65 Bài tập hình học 12 có đáp án chi tiết

65 BÀI TẬP MÔN HÌNH HỌC LỚP 12 CÓ
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1:
Cho vectơ
a)
b)

r
u = ( 3;2; −5 )

r
u

. Trong các vectơ sau đây, vectơ nào cùng phương với ?

r
a = ( −6; −4;10 )
r
b = ( 1; 4; −2 )

Câu 2:
Cho

r
r
u = ( 1;2;3) v = ( 2;2; −1)

,

a) Tìm

r
x

biết

,

ur
w = ( 4;0; −4 )

.

r r r ur
x = u − v + 2w

b) Phân tích vectơ

r
t = ( 4;5;6 )

theo các vectơ

r r ur
u , v, w

Câu 3:
Cho 3 vectơ

r
r

r
a = (1, m, 2), b = ( m + 1, 2,1) , c = ( 0, m − 2, 2 )

r r r
a+b = c

Tìm m để
Câu 4:
Cho

r
r
ur
u = (1;2;8); v = ( 5;6;12 ) ; w = (8;8;8)

r r
mu − nv

.

. Tìm điều kiện của m,n để

ur
w

cùng phương với


Câu 5:
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho

a) Xác định t để vectơ

r
r
r r r u
r r
a = (1; −1;0), b = (−1;1; 2), c = i − 2 j , d = i

r
u = ( 2; 2t − 1;0 )

cùng phương với

r
a

.


b) Tìm các số thực m,n,p để
Câu 6:

ur
r r
r
d = ma − nb + pc

Cho điểm M có tọa độ (x,y,z). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O.
b) Qua mặt phẳng Oxy.

c) Qua trục Oy.
Câu 7:
Cho 2 bộ ba điểm:
A(1;3;1); B (0;1; 2); C (0;0;1)

và

A '(1;1;1); B '(−4;3;1);C'( −9;5;1)

Hỏi bộ ba điểm nào thẳng hàng.
Câu 8:
Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:
a) Trọng tâm tam giác ABC.
b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.
c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
Câu 9:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1), B(2;1;2);D=(1;-1;1);C’(4;5;-5). Tìm tọa
độ các đỉnh còn lại.
Câu 10:
Cho A(2;-1;7), B(4;5;-2), Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào.


b) Tìm M.
Câu 11: Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh
æa a 3 ö
÷
A(0;0;0); B ç
;
;0÷

; C (a;0;0); S (0;0; a )
ç
÷
ç
÷
ç
è2 2
ø

. Tính góc giưa hai đường thẳng AB và SC.

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Gọi N là trung điểm của
B’C’.
Tính góc giữa hai đường thẳng AN và BD’
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, gọi M là trung
điểm SC. Có tọa độ các điểm:
O (0;0;0), A(2;0;0), B(0;1;0), S (0;0;2 2), D(0; −1;0), C ( −2;0;0), M ( −1;0; 2)

Chứng minh:
a)

SO ^ ( ABCD )

b) Tính góc giữa SA và BM.
Câu 14: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:
æa a 3
ö
æ
ö
æa 3a 3

ö
3a a 3
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
A(0;0;0); B(a;0;0);C(0;a 3,0); A 'ç
;
;
a
3
;
B
'
;
;
a
3
;
C
'
;
;
a
3
ç

ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è2 2
ø è2 2
ø è2 2
ø

Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh:

A ' M ^ BC

b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’
Câu 15: Cho hình hộp chứ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1. K là trung điểm
của A’D’. Biết:

BK ^ ( A 'C' D)

Câu 16: Giải phương trình:

. Tính độ dài các cạnh hình hộp chữ nhật.


x x + 1 + 3 − x = 2 x2 + 1

(1)

Câu 17: Giải phương trình
sin x + 2 − sin 2 x + 2 − sin 2 x = 3

(2)

Câu 18: Giải bất phương trình
x − 1 + x − 3 ≥ 2(x − 3) 2 + 2x − 2

(3)

Câu 19: Giải bất phương trình
x + 1 + 2x − 3 + 50 − 3x ≤ 12

(4)

