(

x 4 + y 4 = S2 − 2P

)

2

− 2P 2 ; x 2 y + y 2 x = SP
, …vv

S ≥ 4P
2

b) Điều kiện để hệ có nghiệm là :
c) Nếu

( x 0 ; y0 )

( y0 ; x 0 )

là nghiệm của hệ thì
cũng là nghiệm của hệ . Do đó để hệ
phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là : x0 = y0 .
B) Hệ thống các bài tập :
Câu 1. Giải các hệ phương trình sau :
 x 2 + y 2 + xy = 7
 xy + x + y = 11
 xy + x + y = 11

 2
 2
4
4
2 2
2
2
 x + y + y x = 21
 x y + y x = 30
 x + y + 3(x + y) = 28
a)
b)
c)
 x + y = 4
 x 3 + y3 = 35
 x 3 + y3 + x 3 y3 = 17
 2
 2
2
3
3


2
 x y + y x = 30
 x + y x + y = 280
 x + y + xy = 5
d)
e)
f)
 x 2 + y 2 = 5
 xy + x + y = 3
 xy + x + y = 5
 4
 2
 2
2 2
4
2
2
 x − x y + y = 13
x y + y x = 2
x + y = 5
g)
h)
k)
Câu 2. Giải các hệ phương trình sau :

(

a)

)(

1
1

x + x + y + y = 4


x 2 + y2 + 1 + 1 = 4

x 2 y2

)



1 
( x + y ) 1 + ÷ = 5
 xy 


 x 2 + y 2 1 + 1  = 49

2 2 ÷

 x y 


(

b)

 x + x 2 + y + y 2 = 8

 xy ( x + 1) ( y + 1) = 12

c)
2 . Hệ phương trình đối xứng loại II .
A)Tóm tắt lí thuyết :

d)

15

)

1
1

x
+
+
y
+
=5

x
y



 x 3 + 1 + y3 + 1 = 20

x3
y3


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

1) Định nghĩa : Hệ phương trình hai ẩn số x , y gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu ta thay x bởi y và
y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia .
2) Cách giải :
• Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được phương trình tích dạng :
x = y
( x − y ) f (x ; y) = 0 ⇔ 
f (x ; y) = 0
Chuyển hệ phương trình ban đầu thành hai hệ mới , giải từng hệ PT này ta được nghiệm
của hệ đã cho .
B) Hệ thống các bài tập .
Câu 1. Giải các hệ phương trình sau :
 x 3 + 1 = 2y (1)
 x 3 = 3x + 8y
 x 3 = 2y + x + 2
 3
 3
 3
 y + 1 = 2x (2)
 y = 3y + 8x
 y = 2x + y + 2

a)
b)
c)
•


y2 + 2
3y =
x2


2
3x = x + 2

y2

2x 2 − 3x = y 2 − 2
 2
2
2y − 3y = x − 2

d)
e)
3 . Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
A)Tóm tắt lí thuyết :

f)

1 3


2x
+
=

y x


2y + 1 = 3

x y


a1x 2 + b1xy + c1y 2 = d1
 2
2
a 2 x + b 2 xy + c 2 y = d 2

1) Định nghĩa . Hệ phương trình có dạng :
2) Cách Giải
• Xét x= 0 có phải là nghiệm của hệ phương trình hay không .
x≠0
• Xét
.
 Đặt y = tx , thế vào hệ , khử x , ta được phương trình bậc hai theo t .
 Giải phương trình tìm nghiệm t rồi suy ra nghiệm ( x ; y) của hệ .
B) Hệ thống các bài tập
Câu 1.Giải hệ phương trình sau :

a)

c)

e)

2
2
 x + 2xy + 3y = 9
(I )
 2
2
2x + 2xy + y = 2

3x 2 + 2xy + y 2 = 11
 2
2
 x + 2xy + 3y = 17
 x 2 − 2xy + 3y 2 = 9
 2
2
 x − 4xy + 5y = 5

b)

d)

f)
16

2
2

 x − 3xy + y = −1
 2
2
3x − xy + 3y = 13

 x 2 − 2xy + 3y 2 = 9
 2
2
2x − 13xy + 15y = 0
3x 2 − 2xy = 16
 2
2
 x − 3xy − 2y = 8


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Câu 2 . Giải các hệ phương trình sau :
x − y = 7

 xy(x − y) = 2
3

a)

3

b)

(
(

)
)

