đề thi chuyên toán thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHQGHN năm 1998

Tr
Câu I:
1) Gi i ph

ng

thi toán vào các kh i chuyên
HKHTN - HQG Hà N i n m 1998
(Th i gian làm bài: 180 phút)

ng trình

2 − x2 + x2 + 8 = 4
2) Gi i h ph ng trình:
 x 2 + xy + y 2 = 7
 4
2 2
4
 x + x y + y = 21

Câu II: Các s a và b tho mãn đi u ki n:
a 3 − 3ab 2 = 19
 3
2
b − 3a b = 98
Hãy tính giá tr c a bi u th c P= a2+b2
Câu III: Cho các s a,b,c ∈ [0,1]
Ch ng minh r ng:
a3 + b3 + c3 – ab – bc – ca < 1
Câu IV. Cho đ ng tròn ( ε ) bán kính R.
A và B là hai đi m c đ nh trên đ ng tròn, (AB < 2R). Gi s M là m t đi m

thay đ i trên cung l n AB c a đ ng tròn.
1. K t B đ ng th ng vuông góc v i AM, đ ng th ng này c t AM t i I và c t
đ ng tròn ( ε ) t i N. G i J là trung đi m c a MN. Ch ng minh r ng khi M thay
đ i trên đ ng tròn thì m i đi m I,J đ u n m trên m t đ ng tròn c đ nh.
2. Xác đ nh v trí c a đi m M đ chu vi c a ∆AMB là l n nh t.
Câu V: Tìm t t c các s nguyên d ng n sao cho m i s n +26 và n-11 đ u là
l p ph ng c a m t s nguyên d ng.Cho các s x,y,z thay đ i tho mãn đi u
ki n x2+y2+z2 =1. Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:P = xy + yz + zx +
1 2
x ( y − z ) 2 + y 2 ( z − x) 2 + z 2 ( x − y ) 2
2

[

]

Chú ý: Thí sinh thi vào kh i chuyên Sinh không ph i làm câu V.