Câu 20: Giải hệ phương trình

x 2 + y 2 = − y(x + z)

x 2 + x + y = −2yz


 2
2
3x + 8y + 8xy + 8yz = 2x + 4z + 2

(5)

Câu 21: Chứng minh rằng hệ sau đây vô nghiệm
 x 4 + y 4 + z 4 = 1
 2
2
2
 x + y + 2z = 7

(6)

Câu 22:
Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có:

abc(a + b + c) ≤ a 4 + b 4 + c 4

Câu 23:

Chứng minh rằng nếu a > c, b > c và c >0 thì:

c(a − c) + c(b − c) ≤ ab


Câu 24: Gọi

α;β; χ

là 3 góc bất kì. Chứng minh rằng:

4cos 2 α + 1 + 4cos2 β + 1 + 4cos 2 γ + 1 ≤ 21
cos A + cos B + cosC ≤

Câu 25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC luôn có:
Câu 26: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Câu 27: Cho
thức

α, β, γ

3
2

y = x −1 + 2 3 − x

α+β+ γ =

là ba góc dương có

π
2

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

F = 1 + tan α.tan β + 1 + tan β.tan γ + 1 + tan γ.tan α

Câu 28: Cho 3 vectơ
phẳng.

r
r
r
a = (1; m;2); b = ( m +1;2;1) ; c = ( 0; m - 2;2)

. Tìm m để

r rr
a; b; c

đồng

Câu 29: Cho 4 điểm A(1;0;1); B(-1;1;2); C(-1;1;0); D(2;-1;-2). Chứng minh rằng
A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Câu 30: Trong không gian cho 4 điểm A(0;0;3); B(1;1;5);C(-3;0;0); D(0;-3;0)
Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng.
Câu 31: Tìm m để các bộ ba vectơ sau đồng phẳng:
a)
b)

r
r
r
a = (4;3;4); b = ( 2; - 1;2) ; c = ( 1;2;m)
r
r
r

a = ( 4;2;5) ; b = ( 3;m;3) ; c = ( 2;0;1)

Câu 32: Cho 4 điểm A(1,0,0); B(0,1,0); C(0;0;m); D(-2;1;-1).
Tìm m để C thuộc mặt phẳng (ABD)


Câu 33:
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Câu 34:
Cho tứ diện ABCD, có tọa độ các đỉnh lần lượt là A(0;0;0);
a) Tính diện tích S của tam giác BCD theo
b) Chứng minh rằng :
Câu 35:

 a 3 
S  0;
; h÷
÷
6



;

D ( 0;0; a )

a , b, c

2S ≥ abc ( a + b + c )

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tọa độ các điểm :
a

C  ; 0; 0 ÷;
2


B ( c; 0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

 a 3   a

A  0;
;0 ÷
; B  − ; 0;0 ÷
÷
2


  2

. M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính diện

tích tam giác AMN.
Câu 36:
Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)
a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.

Câu 37:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. (SAB) vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tọa độ các điểm S

a 3
 0;0;
÷
2 ÷



;A

 a

 − ;0;0 ÷
 2


; B

 3a

 ;0;0 ÷
 2


;D

 a


 − 2 ; 2 a; 0 ÷



. Tính thể tích khối chóp S.BMDN.


Câu 38:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, SA vuông góc với đáy. Gọi M,N
lần lượt là trung điểm của SA và SD, biết

( 0; 0; 2a )

A(0;0;0)

;B

( a;0;0 )

;C

( a; a; 0 )

; D

( 0; 2a;0 )

; S

.Tính thể tích của khối chóp S.BCNM.

Câu 39:
Cho hình chóp O.ABC có
chóp O.ABC theo a,b,c.

OA = a; OB = b; OC = c

đôi một vuông góc. Tính thể tích khối

Câu 40:
a

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Câu 41: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (−2;3;1)

và vuông góc với đường thẳng AB với

A(3;1; −2); B(4; −3;1)

.