( x − y ) x 2 − y2 = 3


2
2
( x + y ) x + y = 15

4 . Hệ phương trình được giải bằng phương pháp thế và phương pháp đặt ẩn số phụ
Câu 1 . Giải các hệ phương trình sau :

a)

1
1

 x − x = y − y (1)

2y = x 3 + 1
(2)


b)

 y + xy 2 = 6x 2

2 2
2
1 + x y = 5x

 x 2  x 3
 ÷ +  ÷ = 12
 y   y 

2
( xy ) + xy = 6

c)

1 + x 3 y3 = 19x 3

2
2
 y + xy = −6x

(

a)

c)

2
2
3


5x y − 4xy + 3y − 2(x + y) = 0

2
xy x 2 + y 2 + 2 = ( x + y )



(

e)

f)

)

b)

 x ( x + y + 1) − 3 = 0


5
2
( x + y ) − 2 + 1 = 0

x

d)

)

( KA-2011)

 x 2 + 1 + y(y + x) = 4y
 2
 x + 1 ( x + y − 2 ) = y

(

d)
e)
Câu 2 . Giải các hệ phương trình sau :

( 2x + y ) 2 − 5 4x 2 − y 2 + 6 ( 2x − y ) 2 = 0


1
=3
2x + y +
2x − y


 x 2 + y2 − 3x + 4y = 1
 2
2
3x − 2y − 9x − 8y = 3

f)

)

 xy + x + 1 = 7y
 2 2
2
 x y + xy + 1 = 13y
5
 2
3
2
 x + y + x y + xy + xy = − 4

 x 4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − 5

4
x

x + y + y = 5


( x + y ) . x = 6

y


CHỦ ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Vấn đề 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
−2 x +

a)

3 3 ( 2 x − 7)
>
5
3

3−

b)

2x + 1
3
> x+
5
4

17


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

5( x − 1)
2( x + 1)
−1 <
6
3

2+

3( x + 1)
x −1
< 3−
8
4

c)
d)
Bài 2: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)

m( x − m ) ≤ x − 1

2

mx + 1 > m + x

b)

mx + 6 > 2 x + 3m

c)

m( x − 2) x − m x + 1
+
>
6
3

2

d)
e)
Bài 3: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a)
c)

Bài 1.

a)

d)
Bài 2.

a)

m 2 x + 4m − 3 < x + m 2

b)

mx − m 2 > mx − 4

d)

f)

(m + 1) x + m < 3m + 4

3 − mx < 2( x − m ) − (m + 1)2

m 2 x + 1 ≥ m + (3m − 2) x
3 − mx < 2( x − m ) − (m + 1)2

Vấn đề 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Giải các hệ bất phương trình sau:

15 x − 8
8 x − 5 > 2

2(2 x − 3) > 5 x − 3

4

b)

 4x − 5
 7 < x +3

 3x + 8 > 2 x − 5
 4

x
4
2 ≤ x + 3

 2 x − 9 < 19 + x
 3
2


1
15 x − 2 > 2 x + 3

2 ( x − 4 ) < 3 x − 14

2

 x + m −1 > 0

3m − 2 − x > 0

 x + 4m 2 ≤ 2mx + 1

3 x + 2 > 2 x − 1

e)
Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

b)

c)

f)

c)

4
1
 3 − 12 x ≤ x + 2


 4x − 3 < 2 − x
 2
3
 3 x − 1 3( x − 2)
5 − 3x
−1 >
 4 −
8
2

4
x
−
1
x
−
1
4
−
5
x
3 −
>
−

18
12
9

mx − 1 > 0

(3m − 2) x − m > 0

Vấn đề 3: Bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất một ẩn
I . BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .
1.TÓM TẮT : Phương pháp chung là khử dấu giá trị tuyệt đối ta thường gặp các loại sau :
 A > −B
A > B
A < B ⇔ −B < A < B ⇔ 
A >B⇔ 
A < B
 A < −B
Loại 1 .
Loại 2 .
2
2
A > B ⇔ A > B ⇔ (A − B)(A + B) > 0
Loại 3 .
Chú ý .
18


Trường THPT Sóc Sơn

1)

GV: Nguyễn Thị Hương

A khi A ≥ 0

A =
− A khi A < 0

2

A =A

A ≥0

2

2)

5)

. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi

A−B ≤ A + B
6)

A.B = A . B

3)

A+B ≤ A + B

. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi

A
A

=
B
B

4)

và

A.B ≥ 0
A.B ≤ 0

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a)
d)