Câu 42: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (−2;3;1)

và song song với mặt phẳng (Q):

4 x − 2 y + 3z − 5 = 0

Câu 43: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (−2;3;1)

và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0

Câu 44: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
A(2;0; −1); B (1; −2;3); C (0;1; 2)

Câu 45: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
A(2;0; −1); B (1; −2;3)

và vuông góc với mặt phẳng (Q):

x − y + z +1 = 0


Câu 46: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn
A(1;1; −1); B(5;2;1).

AB
biết
Câu 47: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:
a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0
b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0
c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0

Câu 48: Cho hai mặt phẳng 3x-(m-3)y+2z-5=0 và (m+2)x-2y+mz-10=0. Tìm m sao
cho:
a) Hai mặt phẳng song song.

b) Hai mặt phẳng trùng nhau.
c) Hai mặt phẳng cắt nhau.
Câu 49: Cho hai mặt phẳng có phương trình:
(P): x+2y+2z-1=0
(Q): 2x-4y+3z+4=0
a) Chứng minh (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P)
và (Q).
Câu 50: Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

( m2 - 5) x -

2 y + mz + m - 5 = 0

và

x + 2 y - 3nz + 3 = 0

Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.
Câu 51: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là:
(P): 2x+ny+2z+3=0 và (Q): mx+2y-4z+7=0
Tìm m và n để hai mặt phẳng song song.


Câu 52: Cho mặt phẳng (P) và họ mặt phẳng (Qm) có phương trình lần lượt là:
(P): x+2y+3z-6=0
(Qm): (m+1)x+(m+2)y+(2m+3)z-4m-6=0
a) Chứng tỏ rằng với mọi m mặt phẳng (P) và (Qm) không thể song song với nhau.
b) Xác định m để

( P) º (Qm )

Câu 53: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của:
(Q): x-y+z-1=0 và (R): x+2y-3z+2=0
Và song song với mặt phẳng (N): x+y-z+5=0.
Câu 54: Tìm khoảng cách từ các điểm
x+2y+2z-10=0.

M 0 ( 1; - 1;2) ; M 1 ( 3; 4;1) ; M 2 ( - 1; 4;3)

đến mặt phẳng

Câu 55: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm
A(3; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) // mp (Q) và d(A;(P))=2
Câu 3: Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng:
( P ) : x + y - z +1 = 0

và

(Q) : z - y + z - 5 = 0

Câu 56: Trên trục Oz tìm các điểm cách đều A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x+3y+z17=0.
Câu 57: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O,
vuông góc với mặt phẳng (Q):
2

x+ y+z =0

và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng

.

Câu 58: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
B (1;3;0) C (−3; 4;1) D(1; 2;1)

A(1; −1; 2)

,

,
,
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).


Câu 59: Trong không gian với hệ trục tọa độ
C (1;1;1)

. Viết phương trình mặt phẳng

(P)

(P)

B

Oxyz

đi qua

A

, cho các điểm
và gốc tọa độ

A(1; 2;3) B(0; −1; 2)

,

O

,

sao cho khoảng

(P )

C

cách từ đến
bằng khoảng cách từ đến
.
Câu 60: Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P) có phương trình: 2x+y+z-1=0 với các mặt
phẳng (Oyz), (Oxz), (Oxy).
Câu 61: Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 2x+y+4z=0 và (Q): -x+3y+2z+2016=0.
Câu 62: Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3
điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).
Câu 63: Cho mặt phẳng (Q) chứa 2 điểm A(0,1,1), B(1;0;-1) và tạo với (P); 2x-2yz+1=0 một góc 600. Tìm tọa độ giao điểm M của (Q) với trục Oz.
Câu 64: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và vectơ
r

u = ( 1; - 1; - 1)

. Viết phương trình mp (P) biết

hợp với mp (Q) một góc

α

α

thỏa cos =

3
6

r
u

có phương song song với (P) và (P)

.

Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
mặt phẳng

(P ) : x + 2 y + z − 3 = 0

mặt phẳng (P) một góc  thoả mãn

3

6

.

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

a) Ta có:
3
2 −5 − 1
=
=
=
−6 −4 10 2

và

. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với
cos α =

Câu 1:

A(−1;2; −3), B(2; −1; −6)


Suy ra:

r
1 ur
u = − u'
2

r
u

Vậy và

ur
u'

cùng phương.

b) Ta có:
3 2
≠
1 4
r
u

Vậy và

ur
u'

không cùng phương.

Câu 2:
a) Ta có:
r r r ur
x = u − v + 2w = (1;2;3) − (2; 2; −1) + 2(4;0; −4)
= ( 1 − 2 + 8;2 − 2 + 0;3 + 1 − 8 )

= (7;0; −4)

b) Ta có:
r
r
r
ur
t = mu + nv + p w

Với:
r
mu = m ( 1;2;3 )
r
nv = n ( 2;2; −1)
ur
p w = p (4;0; −4)

r
r
ur
mu + nv + p w = ( m + 2n + 4 p; 2m + 2n;3m − n − 4 p )


r
r
r
ur
t = mu + nv + p w
5


m
=

 m + 2n + 4 p = 4
2


⇔  2m + 2n = 5
⇔ n = 0
3m − n − 4 p = 6

3

p =
8


Vậy:

r 5r
r 3 ur
t = u + 0.v + w
2
8

Câu 3:
Ta có:

r r
a + b = ( m + 2, m + 3,3)

Do đó:
r r r
r r2 r2
a+b = c ⇔ a+b = c
⇔ ( m + 2) + ( m + 2) + 9 = ( m − 2 ) + 4
2

2

2

⇔ m 2 + 12m + 9 = 0 ⇔ −6 ± 3 3

Câu 4:
Ta có:
r r
mu − nv = m ( 1;2;8 ) − n ( 5;6;12 )
= ( m − 5n;2m − 6n;8m − 12n )
ur
w

cùng phương với

Khi đó:

r
r
mu − nv

khi:

r r
ur
mu − nv = k w


 m − 5n = k 8

 2m − 6n = k 8
8m − 12 n = k 8


Khi
Khi

k =0
k ≠0

(I)

thì m=n=0
(I) trở thành:

 m − 5n 2m − 6n
 8 =
m − n = 0
8
⇔
⇔m=n


m
−
5
n
8
m
−
12
n
7
m
−
7
n
=
0


=
 8
8

Vậy

ur
w

cùng phương với

r
r
mu − nv

với m,n bất kì sao cho m=n.

Câu 5:
r
u

a) cùng phương với

r
a

khi:

1 = 2k
1 = 2k

−1 = (2t − 1)k ⇔ 
−1 = (2t − 1) k
0 = 0 k

1

k =
⇔
2
−1 = (2t − 1)k

1
2

Với t= thì ta có:

1

k =
2

−1 = 0

Vô nghiệm


t≠

Với

1
2

thì ta có:

b) Ta có:

1

k = 2

−1
1
−1
⇔
= ⇔t=

2t − 1 2
2
k = −1
2t − 1


r r r
c = i − 2 j = (1;0;0) − 2(0;1;0) = (1; −2;0)

ur
r
r
r
d = ma − nb + pc
⇔ (1;0;0) = m(1; −1;0) − n(−1;1;2) + p(1; −2;0)
m + n + p = 1
m = 2


⇔  − m − n − 2 p = 0 ⇔ n = 0
0 m − 2 n + 0 p = 0
 p = −1



Vậy m=2;n=0;p=-1
Câu 6:
a)
b)
c)

M 1 ( − x, − y , − z )
M 2 ( x, y , − z )
M 3 ( − x, y , − z )

Câu 7:
Ta có:
uuu
r
AB = (−1; −2;1)
uuur
AC = (−1; −3;0)

Nếu A,B,C thẳng hàng

⇔

tồn tại k sao cho:

)


uuu
r

uuur
AB = k . AC
−1 = − k

⇔ −2 = −3k (VN )
1 = 0k


Vậy A,B,C không thẳng hàng.
Tương tự, ta có:
uuuuu
r
A ' B ' = (−5;2;0)
uuuuu
r
A ' C ' = ( −10;4;0 )

uuuuur uuur
⇒ A ' C ' = 2 AB

Vậy A’, B’, C’ thẳng hàng.
Câu 8:
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
x A + xB + xC
13


x
=
x

=
G
G


3
3


y A + yB + yC
8


⇔  yG =
 yG =
3
3


z A + z B + zC
11


zG =
 zG =

3
3



Vậy

 11 8 11 
G ; ; ÷
3 3 3

b) Gọi

D ( xD ; y D ; z D )

uuu
r
AB = ( −2;2; −1)
uuur
DC = (9 − xD ;6 − yD ;4 − z D )


Để ABCD là hình bình hành thì:
uuur uuur
AB = DC

Hay:

−2 = 9 − xD
 xD = 11


2 = 6 − yD ⇔  yD = 4 ⇒ D(11; 4;5)
−1 = 4 − z

z = 5

D
 D

c) Gọi I là giáo điểm hai đường chéo AC và BD thì:

I là trung điểm của AC

x A + xC

x
=
=6
I

2

y +y

⇔  yI = A C = 3 ⇔ I (6,3, 4)
2

z A + zC

 zI = 2 = 4


Câu 9:

Ta có:
Gọi

uuur
uuur
AB = (1;1;1) AD = (0; −1;0)

C ( xC ; yC ; zC )

Theo qui tắc hình bình hành ta có:


 xC − 1 = 1 + 0
 xC = 2


⇔  yC − 0 = 1 + (−1) ⇔  yC = 0 ⇒ C (2;0;2)
uuur uuur uuur
z −1 = 1+ 0
z = 2
 C
 C
AC = AB + AD

Ta có:

.

uuur
CC' = (2;5; −7)

 xA ' − 1 = 2
 xA ' = 3
uuuur uuuu
r


A A ' = CC ' ⇔  y A ' − 0 = 5 ⇔  y A ' = 5 ⇒ A '(3;5; −6)
 z − 1 = −7
 z = −6
 A'
 A'

Tương tự:
uuur uuuu
r
BB ' = CC ' ⇒ B '(4;6; −5)
uuuur uuuu
r
D D ' = CC ' ⇒ D '(3;4; −6)

Câu 10:
a) Vì

M ∈ mp (0 yz ) ⇒ M (0, y, z )

Gọi k là tỉ số mà điểm M chia đoạn thẳng AB.
Ta có:
x A − kxB
2 − 4k



x
=
0
=
(1)
M


1− k
1− k


y A − ky B
−1 − 5k


⇔  yM =
(2)
 yM =
1
−
k
1
−
k


z A − kz B

7 + 2k


 zM = 1 − k
 zM = 1 − k (3)


(1) ⇒ k =

1
2

thế vào (2) (3):

yM = −7 zM = 16


k=

Vậy M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

1
2

b) Tọa độ điểm M(0;-7;16)
Câu 11:

Ta có:

uuu

r æa a 3 ö
ç ;
÷
AB =ç
;0÷
÷
ç
÷
ç
è2 2
ø

uur
SC = ( a;0; - a )

uuu
r uur
AB.SC
2
cos ( AB, SC ) = uuu
Þ (·AB, SC ) » 69018'
r uur =
4
AB . SC

Câu 12:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta có tọa độ các đỉnh của hình lập phương như sau:
A '(0;0;0), B '(a;0;0), D '(0; a;0), C '( a; a;0), A(0;0; a), B(a;0; a ),

C ( a; a; a), D(0; a; a)


N là trung điểm của B’C’ nên:

a
N (a; ;0)
2

Ta có:
uuur  a

AN =  a; ; − a ÷
 2

uuuu
r
BD ' = ( −a; a; −a )

Ta có:
uuur uuuu
r
| AN .BD ' |
r =
cos(AN, BD')= uuur uuuu
| AN || BD ' |

Vậy:

(·AN , BD ') » 78054'

Câu 13:

a) Ta có:
uur
SO = (0;0;2 2)

−a 2 +

a2
+ a2
2

1
a2 + a2 + a2 . a2 + a2 + a2
4

=

3
9


uuu
r
BD = ( 0; - 2;0)

uuu
r
AC = (- 4;0;0)

uur uuu
r
SO.BD = 0 Þ SO ^ BD (1)
uur uuu
r
SO. AC = 0 Þ SO ^ AC (2)