( x + 1)( x − 1)(3x − 6) > 0

b)

3 x(2 x + 7)(9 − 3 x ) ≥ 0

x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10 < 0

(2 x − 5)( x + 2)
>0
−4 x + 3

x −3 x +5
>

x +1 x − 2

e)
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a)

d)

g)

3x − 4
>1
x −2

b)

e)

−4
3
<
3x + 1 2 − x

h)
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a)

(2 x − 7)(4 − 5 x ) ≥ 0

3 x + 15 ≥ 3

2x − 5 ≤ x +1

d)

2x − 5
≥ −1
2− x

2x2 + x
≥ 1− x
1− 2x

x −1 >

b)
e)

x +1
2

2x + 1 ≤ x

c)
f)

c)

f)

i)

x 2 − x − 20 > 2( x − 11)
x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 > 0

x − 3 1− 2x
<
x +5 x −3
2
5
≤
x −1 2x −1
2 x − 5 3x + 2
<
3x + 2 2 x − 5

x −2 <

c)
f)

x
2

x − 2 > x +1

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Vấn đề 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
a)

d)

3x 2 − 2 x + 1

b)

(3 x 2 − 10 x + 3)(4 x − 5)

(3x 2 − 4 x )(2 x 2 − x − 1)

2 x2 − 5x + 2 < 0

−5 x 2 + 4 x + 12 < 0

e)
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a)
d)

− x2 + 4 x + 5

−2 x 2 + 3 x − 7 ≥ 0

b)
e)

3x 2 − 4 x + 4 ≥ 0

19

c)

3x 2 − 2 x − 8

(3x 2 − x )(3 − x 2 )

f)

c)
f)

4x2 + x − 3
16 x 2 + 40 x + 25 > 0
x2 − x − 6 ≤ 0


Trường THPT Sóc Sơn
−3 x 2 − x + 4

g)

x 2 + 3x + 5

GV: Nguyễn Thị Hương
4 x2 + 3x −1

>0

x 2 + 5x + 7

5x 2 + 3x − 8

>0

h)
Bài 3. Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

d)

2 x 2 + 9 x + 7 > 0
 2
 x + x − 6 < 0

b)

 x2 + 4x + 3 ≥ 0
 2
2 x − x − 10 ≤ 0
2 x 2 − 5 x + 3 > 0


i)

2 x 2 + x − 6 > 0
 2
3 x − 10 x + 3 ≥ 0

− x 2 + 4 x − 7 < 0
 2
 x − 2 x − 1 ≥ 0

c)

x2 − 7x + 6

<0

−2 x 2 − 5x + 4 < 0
 2
− x − 3 x + 10 > 0

 x 2 + x + 5 < 0
 2
 x − 6 x + 1 > 0

e)
f)
Vấn đề 2: Phương trình bậc hai. Tam thức bậc hai
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau:
i) có nghiệm
ii) vô nghiệm
a)
c)
e)

(m − 5) x 2 − 4mx + m − 2 = 0
(3 − m ) x 2 − 2(m + 3) x + m + 2 = 0

b)
d)

(m − 2) x 2 + 2(2m − 3) x + 5m − 6 = 0
(1 + m ) x 2 − 2mx + 2m = 0

(m − 2) x 2 − 4mx + 2m − 6 = 0

(−m 2 + 2m − 3) x 2 + 2(2 − 3m ) x − 3 = 0

3 x 2 + 2(m − 1) x + m + 4 > 0

x 2 + (m + 1) x + 2m + 7 > 0

f)
Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
c)
e)

2 x 2 + (m − 2) x − m + 4 > 0

b)
d)

mx 2 + (m − 1) x + m − 1 < 0

(m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + 3(m − 2) > 0

3(m + 6) x 2 − 3(m + 3) x + 2m − 3 > 3

(m + 2) x 2 − 2(m − 1) x + 4 < 0

(m − 3) x 2 + (m + 2) x − 4 > 0

f)
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a)
c)
e)

(m 2 + 2m − 3) x 2 + 2(m − 1) x + 1 < 0
(3 − m) x 2 − 2(2m − 5) x − 2m + 5 > 0

b)
d)

mx 2 + 2(m − 1) x + 4 ≥ 0
mx 2 − 4(m + 1) x + m − 5 < 0

f)
Vấn đề 3: Bất phương trình quy về bậc hai
I . BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
1. Kiến thức cần nhớ : Phương pháp chung là khử dấu căn thức bậc hai . Ta thường gặp một
trong các dạng sau :