Từ (1) (2) suy ra:

SO ^ ( ABCD)

b) Ta có:

uur
SA = 2;0; - 2 2
uuur
BM = - 1; - 1; 2

(

)

(

)

uur uuuu
r
| SA.BM |
r =

cos( SA, BM ) = uur uuuu
| SA | . | BM |

2.( −1) + 0.( −1) + ( −2 2). 2

(

)

2

22 + 02 + −2 2 . 12 + 12 + 2

Do đó góc giữa hai đường thẳng này là

Câu 14:

=

3
2

.
600

.


a) Ta có:

uuuur
A ' M = 0;0; - a 3

uuu
r
BC = - a; a 3;0

(

(

)

)

uuur uuu
r
AM .BC = 0

Ta có:

Vậy AM vuông góc BC.
b) Ta có:
ö
uuur æa a 3
ç
÷
AA ' =ç
;
; a 3÷

÷
ç
÷
ç
2
2
è
ø
uuuur
B ' C ' = a; - a 3;0

(

)

uuur uuuur
AA '.B ' C '
1
cos( AA ', B ' C ') = uuur uuuur =
AA ' B ' C ' 4


Vy:

(ãAA ', B ' C ') ằ 75031'

Cõu 15:
Chn h trc ta nh hỡnh v, ta cú:

A(0;0;0); B(x,0,0), C(x,y,0); D(0;y;0);

A'(0;0;z); B'(x,0,z); C'(x,y,z); D'(0;y;z)

K l trung im ca AD nờn

Ta cú:

ổ y ử
Kỗ
0; ; z ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 ứ

uuu
r uuuur
ỡù BK ^ A ' C '
BK ^ ( A ' C ' D ) ị ùớ uuu
r uuuu
r (1)
ùù BK ^ A ' D
ùợ


uuu
r æ y ö uuu
r
uuuu
r

÷
BK = ç
x
;
;
x
;
AC
=
x
,
y
,0
;
A
'
D
= ( 0; y; - z )
(
)
÷
ç
÷
ç
è 2 ø
ìï 2 y 2
ïï - x + = 0
ï
2
( 1) Û ïí 2

ïï y
ïï - z 2 = 0
ïî 2

Giải hệ:
ìï 2 y 2
ïï - x + = 0
ïï
2
ïï 2
y
( 1) Û ïí - z 2 = 0 Û
ïï 2
ïï
ïï x. y.z =1
ïï
î

ìï
1
ïï x = z =
6
2
í
ïï
3
ïîï y = 2

Câu 16:
ĐK:

Đặt

−1 ≤ x ≤ 3

r
r
u = (x;1), v = ( x + 1; 3 − x )

Khi đó

rr
u.v = x x + 1 + 3 − x;
r r
u . v = x 2 + 1. ( x + 1) 2 + ( 3 − x ) 2 = 2 x 2 + 1

Do đó phương trình (1) xảy ra khi

.

rr r r
r r
u.v = u . v ⇒ u, v

cùng phương


⇔

x
x +1

=
1
3− x

⇔ x2 =

(ĐK: 0< x < 3)

x +1
⇔ x 3 − 3x + x + 1 = 0
3− x

⇔ (x − 1)(x 2 − 2x − 1) = 0
⇔ x1 = 1, x 2 = 1 + 2, x 3 = 1 − 2

Với nghiệm

x3 = 1 − 2

< 0 không thỏa mãn đk

Câu 17:
Đặt

r
r
2
u = (sin x;1; 2 − sin x ), v = (1; 2 − sin 2 x;sin x)

Ta có:

r r
u=v= 3

Phương trình (2) xảy ra khi

rr r r
u.v = u . v

= 3, vậy ta có hệ phương trình:

sin x = k


2
 1 = k 2 − sin x

2
 2 − sin x = k sin x
⇒ k = 1và sin x = 1 ⇒ x =

Câu 18:
ĐK:

x ≥1

π
+ k2π(k ∈ Z)
2