1)

B > 0


A < B ⇔ A ≥ 0

2
A < B

2)
20

B ≥ 0

A ≤ B ⇔ A ≥ 0

2
A ≤ B


Trường THPT Sóc Sơn

3)

GV: Nguyễn Thị Hương

B < 0  B ≥ 0
A >B⇔
∨
2
A ≥ 0  A > B

4)

B ≤ 0 B > 0
A ≥B⇔
∨
2
A ≥ 0 A ≥ B

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a)
d)
g)

x 2 + x − 12 < 8 − x

x 2 − 3 x − 10 > x − 2

b)
e)

x + 3 − 7 − x > 2x − 8

h)
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

x 2 − x − 12 < 7 − x

3 x 2 + 13x + 4 ≥ x − 2

a)

c)

c)

2x + 6x2 + 1 > x + 1

f)

2 − x > 7 − x − −3 − 2 x

( x − 3)(8 − x ) + 26 > − x 2 + 11x

− x 2 − 4 x + 21 < x + 3

i)

2x + 3 + x + 2 ≤ 1

( x + 5)( x − 2) + 3 x( x + 3) > 0

b)
( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28

d)

3x 2 + 5x + 7 − 3x 2 + 5x + 2 ≥ 1

CHỦ ĐỀ 4: LƯỢNG GIÁC
cos(−α ) = cosα
I. HỆ THỨC CƠ BẢN

sin(−α ) = − sin α
sin α
π
tan α =
(α ≠ + kπ , k ∈ Z)
cos α
2
cos α
tan( −α ) = − tan α
cotα =
(α ≠ kπ , k ∈ Z)
sin α
cot( −α ) = − cot α
sin 2 α + cos 2 α = 1
2. Cung bù nhau:
sin(π − α ) = sin α

π
, k ∈ Z)
2
1
π
1 + tan 2 α =
(α ≠ + kπ , k ∈ Z)
2
cos α
2
1
1 + cot 2 α =
(α ≠ kπ , k ∈ Z)

sin 2 α

α

và

π −α

cos(π − α ) = −cosα

tan α .cot α = 1 (α ≠ k

tan(π − α ) = − tan α
cot(π − α ) = − cot α

π α
α +π
3. Cung hơn kém : và
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = −cosα

II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC
CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
(−α )
α
1. Cung đối nhau: và

tan(π + α ) = tan α
cot(π + α ) = cot α
21

Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

π
π
( +α)
2 α
2
4. Cung hơn kém : và
π
π
sin( + α ) = cosα
cos( + α ) = − sin α
2
2
π
π
tan( + α ) = − cot α cot( + α ) = − tan α
2
2

5. Cung phụ nhau:
π
sin( − α ) = cosα
2
π
tan( − α ) = cot α

2

(

α

và

3. Công thức nhân ba

sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
cos3a = 4cos 3 a − 3cos a
3tan a − tan 3 a
tan 3a =
1 − 3tan 2 a

π
−α)
2

4. Công thức hạ bậc

π
− α ) = sin α
2
π
cot( − α ) = tan α
2

1 + cos2a

2

sin 2 a =

1 − cos2a
2

cos(

III. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b
cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b

tan 2 a =

1 − cos2a
1 + cos2a

5. Công thức chia đôi
t = tan

Đặt
thức sau:

sin( a − b) = sin a cos b − cosa sin b
sin( a + b) = sin a cos b + cosa sin b

sin a =

t ana − tan b
1 + tan a tan b
t ana + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
tan(a − b) =

a
(a ≠ π + 2kπ )
2

2t
1+ t2

2t
t ana =
1− t2

, ta có các công

cos a =

1− t2
1+ t2

1− t2
cot a =
2t

6. Công thức biến đổi tích thành tổng

1
cos a cos b = [cos(a − b) + cos( a + b)]
2
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos( a + b)]
2
1
sin a cos b = [sin(a − b) + sin( a + b)]
2

cot a cot b + 1
cot b − cot a
cot a cot b − 1
cot( a + b) =
cot a + cot b
cot( a − b) =

2. Công thức nhân đôi
sin 2a = 2sin a cos a

7.Công thức biến đổi tổng thành tích

cos2a = cos 2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a
tan 2a =

cos 2 a =

2 tan a
1 − tan 2 a

22


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2

a+b
a −b
sin
2
2

sin( a ± b)
tan a ± tan b =
cos a cos b

cos a + cos b = 2cos

sin a − sin b = 2cos

Đặc biệt ta có:

23


π
cos a + sin a = 2cos(a − )
4
π
cos a − sin a = 2cos(a + )
4
Vấn đề 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Bài 1: Cho

π
<α <π
2

 3π

a)sin 
−α ÷

 2


. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

π

b)cos  α + ÷
2


π <α <

Bài 2: Cho

3π
2

π

a) cos  α − ÷
2


π

d )cot  α − ÷
2


c) tan(α + π )

. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

π

b)sin  + α ÷
2


 3π

c ) tan 
−α ÷
 2


d )cot(α + π )

sin α , cos α , tan α , cot α

Bài 3: xác định dấu của

, biết:

3π
3π
7π
7π
; b)

<α <
c)
< α < 2π
2
2
4
4
5π
10π
5π
11π
d) 2π < α <
; e)3π < α <
f)
<α <
2
3
2
4
a) π < α <

Vấn đề 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc ( cung )
Bài 1: Tính các giá trị lượng giác của góc
a)sin α = −

2
5

cot α = −

d)

π <α <

;
19
7

;

b)

π
<α <π
2

sin α =

Bài 2: biết

3π
2

3
4

và

cos α = 0,8

e)cos α = −

Bài 4: Cho

3π
< α < 2π
2

;

π
<α <π
2

A=

. Tính:

tan α − 3cot α = 6

c)

13
π
0<α <
8
2

;

sin α =

f)

2
3

;

π
<α <π
2

sin α + cos α
sin α − cos α
sin α cos α
E=
sin 2 α − cos 2 α
C=

2sin α + 3cos α
;
4sin α − 5cos α

π <α <

và

tan α =

. Tính:

2 tan α − 3cot α
cos 2 α + cot 2 α
;
B=
;
cos α + tan α
tan α − cot α
3sin 2 α + 12sin α cos α + cos 2 α
D=
;
sin 2 α + sin α cos α − 2cos 2 α
tan α = 3

nếu:

1
3π
π <α <
4
2

A=

Bài 3: Cho

;

α

3π
2

. Tính: a)

B=

sin α + cos α

3sin α − 2cos α
5sin 3 α + 4cos3 α

b)

2sin α − tan α
cos α + cot α


Bài 5: Cho
Bài 6: Cho
a)

tan α + cot α = m
sin α + cos α = m

sin α cos α

. Hãy tính theo m: a)

b)

tan 3 α + cot 3 α

. Hãy tính theo m

sin α − cos α

b)

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi
π

a)sin  α + ÷ = cos α
2


tan 2 α + cot 2 α

α

c)

sin 3 α + cos3 α

d)

sin 6 α + cos 6 α

ta luôn có:

π

b) cos  α + ÷ = − sin α
2


π

c) tan  α + ÷ = − cot α
2


π

d ) cot  α + ÷ = − tan α
2


Vấn đề 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Tính các GTLG của các góc sau:

1

1200 ; 1350 ; 150 0 ; 2100 ; 2250 ; 240 0 ; 300 0 ; 3150 ; 3300 ; 3900 ; 4200 ; 4950 ; 25500

a)
9π ; 11π ;

b)

7π 13π
5π 10π
5π 11π
16π 13π 29π
31π
;
;−
;
;− ;
;−
;
;
;−
2
4
4
3
3
3
3
6
6
4

Rút gọn các biểu thức sau:

2

a)

b)

c)

d)

π

A = cos  + x ÷+ cos(2π − x ) + cos(3π + x )
2

 7π

 3π

B = 2 cos x − 3cos(π − x ) + 5sin 
− x ÷+ cot 
− x÷
 2

 2

π

 3π

π

C = 2 sin  + x ÷+ sin(5π − x ) + sin 

+ x ÷+ cos  + x ÷
2

 2

2

 3π

 3π

D = cos(5π − x ) − sin 
+ x ÷+ tan 
− x ÷+ cot(3π − x )
 2

 2


Vấn đề 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Chứng minh các đẳng thức sau:

1

a)
b)
c)
d)
e)
f)

sin 4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x
sin 4 x + cos4 x = 1 − 2 cos2 x.sin 2 x
sin6 x + cos6 x = 1 − 3sin2 x.cos2 x
sin8 x + cos8 x = 1 − 4sin2 x.cos2 x + 2sin 4 x.cos4 x
cot 2 x − cos2 x = cos2 x.cot 2 x
tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x